Proposition de programmes pour les enseignements de mathématiques à l'IFIPS

Les programmes qui suivent concernent

les enseignements de mathématiques généralistes proposés en tronc commun, i.e. suivis par l'ensembles des étudiants du cycle préparatoire (resp. du cycle ingénieur) ;
des enseignements de mathématiques plus spécialisés, dispensés dans le cadre des enseignements de spécialité à des étudiants d'une ou plusieurs spécialités ;
la partie mathématique des modules d'adaptation du premier semestre de la première année du cycle ingénieur.

On fait également des propositions pour les projets des deux premières années du cycle préparatoire.

En établissant ces programmes, on a cherché

pour le contenu, à rester proche des programmes des filières qui contribueront à alimenter le cycle ingénieur (CPGE, IUT,licences), de façon à faciliter l'intégration de la promotion et la reconversion éventuelle vers les licences de quelques étudiants du cycle préparatoire ;
pour l'esprit, à respecter l'équilibre entre connaissances fondamentales et outils indispensables à l'ingénieur ;
pour les méthodes, à tirer parti de l'expérience pédagogique accumulée à l'université et des moyens nouveaux (logiciels notamment) qui ont fait la preuve de leur efficacité pour l'enseignement des mathématiques.

On utilisera le logiciel WIMS

- en autoévaluation pour permettre aux étudiants de travailler sur les notions de Terminale mal acquises à partir de tests évalués ;
- dans des séances de TD pour faire acquérir les notions calculatoires et de manière à utiliser les outils graphiques de visualisation ;
- de manière générale afin de développer la participation et l'autonomie des étudiants pendant les séances de TD en favorisant un comportement actif.

L'initiation à un logiciel de calcul formel (Maple ou Mathematica), dès la première année, permettra aux étudiants de produire une petite réalisation informatique lors de leur projet de 2ème semestre, illustrant un travail sur une question à cheval entre mathématiques et physique. Elle ne remplace pas le logiciel WIMS, qui continuera d'être utilisé pour l'entraînement au calcul et l'auto-évaluation.

L'initiation au logiciel Matlab, comprise dans l'enseignement d'informatique, permettra de proposer aux étudiants des sujets de projets bidisciplinaires mathématiques-informatique, en plus des sujets mathématiques-physique, à partir de la deuxième année.

Nomenclature. Le cycle préparatoire est divisé en 4 semestres, S1 à S4. Le cycle ingénieur en 6 semestres, S5 à S10.

A. Tronc commun

Tableau récapitulatif

Semestre	Contenu	Volume horaire
S1	Bases du raisonnement. Fonctions d'une variable. Géométrie dans R2 et dans R3 . Fonctions de 2 ou 3 variables. Intégration et équations différentielles.	96h, cours: 40, TD: 56 dont des séances en salle machine (WIMS)
S2	Analyse (intégrales multiples, développements limités, équations différentielles). Suites numériques. Algèbre linéaire sur Rn . Initiation à un logiciel de calcul formel.	96h, cours: 40, TD: 50 dont des séances en sallemachine (WIMS), TP: 6
S3	Calcul différentiel (équations différentielles, intégrales curvilignes et de surfaces, fonctions de plusieurs variables). Analyse (suites de fonctions, intégrales généralisées). Algèbre linéaire (diagonalisation). Arithmétique.	96h, cours: 40, TD: 56 dont des séances en salle machine (WIMS)
S4	Analyse (séries, séries entières, séries de Fourier). Equations différentielles et systèmes dynamiques.	96h, cours: 40, TD: 50 dont des séances en sallemachine (WIMS), TP: 6
S5	Analyse de Fourier. Fonctions d'une variable complexe. Introduction aux distributions. Probabilités et statistique.	96h, cours: 46, TD: 50

1er semestre du cycle préparatoire (S1)

Volume horaire : 96h, dont cours: 40, travaux dirigés: 56.

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
I. Bases du raisonnement Logique, différents types de raisonnement. Ensemble, éléments. Fonctions et applications. Produit, puissances. Union, intersection, somme disjointe. Cardinalités. Relations Ensembles ordonnés, diagramme de Hasse	Ce chapitre est aussi une préparation pour les enseignements d'informatique	C'est le complément spécifique IFIPS, 21h de cours+TD Responsable: Calisiti ou Lenoir
II. Fonctions d'une variable Définition de limite d'une fonction et rappel des principales opérations, fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires (admis). Dérivée, f(x+h) = f(x) + hf'(x) + h epsilon (h), théorème des accroissements finis (admis) et applications, formules de Taylor à l'ordre 2, applications.	Chapitre bref. Les théorèmes sont admis	Math101
III. Géométrie dans R² et R³ Equations de droites et plans, produit scalaire, produit vectoriel, norme, coordonnées polaires, cylindriques, sphériques, arcs paramétrés (quelques exemples et quelques courbes en polaires). Application des nombres complexes à la géométrie.	Ce chapitre est destiné à apporter aux étudiants des outils nécessaires pour les enseignements de physique et de chimie.	Math101 sauf le produit vectoriel
IV. Fonctions de 2 ou 3 variables Approximation linéaire, dérivées partielles, différentielle et gradient, dérivée d'une fonction le long d'une courbe, dérivées partielles d'ordre supérieur, formules de Taylor à l'ordre 1 et 2. Utilisation pour les calculs d'erreurs, justification. Calcul en coordonnées polaires. Courbes de niveau f(x,y) = a, la tangente aux courbes de niveau est orthogonale au gradient. Surfaces : Représentation z = f(x,y). Lien avec les courbes de niveau. Plan tangent. Exemples de surfaces particulières en coordonnées cylindriques, sphériques, leurs éléments de symétrie.	Ce chapitre est destiné à apporter aux étudiants des outils nécessaires pour les enseignements de physique et de chimie.	Math101
V : Intégration et équations différentielles Intégration (en dimension 1), rappels, formule de changement de variable. Equations différentielles à variables séparées, le cas particulier des équations linéaires (avec, éventuellement, la variation de la constante).		Math101

2ème semestre du cycle préparatoire (S2)

Volume horaire : 96h, dont cours: 40, travaux dirigés: 50, travaux pratiques en salle machines: 6.

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
I. Analyse Intégrale double et triple, formule de changement de variable (coordonnées polaires et sphériques seulement) Développements limités : quelques techniques, application aux limites. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, avec second membre.	Ce chapitre est destiné à apporter aux étudiants des outils nécessaires pour les enseignements de physique et de chimie.	Math160
II. Suites numériques Limites, équivalents. Obtention d'équivalents au moyen de développements limités.	C'est l'occasion d'aller un peu plus au fond (epsilon).	Complément IFIPS: 15h. Responsable: Lenoir
III. Algèbre linéaire sur Rⁿ Systèmes linéaires, matrices, indépendance linéaire, sous-espaces vectoriels et affines, bases, équations cartésiennes, applications linéaires, matrices, changement de base, rang.	On n'abordera pas la notion d'espace vectoriel abstrait.	Math160
IV. Initiation à un logiciel de calcul formel	En salle machines.	Complément IFIPS: 6h. Responsable: Pansu ou Raimbault

3ème semestre du cycle préparatoire (S3)

Volume horaire : 96h, dont cours: 40, travaux dirigés: 56.

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
I. Calcul différentiel Equations différentielles. Résolution de quelques équations différentielles non linéaires classiques. Intégrale curviligne, intégrale de surface, formules de Stokes. Fonctions de plusieurs variables : différentielle, changement de variable. Développement limité en plusieurs variables.		Math255
II. Analyse Suites de fonctions. Intégrales généralisées.		Complément IFIPS, 10h. Responsable: Lenoir
III. Algèbre linéaire Déterminant, diagonalisation, systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.		Math255
IV. Arithmétique Divisibilité, nombres premiers entre eux, petit théorème de Fermat, application à la cryptologie à clé publique.		Complément IFIPS, 11h Responsable: Calisiti ou Pansu

4ème semestre du cycle préparatoire (S4)

Volume horaire : 96h, dont cours: 40, travaux dirigés: 50, travaux pratiques en salle machines: 6.

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
I. Analyse Séries numériques et séries de fonctions : séries de fonctions normalement convergentes; propriétés de la somme. Séries entières : exemples de développement de fonctions en série entière; lien avec certaines équations différentielles. Séries de Fourier. Exemples d'équations aux dérivées partielles. Transformée de Fourier.	A illustrer au moyen d'équations de la physique : Schrödinger (séries entières), chaleur, ondes (Fourier). On y reviendra en S6.	Math256
II. Equations différentielles et systèmes dynamiques Exemples d'équations différentielles. Théorèmes d'existence et d'unicité. Systèmes différentiels linéaires. Analyse qualitative des équations différentielles non linéaires. Introduction à la stabilité des systèmes différentiels.	Ce chapitre est conçu comme une introduction à l'étude des systèmes dynamiques. A l'issue du cours, l'étudiant devrait être capable de résoudre les équations différentielles linéaires (au moins en dimension 2), et devrait posséder quelques outils qualitatifs d'étude des équations non linéaires complétés par quelques notions sur la stabilité. Il aura également acquis une petite expérience en calcul formel et pourra développer une intuition géométrique du comportement des équations d'évolution.	Complément IFIPS, 21h, dont 6h en salle machine. Responsable: Raimbault

1er semestre du cycle ingénieur (S5)

Volume horaire : 96h, dont cours: 46, travaux dirigés: 50.

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
I. Analyse 1- Analyse de Fourier Compléments d'intégration. Convolution. Transformation de Fourier au sens des fonctions. 2- Fonctions d'une variable complexe Fonctions holomorphes. Théorie de Cauchy. Méthode des résidus. Transformées de Laplace. 3- Introduction aux distributions Espace des fonctions test et des distributions. Distributions régulières et non régulières. Suites et séries de distributions. Opérations élémentaires sur les distributions.. Dérivée des distributions.	64h, cours: 32, TD: 32 Ce cours vise à donner sur des bases rigoureuses quelques outils d'analyse largement utilisés dans les applications. Il s'agit d'un cours d'introduction se réduisant aux définitions de base et à l'énoncé de quelques résultats importants. Ce cours sera complété par des approfondissements proposés dans les enseignements spécialisés.	Responsables: Raimbault, Keller et Georgelin.
II. Probabilités et statistique Statistique descriptive Probabilités. Distributions de probabilités Principales distributions de probabilités Distributions d'échantillonnage Estimation de paramètres Tests d'hypothèses Ajustement analytique. Régression. Corrélation.	32h, cours: 14, TD: 18	Responsable: Lenoir.

B. Mathématiques dans les spécialités

Tableau récapitulatif

Titre	Spécialités concernées	Semestre	Volume horaire proposé
Outils mathématiques pour le traitement du signal	Electronique et informatique industrielle	S6	42
Compléments et applications des distributions	Electronique et informatique industrielle, matériaux, optronique	S6	30
Applications des fonctions d'une variable complexe	Electronique et informatique industrielle, matériaux, optronique	S6	30
Programmation mathématique	Informatique	S6	38
Modélisation et simulation	Informatique	S6	50
Programmation linéaire	Informatique	S6	38
Programmation en nombre entiers	Informatique	S7	50
Algorithmes d'approximation et complexité	Informatique	S7	30
Théorie des graphes	Informatique	S8	50
Mathématiques pour le graphique	Informatique	S8	15
Programmation stochastique	Informatique	S9	50

Outils mathématiques pour le traitement du signal

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
1-Représentations temporelles, fréquentielles, énergétiques et symboliques d'un signal déterministe 2-Echantillonnage, numérisation et modulation d'un signal 3-Fonction d'une variable aléatoire, fonction de deux variables aléatoires, corrélation et indépendance	48h, cours: 24, TD: 18	Responsable: Benidir Support du cours : M. Benidir, Théorie et traitement du signal Tome 1, Dunod, Paris 2002.

Compléments et applications des distributions

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Distributions à plusieurs variables Produit de convolution des distributions Transformation de Laplace des distributions Transformation de Fourier des distributions Equations de Convolution. Applications en Physique Applications en théorie du signal	30h, cours: 14, TD: 16 Ce cours vise à compléter l'enseignement de S5 sur les distributions. Les distributions à plusieurs variables sont introduites ainsi que les transformées de Fourier et de Laplace des distributions. Les applications sont orientées vers l'utilisation des distributions pour la résolution des équations de la physique (eq. de Laplace, eq. des ondes, eq. de la chaleur..), ainsi que vers le traitement de problèmes en théorie du signal.	Responsable: Raimbault

Applications des fonctions d'une variable complexe

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
I. Transformation de Fourier et analyticité Filtres linéaires Causalité et prolongement de la fonction de transfert dans le plan complexe Relations de Kramers-Krönig Une application à l'optique, les relations de dispersion Les signaux analytiques. II. Transformation de Laplace Application aux systèmes linéaires : Inversion de la transformée de Laplace Stabilité d'un système linéaire Stabilité d'un asservissement. III. Transformations conformes Fonctions harmoniques. Exemples de transformations conformes. Problèmes aux limites.	30h, cours: 14, TD: 16 Ce cours prolonge les notions de base sur les fonctions analytiques dispensées en tronc commun (S5). Ce module est tourné vers les applications et éclaire certains aspects de la théorie des systèmes linéaires tels que causalité, relation de dispersion ou stabilité. On montre également quelques applications concrètes de la transformation. Entre autres sujets, des exemples sont empruntés à l'optique, à l'électromagnétisme et la mécanique des fluides.	Responsables: Keller et Raimbault

Programmation mathématique

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Concepts de base d'analyse convexe Représentation et inégalités : points extrêmes, fonctions et ensembles convexes, inégalités linéaires. Théorie de la différentielle et minimax, méthode des points intérieurs, programmation définie positive.	38h, cours: 16, TD: 16, TP: 6 sur Cplex et SDP	Responsable: Calisti

Modélisation et simulation

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Rappels de probabilités, recherche aléatoire directe, méthodes de Monte Carlo, Méthodes récursives pour systèmes linéaires, filtres de Kalman. Modèles de simulation de Monte Carlo, recuit simulé. Echantillonnage. Algorithmes de Metropolis-Hastings et Gibbs. Processus stochastiques à temps discret : chaînes de Markov Processus stochastiques à temps continu : processus de Poisson Phénomèmes d'attentes à temps continu : Système M/M/1, processus de naissance et de mort, autres systèmes d'attentes ( M/M/s, M/M/oo,M/M/s/s )	50h, cours/TD: 45, TP: 5	Responsables: Calisti et Lenoir

Programmation linéaire

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Simplexe, dualité, variation à l'optimum. PLNE Transports. Affectation. Théorie des jeux.	38h, cours:16, TD: 16, TP: 8 sur Cplex ou Matlab	Responsable: Calisti

Programmation en nombres entiers

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Bornes, optimalité et relaxations. Problèmes d'affectations et de couplages, programmation dynamique. Séparation et évaluation, plans coupants, inégalités valides fortes. Dualité lagrangienne, algorithmes de génération de colonnes et métaheuristiques.	50h, cours: 20, TD: 20, TP: 10 sur Cplex et SDP	Responsable: Calisti

Algorithmes d'approximation et complexité

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Projet en construction	30h	Responsable: Calisti

Théorie des graphes

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Généralités sur les graphes, plus court chemin, arbres et arborescences. Théorie des flots, multiflots, matroïdes. Ensembles stables, cliques et coloration, hypergraphes.	50h, cours: 20, TD: 20, TP: 10 sur Cplex et SDP	Responsable: Calisti

Mathématiques pour le graphique

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Rappels de géométrie vectorielle. Espace affine, transformations linéaires et affines. Projection perspective. Barycentre et enveloppe convexe. Courbes et surfaces paramétrées. Courbes à pôles.	15h, cours: 9, TD: 6	Responsable: Calisti

Programmation stochastique

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Modélisation de l'incertain. Programmation linéaire stochastique à deux niveaux, contraintes probabilistes. Programmation linéaire à deux niveaux avec recours. Programmation en nombres entiers stochastique, approximations et échantillonnage. Applications en finances, en télécommunications.	50h, cours: 20, TD: 20, TP: 10	Responsable: Calisti

C. Modules d'adaptation

Contenu	Commentaire	Commentaire interne*
Nombres complexes Intégrale Séries numériques Intégrale généralisée	24h environ, dont une partie concentrée en début de semestre	Responsable: Lenoir

* à enlever de la version finale