On propose un programme maple donnant deux représentations
graphiques pour un système différentiel linéaire à
coefficients constants de deux équations à deux inconnues,
autrement dit, un champ de vecteurs linéaire dans le plan. La première
représentation consiste à indiquer par une flèche
la valeur du champ en les points d'une grille. La seconde consiste à
tracer un certain nombre de trajectoires bien choisies.
Avant tout, télécharger le fichier champ à
l'adresse
http://www.math.u-psud.fr/~pansu/champ
Ouvrir une fenêtre maple. Taper
> read "champ";
Choisir un mode de sortie graphique, par exemple
> plotsetup(x11);
ou
> plotsetup(window);
pour un affichage à l'écran dans une fenêtre séparée,
> plotsetup(postscript);
pour sortie dans un fichier insérable dans un document latex,
> plotsetup(gif);
pour produire une image insérable dans un document html.
Exemple : La commande
> visu(1,2,3,2);
a produit l'image ci-dessous.
anivisu est la variante animée. On rentre des coefficients qui sont des fonctions du paramètre s, pour s variant de 0 à 1. Le calcul terminé, c'est le champ pour s=1 qui apparaît dans la fenêtre. Cliquer sur le bouton play pour voir le film. On peut augmenter le nombre d'images, mais attention au temps de calcul !
Exemple : La commande
> anivisu(s,2*s-1,3-s,-4*s);
a produit le film ci-joint.
Exemples :
> zoo(1,2,3,2);
anizoo est la variante animée. On rentre quatre coefficients qui sont des fonctions du paramètre s, pour s variant de 0 à 1. Le cinquième argument doit prendre la valeur 0 si on veut un tableau et 1 si on veut un schéma.
Exemple :
> anizoo(s,2*s-1,3-s,-4*s,0);
table([
11
= [centre, {s = 0}]
1 = [col, {s <= 1., .3860009363 < s}]
2 = [type_O, {s = .3860009363}]
3 = [noeud_non_degenere_attractif, {s < .3860009363, .3529411765 < s}]
5 = [noeud_degenere_attractif, {s = .3529411765}]
9 = [foyer_attractif, {0 < s, s < .3529411765}]
])
Lorsque trace et déterminant ne sont pas des polynômes
en s, maple a bien du mal à fournir un tableau. Dans ce cas, il
reste le schéma. La commande
> anizoo(s,2*s-1,3-s,-4*s,1);
a produit le schéma ci-dessous
qu'il faut interprêter comme suit. Les
coordonnées sont la trace (horizontalement) et le déterminant
(verticalement). La droite horizontale correspond aux systèmes de
type O (une valeur propre nulle), la demi-droite verticale correspond aux
centres. La parabole correspond aux noeuds non dégénérés
et aux soleils. En dessous de la droite horizontale sont situés
les cols. Entre la droite horizontale et la parabole, on trouve les noeuds
non dégénérés. Au-dessus de la parabole, il
y a les foyers, répulsifs à droite et attractifs à
gauche de l'axe vertical. Le programme trace l'arc décrit par (trace,
déterminant) en fonction de s.
Exemple : La commande
> portrait(1,2,3,2,3);
a produit l'image ci-dessous.
aniportrait est la variante animée. On rentre des coefficients qui sont des fonctions du paramètre s. Le calcul terminé, c'est le champ pour s=1 qui apparaît dans la fenêtre. Cliquer sur le bouton play pour voir le film. On peut augmenter le nombre d'images, mais attention au temps de calcul !
Exemple : La commande
> aniportrait(s,2*s-1,3-s,-4*s,3);
a produit le film ci-joint. Cela peut-être
très très long.