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\title{La meilleure conjecture de Poincaré}
\author{P. Pansu, Université Paris-Sud}
\date{18 septembre 2012}

\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lem]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lem]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lem]{Définition}
\newtheorem{rem}[lem]{Remarque}
\newtheorem{nota}[lem]{Notation}
\newtheorem{ques}[lem]{Question}
\newtheorem{obj}[lem]{Objectif}
\newtheorem{prob}[lem]{Problème}
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\newtheorem{conc}[lem]{Conclusion}
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\newtheorem{exs}[lem]{Exemples}
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\newtheorem{plan}[lem]{Plan de l'exposé}
\newtheorem{preuve}[lem]{Preuve}
\newtheorem{conj}[lem]{Conjecture}

\def\proof{\par\medskip\noindent {\bf Preuve}}
\def\qed{~q.e.d.}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\B{\{-1,1\}}
\def\texorpdfstring#1#2{#1}

\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\textbf{Conjecture} : Enoncé mathématique qu'on pense vrai mais qu'on ne sait pas démontrer.

\medskip

Henri \textbf{Poincaré} :  (1854-1912)
\begin{center}
\includegraphics[width=1.5in]{Poincare.jpg}
\end{center}
Une oeuvre immense : mathématiques, physique, philosophie $\to$ Demain avec Villani.

Aujourd'hui : une question que Poincaré a posée en 1900.

\end{frame}

\begin{frame}

On s'intéresse à la nature de l'espace. Par exemple, celui dans lequel nous vivons.

Pour les anciens grecs, la surface de la Terre est un disque plat. Il y a un bord, occupé par un océan.
\begin{center}
\includegraphics[width=1in]{150px-Hekateaus7m}
\end{center}
Depuis qu'on voyage partout sur la surface de la Terre, on sait qu'il n'y a \textbf{pas de bord} et que la Terre est \textbf{bornée}.

\medskip

En réalité, vue dans son entier, la Terre est une grosse boule, sa surface est une sphère. 

\medskip

La Terre n'est pas exactement ronde. Ce n'est pas le sujet de la conférence d'aujourd'hui. Aujourd'hui, je choisis de me limiter aux propriétés qui subsistent après déformation : un ballon, gonflé ou dégonflé, c'est toujours une sphère. On les appelle propriétés \textbf{topologiques}.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Et si la surface de la Terre n'était pas sphérique ?} % Avant d'aller dans l'espace, on était sûr que
\begin{enumerate}
  \item La surface de la Terre n'a pas de bord.
  \item La surface de la Terre est bornée.
  \item La surface de la Terre a 2 dimensions : à petite échelle, on peut utiliser des cartes géographiques planes.
\end{enumerate}\pause
% Mais était on sûr que la surface de la Terre était une sphère ?

\begin{ques}
Est-ce que ces trois critères caractérisent topologiquement la sphère ?
\end{ques}\pause

Réponse : Non. Le \textbf{tore} (chambre à air) les satisfait aussi.
\begin{center}
\includegraphics[width=1in]{torus}
\end{center}
Il y a d'autres solutions, comme le \textbf{triple tore}.
\begin{center}
\includegraphics[width=1in]{triple_torus}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

Ce qui distingue la sphère du tore : Lorsqu'on découpe la sphère le long d'une courbe fermée sans auto-intersection, on obtient toujours deux morceaux. Ce n'est pas vrai pour le tore.\pause

\begin{defi}
Une surface (objet bidimensionnel) est de genre $0$ si, après découpe le long d'une courbe fermée sans auto-intersection, on obtient toujours deux morceaux. 

Une surface est de genre $n$ si, après découpe le long d'une courbe fermée sans auto-intersection, lorsqu'il n'y a qu'un morceau, celui-ci est de genre $n-1$.
\end{defi}\pause

Les surfaces de genre 0 sont la sphère et les sphères à trous.
\begin{center}
\includegraphics[width=1.5in]{sphere-a-trous}
\end{center}

Le tore est de genre $1$, le triple tore de genre $3$.
\begin{center}
\includegraphics[width=1in]{torus}\hskip1cm\includegraphics[width=1.3in]{triple_torus}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}

\vtop{\hsize=5cm On s'intéresse aussi aux surfaces bornées qui ont des bords.}\hfill\includegraphics[width=1in]{Tshirt1}

\vtop{\hsize=5cm Un T-shirt possède 4 bords. En bouchant les 4 bords, on obtient une sphère. On pense à un T-shirt comme à une \textbf{sphère à 4 trous}.}

\hfill\includegraphics[width=2in]{Tshirt-sphere}
\pause

\vtop{\hsize=5cm On peut coudre ensemble deux T-shirts le long d'une manche.}

\hfill\includegraphics[width=1.5in]{Tshirt2}

On obtient une sphère à 6 trous.
\end{frame}

\begin{frame}

\hbox{\vbox{\hsize=5cm \begin{center}
\includegraphics[width=0.5in]{Tshirt-manches}\break
1. On peut coudre ensemble les manches. \break
On obtient un tore à deux trous.
\end{center}}
\hfill 
\vbox{\hsize=5cm \begin{center}
\includegraphics[width=0.6in]{Tshirt-manches-col}\break
2. Puis coudre le col à la ceinture. \break
On obtient un \textbf{double tore}.
\end{center}}}
\pause

\hbox{\vbox{\hsize=5cm \begin{center}
\includegraphics[width=0.5in]{Tshirt-manches-Mobius}\break 
3. Une autre façon de coudre ensemble les manches.
\end{center}}
\hfill
\vbox{\hsize=5cm \begin{center}
\includegraphics[width=0.6in]{Klein}\break
4. Si on bouche les deux trous, on obtient une \textbf{bouteille de Klein}).
\end{center}
}}
\pause


\hbox{\vbox{\hsize=5cm \begin{center}
\includegraphics[width=1in]{non-orientable}\break
La surface 3 n'est pas \textbf{orientable}. On n'arrive pas à placer en chaque point \end{center}}
\hfill
\vbox{\hsize=5cm \begin{center}
\includegraphics[width=0.6in]{Acme_klein_bottle}\break
un vecteur normal.
Idem pour la bouteille de Klein.
\end{center}
}}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics[width=2in]{orientable}\hfill
\includegraphics[width=2in]{non-orientable}

Une surface orientable (le tore), une surface non orientable
\end{center}\pause

\begin{thm}[Fin du XIXème siècle]
Pour tous entiers naturels $g$ et $b$, il y a une unique surface bornée orientable de genre $g$ à $b$ bords. Elle est obtenue en faisant $b$ trous dans le $b$-uple tore si $g\geq 1$. C'est une sphère à $b$ trous si $g=0$.
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}

% On peut s'élever dans les airs ou plonger dans l'eau. Le monde où nous vivons n'est pas bi-dimensionnel, mais tri-dimensionnel.

En 1900, Henri Poincaré s'interroge sur la nature des espaces bornés tri-dimensionnels. Le plus simple d'entre eux est la \textbf{3-sphère}.

\medskip

De même qu'une 2-sphère s'obtient en cousant ensemble deux disques, 
\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{bidisque}
\end{center}
la 3-sphère s'obtient en cousant ensemble deux boules.

\begin{center}
\includegraphics[width=2in]{aquarium}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

Pour Poincaré, la notion de genre 0, en 3 dimensions, devient : toute courbe fermée borde une surface.

\begin{ques}[Poincaré 1900]
Un espace tri-dimensionnel borné, sans bord, dans lequel toute courbe fermée borde une surface, est il automatiquement une 3-sphère ?
\end{ques}\pause

Il rectifie le tir en 1904 : il trouve un \textbf{contre-exemple} et comprend qu'il faut faire une hypothèse plus forte. % I.e. un espace tri-dimensionnel borné, dans lequel toute courbe fermée borde une surface, qui n'est pas une 3-sphère. 

%\medskip

%Entre temps, il a compris l'importance d'une autre notion, appelée aujourd'hui \textbf{simple connexité}.

\begin{defi}
Un espace est \emph{simplement connexe} si toute courbe fermée peut-être déformée jusqu'à devenir minuscule.
\end{defi}

La 2-sphère et la 3-sphère sont simplement connexes, le tore ne l'est pas.\pause

\begin{conj}[Poincaré 1904]
Un espace tri-dimensionnel borné, sans bord et simplement connexe est il automatiquement une 3-sphère ?
\end{conj}\pause

Les travaux sur cette question ont contribué énergiquement à faire progresser la topologie.

\end{frame}

\begin{frame}
On peut se poser la même question en toute dimension.
En 1961, John Stallings et Steve Smale prouvent indépendamment la généralisation de la conjecture en toutes dimensions $\geq 5$.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6in]{Stallings}\hskip1cm \includegraphics[width=0.7in]{Smale}
\end{center}
Steve Smale obtient la médaille Fields pour ces travaux en 1966.\pause

\medskip

C'est en 3 dimensions que le problème semble le plus ardu. On dénombre (au moins) 23 tentatives infructueuses publiées.

Des mathématiciens comme Christos Dimitriou Papakyriakopoulos, R. H. Bing et, plus récemment, Valentin Poenaru, vont consacrer leur vie à ce problème, sans succès.
\begin{center}
\includegraphics[width=.6in]{Papa}\hskip1cm \includegraphics[width=.6in]{Bing}\hskip1cm \includegraphics[width=1in]{Poenaru}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}
En s'appuyant sur des idées de William Thurston et Richard Hamilton, 
\begin{center}
\includegraphics[width=.6in]{Thurston}\hskip1cm \includegraphics[width=.9in]{Hamilton}
\end{center}
la mathématicien russe Grigori Perelman
\begin{center}
\includegraphics[width=1.5in]{Perelman}
\end{center}
 résoud le problème en 2003.\pause

Il rend publique sa solution sur internet. Il faut 7 ans pour que la démonstration soit vérifiée dans tous ses détails.

Perelman refuse la médaille Fields en 2006, puis, en 2010, il refuse un prix de un million de dollars offert par un mécène américain.
\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Les 7 problèmes mis à prix par la Clay Foundation en 2000}

    \begin{enumerate}
  \item P versus NP problem
 \item Hodge conjecture
 \item \textcolor{red}{Poincaré conjecture}
 \item Riemann hypothesis
 \item Yang-Mills existence and mass gap
 \item Navier-Stokes existence and smoothness
 \item Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
\end{enumerate}

\medskip

De tous ces problèmes, seule la conjecture de Poincaré est résolue à ce jour.\pause

\medskip

Au travail !
\end{frame}


\end{document}
