Invariant d’un pavage

Nous montrons ici un résultat que nous avons trouvé dans le cadre de notre club Math en jean au lycée Blaise Pascal à Orsay.

On se donne un dallage, c’est-à-dire une figure composée de triangles équilatéraux. On dit qu’un dallage est pavable si on peut le paver avec des losanges composés de deux triangles unités. Ces losanges peuvent alors être orientés dans trois directions. Notre objectif est de montrer le théorème suivant :

THEOREME : Tous les pavages possibles d’un même dallage nécessitent le même nombre de losanges dans chaque direction. Autrement dit, le nombre de losanges d’une direction donnée utilisés est invariant.

On se donne alors un dallage D et deux pavages de celui-ci : P₁ et P₂ (voir dessin 1). On désire montrer que P₁ et P₂ possèdent le même nombre de losanges d’une direction donnée. Pour cela, on procède en deux étapes : on découpe D en sous-dallages dits simples, puis on montre le théorème dans le cas particulier des dallages simples grâce à un lemme sur le graphe associé que nous construirons. Le résultat suivra immédiatement.

Dessin 1 :

4 verticaux
6 Nord-Est
4 Nord-Ouest

1°) On construit tout d’abord les dallages simples annoncés. Pour cela, on se donne un triangle T₀ de D et on considère le triangle T₁ avec lequel il forme un losange dans le pavage P₁. Puis le triangle T₂ relié à T₁ dans P₂ …. Puis T_2n associé à T_2n-1 dans P₂, puis T_2n+1 associé à T_2n dans P₁…. On a ainsi construit une suite de triangles.

Comme il y a un nombre fini de triangles, celle-ci finit forcément par boucler. Soit T_p=T_q le premier triangle à apparaître deux fois dans cette suite. Si p=/0, alors le triangle T_p est associé aux trois triangles T_p-1, T_p+1 et T_q-1, tous distincts, ce qui est impossible car on ne considère que deux pavages. On a alors p=0. Ainsi, non seulement cette suite boucle, mais en plus elle revient a son point de départ T₀ (voir dessin 2).

Dessin 2 : Dessin 3 :

L’ensemble des triangles T_n parcourus par cette suite constitue un sous-dallage D’ de D qu’on qualifiera de simple. Les sous-dallages simples forment une partition de D, et les pavages P₁ et P₂ permettent de les paver chacun séparément (voir dessin 3)

2°) On considère à présent un dallage simple D’ de D. On peut associer à D’ un graphe dont les sommets sont les centres des triangles équilatéraux, deux sommets étant reliés par une arête si les triangles équilatéraux sont adjacents. Les arêtes représentent alors des losanges potentiels reliant deux triangles adjacents. Ce graphe est « constitué d’hexagones ». (voir dessin 4).

Le graphe associé

On note alors A_n l’arête de ce graphe reliant les triangles T_n-1 et T_n. Les arêtes A_2n de rang pair correspondent alors aux losanges de P₂, et les arêtes A_2n+1 de rang impair aux losanges de P₁. Comme la suite (T_n) boucle en revenant à son point de départ, les arêtes A_n forment une boucle dans notre graphe (voir dessin 5).

Dessin 5 : La boucle considérée

en pointillés : arêtes paires

en traits pleins : arêtes impaires

On peut alors reformuler notre théorème pour les dallages simples de la façon suivante :

3°) LEMME : Soit une boucle dans un pavage d’hexagones. Pour une direction donnée, il y a autant d’arêtes de rang pair que de rang impair orientées dans cette direction.

On suppose, quitte à tourner le graphe que cette direction est horizontale. Il est évident que pour revenir à notre point de départ, il est nécessaire de se déplacer autant de fois vers la droite que vers la gauche.

Or deux déplacements horizontaux successifs dans le même sens seront séparés par un nombre impair d’arêtes et auront donc la même parité, tandis que deux déplacements horizontaux successifs dans des sens opposés seront séparés par un nombre pair d’arêtes et auront donc ainsi une parité différente. Il n’en faut pas plus pour conclure que tous les déplacements vers la droite se feront sur des arêtes de même parité, et tous ceux vers la gauche l’autre parité.

Comme il y a autant de déplacements vers la droite que vers la gauche, il y a autant d’arêtes horizontales de rang pair que de rang impair : nous avons démontré notre lemme.

4°) Conclusion

Le lemme est, on l’a vu, équivalent à notre théorème dans le cas des dallages simples, et celui-ci est alors vérifié dans ce cas particulier.

Comme tout dallage est formé par la réunion de dallages simples, notre théorème en découle dans le cas général…

C. Q. F. D.