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\title{Cohomologie $L^p$, espaces homog{\`e}nes et pincement
\footnote{Mots cl{\'e} : Cohomologie $L^{p}$, courbure n{\'e}gative, espace
homog{\`e}ne, espace de Besov. Keywords : $L^{p}$-cohomology, negative curvature, homogeneous space, Besov space.
Mathematics Subject Classification :
43A15, %$L^{p}$ and other function spaces on groups
43A80, %Analysis on non compact Lie groups
46E35, %Sobolev spaces and other spaces of smooth functions
53C20, %Global Riemannian geometry, including pinching
53C30, %Homogeneous manifolds
58A14. %Hodge theory
}}
\author{P. Pansu}
\date{4 juillet 1999}

\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{D{\'e}finition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\def\preuve{\par\medskip\noindent {\bf Preuve.}{\hskip1em}}
\def\remarque{\par\medskip\noindent {\bf Remarque.}{\hskip1em}}
\def\exemple{\par\medskip\noindent {\bf Exemple.}{\hskip1em}}
\def\stheo{\par\medskip\noindent {\bf Th{\'e}or{\`e}me}}
\def\qed{~q.e.d.}

\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\ltimes#1{\times_{\alpha}}
\def\n#1{{\parallel #1 \parallel}}
\def\l{\lambda}
\def\la#1{\lambda_{#1}}
\def\r#1{r_{#1}}
\def\L{\Lambda}
\def\N{{\cal N}}
\def\H{{\cal H}}
\def\G{{\cal G}}
\def\A{{\cal A}}
\def\P{{\cal P}}
\def\e{\epsilon}
\def\sp{{\rm sp}\,}
\def\dim{{\rm dim}\,}
\def\ker{{\rm ker}\,}
\def\im{{\rm im}\,}
\def\tr{{\rm tr}\,}
\def\ima{{\rm image}\,}
\def\ddt{{{\partial}\over{\partial t}}}
\def\con{\hbox{const.}}
\def\d{\displaystyle}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\def\op#1{\Omega^{#1,p}}
\def\opr#1{\Omega^{#1,p'}}
\def\hp#1{H^{#1,p}}
\def\hop#1{H_{o}^{#1,p}}
\def\tp#1{T^{#1,p}}
\def\top#1{T_{o}^{#1,p}}
\def\rp#1{R^{#1,p}}
\def\ehp#1{EH^{#1,p}}
\def\etp#1{ET^{#1,p}}
\def\erp#1{ER^{#1,p}}
\def\bp#1{{\cal B}^{#1,p}}
\def\p#1#2{{\bf p}_{#1}^{#2}}
\def\lp{_{L^{p}}}
\def\et{\quad\hbox{et}\quad}
\def\si{\quad\hbox{si}\quad}
\def\sinon{\quad\hbox{sinon}}
\def\ali{\medskip}
\def\opp#1{\Gamma(\L^{#1}_{+(p)})}
\def\opm#1{\Gamma(\L^{#1}_{-(p)})}
\def\dplus{d_{+}}
\def\dmoins{d_{-}}
\def\dzero{d_{0}}

\begin{document}
\maketitle
\begin{quote}
{\small
RESUME. On calcule, dans certains cas, la cohomologie $L^p$ des espaces
homog{\`e}nes riemanniens. Notamment, on montre qu'en degr{\'e} $1$ la
cohomologie r{\'e}duite est non nulle si et seulement si l'espace est
quasiisom{\'e}trique {\`a} un espace homog{\`e}ne {\`a} courbure sectionnelle
strictement n{\'e}gative. On donne un crit{\`e}re optimal d'annulation de
la torsion pour les vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes {\`a} courbure sectionnelle
n{\'e}gative pinc{\'e}e.

ABSTRACT. The $L^p$-cohomology of Riemannian homogeneous spaces is computed
in a number of cases. It turns out that reduced $L^p$-cohomology in degree
one does not vanish if and only if the space is quasiisometric to a
negatively curved homogeneous space. A sharp vanishing theorem for
Riemannian manifolds with pinched negative curvature is given.}
\end{quote}




\section{Introduction}




\subsection{Motivation : un probl\`eme de pincement}

D'un th\'eor\`eme de M. Berger et W. Klingenberg, 
\cite{Berger}, il r\'esulte que si $V$ est un espace
sym\'etrique de rang un de type compact \`a courbure non
constante (i.e. un espace projectif complexe $\C P^{m}$, $m\geq 2$, un espace projectif quaternionien ${\bf H} P^{m}$, $m\geq 2$, ou le plan projectif des octaves de Cayley ${\bf Ca}P^{2}$), $V$ n'admet pas de m\'etrique \`a courbure
comprise entre $\delta$ et $1$ si $\delta>\inv4$. 

\bigskip

On se pose un probl{\`e}me analogue en courbure n{\'e}gative. Si $\delta<0$, on dit qu'une variété riemannienne est {\em $\delta$-pinc\'ee} s'il existe $a>0$ tel que sa courbure soit comprise entre $-a$ et $\delta a$. 

Par exemple, l'espace hyperbolique réel est $-1$-pincé. Les espaces
sym\'etriques de rang un de type non compact \`a courbure non
constante sont $-\inv4$-pinc{\'e}s. Il s'agit des espaces hyperboliques complexes $\C H^{m}$, $m\geq 2$, des espaces hyperboliques quaternioniens ${\bf H} H^{m}$, $m\geq 2$, et du plan hyperbolique des octaves de Cayley ${\bf Ca}H^{2}$.

\bigskip

Le problème du pincement optimal consiste à déterminer quel est le meilleur pincement possible pour une métrique sur une variété donnée. Pour les variétés simplement connexes (et donc difféomorphes à l'espace hyperbolique réel), il convient de se restreindre {\`a} des m{\'e}triques comparables {\`a} une m{\'e}trique de référence, par exemple, qui lui sont quasiisom{\'e}triques. On rappelle que deux vari\'et\'es riemanniennes $M$ et $N$ sont dites {\sl quasi\-i\-so\-m\'e\-tri\-ques} s'il existe une application $f:M\to N$ et des constantes $C$ et $L$ telles que l'image de $f$ soit $C$-dense dans $N$ et pour tous points $x$, $y\in M$, 
$$
-C+\inv{L}\leq d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)+C.
$$

\bigskip

{\bf Question}. {\em Soit $M$ une variété riemannienne $\delta$-pinc\'ee. Existe-t'il une vari\'et\'e riemannienne $N$ quasiisom\'etrique \`a $M$ et $\delta'$-pinc\'ee avec $\delta'<\delta$ ?}

\bigskip



Dans cet article, on détermine le pincement optimal pour des familles
d'espaces homog\`enes riemanniens. Voici un exemple. Soit $G_{2,4,-\inv4}$ le produit
semi-direct de $\R^3$ par $\R$ d\'efini par le groupe \`a un
param\`etre d'automorphismes de $\R^3$ engendr\'e par la
matrice  
$$\pmatrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 2}.$$ 
La m\'etrique riemannienne qui en
coordonn\'ees exponentielles $t$ (sur le facteur $\R$), $x$,
$y$ et $z$ (sur le facteur $\R^3$) s'\'ecrit
$$
ds^{2}=dt^{2}+e^{2t}(dx^{2}+dy^{2})+e^{4t}dz^{2}
$$
est invariante \`a gauche. On v\'erifie ais\'ement (voir par
exemple \cite{Heintze}) que cette m\'etrique est
$-\inv4$-pinc\'ee.

\begin{theo}
\label{1/4}
Soit $\delta<-\inv4$. Aucune vari\'et\'e riemannienne
$\delta$-pinc\'ee n'est quasiisom\'etrique \`a $G_{2,4,-\inv4}$.
\end{theo}

La preuve utilise la {\sl torsion en cohomologie $L^p$}.
C'est un espace vectoriel, not\'e $\tp2(M)$, d\'efini pour $p\geq
1$. Pour une vari\'et\'e simplement connexe \`a courbure
n\'egative, le nombre 
$$
T(M)=\inf\{p>1~;~\tp2(M)\not=0\}
$$
est un invariant de quasiisom\'etrie. Un th\'eor\`eme de
comparaison (th\'e\-o\-r\`e\-me A) entra\^{\i}ne que si $\dim M=4$ et si
$M$ est $\delta$-pinc\'ee, alors $\d T(M)\geq
1+2\sqrt{-\delta}$. Un calcul direct (th\'eor\`eme B) montre
que pour le produit semi-direct $G_{2,4,-\inv4}$, la
torsion $\tp2$ est non nulle pour $2<p<4$, d'o\`u $$
T(G_{2,4,-\inv4})=2.
$$
La minoration du pincement s'en d\'eduit imm\'ediatement.

\subsection{Un problème ouvert}

A ma connaissance, le problème du pincement optimal pour les espaces symétriques $-\inv4$-pincés est toujours ouvert. Pourtant, le plan hyperbolique complexe $\C H^2$ est infiniment voisin de $G_{2,4,-\inv4}$. Il peut-\^etre vu comme
un groupe de Lie r\'esoluble muni d'une m\'etrique
invariante \`a gauche. Ce groupe est le produit
semi-direct du groupe de Heisenberg $Heis$ par $\R$
engendr\'e par la d\'erivation de matrice 
$\d\pmatrix{1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 2}.$ 
Toutefois 
$$
T(\C H^{2})=4,
$$
si bien que le th\'eor\`eme de comparaison ne donne pas de
borne optimale pour le pincement des vari\'et\'es riemanniennes $N$
quasiisom\'etriques au plan hyperbolique complexe.

\ali

Le probl{\`e}me restreint o{\`u} l'on suppose que la variété inconnue $N$ rev\^et une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compacte a {\'e}t{\'e} r{\'e}solu par M. Ville \cite{Ville} en dimension $4$, par L. Hern{\'a}ndez
\cite{Hernandez}, S.T. Yau et F. Zheng, \cite{YZ} pour les espaces hyperboliques complexes, par N. Mok, Y.T. Siu et S.K. Yeung \cite{MSY}, J. Jost et S.T. Yau \cite{JY} pour les autres espaces symétriques de rang 1. Mais {\`a} ma connaissance, la question g{\'e}n{\'e}rale est toujours ouverte.

\ali

Il y a donc une limitation essentielle dans la m\'ethode.
N\'eanmoins, la cohomologie $L^{p}$ pr\'esente un int\'er\^et en elle-m\^eme. Cet article contient un outil de calcul de la cohomologie $L^{p}$ des espaces homog{\`e}nes riemanniens, qui donne une r{\'e}ponse assez compl{\`e}te en degr{\'e} 1 (th\'eor\`eme H) et en degr{\'e}s sup{\'e}rieurs des exemples (th\'eor\`emes C \`a G) qui illustrent plusieurs probl{\`e}mes classiques.

\subsection{Cohomologie $L^{p}$}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne. Soit $p>1$ un r{\'e}el. On note
$L^{p}\Omega^{*}(M)$
l'espace de Banach des formes diff{\'e}rentielles $L^p$ et
$\Omega^{*,p}(M)=L^{p}\cap
d^{-1}L^{p}$ l'espace des formes diff{\'e}rentielles
$L^p$ dont la diff{\'e}rentielle ext{\'e}rieure est aussi $L^p$. La cohomologie
du complexe
$(\Omega^{*,p}(M),d)$ s'appelle la {\em cohomologie} $L^p$ de $M$. Elle est
int{\'e}ressante surtout si $M$ est non compacte. 

\ali

Par d\'efinition, la cohomologie $L^p$ est invariante par
diff\'eomorphisme bilipschitzien. Dans la classe des
vari\'et\'es simplement connexes \`a courbure n\'egative ou nulle,
c'est un invariant de quasiisom\'etrie (cf. \cite{Gromovasympt}). 

En toute g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}, la cohomologie $L^p$ se d{\'e}compose en
cohomologie r{\'e}duite et torsion
$$ 
0\to \tp{*}\to\hp{*}\to\rp{*}\to 0
$$
o{\`u} la {\em cohomologie r{\'e}duite} est $\rp{*}=\ker d/\overline{\im d}$ et
la {\em torsion} est $\tp{*}=\overline{\im d}/\im d$. La cohomologie
r{\'e}duite (parfois notée $\overline{H}^{k}_{(p)}$) est un espace de Banach sur lequel les isom{\'e}tries de $M$
agissent isom{\'e}triquement. La torsion est non s{\'e}par{\'e}e.

Par exemple, la cohomologie $L^p$ de la droite r\'eelle est
enti\`erement de torsion. La cohomologie $L^p$ du plan
hyperbolique est enti\`erement r\'eduite. N\'eanmoins,
cohomologie r\'eduite et torsion coexistent souvent (voir
th\'eor\`eme F).


\subsection{Pincement de la courbure}
En degr{\'e}s $k>1$, la cohomologie
$L^p$ est li{\'e}e de fa\c con optimale au pincement de la courbure.

\begin{stheo} {\bf A.~}{\em
Soient $\delta\in]-1,0[$ un r{\'e}el, $n$ 
et $k=2,\ldots,n$ des entiers. Notons $\d{\bf
q}(n,\delta,k)=1+{{n-k-1}\over{k}}\sqrt{-\delta}$. 

Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te de dimension $n$,
simplement connexe, dont la
courbure sectionnelle $K$ satisfait $-1\leq K\leq\delta$. 
Alors
$$
\hp{k}(M)=0\quad\hbox{pour}\quad 1<p\leq {\bf q}(n,\delta,k)
$$
et
$$
\tp{k}(M)=0, \quad\hbox{i.e.}\quad \hp{k}(M)\quad\hbox{est s{\'e}par{\'e} pour}\quad
1<p<{\bf q}(n,\delta,k-1).
$$}
\end{stheo}

\ali
Ce r{\'e}sultat, annonc{\'e} dans \cite{P'}, compl\`ete celui de H. Donnelly et F. Xavier,
\cite{Donnelly-Xavier}, concernant l'annulation de la
cohomologie $L^2$ r\'eduite. La condition d'annulation de la torsion est optimale. D'abord, pour l'espace hyperbolique
($\delta=-1$) en tout degr{\'e}, voir en \ref{reeltorsion}. Mais il y a d'autres
exemples. Soient $n$ et $\mu$ des entiers tels que
$2\leq\mu\leq n-1$ et $\delta\in]-1,0[$. Soit
$G_{\mu,n,\delta}$ le produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u}
$\alpha$ est une matrice diagonale avec seulement deux valeurs propres
distinctes $1$ et
$\sqrt{-\delta}<1$ de multiplicit{\'e}s $\mu-1$ et $n-\mu$. Alors le
groupe de Lie
$G_{\mu,n,\delta}$ poss{\`e}de une m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a} gauche
$\delta$-pinc{\'e}e.

\begin{stheo} {\bf B.~}{\em
Soient $\delta\in]-1,0[$ un r{\'e}el, $n$ 
et $k=2,\ldots,n$ des entiers.
Si 
$$
{\bf
q}(n,\delta,k-1)<p<1+{{1+(n-1-k)\sqrt{-\delta}}\over{k-2+\sqrt{-\delta}}},
$$
alors
$\tp{k}(G_{k,n,\delta})\not=0$, i.e. $\hp{k}(G_{k,n,\delta})$ n'est
pas s{\'e}par{\'e}.

Par cons{\'e}quent, pour tout $\mu=2,\cdots,n-1$,
$G_{\mu,n,\delta}$ n'est pas quasiisom{\'e}trique {\`a} une
vari{\'e}t{\'e} $\delta'$-pinc{\'e}e avec $\delta'<\delta$.}
\end{stheo}

\subsection{Cas des espaces sym{\'e}triques de rang un}

Les espaces sym{\'e}triques de rang $1$ de type non compact {\`a} courbure non
constante sont
$-1/4$-pinc{\'e}s. Alors que ce sont de bons candidats pour tester
l'optimalit{\'e} du
th{\'e}or{\`e}me A, (la preuve ne comporte aucune perte quand on l'applique {\`a}
ces espaces pour les valeurs ad{\'e}quates de $k$), le calcul r{\'e}v{\`e}le que
leur cohomologie $L^p$ reste s{\'e}par{\'e}e au-del{\`a} des
intervalles donn{\'e}s par le th{\'e}or{\`e}me A. Cela r{\'e}sulte de la non
commutativit{\'e} de leur unipotent maximal.

\begin{stheo} {\bf C.~}{\em
Soit $M$ un espace sym{\'e}trique de rang un {\`a} courbure non constante, vu
comme produit semi-direct $\R\ltimes{\alpha}N$.
Etant donn{\'e} $k\leq n-1$, notons ${\rm suiv}\,\sigma(k)$
le second {\'e}l{\'e}ment (dans l'ordre croissant) de l'ensemble $\sigma(k)$
des valeurs propres de $\L^{k}\alpha$. Si $\tr\alpha/p <{\rm
suiv}\,\sigma(k-1)$, alors $\tp{k}(M)=0$ sauf peut-{\^e}tre pour
$\tr\alpha/p=\min\sigma(k-1)$.}

En particulier, si $M$ est un espace hyperbolique complexe, $\hp{k}(M)$
est s{\'e}par{\'e} sauf pour au plus deux valeurs de $p$ en chaque degr{\'e}.
\end{stheo}


\subsection{Torsion en degr{\'e} $k\geq 2$}
Les th{\'e}or{\`e}mes A, B et D semblent indiquer que la cohomologie $L^{p}$ est
souvent 
s{\'e}par{\'e}e. Ce n'est sans doute pas vrai en g{\'e}n{\'e}ral.
Dans la famille des produits semi directs de $\R^{n-1}$ par $\R$, la
torsion est tr{\`e}s largement pr{\'e}sente. 

\begin{stheo} {\bf D.~}{\em
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ un produit semi-direct tel que
$\tr\alpha\not=0$. Etant donn{\'e} $k\leq n-1$, notons $\sigma(k)$ l'ensemble
(fini) des parties r{\'e}elles des valeurs propres de $\L^{k}\alpha$. Soit
$p>1$ un r{\'e}el tel que $\tr\alpha/p\notin
\sigma(k-2)\cup\sigma(k-1)$. Alors $\tp{k}(G)\not=0$ si et seulement si 
$\tr\alpha/p\in[\min\sigma(k-1),\max\sigma(k-1)]$.}
\end{stheo}

Par exemple, si les parties r{\'e}elles $\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ des
valeurs propres de $\alpha$ satisfont
$\l_{1}+\cdots+\l_{n-2}<0<\l_{1}+\cdots+\l_{n-1}$, alors $\tp{k}(G)\not=0$
pour tout $p>1$ et tout $k=2,\ldots,n-1$.

A l'inverse, si les $\l_{i}$ sont toutes de m{\^e}me signe, il existe pour
tout $k=2,\ldots,n-1$ des intervalles de valeurs de $p$ pour lesquelles
la cohomologie $L^{p}$ est s{\'e}par{\'e}e, ce qui fournit de nouveaux invariants
num{\'e}riques de quasiisom{\'e}trie. Ces invariants suffisent {\`a} s{\'e}parer
certains espaces homog{\`e}nes {\`a} courbure n{\'e}gative.

\begin{cor}
\label{qi}
Consid{\'e}rons la famille de groupes de Lie r{\'e}\-so\-lu\-bles ob\-te\-nus comme
produits semi-directs de $\R^{n-1}$ par $\R$ au moyen d'une matrice
diagonale de valeurs propres strictement positives. Deux groupes dans
cette famille ont m{\^e}me cohomologie $L^{p}$ si et seulement si ils sont
isomorphes. En particulier, ils sont
quasiisom{\'e}triques si et seulement si ils sont isomorphes.
\end{cor}


\subsection{Cohomologie r{\'e}duite en degr{\'e} $k\geq 2$}
Le calcul de la cohomologie r{\'e}duite $\rp{k}$ semble plus
dif\-fi\-ci\-le. N{\'e}\-an\-moins, voici quelques observations et exemples.

\begin{stheo} {\bf E.~}{\em
\label{rr}
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien contractile de dimension
$n$. Alors la cohomologie r{\'e}duite 
$\rp{0}(M) = 0$ et $\rp{n}(M) = 0$. De plus, $\rp{1}(M)$ et $\rp{n-1}(M)$ sont nuls
pour tout $p\leq n-1$.

Inversement, pour tout $n\geq 4$, tout $k=2,\ldots,n-2$ et tout $p>1$ il
existe un espace homog{\`e}ne riemannien contractile $M$ de dimension $n$
tel que $\rp{k}(M)\not=0$. Pour tout $n\geq 2$ et tout $p>n-1$ il
existe un espace homog{\`e}ne riemannien contractile $M$ de dimension $n$
tel que $\rp{1}(M)\not=0$ et $\rp{n-1}(M)\not=0$.}
\end{stheo}

\begin{stheo} {\bf F.~}{\em
\label{rt}
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien contractile de dimension $n$. Alors
en degr{\'e}s $0$, $1$, $n-1$ et $n$, la cohomologie r{\'e}duite et la
torsion ne peuvent pas {\^e}tre simultan{\'e}ment non nulles.

Inversement, pour tout $n\geq 4$, tout $k=2,\ldots,n-2$ et tout $\d p>{{n-2}\over{k-1}}$ il
existe un espace homog{\`e}ne riemannien contractile $M$ de dimension $n$
tel que $\rp{k}(M)\not=0$ et $\tp{k}(M)\not=0$ simultan{\'e}ment.}
\end{stheo}

\ali

Enfin, J. Dodziuk et I. Singer ont conjectur{\'e} que pour toute vari{\'e}t{\'e}
simplement connexe {\`a} courbure n{\'e}gative poss{\'e}dant poss{\'e}dant un groupe
{\em discret} cocompact d'isom{\'e}tries, il n'existe de formes harmoniques
$L^{2}$ qu'en un seul degr{\'e}, voir \cite{Singer} et \cite{Anderson}. Ce
n'est pas vrai si on ne suppose pas le 
groupe discret.

\begin{stheo} {\bf G.~}{\em
\label{2}
Pour tout $n\geq 6$, il existe un espace homog{\`e}ne simplement connexe $M$ {\`a}
courbure n{\'e}gative de
dimension $n$ tel que $R^{k,2}(M)\not=0$ simultan{\'e}ment pour tous les $k$
compris entre $3$ et $n-3$. }
\end{stheo}


\subsection{Cohomologie en degr{\'e} $1$ des espaces homog{\`e}nes}
On sait d{\'e}cider pour quelles valeurs de
$p>1$ l'espace $\hp{1}$ est nul ou non.

\begin{stheo} {\bf H.~}{\em
\label{degre1}
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien non compact. Alors la cohomologie $L^p$
en degr{\'e}
$1$ de $M$ est nulle, sauf si $M$ est ferm{\'e} {\`a} l'infini ou {\`a} courbure
n{\'e}gative. Plus pr{\'e}cis{\'e}ment,
\begin{enumerate}
\item ou bien le groupe d'isom{\'e}trie de $M$ est une extension compacte d'un
groupe de Lie r{\'e}soluble unimodulaire. Dans ce cas, pour tout $p>1$,
$\tp1(M)\not=0$.
\item ou bien $M$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} un espace homog{\`e}ne {\`a}
courbure sectionnelle strictement n{\'e}gative. Dans ce cas, $\tp1(M)=0$ pour
tout $p\geq 1$. De plus, il existe un nombre ${\bf p}(M)\geq 1$ tel que
$\hp1(M)=0$ si $p\leq {\bf p}(M)$ et $\rp1(M)\not=0$ si $p>{\bf p}(M)$.
\item sinon, $\hp1(M)=0$ pour tout $p>1$.
\end{enumerate}}
\end{stheo}

Pour un espace homog\`ene \`a courbure n\'egative, le nombre ${\bf p}(M)$ peut s'interpr\'eter comme la dimension de Hausdorff du bord \`a l'infini, voir \cite{Pdim}. Il vaut au moins $2$, sauf pour le plan hyperbolique.

\begin{cor}
\label{car2}
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien non compact.
Si $M$ poss{\`e}de des fonctions harmoniques non constantes dont le gradient
est $L^2$, il est quasiisom{\'e}trique au
plan hyperbolique.
\end{cor}


\subsection{Questions}

Voici quelques questions qui se d{\'e}gagent des exemples {\'e}tudi{\'e}s.
\begin{enumerate}
\item {\em Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien. Montrer que pour tout
$p>1$ il existe un degr{\'e} $k=1,\cdots,\dim M$ tel que $\hp{k}(M)\not=0$.}
Pour $p=2$, le r{\'e}sultat est connu et d{\^u} {\`a} J. Lott, \cite{Lott}. On trouvera un
r{\'e}sultat partiel dans cette direction en \ref{tpkw}.
\item {\em Soit $M$ un espace sym{\'e}trique de rang $r$. Montrer que pour
$k\leq r-1$, $\hp{k}(M)=0$ et $\hp{r}(M)$ est s{\'e}par{\'e} pour tout $p>1$.}
Pour $p=2$, c'est un théorème d'A. Borel \cite{Borel}, et résulte aussi, dans de nombreux cas, d'une formule due à Y. Matsushima \cite{Matsushima}.
\item {\em Soit $G$ un groupe de Lie r{\'e}soluble unimodulaire connexe et
simplement connexe. Montrer que la cohomologie r{\'e}duite $\rp{k}(G)$ est nulle et que la torsion $\tp{k}(G)$ est non nulle en
tout degr{\'e} et pour tout $p>1$.} C'est connu pour les groupes ab{\'e}liens
(voir en \ref{rn}), pour certains groupes nilpotents (voir en
\ref{tornilp}). Pour le groupe SOL,
V. Goldshtein et M. Troyanov ont montré que $\tp2\not=0$, \cite{GT}.
\item {\em Semi-continu{\"\i}t{\'e}. Soit $M_{j}$ une suite d'espaces
homog{\`e}nes riemanniens qui converge vers $M$. Si pour tout $j$,
$\hp{k}(M_{j})\not=0$, est-ce que $\hp{k}(M)\not=0$ ?}
\item {\em Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie
born{\'e}e. L'ensemble des $p$ tels que $\rp{k}(M)\not=0$ est-il ouvert ?
L'ensemble des $p$ tels que $\tp{k}(M)\not=0$ est-il ferm{\'e} ?} On trouve
des r{\'e}sultats dans cette direction dans \cite{CL}.
\item {\em Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie
born{\'e}e. Alors $M$ admet des fonctions harmoniques non constantes {\`a}
gradient $L^{p}$ si et seulement si $\rp1(M)\not=0$.} C'est trivialement
vrai si $p=2$. Un th{\'e}or{\`e}me de
N. Lohou{\'e} affirme que c'est vrai si $M$ est ouverte {\`a} l'infini, \cite{Lohoueharmonique}.
\end{enumerate}

\subsection{M{\'e}thode}
Les preuves combinent des principes g{\'e}n{\'e}raux (l'invariance par
quasiisom{\'e}trie, qui permet de se ramener au cas 
des groupes de Lie r{\'e}solubles, le lien entre $\tp1$ et
l'in{\'e}galit{\'e} isop{\'e}rim{\'e}trique) avec
un avatar de la formule de K{\"u}nneth.

Celle-ci ram{\`e}ne le calcul de la cohomologie $L^{p}$ d'un produit
semi-direct $\R\times H$ au calcul de la cohomologie d'un complexe
$\bp{*}$ de formes diff{\'e}rentielles sur $H$. L'espace $\bp{*}$ est
constitu{\'e} de formes diff{\'e}rentielles dont certaines composantes s'annulent
et les autres appartiennent {\`a} des sortes d'espaces de Besov
anisotropes. Par exemple, l'espace hyperbolique r{\'e}el ({\`a} courbure
constante) s'{\'e}crit $\R\times \R^{n-1}$ et $\bp{k}$ est {\`a} peu de choses
pr{\`e}s l'espace des
$k$-formes diff{\'e}rentielles ferm{\'e}es sur $\R^{n-1}$ {\`a} coefficients dans
l'espace de Besov $\d B_{p,p}^{-k+({{n-1}\over{p}})}$, voir paragraphe
\ref{hyperbreel}. Autrement dit, la question de 
savoir si la cohomologie $L^{p}$ est s{\'e}par{\'e}e ou m{\^e}me nulle m{\^e}le analyse
et alg{\`e}bre. 

Lorsque $p=2$, la torsion est li{\'e}e {\`a} la pr{\'e}sence de spectre
proche de $0$ pour le laplacien (voir en \ref{tolaplacien}). Le calcul de la
torsion pour des produits tordus s'apparente {\`a} l'{\'e}tude des
petites valeurs propres du laplacien sur les formes dans la limite
adiabatique, voir par exemple \cite{MazzeoMelrose} ou \cite{Forman}, o{\`u}
les consid{\'e}rations alg{\'e}briques jouent un grand r{\^o}le. La nouveaut{\'e} tient
dans le fait que les poids (la ``taille'' des fibres) tendent simultan{\'e}ment
vers l'infini et vers $0$ suivant les directions (m{\'e}lange de limite
adiabatique et antiadiabatique). C'est le caract{\`e}re antiadiabatique qui
produit les espaces de Besov.

La preuve du théorème de Künneth est inspirée des travaux de A.N. Livsic \cite{liv} sur la cohomologie des systèmes dynamiques.


\subsection{Plan de l'article}
La section \ref{ku} explique le m{\'e}canisme de la formule de K{\"u}nneth. Celle-ci
ne fonctionne pas pour certaines valeurs de $p$ baptis{\'e}es {\em exposants
critiques}, et calcul{\'e}s dans des exemples en section \ref{critique}. La
formule de K{\"u}nneth est {\'e}nonc{\'e}e en \ref{fkg}, modulo un point technique
{\'e}tabli en \ref{compos}. Les sections \ref{1}, \ref{res} et \ref{ex}
contiennent des exemples et des
r{\'e}sultats sur les espaces $\bp{k}$. En \ref{annul}, on en tire deux
crit{\`e}res d'annulation de cohomologie, et en \ref{tor} un crit{\`e}re
d'annulation de la torsion. La preuve du th{\'e}or{\`e}me H se trouve en section
\ref{1formes}. En \ref{ferm}, on montre que la cohomologie $L^{p}$
de l'espace euclidien n'est jamais nulle, de m{\^e}me que celle de certains
groupes nilpotents. 
La dualit{\'e} de Poincar{\'e}, {\'e}nonc{\'e}e en
\ref{poin}, est exploit{\'e}e en \ref{non} pour obtenir des exemples
d'espaces homog{\`e}nes ouverts {\`a} l'infini o{\`u} la
cohomologie ne s'annule pas. La section 15 d{\'e}taille les quelques exemples
(espace hyperbolique r{\'e}el, groupes de Lie de dimension $3$, plan
hyperbolique complexe) pour lesquels la cohomologie $L^{p}$ est
pratiquement enti{\`e}rement connue.

\subsection{Remerciements}

Je tiens {\`a} remercier D. Rugina pour les nombreuses conversations que
nous avons eues autour de la cohomologie $L^{p}$, V. Goldshtein et M. Troyanov, pour leurs marques
d'int{\'e}r{\^e}t et leur manuscrit \cite{GT} qui a {\'e}t{\'e} une source
d'inspiration. Je remercie aussi Y. Benoist pour son aide dans les questions
de structure de groupes de Lie.

\section{Formule de K{\"u}nneth}
\label{ku}
\subsection{La formule de K{\"u}nneth, aspect formels}
\label{formel}

Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ deux vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes. 
L'espace des formes
diff{\'e}rentielles sur le produit $M_{1}\times M_{2}$ est bigradu{\'e}. En
effet,
$$
\L^{*}T^{*}(M_{1}\times M_{2})=\L^{*}(T^{*}M_{1}\oplus T^{*}M_{2})=\bigoplus
\L^{p,q}
$$
o{\`u} $\d\L^{p,q}=\L^{p}T^{*}M_{1}\times\L^{q}T^{*}M_{2}$.

L'espace
$L^{p}\Omega^{*}(M_{1}\times M_{2})$ des formes
diff{\'e}rentielles $L^{p}$ sur le produit $M_{1}\times M_{2}$ est un
produit tensoriel, 
$$
L^{p}\Omega^{*}(M_{1}\times M_{2})=L^{p}\Omega^{*}(M_{1})\otimes
L^{p}\Omega^{*}(M_{2}) 
$$ 
au sens suivant. Le produit cart{\'e}sien de formes sur les facteurs,
$$
(\omega_{1},\omega_{2})\to \omega_{1}\times
\omega_{2}=\pi_{1}^{*}\omega_{1}\wedge \pi_{2}^{*}\omega_{2}
$$
est bilin{\'e}aire, bigradu{\'e}, satisfait
$$
\n{\omega_{1}\times
\omega_{2}}_{L^{p}}=\n{\omega_{1}}_{L^{p}}\n{
\omega_{2}}_{L^{p}}
$$ 
et son image est dense.

La diff{\'e}rentielle $d$ se d{\'e}compose en 
$$
d=d_{1}+\e d_{2}
$$
o{\`u} $\e$ est un signe, $\e=(-1)^{p}$ sur $\L^{p,q}$. 

Calculer la cohomologie du complexe $d$, c'est trouver un projecteur $P$ de degr\'e $0$
sur un sous-complexe et un op{\'e}rateur $B$ de degr\'e $-1$ tel que $1-P=dB+Bd$. Si $dP=0$
la cohomologie de $d$ s'identifie au sous-complexe, et le calcul est
termin{\'e}. Si on a seulement $dP=Pd$, la paire $(P,B)$ constitue n{\'e}anmoins
un pas vers la solution.

Supposons connue une telle paire $(P_{1},B_{1})$ pour la vari{\'e}t{\'e}
$M_{1}$. Prolongeons $P_{1}$ et $B_{1}$ au produit en les faisant agir
trivialement sur les formes sur $M_{2}$. Alors
$$
dB_{1}+B_{1}d=d_{1}B_{1}+B_{1}d_{1}+ \e d_{2}B_{1}+B_{1}\e d_{2}=1-P_{1}
$$ 
car $B_{1}$ et $d_{2}$ commutent, et comme $B_{1}$ diminue le degr{\'e}
d'une unit{\'e} dans la direction de $M_{1}$, $B_{1}$ et $\e$ anticommutent.

Autrement dit, toute information sur la cohomologie de $d_{1}$ se traduit
par une information sur la cohomologie de $d$. 


\subsection{Des produits aux vari{\'e}t{\'e}s munies de flots}
\label{rtimes}

Sur la droite r\'eelle $\R$, on dispose d'op{\'e}rateurs $B$
explicites. Fixons une fonction $\chi$ sur $\R$ qui vaut $0$ au
voisinage de $-\infty$ et $1$ au
voisinage de $+\infty$. Sur les fonctions sur $\R$, on
pose $B=0$. Sur les $1$-formes $v\,dt$ sur $\R$ dont la d\'ecroissance en $-\infty$ (resp. en $+\infty$) est suffisante, on pose
$$
B(v\,dt)(t)=\int_{-\infty}^{t}v(s)\,ds \quad\hbox{(resp. }\quad
-\int_{t}^{+\infty}v(s)\,ds\hbox{).}
$$
Voici une
{\'e}criture sophistiqu{\'e}e de ces op{\'e}rateurs. On note $\xi$ le champ de
vecteurs $\ddt$ sur $\R$, et $\phi_{t}:s\mapsto s+t$ le groupe {\`a} un
param{\`e}tre de translations qu'il engendre. Alors
$$
B\omega=\int_{-\infty}^{0} \phi_{t}^{*}(\iota_{\xi}\omega)\,dt 
\quad\hbox{(resp. }\quad
B\omega=-\int_{0}^{+\infty} \phi_{t}^{*}(\iota_{\xi}\omega)\,dt
\hbox{).}
$$
o{\`u} $\iota_{\xi}$, produit int{\'e}rieur par le champ de vecteurs $\xi$, est
nul en degr{\'e} $0$ et efface le $dt$ en degr{\'e} $1$.

\ali

Soit $M_{2}$ une vari{\'e}t{\'e}. Comme on l'a vu au paragraphe \ref{formel},
l'o\-p{\'e}\-ra\-teur $B$ qui inverse la diff{\'e}rentielle sur le facteur $\R$ se
prolonge {\`a} $\R\times M_{2}$. L'o\-p{\'e}\-ra\-teur obtenu n'est autre que
$$
B_{1}\omega=\int_{-\infty}^{0} \phi_{t}^{*}(\iota_{\xi}\omega)\,dt
$$
o{\`u} $\phi_{t}$ est le groupe {\`a} un param{\`e}tre de translations le long du
facteur $\R$. De plus $P_{1}=1-dB_{1}-B_{1}d$ est {\`a} valeurs dans les
formes $\omega$ sur le produit qui
satisfont $\iota_{\xi}\omega=\iota_{\xi}d\omega=0$.

\subsection{G{\'e}n{\'e}ralisation}
\label{gene}
Plus g{\'e}n{\'e}ralement, soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te et $\xi$ un champ
de vecteurs unitaire sur $M$. Une condition suffisante pour que la formule 
$$
B^{-}\omega=\int_{-\infty}^{0} \phi_{t}^{*}(\iota_{\xi}\omega)\,dt
$$
d{\'e}finisse un op{\'e}rateur born{\'e} sur les $k$-formes $L^{p}$ est qu'il existe
des constantes 
$\eta>0$ et $C$ telles que pour tout $t\leq 0$ et toute $k$-forme $\omega$,
$$
\n{\phi_{t}^{*}\iota_{\xi}\omega}_{L^{p}(M)}\leq C\,e^{\eta
t}\n{\iota_{\xi}\omega}_{L^{p}(M)}.
$$
Lorsque c'est le cas, on dit que le champ $\xi$ est {\em
$(k-1,p)$-contractant}. De m{\^e}me, on dit que le champ $\xi$ est {\em
$(k-1,p)$-dilatant} si pour tout $t\geq 0$ et toute $k$-forme $\omega$,
$$
\n{\phi_{t}^{*}\iota_{\xi}\omega}_{L^{p}(M)}\leq C\,e^{-\eta
t}\n{\iota_{\xi}\omega}_{L^{p}(M)}
$$
pour un $\eta>0$. Si c'est le cas, l'op{\'e}rateur
$$
B^{+}\omega=-\int_{0}^{+\infty} \phi_{t}^{*}(\iota_{\xi}\omega)\,dt
$$
est born{\'e} sur les $k$-formes $L^{p}$.

Supposons que le champ $\xi$ soit pour chaque degr{\'e} $k$, ou bien
$(k-1,p)$-contractant, ou bien $(k-1,p)$-dilatant. 
On d{\'e}finit un op{\'e}rateur born{\'e} $B$ sur
les formes $L^{p}$ sur $M$ qui en chaque degr{\'e} vaut $B^{+}$ ou $B^{-}$
suivant les propri{\'e}t{\'e}s de contraction du champ. Comme $B^{+}$ et $B^{-}$ satisfont
$\iota_{\xi}B^{\pm}=\iota_{\xi}(1-dB^{\pm})=0$ (voir proposition \ref{B}), l'op{\'e}rateur $P=1-dB-Bd$
est {\`a} valeurs dans le sous-complexe
$\bp{*}=\ker \iota_{\xi}\cap\ker \iota_{\xi}d$ de $L^{p}+dL^{p}$.

On montre (voir le
th{\'e}or{\`e}me \ref{thm}) que si $M$ est {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e,
$P=1-dB-Bd$ induit un isomorphisme du complexe entre $\op{*}(M)$ et
$\bp{*}$. Les {\'e}l{\'e}ments de $\bp{*}$, formes basiques par rapport au champ
$\xi$, s'identifient (au moins localement) avec un espace de formes
dif\-f{\'e}\-ren\-tiel\-les sur une transversale, {\`a} coefficients dans un espace
fonctionnel inter\-m{\'e}\-di\-ai\-re entre $L^{p}$ et $L_{-1}^{p}$.

\ali

En général, le champ $\xi$ $p$-contracte un certain sous-espace des $k-1$-formes et $p$-dilate une sous-espace complémentaire. Dans ce cas, on dit que $\xi$ est $(k-1,p)$-{\em Anosov}. Un opérateur $B$, somme de $B^{+}$ et de $B^{-}$, peut encore être défini. Cette idée remonte à A.N. Livsic, \cite{liv}.
 
\subsection{Cohomologie $L^p$ de l'espace hyperbolique r{\'e}el}
\label{h2}
On illustre la m{\'e}thode sur l'exemple le plus simple.
L'espace hyperbolique r{\'e}el $H^{n}$ est la vari{\'e}t{\'e} $\R\times\R^{n-1}$ (avec
coordonn{\'e}es $t$ et $x=(x_{1},\ldots,x_{n-1})$) munie d'une m{\'e}trique de
produit tordu $\d ds^{2}=dt^{2}+e^{2t}dx^{2}$. 

Soit $p>1$. On constate que le champ de vecteur $\xi=\ddt$ est
$(k,p)$-dilatant si et seulement si $n-1 -p(k-1)>0$ et
$(k,p)$-contractant si et seulement si $n-1 -p(k-1)<0$. 

La m{\'e}thode du paragraphe pr{\'e}c{\'e}dent s'applique si et seulement si
$1+{{n-1}\over{p}}$ n'est pas un entier inf{\'e}rieur {\`a} $n$. Dans ce cas, on d{\'e}finit
un op{\'e}rateur born{\'e} $B$ sur les formes $L^{p}$ sur $H^{n}$ qui vaut $B^{+}$ sur
les formes de degr{\'e} $<1+{{n-1}\over{p}}$ et $B^{-}$ sur les formes de degr{\'e}
$>1+{{n-1}\over{p}}$. 

Comme on l'attend d'une formule de K{\"u}nneth, l'espace $\bp{*}$ peut {\^e}tre
vu comme un espace de formes diff{\'e}rentielles 
sur le facteur $\R^{n-1}$. N{\'e}anmoins, la norme obtenue n'est pas la
norme $L^{p}$ sur les formes sur $\R^{n-1}$.

On montrera en \ref{hyperbreel} que $\bp{k}$ est nul sauf pour une
seule valeur de $k$, la partie enti{\`e}re de $1+{{n-1}\over{p}}$. Pour cette valeur,
$\bp{k}$ est en gros l'espace des $k$-formes 
ferm{\'e}es sur $\R^{n-1}$ dont les coefficients sont dans l'espace de Besov
$\d B_{p,p}^{-k+({{n-1}\over{p}})}(\R^{n-1})$. 


\ali

Ce qu'il faut retenir {\`a} ce niveau, c'est que la formule de K{\"u}nneth
g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e concerne des vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes munies d'un champ de
vecteurs unitaire. La m{\'e}thode s'applique pour un ensemble de valeurs de
$p$ qui d{\'e}pend des propri{\'e}t{\'e}s de contraction du champ de vecteurs.




\section{Exposants critiques}
\label{critique}

On note $Gl^{+}(n-1)$ le groupe des matrices $n-1\times n-1$ de d{\'e}terminant
strictement positif. On consid{\`e}re des repr{\'e}sentations
lin{\'e}aires $\rho$ du groupe $Gl^{+}(n-1)$ sur des espaces euclidiens, qui
ont la propri{\'e}t{\'e} que le sous-groupe $SO(n-1)$ agit par isom{\'e}tries. Si $M$
est une vari{\'e}t{\'e} orient{\'e}e de dimension $n$ portant un champ de
vecteurs $\xi$ qui ne s'annule pas, on construit le fibr{\'e} vectoriel
$E_\rho$ associ{\'e} au fibr{\'e} des rep{\`e}res directs ayant $\xi$ comme premier
vecteur. Tout diff{\'e}omorphisme pr{\'e}servant l'orientation et le champ
$\xi$ agit sur le fibr{\'e} $E_\rho$. Si de plus $M$ porte une m{\'e}trique
riemannienne, alors $E_{\rho}$ porte une m{\'e}trique lui aussi.

\begin{defi}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te. Soit $\xi$ un champ
de vecteurs unitaire sur $M$. Soit $\rho$ une repr{\'e}sentation lin{\'e}aire
du groupe $Gl^{+}(n-1)$. On dit que $\xi$ est {\em $\rho$-Anosov} s'il existe
des constantes positives $C$ et $\eta$ et une d{\'e}composition
$$
E_{\rho}=E_{\rho}^{+}\oplus E_{\rho}^{-}
$$ 
invariante par le flot $\phi_{t}$ de $\xi$, et telle que 
\begin{itemize}
\item quasi-orthogonalit{\'e} : si $e_{\pm}\in E_{\rho}^{\pm}$, alors
$$
|e_{+}|^{2}+|e_{-}|^{2}\leq C\,|e_{+}+e_{-}|^{2} ;
$$
\item contraction : si $e\in E_{\rho}^{\pm}$, alors pour tout $t\geq 0$,

$$
|\phi_{\pm t}(e)|\leq C\,e^{-\eta t}.
$$
\end{itemize}

Soit $p\geq 1$. On dit que $\xi$ est {\em $(k,p)$-Anosov}, ou bien que $p$ est un
{\em exposant non critique en degr{\'e} $k$} si $\xi$ est $\rho$-Anosov pour
la repr{\'e}sentation $\rho=\Lambda^{k}\otimes(det)^{-1/p}$ de
$Gl^{+}(n-1)$.

On dit que $\xi$ est {\em $(k,p)$-contractant} si $\xi$ est
$(k,p)$-Anosov et $\L^{k}_{+}=0$. On dit que $\xi$ est {\em
$(k,p)$-dilatant}
si $-\xi$ est $(k,p)$-contractant.
\end{defi}

Concr{\`e}tement, pour $\rho=\Lambda^{k}$, les sections du fibr{\'e}
$E_\rho$ s'identifie aux $k$-formes dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-les sur $M$ annul{\'e}es
par le produit int{\'e}rieur par $\xi$, $\iota_\xi$. Une d{\'e}composition
$(k,p)$-Anosov est une d{\'e}composition quasi-orthogonale
$$
\L^{k}T^{*}M\cap\ker\iota_{\xi}=\L_{+}\oplus\L_{-}
$$
telle que 
$$
|(\L^{k}d\phi_{\pm t})_{|\L_{\pm}}|^{p}\leq\con e^{-\eta t}Jac(\phi_{t})
$$
pour tout $t\geq 0$.

\remarque 
Un champ de vecteurs est Anosov au sens des syst{\`e}mes dynamiques
si et seulement si il est $(0,+\infty)$-Anosov.

\remarque Si la divergence $div(\xi)$ est born{\'e}e, alors les exposants non
critiques forment un ouvert de $]1,+\infty]$.

\exemple S'il existe $\eta>0$ tel que $div(\xi)\geq\eta$, alors tout
exposant $p\geq 1$ est non
critique en degr{\'e}s $0$ et $n-1$.

En effet, si $k=0$ ou $k=n-1$, $\L^{k}T^{*}M\cap\ker\iota_{\xi}$ est de
dimension $1$,
$\L^{0}d\phi_{t}$ est l'identit{\'e}, $|\L^{n-1}d\phi_{t}|=Jac(\phi_{t})\geq
e^{\eta t}$.

Les deux paragraphes suivants donnent des exemples moins triviaux.

\subsection{Groupes de Lie}

\begin{prop}
Soit $G$ un groupe de Lie muni d'une m{\'e}trique riemannienne
invariante {\`a} gauche. Soit $\xi$ un champ de vecteur invariant {\`a} gauche
sur $G$.
On note $h={\rm tr}\,ad_{\xi}$. Un r{\'e}el $p\geq 1$ est un exposant critique en
degr{\'e} $k$
pour $\xi$ si et seulement si $h/p$ est la partie r{\'e}elle d'une
valeur propre de
$(\L^{k}ad_{\xi})_{|\L^{k}\xi^{\perp}}$.
\end{prop}
\preuve
Soit $\L^{k}_{+}\subset \L^{k}\G^{*}\cap\ker\iota_{\xi}=\L^{k}\xi^{\perp}$
(resp. $\L^{k}_{-}$) la somme des espaces
caract{\'e}ristiques de
$\L^{k}ad_{\xi}$ relatifs {\`a} des valeurs propres $w$ telles que $h-pw>0$ (resp.
$h-pw<0$). On note de la m{\^e}me fa\c con les sous-fibr{\'e}s obtenus en
translatant {\`a}
gauche ces sous-espaces. Notons $\eta_{0}$ le plus petit des nombres
$|h-pw|$ o{\`u} $w$
d{\'e}crit les valeurs propres de $\L^{k}ad_{\xi}$ sur $\L^{k}\xi^{\perp}$.
Fixons un
$\eta<\eta_{0}$.

Par d{\'e}finition,
$L_{\exp -t\xi}\circ R_{\exp t\xi}=Ad_{\exp t\xi}=\exp(t\,ad_{\xi})$. Comme les
sous-fibr{\'e}s
$\L^{*}_{\pm}$ sont invariants par $ad_{\xi}$, ils sont invariants par les
translations {\`a} droite $\phi_{t}=R_{\exp t\xi}$ qui constituent le flot de
$\xi$.

Le champ de vecteurs $\xi$ a une divergence constante {\'e}gale {\`a} $h$, donc le
jacobien de son flot vaut exactement $e^{ht}$.

Soit $\omega\in \L^{k}_{+}$ une forme
diff{\'e}rentielle invariante
{\`a} gauche qui est dans l'image de $i$. On a
$$
(\phi_{t})^{*}\omega=Ad_{\exp t\xi}^{*}\omega=(\exp t\,ad_{\xi})^{*}\omega.
$$
Comme $\eta<\eta_{0}$, il existe une constante ind{\'e}pendante de $\omega$
et de $t$
telle que pour tout $t\geq 0$,
$$
|(\exp t\,ad_{\xi})^{*}\omega|\leq\con e^{t(h-\eta)/p}|\omega|.
$$
Il vient
$$
|(\phi_{t})^{*}\omega|^{p}=\con e^{-\eta t}J(\phi_{t})|\omega|^{p}.
$$
On conclut que $p$ est non critique en degr{\'e} $k$.

Inversement, s'il existe un couple de valeurs propres con\-ju\-guées
$(\lambda,\overline{\lambda})$ de
$(\L^{k}ad_{\xi})_{|\L^{k}\xi^{\perp}}$ de partie r{\'e}elle $h/p$, alors sur
la partie
r{\'e}elle de la somme des sous-espaces caract{\'e}ristiques correspondants,
$\n{\exp
t\,ad_{\xi}}$ est polynomial en $t$ donc ne d{\'e}cro{\^\i}t pas
exponentiellement, et $p$ est
critique en degr{\'e} $k$.
\qed

\begin{cor}
Si $G$ n'est pas unimodulaire, un champ de vecteurs invariant {\`a} gauche
g{\'e}n{\'e}rique sur
$G$ a au plus un nombre fini d'exposants critiques.
\end{cor}

\exemple Produits semi-directs.
Soit $H$ un groupe de Lie d'alg{\`e}bre de Lie $\H$. Soit $\alpha$ une
d{\'e}rivation de $\H$. Soit $G=\R\times H$ muni de la multiplication
$$
(t,h)(t',h')=(t+t',e^{t\alpha}(h)h').
$$
Soit $\xi$ le champ de vecteurs invariant {\`a} gauche
correspondant au facteur $\R$. Alors $\xi^{\perp}$ s'identifie {\`a}
${\H}^{*}$, ${ad_{\xi}}_{|\xi^{\perp}}$ {\`a} $\alpha$ et
$d\phi_{t}$ {\`a} $\exp t\alpha$. Cela fournit une grande vari{\'e}t{\'e} d'exemples.

\exemple Soit $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{2}$ le produit semi-direct d{\'e}fini
par la d{\'e}rivation
$\alpha=\pmatrix{\l&0\cr 0&1}$.
Si $\l>0$, $G$ est {\`a} courbure sectionnelle strictement n{\'e}gative. $G$
est unimodulaire si et seulement si
$\l=-1$. Si $\l=0$, $G$ est le produit riemannien d'une droite et d'un plan
hyperbolique.
Noter que pour tout $\ell\not=0$, les groupes obtenus pour les valeurs
$\ell$ et $1/\ell$
de $\lambda$ sont isomorphes. Par cons{\'e}quent, sans perdre de
g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}, on peut
se limiter aux valeurs de $\l\in[-1,1]$.

On s'int{\'e}resse au champ de vecteurs invariant {\`a} gauche
correspondant au facteur $\R$. Si $\l\not=-1$, il n'a d'exposants critiques
qu'en degr{\'e} 1,
il en a deux (ce sont $p=1+\inv{\l}$ et $p=1+\l$) si $\l\not=0,~1$, un (c'est
$p=2$) si $\l=1$ et
aucun si $\l=0$.

Si $\l=-1$, tout exposant
$p\geq 1$ est critique en degr{\'e}s 0 et 2. En degr{\'e} 1, aucun exposant n'est
critique.

\exemple Espace hyperbolique r{\'e}el de dimension $n$. Soit $G$ le groupe
des dilatations et
translations de $\R^{n-1}$. Alors $G$ agit simplement transitivement sur
l'espace
hyperbolique r{\'e}el de dimension $n$. Soit $\xi$ le champ de vecteur
invariant {\`a} gauche
correspondant aux dilatations. Sur $\xi^{\perp}$, $ad_{\xi}$ est l'identit{\'e}.
Il y a exactement un exposant critique pour chaque degr{\'e}
$k=1,\ldots,n-1$, c'est $p={{n-1}\over{k}}$. Il n'y en a pas en degr{\'e}s $0$.

\exemple Espace hyperbolique complexe. Soit $G$ le groupe des dilatations
translations du groupe de Heisenberg $N$ de dimension $2m-1$. Alors $G$
agit simplement
transitivement sur l'espace hyperbolique complexe de dimension r{\'e}elle
$n=2m$, i.e., la boule
de $\C^m$ munie de sa m{\'e}trique de Bergmann. Soit $\xi$ le champ de
vecteurs invariant {\`a}
gauche correspondant aux dilatations. Sur $\xi^{\perp}$, $ad_{\xi}$ vaut
$2$ fois
l'identit{\'e} sur le centre et l'identit{\'e} sur un suppl{\'e}mentaire.

Aucun exposant n'est critique
en degr{\'e} $0$. Seul $1$ est critique en degr{\'e} $n-1$. En chaque degr{\'e}
$k=1,\ldots,n-2$, il y a exactement deux exposants critiques,
$p=n/k$ et $p=n/k+1$.

\exemple
Soit $G$ le sous-groupe des matrices triangulaires sup{\'e}rieures de
$Sl(3,\R)$. Alors
$G$ agit simplement transitivement sur l'espace sy\-m{\'e}\-tri\-que
$Sl(3,\R)/SO(3)$. Soit $\xi$ le
vecteur de $\G$ donn{\'e} par la matrice diagonale $diag(-1/3,-1/3,2/3)$.
Alors $ad_{\xi}$
est diagonalisable, de valeurs propres $0$ (multiplicit{\'e} $3$) et $1$
(multiplicit{\'e} $2$).

Le seul exposant critique est $p=2$, critique en degr{\'e}s 1, 2 et 3.

\subsection{Actions de $\R^{\ell}$}

\begin{defi}
{\em Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te, munie d'une action
de $\R^\ell$. On
dit que $p>1$ est un} exposant non critique en degr{\'e} $k$ pour l'action de
$\R^\ell$
{\em s'il existe un vecteur non nul $\xi\in\R^\ell$ qui est $(k,p)$-Anosov.}
\end{defi}

\exemple Soit $G=\R^{\ell}\times H$ un produit semi-direct. Les
valeurs propres de
$ad_{\xi}$ deviennent des formes lin{\'e}aires sur
$\R^\ell$, appel{\'e}es {\em racines}. Soit $\Sigma$ l'ensemble
des racines. Alors {\em $p$ est non critique en degr{\'e}
$k$ si et seulement si pour tout sous-ensemble de $\Sigma$ {\`a} $s$
{\'e}l{\'e}ments, $k-\ell+1\leq
s\leq k$, la forme lin{\'e}aire
$$
\sum_{\alpha\in \Sigma} \alpha -p\sum_{\alpha\in I} \alpha
$$
sur $\R^\ell$ est non nulle.}

\remarque Si la forme lin{\'e}aire $\tau=\sum_{\alpha\in \Sigma} \alpha$ sur
$\R^\ell$ n'est pas nulle, il n'y a qu'un nombre fini d'exposants critiques.

\exemple Tout espace sym{\'e}trique de type non compact $M=G/K$ est
isom{\'e}trique {\`a} un
produit semi-direct $\R^{r}\times N$ o{\`u} $r$ est le rang et $N$ le
sous-groupe unipotent
minimal de $G$. Les racines de l'action de $\R^r$ sur $N$ sont les racines
positives de
l'espace sym{\'e}trique. La somme des racines positives est toujours non
nulle. Il n'y a donc
qu'un nombre fini d'exposants critiques. La question de savoir s'il y en a
ou non est plus
subtile. On traite (imparfaitement) le cas de $G=SL(q,\R)$.

\begin{lemme}
\label{sln}
Soit $G=KAN$ la d{\'e}composition d'Iwasawa du groupe $G=SL(q,\R)$. On voit l'espace
sym{\'e}trique
$M=G/K$ comme le produit semi-direct $AN$. Pour $q$ pair, il n'y a aucun
exposant critique
en aucun degr{\'e}. Si $q$ est impair, le seul exposant critique est $2$, et
seulement dans
certains degr{\'e}s compris entre $\d(q^{2}-1)/8$ et $\d
q(q-1)/2-(q^{2}-1)/8+q-2$.
\end{lemme}
\preuve
Le groupe $A$ est le groupe des matrices diagonales
$$diag\{e^{x_{1}},\cdots,e^{x_{q}}\}$$
telles que $\sum x_{i}=0$. Pour $\xi\in A$, les valeurs propres de
$ad_{\xi}$ sont les
racines positives de l'espace sym{\'e}trique, i.e. les
$\alpha_{i,j}(\xi)=x_{i}-x_{j}$ o{\`u}
$$
(i,j)\in \Sigma_{+}=\{(i,j)~|~i,~j\in\{1,\cdots,q\},~i<j\},
$$
auxquelles il faut ajouter $0$ compt{\'e} $r-1=q-2$ fois.

On cherche les sous ensembles $I$ de $\Sigma_+$ tels que, pour un $p>1$,
\begin{eqnarray}
p\sum_{(i,j)\in I}\alpha_{i,j}=\sum_{(i,j)\in\Sigma_{+}}\alpha_{i,j}.
\end{eqnarray}
On calcule $\d \sum_{(i,j)\in\Sigma_{+}}\alpha_{i,j}=\sum_{i=1}^{q}
(q+1-2i)x_{i}$. D'autre
part, pour tout $I\subset \Sigma_{+}$,
$\sum_{(i,j)\in I}\alpha_{i,j}=\sum_{i=1}^{q} b_{i}x_{i}$ o{\`u} les $b_{i}$
sont des
entiers. Si $I$ et $p$ sont solutions de (1), alors
$2=q+1-2-(q+1-4)=p(b_{1}-b_{2})$, donc $p$ est rationnel et son
num{\'e}rateur divise $2$.
Comme $p>1$, on conclut que $p=2$. D'autre part, $q+1-2=2b_1$ est pair,
donc $q$ est impair.
On note
$q'=q-1/2$.

Soit
$$
I_{0}=\{(i,j)\in \Sigma_{+}~|~j-i > q'\}
$$
et $I_{1}$ son compl{\'e}mentaire,
$$
I_{1}=\{(i,j)\in \Sigma_{+}~|~j-i\leq q'\}.
$$
Montrons que $I_0$ et $I_1$ sont solutions de (1). Pour cela, on utilise la
base
$\alpha_{k,k+1}$, $k=1,\cdots,q-1$. Notons
$R_{k}$ l'ensemble des couples $(i,j)$ tels que $i\leq k<j$ (de sorte que $\#
R_{k}=k(q-k)$). Alors pour tout
$I\subset \Sigma_{+}$, $\d \sum_{(i,j)\in I}\alpha_{i,j}=\sum_{k}
a_{k}(I)\alpha_{k,k+1}$ o{\`u}
$$
a_{k}(I)=\# I\cap R_{k}.
$$
On v{\'e}rifie que
$a_{k}(I_{0})=a_{q-k}(I_{0})$ et pour $k\leq q'$,
$$
a_{k}(I_{0})=\# I_{0}\cap R_{k}=\sum_{i=1}^{k}
q-q'-i=k(q-q')-{{k(k+1)}\over2}={{k(q-k)}\over 2}.
$$

On va montrer que toute solution de (1) a un cardinal compris entre
$\#I_{0}$ et $\#
I_{1}$. Si $I\subset\Sigma_{+}$, on note
$$
S(I)=\sum_{(i,j)\in I} j-i.
$$
Etant donn{\'e} un entier $s\leq q(q-1)/2$, on note $S_{M}(s)$ (resp.
$S_{m}(s)$) le maximum
de $S$ sur les parties {\`a} $s$ {\'e}l{\'e}ments de $\Sigma_+$.
En d{\'e}pla\c cant un {\`a} un les {\'e}l{\'e}ments de $I$ pour les {\'e}loigner de
la diagonale,
on ne peut qu'augmenter le nombre $S(I)$. Par cons{\'e}quent, pour chaque
entier $s$,
parmi toutes les parties $I$ de $\Sigma_{+}$ telles que $\# I=s$, celles
qui maximisent $S$
s'obtiennent en remplissant au maximum les diagonales en descendant $\{(1,q)\}$,
$\{(1,q-1),(2,q)\}$, $\{(1,q-2),(2,q-1),(3,q)\}$, etc...Par exemple, si
$s=q'(q'-1)/2$,
$S_{M}(s)$ est atteint par $I_{0}$
et si $s=q(q-1)/2-q'(q'-1)/2$, $S_{m}(s)$ est atteint par $I_{1}$.
Clairement, les fonctions $S_M$ et $S_m$ sont strictement croissantes.

Notons $\xi$ de vecteur de composantes $x_{i}=i-q(q+1)/2$. On a
$$
S(I)=\sum_{(i,j)\in I} \alpha_{i,j}(\xi)
={1\over2}\sum_{(i,j)\in \Sigma_{+}} \alpha_{i,j}(\xi)=S(I_{0})=S(I_{1})
$$
donc
\begin{eqnarray*}
S_{M}(\# I_{0})&=&S(I_{0})=S(I)\leq S_{M}(\# I),\\
S_{m}(\#
I_{1})&=&S(I_{1})=S(I)\geq
S_{m}(\# I).
\end{eqnarray*}

Comme, $S_{M}$ et $S_{m}$ sont strictement croissantes, on conclut que
$$
{{q'(q'+1)}\over2}=\#I_{0}\leq \#
I\leq \# I_{1}= {{q(q-1)}\over2}-{{q'(q'+1)}\over2}.
$$
Soit $k$ un entier, $k\leq {\rm dim}\,M-1=q(q-1)/2+q-2$. Alors $p$ est un
exposant
critique en degr{\'e} $k$ si et seulement si $k=s+k-s$ o{\`u} $k-s\leq q-2$ et
il existe une
partie $I$ {\`a} $s$ {\'e}l{\'e}ments de $\Sigma_{+}$ qui est solution de (1).
Ceci ne se produit
que si $q$ est impair, $p=2$ et $q'(q'+1)/2\leq s\leq q(q-1)/2-q'(q'+1)/2$. Par
cons{\'e}quent le seul exposant critique est $p=2$, et il n'est pas critique
en degr{\'e} $k$
si $\d k<q'(q'+1)/2=(q^{2}-1)/8$ ou si $k>q(q-1)/2-q'(q'+1)/2+q-2$.\qed

\remarque D'apr{\`e}s \cite{Benoist}, la situation est sensiblement la m{\^e}me
pour les autres
groupes simples {\em d{\'e}ploy{\'e}s}, comme $SO(q,q+1)$, $Sp(q,\R)$, $SO(q,q)$.


\subsection{Vari{\'e}t{\'e}s {\`a} courbure n{\'e}gative}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne simplement connexe {\`a} courbure n{\'e}\-ga\-ti\-ve. Etant
donn{\'e} $x\in
M$, on note $\xi_x$ le gradient de la fonction distance {\`a} $x$. Lorsque
$x$ tend vers
l'infini le long d'un rayon g{\'e}od{\'e}sique $\rho$, le champ $\xi_x$
converge vers un champ
de vecteurs $\xi_{\rho}$ de classe $C^\infty$, de norme $1$, appel{\'e} {\em
champ de vecteurs
de Busemann}. La d{\'e}riv{\'e}e de $\xi_{\rho}$ est contr{\^o}l{\'e}e par la
courbure sectionnelle. Si celle-ci est suffisamment {\em pinc{\'e}e}, i.e.
proche de $-1$,
$\xi_{\rho}$ admet des exposants non critiques.

\begin{prop}
\label{pince}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te de dimension $n$,
simplement connexe, dont la
courbure sectionnelle $K$ satisfait $-1\leq K\leq\delta<0$. Soit $\xi$ un
champ de vecteurs
de Busemann. Si $k=0,\cdots,n-1$ et si $p>1$ satisfait
$$
p<1+{{n-k-1}\over{k}}\sqrt{-\delta},\quad\hbox{ (resp. }
p>1+{{n-k-1}\over{k\sqrt{-\delta}}}),
$$
alors le champ $\xi$ est $(k,p)$-contractant (resp. $(k,p)$-dilatant).
\end{prop}
\preuve
Notons $\phi_t$ le flot de $\xi$. Ses trajectoires sont des g{\'e}od{\'e}siques
parcourues {\`a}
vitesse $1$. Soit $x\in M$. La quantit{\'e} {\`a} majorer est
$$
n(t,x)=p\log\n{(\L^{k}d\phi_{t})_{|\L^{k}\xi^{\perp}}}-\log det(d\phi_{t}).
$$
Elle satisfait, pour tous $s$ et $t$, $n(t+s,x)=n(s,\phi_{t}(x))+n(t,x)$.

Notons $\tau_{t}$ le transport parall{\`e}le de $\phi_{t}(x)$
{\`a} $x$ le long de la g{\'e}od{\'e}sique $s\mapsto \phi_{s}(x)$. Alors
$\tau_{t}d\phi_{t}$
pr{\'e}serve l'hyperplan orthogonal {\`a} $\xi(x)$. Notons $J(t)$ sa matrice
dans une base
orthonorm{\'e}e de $\xi(x)^{\perp}$, de sorte que
$\d n(t,x)=p\log\n{\L^{k}J(t)}-\log det(J(t))$.

Comme $\xi$ est un gradient, la matrice $U(t)=J(t)^{-1}J'(t)$, seconde forme
fondamentale des hypersurfaces de niveau, est sy\-m{\'e}\-tri\-que. Com\-me les
colonnes de $J$  sont
des champs de Jacobi, la matrice $U(t)$ satisfait l'{\'e}quation de Riccati
$$
U'+U^{2}+R=0
$$
o{\`u} $R$ est la matrice de l'op{\'e}rateur de courbure $v\mapsto
R(v,\xi)\xi$. Classiquement
(voir par exemple \cite{courbure}), on en tire une estimation des valeurs propres
$\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n-1}$ de $U$,
$$
\sqrt{-\delta}\leq \lambda_{1}\leq\cdots\leq\lambda_{n-1} \leq 1.
$$
Comme $J(0)=I$ est l'identit{\'e}, $J(t)=I+tU(0)+o(t)$ donc $\n{\L^{k}J(t)}\leq
1+|t|\n{{\cal D}^{k}U(0)}+o(t)$ o{\`u} ${\cal D}^{k}U$ d{\'e}signe l'extension
de $U$ comme
d{\'e}\-ri\-va\-ti\-on de l'alg{\`e}bre ext{\'e}rieure. On peut donc majorer la
d{\'e}riv{\'e}e {\`a} droite
\begin{eqnarray*}
n'(0+)={{\partial n}\over{\partial t}}(0,x)
&\leq& p\n{{\cal D}^{k}U(0)}-{\rm tr U(0)}\\
&\leq& p(\sum_{i=n-k}^{n-1} \l_{i})-\sum_{i=1}^{n-1} \l_{i}\\
&=& (p-1)(\sum_{i=n-k}^{n-1} \l_{i})-\sum_{i=1}^{n-k-1} \l_{i}\\
&\leq& k(p-1)-(n-k-1)\sqrt{-\delta}.
\end{eqnarray*}
En d{\'e}rivant l'{\'e}quation $n(t+s,x)=n(s,\phi_{t}(x))+n(t,x)$, on trouve que
$n'(t+,x)=n'(0+,\phi_{t}(x))\leq k(p-1)-(n-k-1)\sqrt{-\delta}$ pour tout
$t$. En int{\'e}grant,
il vient pour tout $t\in\R$
$$
\n{(\L^{k}d\phi_{t})_{|\L^{k}\xi^{\perp}}}^{p}\leq e^{-\eta t}Jac(\phi_{t})
$$
avec $\eta=(n-k-1)\sqrt{-\delta}-k(p-1)$. Si $\eta>0$, i.e. si la courbure
est suffisamment
pinc{\'e}e, on peut poser $\L_{-}=0$, utiliser cette in{\'e}galit{\'e} seulement
pour $t\geq 0$ et
conclure que $p$ est non critique en degr{\'e} $k$.

Si on remplace $\xi$ par $-\xi$, les valeurs propres $\l_i$ de la seconde
forme fondamentale
sont remplac{\'e}es par $\mu_{i}=-\l_{n-i}$ qui satisfont
$$
-1\leq \mu_{1}\leq\cdots\leq\mu_{n-1} \leq -\sqrt{-\delta}.
$$
La nouvelle fonction ${\tilde n}(t,x)=n(-t,x)$ satisfait
\begin{eqnarray*}
{\tilde n}'(0+)
&\leq& p(\sum_{i=n-k}^{n-1} \mu_{i})-\sum_{i=1}^{n-1} \mu_{i}\\
&=& (p-1)(\sum_{i=n-k}^{n-1} \mu_{i})-\sum_{i=1}^{n-k-1} \mu_{i}\\
&\leq& k(p-1)(-\sqrt{-\delta})+(n-k-1).
\end{eqnarray*}
Il vient
$$
\n{(\L^{k}d\phi_{t})_{|\L^{k}\xi^{\perp}}}^{p}\leq e^{\eta' t}Jac(\phi_{t})
$$
avec $\eta'=k(p-1)\sqrt{-\delta}-n+k+1$. Si $\eta'>0$, on peut poser
$\L_{-}=0$, utiliser
cette in{\'e}galit{\'e} seulement pour $t\leq 0$ et conclure que $p$ est non
critique en degr{\'e}
$k$.\qed

\begin{rem}
\label{egalite}
{\em Dans l'argument ci-dessus, les in{\'e}galit{\'e}s sont optimales sauf
celle o{\`u} on
remplace certaines valeurs propres par la borne inf{\'e}rieure
$\sqrt{-\delta}$ et d'autres par
la borne sup{\'e}rieure $1$. Il existe de nombreux exemples d'espaces
homog{\`e}nes {\`a} courbure
n{\'e}gative pour lesquels les valeurs propres prennent exactement deux
valeurs {\'e}gales aux
bornes de la courbure sectionnelle.}
\end{rem}

\exemple Les espaces sym{\'e}triques de rang un. La courbure sectionnelle
varie entre $-1$
et $-1/4$. Les valeurs propres sont $1/2$ (avec multiplicit{\'e} $2m-2$ pour
l'espace
hyperbolique complexe ${{\bf C}}H^{m},~m\geq 2$,
$4m-4$ pour l'espace hyperbolique quaternionien
${{\bf H}}H^{m},~m\geq 2$, $8$ pour le plan hyperbolique des octaves de
Cayley ${{\bf
Ca}}H^{2}$), et $1$ avec multiplicit{\'e} compl{\'e}mentaire.

\exemple Soient $1\leq\mu<n$ des entiers et $\delta\in]-1,0[$. Soit
$G_{\mu,n,\delta}$ le
produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u}
$\alpha$ est une matrice diagonale avec seulement deux valeurs propres
distinctes $1$ et
$\sqrt{-\delta}<1$ de multiplicit{\'e}s $\mu-1$ et $n-\mu$. La m{\'e}trique
invariante $dt^{2}+e^{2t}dx^{2}+e^{2t\sqrt{-\delta}}dy^{2}$ (o{\`u} $x$
regroupe les $\mu-1$ premi{\`e}res coordonn{\'e}es de $\R^{n-1}$ et $y$ les
$n-\mu$ suivantes) a une courbure
sectionnelle
comprise entre $-1$ et $-\delta$.

\medskip

Dans les deux familles d'exemples, on constate que la borne 
$1+(n-\mu)\sqrt{-\delta}/\mu-1$, qui appara{\^\i}t dans la proposition \ref{pince}, est critique
en degr{\'e} $\mu-1$. 

\section{Formule de K{\"u}nneth g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e}
\label{fkg}
Dans cette section, on d{\'e}montre le principal r{\'e}sultat technique de cet
article, le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm}.

\subsection{L'op{\'e}rateur $B$}

\begin{prop}
\label{B}
Soit $p\geq 1$. Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne com\-pl{\`e}\-te, soit $\xi$ un champ de
vecteurs unitaire $(k,p)$-Anosov sur $M$, de flot $\phi_t$. On note
$\L_{+}\oplus\L_{-}$ la d{\'e}composition $(k,p)$-Anosov des $k$-formes
annul{\'e}es par $\iota_{\xi}$. Si
$\omega\in\L^{k}T^{*}_{x}M$, on note
$\omega_{\pm}$ la projection orthogonale de $\omega$ sur $\L_{\pm}T^{*}_{x}M$.
Alors les op{\'e}rateurs
$$
\overline{B}:\omega\mapsto\int_{-\infty}^{0} (\phi_{t})^{*}\omega_{-}\,dt -
\int_{0}^{+\infty}
(\phi_{t})^{*}\omega_{+}\,dt,
$$
$$
i=\iota_{\xi}=\hbox{ produit int{\'e}rieur par }\xi
$$
et
$$
B=\overline{B}i
$$
sont born{\'e}s sur les $k+1$-formes $L^p$. De plus, il satisfont $Bi=iB=0$, $i(1-dB)=0$.
\end{prop}
\preuve
Par hypoth{\`e}se, pour tout $x\in M$ et tout $t\geq 0$,
$$
|(\phi_{t})^{*}i\omega_{+}|^{p}(x)\leq\con e^{-\eta
t}|i\omega_{+}|^{p}(\phi_{t}x)
J_{\phi_{t}}(x)
$$
donc
\begin{eqnarray*}
\int_{M} |(\phi_{t})^{*}i\omega_{+}|^{p}(x)\,dx
&\leq&\con e^{-\eta t}
\int_{M} |\omega|^{p}(\phi_{t}x)J_{\phi_{t}}(x)\,dx\\
&=&\con e^{-\eta t}\int_{M} |\omega|^{p}(z)\,dz.
\end{eqnarray*}
Par cons{\'e}quent, la fonction $t\mapsto\n{(\phi_{t})^{*}i\omega_{+}}_{L^{p}}$ est
int{\'e}grable sur $\R_{+}$, la seconde int{\'e}grale converge dans
$L^{p}\Omega^{k}(M)$ et
$$
\n{(\phi_{t})^{*}i\omega_{+}}_{L^{p}}\leq {1\over{\eta}}\n{i\omega_{+}}_{L^{p}}.
$$
Il vient $\d \n{B\omega}\leq \eta^{-1}\n{\omega}$.

L'op{\'e}rateur $i$ est {\'e}videmment born{\'e} sur $L^p$. Comme il commute avec
$\phi_t$, il
commute avec $\overline{B}$ d'o{\`u} $iB=i\overline{B}i=\overline{B}ii=0$. 

Notons ${\cal L}_{\xi}$ la
d{\'e}riv{\'e}e de Lie suivant $\xi$. Si $\omega$ est une $k+1$-forme lisse {\`a} support compact, alors pour tout $t$,
$$
{{d}\over{dt}}(\phi_{t})^{*}\omega=(\phi_{t})^{*}{\cal L}_{\xi}\omega
={\cal L}_{\xi}(\phi_{t})^{*}\omega.
$$
D'autre part, au voisinage d'un point, $(\phi_{t})^{*}\omega=0$ pour $t$ assez grand. Par cons{\'e}quent
$$
{\cal L}_{\xi}\overline{B}\omega=\omega_{+}+\omega_{-}=\omega.
$$
Il vient 
$$
i\omega=i{\cal L}_{\xi}\overline{B}\omega={\cal L}_{\xi}B\omega
=(di+id)B\omega=idB\omega.
$$
Par densit{\'e}, cette identit{\'e} s'{\'e}tend {\`a} $L^{p}$.\qed


\subsection{L'espace $L^{p}+dL^{p}$}
\label{lp+dlp}

Si $\omega\in L^{p}$ et $d\omega\in L^p$, en g{\'e}n{\'e}ral $dB\omega$
n'est pas $L^p$. C'est pourquoi l'op{\'e}rateur $P=1-dB-Bd$ ne fournit pas un
isomorphisme du complexe $\op{*}$ avec un de ses sous-complexes.

\begin{defi}
{\em On} note $L^{p}+dL^{p}$ {\em l'espace des formes diff{\'e}rentielles sur
$M$ qui
peuvent s'{\'e}crire comme somme d'une forme $L^p$ et de la diff{\'e}rentielle
ext{\'e}rieure
d'une forme $L^p$. On le munit de la} norme
\begin{eqnarray*}
\n{\omega}_{L^{p}+dL^{p}}=\inf \{
(\n{\beta}^{p}_{L^{p}}&+&\n{\gamma}^{p}_{L^{p}})^{1/p}~;\\
\beta\in
L^{p}\Omega^{k}(M),&\gamma&\in
L^{p}\Omega^{k-1}(M),~\omega=\beta+d\gamma\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\remarque
L'espace $L^{p}+dL^{p}$ est complet et invariant par $d$. L'o\-p{\'e}\-ra\-teur
$$P:\op{*}(M)\to L^{p}+dL^{p}$$ est born{\'e}.


\subsection{Le complexe des formes basiques}

\begin{defi}
\label{basique}
{\em Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te, $\xi$ un champ de
vecteurs born{\'e}
sur $M$. On} note
$\bp{*}(M,\xi)\subset L^{p}+dL^{p}$ {\em le sous-complexe des
formes qui sont annul\'ees, au sens des distributions, par
$i=\iota_{\xi}$ et $id$.}
\end{defi}

Soit $G=\R\times H$ un produit semi-direct. Notons $\pi:G\to H$ la
projection le long des
orbites du champ de vecteurs $\xi$ correspondant {\`a} l'action {\`a} droite du
facteur $\R$. L'op{\'e}ration
$\pi^{*}$, image inverse par $\pi$, identifie
$\bp{*}(G,\xi)$ {\`a} un sous-complexe de formes diff{\'e}rentielles
sur $H$, qu'on note $\bp{*}$. La nature de cet espace ne saute pas aux
yeux. Il s'av{\`e}re qu'il est souvent nul. Lorsqu'il ne l'est pas, c'est un
espace fonctionnel constitu{\'e} de formes dont les coefficients ont des
d{\'e}riv{\'e}es fractionnaires dans $L^p$.

\subsection{Th{\'e}or{\`e}me principal}

\begin{theo}
\label{thm}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te, $\xi$ un champ de
vecteurs unitaire sur $M$.
Soit $p\geq 1$. On suppose qu'il existe des
op{\'e}rateurs born{\'e}s $S$ et $T$ sur les formes diff{\'e}rentielles $L^{p}$
tels que
\begin{enumerate}
\item $Sd=dS$ et $1-S=dT+Td$ ;
\item $dS$ est born{\'e} sur $L^{p}$ ;
\item $(iT-Ti)d$ est born{\'e} sur $L^{p}$.
\end{enumerate}
Si le champ $\xi$ est $(k-1,p)$-Anosov, alors
$S:H^{k}(\bp{*}(M,\xi))\to \hp{k}(M)$ est surjectif. Si $\xi$ est
$(k-2,p)-$ et $(k-1,p)$-Anosov, alors
$S$ est un isomorphisme.
Si $\xi$ est $(j,p)$-Anosov pour tout $j=0,\cdots, n-1$, alors l'op{\'e}rateur
$S$ r{\'e}alise une {\'e}quivalence d'homotopie entre les complexes
$\bp{*}(M,\xi)$ et $\op{*}(M)$.
\end{theo}

\remarque Sur toute vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e, il
existe (voir la
proposition \ref{regul}) des op{\'e}rateurs $S$ et $T$ qui satisfont aux
hypoth{\`e}ses du
th{\'e}or{\`e}me \ref{thm} pour tout $p>1$.

\preuve
Supposons dans un premier temps que $p$ n'est critique pour aucun degr{\'e}
(i.e., que $\xi$ est $(j,p)$-Anosov pour tout $j=0,\cdots, n-1$). Par
construction, si $\omega\in\op{k}(M)$, alors
$P\omega\in L^{p}+dL^{p}$. Comme $iP=idP=0$, $P\omega\in
\bp{*}$, donc $P$ est un
morphisme de complexes $\op{*}(M)\to \bp{*}(M,\xi)$.

Comme $dS=Sd$ est born{\'e} sur $L^p$, $S$ et $dS$ envoient $L^p$ et $dL^{p}$
dans $L^p$. Par
cons{\'e}quent,
$S$ est un morphisme de complexes
$\bp{*}(M,\xi)\to\op{*}(M)$.

On a $SP=1-d(T+SB)-(T+SB)d$. Comme $dT=1-S-Td$, $T$ est born{\'e} de
$\op{*}(M)$ dans
lui-m{\^e}me. Quant {\`a} $SB$, il envoie $L^{p}$ dans $\op{*}(M)$, donc {\sl a
fortiori} $\op{*}(M)$ dans lui-m{\^e}me.

On pose
$PS=1-d(B+PT)-(B+PT)d$. On remarque que $B+PT$ envoie $\ker i\cap\ker
id$ dans lui-m{\^e}me.
De plus
\begin{eqnarray*}
B+PT&=&B+(1-dB-Bd)T\\
&=&B+T-d\overline{B}iT-\overline{B}i(1-S-Td)\\
&=&T+BS-d\overline{B}[i,T]+\overline{B}[i,T]d-dBTi+BTid.
\end{eqnarray*}
Sur $\ker i\cap\ker id$, $B+PT$ co{\"\i}ncide avec l'op{\'e}rateur
$T+BS-d\overline{B}[i,T]+\overline{B}[i,T]d$ qui est born{\'e} sur
$L^{p}+dL^{p}$, donc
$B+PT$ est born{\'e} de $\bp{*}(M,\xi)$ dans lui-m{\^e}me.

Supposons seulement que $p$ est non critique en degr{\'e}s $k-2$ et $k-1$.
Alors $P$ est
d{\'e}fini sur les $k-1$-formes ainsi que sur les $k$-formes ferm{\'e}es.
L'identit{\'e} $dP=Pd$ est
satisfaite sur $\op{k-1}(M)$, donc $P$ passe au quotient $\hp{k}(M)\to
H^{k}(\bp{*}(M,\xi))$. Les identit{\'e}s $PS=1-d(PT)$ et
$SP=1-d(T+SB)$ sont vraies sur $L^{p}\Omega^{k}(M)\cap\ker d$. Cela suffit
{\`a} prouver que
$S:H^{k}(\bp{*}(M,\xi))\to \hp{k}(M)$ est un isomorphisme
d'inverse $P$.

Enfin, si $p$ est non critique seulement en degr{\'e} $k-1$, $P$ n'est
d{\'e}fini que sur les $k$-formes. Toutefois, il pr{\'e}serve les $k$-formes
ferm{\'e}es.
L'identit{\'e} $SP=1-d(T+SB)$ montre que $S:H^{k}(\bp{*}(M,\xi))\to
\hp{k}(M)$ est
surjectif.
\qed

\remarque
On trouvera en \ref{h=0} une situation (produit semi-direct) o{\`u} pour un
exposant $p$ non
critique en degr{\'e}
$k-1$ mais critique en degr{\'e} $k-2$, l'espace
$H^{k}(\bp{*}(M,\xi))$ est s{\'e}par{\'e}
alors que
$\hp{k}(M)$ ne l'est pas, interdisant une injection $$\hp{k}(M)\to
H^{k}(\bp{*}(M,\xi)).$$

\section{R{\'e}gularisation}
\label{compos}
On v{\'e}rifie que les hypoth{\`e}ses techniques du th{\'e}or{\`e}me \ref{thm} sont
toujours satisfaites par les vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e,
pour $p>1$.
Les r{\'e}sultats principaux de cette section sont les corollaires
\ref{hypo} et \ref{comp}.

\subsection{L'espace $L_{-1}^{p}\Omega^{k}(M)$}
\label{lp-1}

La norme de l'espace $L^{p}+dL^{p}$ est difficile {\`a} {\'e}valuer en
g{\'e}n{\'e}ral. On va
construire une norme {\'e}quivalente plus commode, dans le cas particulier
des vari{\'e}t{\'e}s
riemanniennes {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e.

\begin{defi}
Fixons un entier $\ell\geq 1$.
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne. On dit que $M$ est {\`a} g{\'e}om{\'e}trie
born{\'e}e s'il
existe un $\epsilon>0$ tel que toutes les boules de rayon $\epsilon$ soient
uniform{\'e}ment
proches, au sens $C^\ell$, de la boule unit{\'e} de $\R^n$.
\end{defi}

\remarque Dans la litt{\'e}rature, on demande souvent seulement une borne
inf{\'e}rieure sur le
rayon d'injectivit{\'e} et des bornes sur la courbure sectionnelle. Quitte
{\`a} d{\'e}former la
m{\'e}trique en une m{\'e}trique {\'e}quivalente plus r{\'e}guli{\`e}re (ce qui ne
change pas la
cohomologie $L^p$), on peut supposer que les d{\'e}riv{\'e}es covariantes
jusqu'{\`a} l'ordre
$\ell$ de la courbure sont uniform{\'e}ment born{\'e}es (voir \cite{BMR}). La
proximit{\'e} $C^\ell$ ne co{\^u}te donc pas plus cher.

\begin{defi}
\label{locale}
{\em Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compacte (resp. compacte {\`a}
bord). On note $\nabla$ la
d{\'e}riv{\'e}e covariante. Soient $p$ et $p'$ des r{\'e}els positifs tels que $\d
\inv{p}+\inv{p'}=1$. Soit $\omega$ une $k$-forme diff{\'e}rentielle sur
$M$. Sa} norme $L_{-\ell}^{p}$ {\em est la borne sup{\'e}rieure des int{\'e}grales $\d\int_{M}
\omega\wedge\phi$ sur les $n-k$-formes
$\phi$ sur $M$, de classe $C^\ell$ (resp. nulles au voisinage du bord) et
telles que}
$$
\n{\phi}_{L_{\ell}^{p'}(M)}:=(\n{\phi}^{p'}_{L^{p'}(M)}
+\n{\nabla\phi}^{p'}_{L^{p'}(M)}+\cdots+\n{\nabla^{\ell}\phi}^{p'}_{L^{p'}(M
)})^{1/p'}\leq
1.
$$
\end{defi}

\remarque Le transport par un diff{\'e}omorphisme de classe $C^\ell$ est un
isomorphisme
entre espaces $L_{-\ell}^{p}$.

\begin{defi}
\label{globale}
{\em Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e. Soit
$\omega$ une
$k$-forme sur $M$. On} note
$$
\n{\omega}_{L_{-\ell}^{p}\Omega^{k}(M)}=(\int_{M}
\n{\omega_{|B(x,\epsilon)}}_{L^{p}_{-\ell}(B(x,\epsilon))}^{p}\,dx)^{1/p}.
$$
\end{defi}

\remarque Changer le rayon des boules conduit {\`a} une norme {\'e}\-qui\-va\-len\-te.
Si $M$ est compacte, elle est automatiquement {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e. Les
d{\'e}finitions \ref{locale} et \ref{globale} donnent dans ce cas des normes
{\'e}quivalentes.

\remarque Clairement, $L_{-\ell}^{p}\subset L_{-\ell-1}^{p}$ et la
diff{\'e}rentielle
ext{\'e}rieure est born{\'e}e de $L_{-\ell}^{p}$ dans $L_{-\ell-1}^{p}$.

\begin{lemme}
\label{module}
Si $M$ est compacte ({\'e}ventuellement avec bord), l'espace
$L_{-\ell}^{p}(M)$ est un
mo\-du\-le sur l'algèbre $C^{\ell}(M)$.
\end{lemme}

\preuve
Soit $u$ une fonction de classe $C^\ell$ sur $M$, $\omega$ une $k$-forme
sur $B$ et $\phi$
une
$n-k$-forme lisse {\`a} support compact dans $M$, telle que
$\d\n{\phi}_{L_{\ell}^{p}(M)}\leq
1$. Alors
$\nabla u\phi=(\nabla u)\phi +u\nabla\phi$ entra{\^\i}ne
$$
\n{u\phi}_{L_{\ell}^{p'}}\leq \n{u}_{C^{\ell}}\n{\phi}_{L_{\ell}^{p'}}\leq
\n{u}_{C^{\ell}(M)}.
$$
Il vient
$$
\int_{M} u\omega\wedge\phi
=\int_{M} \omega\wedge u\phi\leq
\n{u}_{C^{\ell}(M)}\n{\omega}_{L_{-\ell}^{p}(M)}
$$
donc
$$
\n{u\omega}_{L_{-\ell}^{p}(M)}\leq
\n{u}_{C^{\ell}(M)}\n{\omega}_{L_{-\ell}^{p}(M)}.\qed
$$

\remarque Plus g{\'e}n{\'e}ralement, si $\phi$ est une forme diff{\'e}rentielle
de classe
$C^\ell$ sur $M$, le produit ext{\'e}rieur par $\phi$ est un op{\'e}rateur
born{\'e} sur
$L_{-\ell}^{p}$.

\begin{prop}
\label{composantes}
Soit $G$ un groupe de Lie muni d'une m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a}
gauche. Une
forme diff{\'e}rentielle sur $G$ est dans $L_{-\ell}^{p}$ si et seulement si
ses composantes
dans un rep{\`e}re de formes invariantes {\`a} gauche sont des fonctions dans
$L_{-\ell}^{p}$.
\end{prop}
\preuve
Par invariance {\`a} gauche, il suffit de le v{\'e}rifier pour la boule
unit{\'e} $B$ de $G$. Soit
$\theta_{1},\cdots,\theta_{n}$ une base de $1$-formes invariantes {\`a}
gauche. Soit
$\{i_{1},\cdots,i_{n}\}$ une permutation de $\{1,\cdots,n\}$, soit $u$ une
fonction de
classe $C^\ell$ {\`a} support compact dans $B$. Il existe une constante
in\-d{\'e}\-pen\-dan\-te de $u$
telle que
$$
\con
\n{u}_{L_{\ell}^{p'}(B)}\leq \n{u\theta_{i_{1}}\wedge\cdots\wedge
\theta_{i_{k}}}_{L_{\ell}^{p'}(B)}\leq\con
\n{u}_{L_{\ell}^{p'}(B)}.
$$
Par dualit{\'e}, on en tire, pour toute fonction $v$ de $L_{-\ell}^{p}(B)$
$$
\con
\n{v}_{L_{-\ell}^{p}(B)}\leq\n{v\theta_{i_{k+1}}\wedge\cdots\wedge
\theta_{i_{n}}}_{L_{-\ell}^{p}(B)}\leq\con
\n{v}_{L_{-\ell}^{p}(B)}.
$$
\qed

\remarque En particulier, dans la boule unit{\'e} de $\R^n$, une forme
diff{\'e}rentielle est
dans $L_{\ell}^{p}$ si et seulement si ses composantes, des fonctions, le sont.

\subsection{R{\'e}gularisation}
Dans cette section, on construit les op{\'e}rateurs de r{\'e}gularisation $S$ et $T$
n{\'e}cessaires pour appliquer le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm}.

\medskip

Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compacte sans bord. Notons
${\cal H}$ l'espace des formes harmonique sur $M$. Le laplacien $\Delta$
admet un inverse
born{\'e} sur l'orthogonal
$L^2$ de ${\cal H}$. On note $\Gamma=\Delta^{-1}\circ\Pi$ la composition avec le
projecteur
orthogonal sur ${\cal H}^{\perp}$. Comme $\Delta$ commute avec $d$ et $d^*$,
il en est de m{\^e}me de $\Gamma$.

\begin{lemme}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compacte sans bord. Soit $p>1$. Les
op{\'e}rateurs
$T_{M}=d^{*}\Gamma$ et $S_{M}=1-dT_{M}-T_{M}d$ sont born{\'e}s de
$L^{p}_{-\ell}\Omega^{*}(M)$ dans
$L_{-\ell+1}^{p}\Omega^{*}(M)$.
\end{lemme}
\preuve
Comme $\Gamma$ commute avec $d$, $S_{M}=1-dT_{M}-Td_{M}=1-\Delta \Gamma=1-\Pi$ est le projecteur
orthogonal sur ${\cal H}$. Il est donc aussi r{\'e}gularisant qu'on veut.

Montrons que $\Gamma$ est born{\'e} de $L^{p'}$ dans $L_{2}^{p'}$. L'estim{\'e}e
$L^{p'}$ pour le
laplacien, \cite{ADN}, s'{\'e}nonce comme suit. Pour $\phi\in L_{2}^{p'}$,
$$
\n{\phi}_{L_{2}^{p'}}\leq\con(\n{\phi}_{L^{p'}}+\n{\phi}_{L^{p'}}).
$$
Montrons d'abord que l'image par $\Delta$ de ${\cal H}^{\perp}\cap
L_{2}^{p'}$ est ferm{\'e}e
dans $L^{p'}$. Soit $\omega\in L^{p'}$, soit $\phi_{j}\in
{\cal H}^{\perp}\cap L_{2}^{p'}$ une
suite telle que
$\Delta(\phi_{j})$ converge dans $L^{p'}$ vers $\omega$. Alors $\phi_j$ est
born{\'e}e dans
$L^{p'}$. Sinon, $\psi_{j}=\phi_{j}/\n{\phi_{j}}_{L^{p'}}$ est born{\'e} dans
$L_{2}^{p'}$
donc, par compacit{\'e} du plongement de Sobolev, on peut supposer que
$\psi_{j}$ converge
fortement dans $L^{p'}$ vers un $\psi$ de norme $1$, et converge faiblement
dans ${\cal
H}^{\perp}\cap L_{2}^{p}$. Or $\Delta\psi_{j}$ tend vers $0$, donc
$\psi\in{\cal H}$. Il
vient $\psi=0$, contradiction. On conclut que $\phi_j$ est born{\'e}e dans
$L^{p'}$. On peut
donc supposer que $\phi_j$ converge faiblement dans ${\cal H}^{\perp}\cap
L_{2}^{p'}$ vers
$\phi$, et $\omega=\Delta\phi$ est dans l'image du laplacien. On conclut que
$\Delta({\cal H}^{\perp}\cap L_{2}^{p'})$ est ferm{\'e}
dans $L^{p'}$.

Le laplacien {\'e}tant sym{\'e}trique, son image est exactement
${\cal H}^{\perp}\cap L^{p'}$. L'op{\'e}rateur $\Delta$ est une bijection
continue entre les
espaces de Banach ${\cal H}^{\perp}\cap L_{2}^{p'}$ et ${\cal
H}^{\perp}\cap L^{p'}$.
C'est donc un isomorphisme. On conclut que $\Gamma$ est born{\'e} de $L^{p'}$ dans
$L_{2}^{p'}$.

Le m{\^e}me argument montre que $\Gamma$ est born{\'e} de $L_{\ell}^{p'}$ dans
$L_{\ell+2}^{p'}$.
En effet, l'estim{\'e}e elliptique est vraie sur $L_{\ell}^{p'}$.
En particulier, l'adjoint $L^2$ de $T_{M}$, l'op{\'e}rateur $T^{*}=d\Gamma$ est
born{\'e} de
$L_{\ell}^{p'}$ dans $L_{\ell+1}^{p'}$.

Par dualit{\'e}, on conclut que $T_{M}$ est born{\'e} de $L_{-\ell}^{p}$ dans
$L_{-\ell+1}^{p}$.\qed

\begin{cor}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} bord compacte. Soit $p>1$. Il existe
des op{\'e}rateurs $S_{M}$ et $T_{M}$ tels que $1=S_{M}+dT_{M}+Td_{M}$ et
pour toutes fonctions
lisses
$\chi$ et
$\chi'$ {\`a} support compact dans l'int{\'e}rieur de $M$, $\chi'\circ
S_{M}\circ\chi$,
$d\chi'\wedge T_{M}\circ\chi$ et $T_{M}\circ d\chi\wedge\cdot$ sont born{\'e}s de
$L^{p}_{-\ell}\Omega^{*}(M)$ dans
$L_{-\ell+1}^{p}\Omega^{*}(M)$.
\end{cor}
\preuve
On peut toujours compl{\'e}ter $M$ en une vari{\'e}t{\'e} compacte sans bord. On
utilise
ensuite le fait que $L_{-\ell}^{p}$ est un $C^\ell$-module (lemme
\ref{module} et la
remarque qui le suit).\qed


\begin{prop}
\label{regul}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e. Soit
$p>1$, $\ell\geq 1$.
Il existe des op{\'e}rateurs born{\'e}s $S$ et $T$ de
$L^{p}_{-\ell}\Omega^{*}(M)$ dans
$L_{\ell+1}^{p}\Omega^{*}(M)$, tels que $1=S+dT+Td$.
\end{prop}
\preuve
En transportant au moyen de diff{\'e}omorphismes contr{\^o}l{\'e}s en norme
$C^\ell$ les
op{\'e}rateurs $S_{B}$ et $T_{B}$ de la boule unit{\'e} $B$ de $\R^n$, on
obtient pour chaque
$z\in M$ des op{\'e}rateurs $S_z$ et $T_z$ sur la boule $B(z,\epsilon)$ de
$M$ tels que
$\chi'_{z}\circ S_{z}\circ\chi_{z}$,
$d\chi'_{z}\wedge T_{z}\circ\chi_{z}$ et $T_{z}\circ d\chi_{z}\wedge\cdot$
soient born{\'e}s
de $L^{p}_{-\ell}\Omega^{*}(B(z,\epsilon))$ dans
$L_{-\ell+1}^{p}\Omega^{*}(B(z,\epsilon))$ en fonction seulement des normes
$C^\ell$ de
$\chi'_{z}$ et $\chi_{z}$. On choisit les fonctions $\chi'_{z}$ et
$\chi_{z}$ de sorte que
pour tout $x\in M$, $\int \chi'_{z}\chi_{z}(x)\,dz=1$.

On pose, pour $\omega\in L_{-\ell}^{p}(M)$,
$$
T\omega=\int_{M} \chi'_{z}T_{z}(\chi_{z}\omega_{\mid B(z,\epsilon)})\,dz.
$$
Pour chaque $z\in M$, $\chi_{z}\omega_{\mid B(z,\epsilon)}\in
L_{-\ell}^{p}(B(z,\epsilon))$ et
$$
\n{\chi'_{z}T_{z}(\chi_{z}\omega_{\mid
B(z,\epsilon)})}_{L_{-\ell+1}^{p}(B(z,\epsilon))}\leq\con
\n{\omega_{\mid B(z,\epsilon)}}_{L_{-\ell}^{p}(B(z,\epsilon))}
$$
donc, par d{\'e}finition de la norme $L_{-\ell}^{p}$,
$$
\n{T\omega}_{L_{-\ell+1}^{p}}\leq\con\n{\omega}_{L_{-\ell}^{p}}.
$$
On calcule
\begin{eqnarray*}
&&d(\chi'_{z}T_{z}(\chi_{z}\omega))+\chi'_{z}T_{z}(\chi_{z}d\omega)\\
&=&d\chi'_{z}\wedge
T_{z}(\chi_{z}\omega)+\chi'_{z}(T_{z}d+dT_{z})(\chi_{z}\omega)-\chi'_{z}T_{z
}(d\chi_{z}\wedge\omega)\\
&=&\chi'_{z}(1-S_{z})(\chi_{z}\omega)+d\chi'_{z}\wedge
T_{z}(\chi_{z}\omega)-\chi'_{z}T_{z}(d\chi_{z}\wedge\omega)\\
&=&\chi'_{z}\chi_{z}\omega-{\tilde S}_{z}(\omega)
\end{eqnarray*}
o{\`u}
$$
{\tilde
S}_{z}(\omega)=\chi'_{z}S_{z}(\chi_{z}\omega)+\chi'_{z}T_{z}(d\chi_{z}\wedge
\omega)
-d\chi'_{z}\wedge T_{z}(\chi_{z}\omega)
$$
donc ${\tilde S}_{z}$ est born{\'e} de
$L_{-\ell}^{p}(B(z,\epsilon))$
dans $L_{-\ell+1}^{p}(B(z,\epsilon))$, uniform{\'e}ment en $z$.
On pose
$$
S=\int_{M} {\tilde S}_{z}\,dz.
$$
Alors $1=S+dT+Td$, et $S$ et $T$ sont born{\'e}s de
$L^{p}_{-\ell}\Omega^{*}(M)$ dans
$L_{-\ell+1}^{p}\Omega^{*}(M)$.\qed

\begin{cor}
\label{hypo}
Sur une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e, les
hypoth{\`e}ses 1., 2. et 3. du
th{\'e}or{\`e}me \ref{thm} sont satisfaites pour tout $p>1$.
\end{cor}
\preuve
Soient $S$ et $T$ les op{\'e}rateurs fournis par la proposition \ref{regul}.
La relation
$S=1-dT-Td$ entra{\^\i}ne que $dS=Sd$. Par d{\'e}finition, $L^{p}\subset
L_{-1}^{p}$ donc $S$ et
$T$ sont born{\'e}s sur $L^{p}$. L'op{\'e}rateur $d$ est born{\'e} de $L^{p}$
dans $L_{-1}^{p}$ donc
$iTd$ et $Sd$ sont born{\'e}s sur $L^p$. Enfin, comme $L_{-1}^{p}$ est un
$C^{1}$-module, $i$
est born{\'e} de $L_{-1}^{p}$ dans lui-m{\^e}me, et $Tid$ est born{\'e} sur
$L^p$. \qed

\subsection{Comparaison des normes $L^{p}+dL^{p}$ et $L_{-1}^{p}$}

\begin{defi}
{\em On} note $\Omega_{-1}^{*,p}(M)$ {\em l'espace des formes
diff{\'e}rentielles qui sont
dans $L_{-1}^{p}$ ainsi que leur diff{\'e}rentielle ext{\'e}rieure, muni de
la norme
$$
\n{\omega}_{\Omega_{-1}^{*,p}(M)}=(\n{\omega}_{L_{-1}^{p}(M)}^{p}+
\n{d\omega}^{p}_{L_{-1}^{p}(M)})^{1/p}.
$$}
\end{defi}

\begin{prop}
\label{l-1p=lp+dlp}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne de dimension $n$ {\`a} g{\'e}om{\'e}trie
born{\'e}e. Alors
les normes de $L^{p}+dL^{p}$ et de $\Omega_{-1}^{*,p}(M)$ sont {\'e}quivalentes.
\end{prop}
\preuve
Par construction, $L^{p}+dL^{p}\subset L_{-1}^{p}$ et $L^{p}+dL^{p}$ est
stable par $d$ donc
$L^{p}+dL^{p}\subset \Omega_{-1}^{*,p}$.
Inversement, soit $\omega$ une forme dans
$L_{-1}^{p}(M)$ telle que
$d\omega\in L_{-1}^{p}(M)$. Utilisons les op{\'e}rateurs de r{\'e}gularisation
de la proposition
\ref{regul}. Alors
$\omega=(S+Td)\omega+dT\omega$ o{\`u}
$(S+Td)\omega\in L^p$ et
$T\omega\in L^p$, donc $\omega\in L^{p}+dL^p$.\qed


\begin{cor}
\label{comp}
Soit $G$ un groupe de Lie muni d'une m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a}
gauche. Une
forme diff{\'e}rentielle $\omega$ sur $G$ est dans $L^{p}+dL^{p}$ si et seulement si
les composantes de $\omega$ et de $d\omega$
dans un rep{\`e}re de formes invariantes {\`a} gauche sont des fonctions dans
$L_{-1}^{p}(G)$.
\end{cor}

\preuve
Combiner les propositions \ref{composantes} et \ref{l-1p=lp+dlp}.\qed

\remarque En degr{\'e} maximum, les normes $L^{p}+dL^{p}$ et $L_{-1}^{p}$
sont non seulement
{\'e}\-qui\-va\-len\-tes, mais elles co{\"\i}ncident.

\begin{prop}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compacte ({\'e}\-ven\-tu\-el\-le\-ment avec bord)
de dimension $n$.
Si
$\omega$ est une
$n$-forme sur $M$,
$$
\n{\omega}_{L_{-1}^{p}(M)}= \n{\omega}_{(L^{p}+dL^{p})(M)}.
$$
\end{prop}
\preuve
Soit $\omega$ une $n$-forme diff{\'e}rentielle sur $M$. L'in{\'e}galit{\'e}
$$
\n{\omega}_{L_{-1}^{p}(M)}\leq \n{\omega}_{(L^{p}+dL^{p})(M)}
$$
r{\'e}sulte de la d{\'e}finition.

Notons $E\subset
L^{p'}_{1}(B)$ l'adh{\'e}rence du sous-espace des fonctions lisses {\`a}
support compact. Par
d{\'e}finition, $\d\n{\omega}_{L_{-1}^{p}(B)}$ est la borne sup{\'e}rieure sur
la boule unit{\'e} de
$E$ de la forme lin{\'e}aire $\d u\mapsto \int u\omega$. Par uniforme
convexit{\'e} de la norme
$L^{p'}$, cette borne sup{\'e}rieure est atteint en une unique fonction $u$
de norme $1$. Celle-ci
satisfait l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle suivante. Il existe un
multiplicateur de Lagrange
$\l\in\R$ tel que, pour tout fonction lisse $v$ nulle au bord de $M$,
$$
\int_{M} p'u^{p'-1}v\omega_{0}+p'|du|^{p-2}*du\wedge dv-\l v\omega=0
$$
o{\`u} $\omega_{0}$ est l'{\'e}l{\'e}ment de volume riemannien.
En faisant $v=u$, on trouve en particulier
$$
\l\int_{M}u\omega=p'\n{u}^{p'}_{L_{1}^{p'}(M)}=p'
$$
donc $\l\not=0$.
Une int{\'e}gration par parties donne
$$
\int_{M} v(p'u^{p'-1}\omega_{0}+d(p'|du|^{p-2}*du)-\l \omega)=0,
$$
i.e. $\d p'u^{p'-1}\omega_{0}+d(p'|du|^{p-2}*du)-\l \omega\equiv 0$.

Posons $\beta=p'/\l u^{p'-1}\omega_{0}$ et $\gamma=p'/\l |du|^{p-2}*du$.
Alors $\beta\in L^p$,
$\gamma\in L^p$, $\omega=\beta+d\gamma$ et
$$
\n{\beta}^{p}_{L^{p}(B)}+\n{\gamma}^{p}_{L^{p}(M)}=(p'/\l)^{p}\n{u}^{p'}_{L_
{1}^{p'}(M)}
=(p'/\l)^{p}=(\int_{M} u\omega)^{p}.
$$
On conclut que $\d \n{\omega}_{L_{-1}^{p}(M)}=
\n{\omega}_{(L^{p}+dL^{p})(M)}$.\qed

\begin{cor}
\label{div}
Soit $B$ la boule unit{\'e} d'un groupe de Lie $M$. On se donne une base
$(\xi_{1},\cdots,\xi_{n})$
de champs de vecteurs invariants {\`a} gauche. Soit $u$ une fonction sur $B$.
Sa norme
$L_{-1}^{p}$ est ({\'e}quivalente {\`a}) la borne inf{\'e}rieure des expressions
$$
\sum_{j=1}^{n} \n{v_{j}}_{L^{p}(B)}
$$
sur les $n$-uplets de fonctions $(v_{1},\ldots,v_{n})$ telles que $v=\sum
\xi_{j}v_{j}$.
\end{cor}

\section{Norme $L^{p}+dL^{p}$ sur les $1$-for\-mes fer\-m{\'e}es}
\label{1}
La norme $L^{p}+dL^{p}$ de la diff{\'e}rentielle d'une fonction a une
expression simple (lemme \ref{-1}).
On en tire une expression assez explicite pour la norme de l'espace $\bp1$
d'un produit semi-direct (corollaire \ref{kappa}).

\begin{lemme}
\label{deg1}
Soit $u$ une fonction sur la boule unit{\'e} $B$ de $\R^n$. Alors
$$
\n{du}_{(L^{p}+dL^{p})(B)}\sim \inf\{\n{u-a}_{L^{p}(B)}~;~a\in\R\}.
$$
\end{lemme}

\preuve
D'apr{\`e}s l'in{\'e}galit{\'e} de Poincar{\'e}, il existe une constante telle que
pour toute
fonction $v\in L^{p}_{1}(B)$, il existe une constante $m_{v}$ (d{\'e}\-pen\-dant
de $v$) telle que
$\d\n{v-m_{v}}_{L^{p}(B)}\leq \con \n{dv}_{L^{p}(B)}$.

Soient $\beta$ et $\gamma$ des formes diff{\'e}rentielles sur $B$ telles que
$\beta+d\gamma=du$. Alors $\gamma$ est une fonction, $\beta$ une $1$-forme
ferm{\'e}e $L^p$
donc il existe une fonction $v\in L^{p}_{1}(B)$ telle que $\beta=dv$. Alors
il existe une
constante $m_{v}$ telle que
\begin{eqnarray*}
\n{\beta}^{p}_{L^{p}(B)}+\n{\gamma}^{p}_{L^{p}(B)}
&\geq&\con \n{v-m_{v}}^{p}_{L^{p}(B)}+\n{\gamma}^{p}_{L^{p}(B)}\\
&\geq&\con\n{v-m_{v}+\gamma}^{p}_{L^{p}(B)}\\
&=&\con\n{u-a}^{p}_{L^{p}(B)}\\
\end{eqnarray*}
o{\`u} $a$ est le r{\'e}el tel que $v-m_{v}+\gamma=u-a$. Il existe car par
construction
$d(v-m_{v}+\gamma)=du$.

Inversement, soit $a\in\R$. Alors posant $\beta=0$ et $\gamma=u-a$, on a
$\beta+d\gamma=du$
et $\d
\n{\beta}^{p}_{L^{p}(B)}+\n{\gamma}^{p}_{L^{p}(B)}=\n{u-a}^{p}_{L^{p}(B)}$.\
qed



\begin{lemme}
\label{-1}
Soit $u$ une fonction sur la boule unit{\'e} $B$ de $\R^n$. Alors {\`a} des
constantes pr{\`e}s,
$$
\n{du}_{L^{p}+dL^{p}(B)}\sim (\int_{B\times B} |u(x)-u(y)|^{p}\,dx\,dy)^{1/p}.
$$
\end{lemme}

\preuve
D'apr{\`e}s le lemme \ref{deg1}, il existe une fonction $v$ sur $B$ telle que
$du=dv$ et
$$
\n{du}_{L^{p}+dL^{p}(B)}\sim\n{v}_{L^{p}(B)}.
$$ Soit $w$ la fonction
obtenue en retranchant
{\`a} $v$ sa valeur moyenne sur $B$. Comme
$\d|\int_{B} v|\leq\n{v}_{L^{p}(B)}$, on a $\n{w}_{L^{p}(B)}\leq
2\n{v}_{L^{p}(B)}$.
Comme $dw=du$, $\n{w}_{L^{p}(B)}\geq \n{u}_{L^{p}+dL^{p}(B)}$. Autrement
dit, il existe une
fonction $w$ de moyenne nulle sur $B$ telle que $dw=du$ et
$$
\n{du}_{L^{p}+dL^{p}(B)}\sim \n{w}_{L^{p}(B)}.
$$
Clairement
\begin{eqnarray*}
(\int_{B\times B} |u(x)-u(y)|^{p}\,dx\,dy)^{1/p}
&=&(\int_{B\times B} |w(x)-w(y)|^{p}\,dx\,dy)^{1/p}\\
&=&\n{w(x)-w(y)}_{L^{p}(B\times B)}\\
&\leq& \n{w(x)}_{L^{p}(B\times B)}+\n{w(y)}_{L^{p}(B\times B)}\\
&\leq& \con \n{w}_{L^{p}(B)}.
\end{eqnarray*}
Inversement, comme $\int_{B} w(y)\,dy=0$,
\begin{eqnarray*}
\int_{B} w(x)^{p}dx&=&\int_{B}(\int_{B} (w(x)-w(y))\,dy)^{p}dx\\
&\leq& \int_{B\times B} |w(x)-w(y)|^{p} dx\,dy\\
&=& \int_{B\times B} |u(x)-u(y)|^{p}\,dx\,dy
\end{eqnarray*}
par H{\"o}lder. On a donc bien
$$
\n{du}_{L^{p}+dL^{p}(B)}\sim (\int_{B\times B}
|u(x)-u(y)|^{p}\,dx\,dy)^{1/p}. \qed
$$

\begin{cor}
\label{1ff}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e.
Soit $u$ une fonction sur $M$ telle que $du\in L_{-1}^{p}$. Alors
$$
\n{du}_{L^{p}+dL^{p}}\sim\n{du}_{L_{-1}^{p}}\sim (\int_{M\times M}
|u(x)-u(y)|^{p}\psi(x,y)\,dx\,dy)^{1/p}
$$
o{\`u} $\psi(x,y)={\rm vol}B(x,\epsilon)\cap B(y,\epsilon)$.
\end{cor}

\preuve
La proposition \ref{l-1p=lp+dlp} donne pour les formes ferm{\'e}es
l'{\'e}\-qui\-va\-len\-ce des normes
$L^{p}+dL^{p}$ et $L_{-1}^{p}$ dans chaque boule de rayon $\epsilon$. En
int{\'e}grant par
rapport aux centres, on obtient
$$
\n{du}_{L_{-1}^{p}}\sim (\int_{M\times M}
|u(x)-u(y)|^{p}\psi(x,y)\,dx\,dy)^{1/p}.
$$
La proposition \ref{l-1p=lp+dlp} donne enfin l'{\'e}quivalence des normes
globales. \qed

\begin{cor}
\label{kappa}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha} H$ un produit semi-direct.
Soit $u$ une fonction sur $H$ telle que $du\in\bp1(M,\xi)$ o{\`u} $\xi$ est
le champ invariant {\`a} gauche ${{\partial}\over{\partial t}}$. Alors
$$
\n{du}_{\bp1}\sim (\int_{H\times H}
|u(h)-u(h')|^{p}\kappa(h^{-1}h')\,dh\,dh')^{1/p}
$$
o{\`u} $\kappa$ est une fonction positive sur $H$ telle que $\kappa\circ
e^{t\alpha}=e^{-2ht}\kappa$.
\end{cor}

\preuve
Si $x=(t,h)$ et $y=(t',h')\in G$, on r{\'e}{\'e}crit l'int{\'e}grale du
corollaire \ref{1ff}
$$
\int_{G\times G} |u(x)-u(y)|^{p}\psi(x,y)\,dx\,dy
=\int_{H\times H} |u(h)-u(h')|^{p}\kappa(h,h')\,dh\,dh'
$$
o{\`u}
$$
\kappa(h,h')=\int_{\R\times\R} \psi((h,t),(h',t'))e^{{\rm
tr}(\alpha)(t+t')}\,dt\,dt'.
$$
L'invariance de $\psi$ par les translations {\`a} gauche de $G$ se traduit
d'une part par
l'invariance de $\kappa$ (ce qui permet d'{\'e}crire
$\kappa(h,h')=\kappa(h^{-1}h')$)
et d'autre part, par l'homog{\'e}n{\'e}{\"\i}t{\'e} annonc{\'e}e sous le groupe
$e^{t\alpha}$.
\qed



\section{Restrictions sur les formes basiques}
\label{res}
A l'exception du degr{\'e} $1$ (voir en sections \ref{1} et \ref{1formes}), ou du cas de
l'espace hyperbolique r{\'e}el (voir en \ref{hyperbreel}), on ne sait pas
calculer compl{\`e}tement les espaces $\bp{k}(M)$. N{\'e}anmoins, on va montrer
que dans certains cas, certaines composantes d'une forme de $\bp{k}(M)$ sont
automatiquement nulles.

\subsection{Deux m{\'e}canismes}
\label{dis}
\exemple
\label{exemple}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha} \R^2$ le produit semi-direct d{\'e}fini par la
matrice $\d\alpha=\pmatrix{-1&0\cr 0&2}$. Notons
$\pi:G\to H$ la projection. Soit $\beta=a\,dx+b\,dy$ une $1$-forme
diff{\'e}rentielle non nulle sur $H$. Alors $\phi=\pi^{*}\beta$ n'est jamais
dans $L^2$. En effet, notons $\beta_{+}=a\,dx$ et $\beta_{-}=b\,dy$. Il
vient
$$
\n{\phi}_{L^{2}(G)}^{2}\sim\int_{\R}(\n{\beta_{+}}_{L^{2}(\R^{2})}^{2}e^{3t}
+\n{\beta_{-}}_{L^{2}(\R^{2})}^{2}e^{-3t})\,dt
$$
donc
$$
\phi\in L^{2}(\R_{+}\times \R^{2})\Rightarrow \beta_{+}=0,\quad
\phi\in L^{2}(\R_{-}\times \R^{2})\Rightarrow \beta_{-}=0.
$$

La condition $\pi^{*}\beta\in(L^{2}+dL^{2})(\R_{\pm}\times\R^{2})$
impose aussi une restriction, plus faible, sur les composantes de $\beta$. 
On {\'e}crit $\pi^{*}\beta=\omega+d\psi$ o{\`u} $\omega$ et $\psi$
sont dans $L^{2}(\R_{+}\times \R^{2})$. 
On d{\'e}compose encore $\omega=a_{t}+dt\wedge b_{t}$ et $\psi=e_{t}$, o{\`u} les
$a_t$ sont des
$1$-formes et les $b_t$ et $e_t$ des fonctions sur $\R^2$. Alors
$\n{a_{+,t}}+\n{e_{t}}$ est dans
$L^{2}(\R_{+},e^{3t}dt)$. Par cons{\'e}quent il existe une suite $t_j$ tendant
vers $-\infty$ telle que
$a_{-,t_{j}}$ et $e_{t_{j}}$ tendent vers $0$.
D'autre part, pour tout $t$,
$$
\beta=a_{t}+de_{t}=a_{+,t}+a_{-,t}+de_{t}
$$
donc $\beta=\lim a_{-,t_{j}}$ dans $L_{-1}^{2}(\R^{2})$, donc $\beta_{+}=0$. 

Supposons maintenant
que $\pi^{*}\beta\in(L^{2}+dL^{2})(\R_{-}\times\R^{2})$. On trouve que 
$\n{a_{-,t}}$ est dans $L^{2}(\R_{-},e^{-3t}dt)$ donc tend vers $0$ (quitte
{\`a} prendre une sous-suite $t_j$). Il vient $\beta=\lim
a_{+,t_{j}}+de_{t_{j}}$ dans $L_{-1}^{2}(\R^{2})$. On conclut seulement que
$\beta_{-}$ est dans l'adh{\'e}rence $L_{-1}^{2}$ de l'image de
$d_{-}={{\partial}\over{\partial x}}$, ce qui ne dit rien.

Montrons comment un second mecanisme permet de d{\'e}duire de cette
annulation partielle l'annulation de la cohomologie $L^2$. On sait qu'une $1$-forme
$\beta$ sur $\R^2$ telle que
$\pi^{*}\beta\in {\cal B}^{1,2}(G,\xi)$ est n{\'e}cessairement de la forme $b\,dy$.
Si de plus
$d\beta=0$, alors la fonction $b$ ne d{\'e}pend pas de $x$, i.e. $\beta$ est
invariante par translation le long de l'axe des $x$. Or la norme
$L^{2}+dL^{2}$ de $\pi^{*}\beta$ est une int{\'e}grale sur $\R^2$ d'une quantit{\'e}
qui est elle aussi invariante par translation le long de l'axe des $x$. On conclut
que cette norme est nulle. Comme ${\cal B}^{1,2}(G,\xi)=0$ et $\xi$ est
$(0,2)$-Anosov, le th{\'e}or{\`e}me
\ref{thm} donne que $H^{1,2}(G)=0$.

\subsection{Cas g{\'e}n{\'e}ral : exposants non critiques}
\begin{defi}
\label{gamma}
Soit $E$ un fibr{\'e} sur une vari{\'e}t{\'e} $M$. On {\em note} $\Gamma(E)$ l'espace
vectoriel topologique des sections de $E$ {\`a} coefficients
distributions. Lorsque $M=G$ est un groupe de Lie et $E$ un fibr{\'e} invariant {\`a}
gauche sur $G$, on confondra parfois dans la notation le fibr{\'e} $E$ et sa fibre
au-dessus de l'{\'e}l{\'e}ment neutre.
\end{defi}

\begin{prop}
\label{distr}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te. Soit $\xi$ un champ
de vecteurs unitaire $(k-1,p)$-Anosov et $(k,p)$-Anosov sur $M$. 
On suppose qu'il
existe une
$1$-forme ferm{\'e}e $dt$ invariante par $\xi$ 
et telle que $dt(\xi)=1$. 
Pour $j=k-1,\,k$, on note $\d \Lambda^{j}_{-}\oplus\Lambda^{j}_{-}$ la
d{\'e}composition $(j,p)$-Anosov de $\ker\iota_{\xi}$. Soit $\omega$ une
$k$-forme diff{\'e}rentielle sur $M$ annul{\'e}e par
$\iota_{\xi}$ et invariante par le flot de $\xi$,
{\`a} coefficients dans $L^{p}_{-1}(M)$. Alors
$$
\omega\in\overline{\opp{k}+d\opp{k-1}}\cap\overline{\opm{k}+d\opm{k-1}},
$$
o{\`u} l'adh{\'e}rence est prise au sens des distributions.
En particulier, avec les
notations de \ref{basique},
$$
\bp{k}(M,\xi)\subset\overline{\opp{k}+d\opp{k-1}}\cap\overline{\opm{k}+d\opm{k-1}}.
$$
\end{prop}

\preuve
Soit $\omega=\beta+d\gamma\in \bp{k}(M,\xi)$ o{\`u}
$\beta$ et $\gamma$ sont dans $L^p$. Notons $\phi_t$ le flot
de $\xi$. 
Ecrivons $\beta=a+dt\wedge b$ et 
$\gamma=e+dt\wedge f$ o{\`u} $a$, $b$, $e$ et 
$f$ sont annul{\'e}es par
$\iota_{\xi}$. Alors
$\omega=a+d_{\nu}e$ o{\`u} $d_\nu$ ne garde que la 
composante annul{\'e}e par
$\iota_{\xi}$ de la diff{\'e}rentielle ext{\'e}rieure. 
Comme $\xi$ est
$(k-1,p)$-Anosov et $(k,p)$-Anosov, les $k-1$-formes et $k$-formes se d{\'e}composent
en $a=a_{+}+a_{-}$
et $e=e_{+}+e_{-}$, de sorte que, lorsque $t$ tend vers $+\infty$,
$\phi_{t}^{*}a_{+}$ et $\phi_{t}^{*}e_{+}$ tendent vers $0$ en norme $L^p$. Par
cons{\'e}quent 
$$
\omega=\lim_{t\to+\infty} \phi_{t}^{*}a_{-}+d_{\nu}\phi_{t}^{*}e_{-}.
$$
en topologie $L^{p}_{-1}$. Ceci entra{\^\i}ne la convergence des restrictions {\`a}
presque toute feuille du feuilletage d{\'e}fini par $dt$. Localement, on peut projeter
sur une telle feuille $F$ parall{\`e}lement aux orbites de $\xi$, et tirer en arri{\`e}re 
les formes $\phi_{t}^{*}a_{-}$ et $\phi_{t}^{*}e_{-}$. On obtient des formes $a_t$
et $e_t$ d{\'e}finies localement, invariantes par $\xi$, annul{\'e}es par $\iota_\xi$,
{\`a} valeurs dans $\Lambda_{-}$, et telles que $a_{t}+de_{t}$ converge vers
$\omega$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. De m{\^e}me, on construit localement des formes
$a'_t$ et $e'_t$ invariantes par $\xi$, annul{\'e}es par $\iota_\xi$,
{\`a} valeurs dans $\Lambda_{+}$, et telles que $a'_{t}+de'_{t}$ converge vers
$\omega$ lorsque $t$ tend vers $-\infty$.\qed

\remarque
On trouvera en \ref{e+} une r{\'e}ciproque partielle de la proposition
\ref{distr}.

\subsection{Cas des groupes de Lie}

Pour les champs de vecteurs invariants {\`a} gauche sur les groupes de Lie, on peut
affaiblir l'hypoth{\`e}se $(k,p)$-Anosov, i.e. il n'est pas n{\'e}cessaire de
supposer l'exposant $p$ non critique.

\begin{prop}
\label{distr'}
Soit $G$ un groupe de Lie muni d'une m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a} 
gauche et soit $\xi\in\G$. Soit 
$$
\ker\iota_{\xi}=\Lambda^{k}_{+}\oplus\Lambda^{k}_{0}\oplus\Lambda^{k}_{-}
$$
la d{\'e}composition de $\ker\iota_{\xi}\subset\Lambda^{k}\G^{*}$ en sous-espaces
caract{\'e}ristiques correspondant {\`a} des valeurs propres de $ad_\xi$ de partie r{\'e}elle
strictement sup{\'e}rieure (resp. {\'e}gale, resp. strictement inf{\'e}rieure) {\`a}
$\tr(ad_{\xi})/p$. On note
$\beta_{+}$ la composantes d'une forme diff{\'e}rentielle $\beta$ sur
$\L^{k}_{+}$, et $d_{+}\beta=(d\beta)_{+}$. Alors pour toute forme
$\omega\in\bp{k}(G,\xi)$,
$$
\omega_{+}\in \overline{d_{+}(\Gamma(\L^{k-1}_{-})+\Gamma(\L^{k-1}_{0}))},\quad
\omega_{-}\in \overline{d_{-}(\Gamma(\L^{k-1}_{+})+\Gamma(\L^{k-1}_{0}))}
$$
o{\`u} l'adh{\'e}rence est dans la topologie $L^{p}_{-1,loc}$.

Supposons de plus que le groupe {\`a} $1$ param{\`e}tre $\phi:\R\to G$ engendr{\'e} par
$\xi$ est injectif et d'image ferm{\'e}e et que $ad_{\xi}$ est semi
simple sur $\Lambda^{k-1}_{0}$. Alors $\omega$ s'annule sur tout vecteur
propre de $ad_{\xi}$ dans $\Lambda^{k}_{0}\otimes\C$. Supposons enfin que
$\Lambda^{k-1}_{-}=\Lambda^{k-1}_{0}=0$. Alors $\omega_{0}=0$.
\end{prop}

\preuve
On reprend l'argument de la proposition \ref{distr}. On {\'e}crit $\omega=a+d_{\nu}e$
o{\`u} $a$ et $e$ sont annul{\'e}es par $\iota_{\xi}$. On d{\'e}compose
$a=a_{+}+a_{0}+a_{-}$ et $e=e_{+}+e_{0}+e_{-}$, de sorte que $\phi_{\pm t}^{*}a_{\pm}$
(resp. $\phi_{\pm t}^{*}e_{\pm}$ tende vers $0$ dans $L^{p}_{loc}$ lorsque $t$ tend
vers $+\infty$. Alors 
$$
\omega=\lim_{t\to +\infty} \phi_{\pm t}^{*}(a_{0}+a_{\mp})+d\phi_{\pm
t}^{*}(e_{0}+e_{\mp}),
$$
ce qui prouve l'{\'e}nonc{\'e} le plus g{\'e}n{\'e}ral.

Sous les hypoth{\`e}ses suppl{\'e}mentaires, on montre qu'il existe une suite
$t_j$ tendant vers $+\infty$ telle que
$\phi_{\pm t_{j}}^{*}e_{0}$ tende vers $0$
dans
$L^{p}_{loc}$. 

Supposons d'abord que $ad_{\xi}$ est semi simple sur
$\Lambda^{k-1}_{0}$. 
Alors sur $\Lambda^{k}_{0}$, $ad_{\xi}-\tr(ad_{\xi})/p\,id$ est semi-simple
{\`a} valeurs propres imaginaires pures. Il existe donc une m{\'e}trique euclidienne sur
$\Lambda^{k-1}_{0}$ pour laquelle $ad_{\xi}-\tr(ad_{\xi})/p\,id$ est
antisym{\'e}trique. En translatant $\Lambda^{k-1}_{0}$ {\`a} gauche sur
$G$, on trouve un sous-fibr{\'e} du fibr{\'e} des $k$-formes, muni d'une m{\'e}trique
euclidienne multipli{\'e}e exactement par le facteur $J(\phi_{t})^{1/p}$ par le flot
$\phi_t$. Par cons{\'e}quent, il existe des constantes telles que pour tout ouvert $U$
de $G$ et tout $t\in\R$,
$$
\con \n{e_{0}}_{L^{p}(\phi_{t}(U))}\leq \n{\phi_{t}^{*}e_{0}}_{L^{p}(U)}\leq
\con
\n{e_{0}}_{L^{p}(\phi_{t}(U))}.
$$
Soit $\eta\in \Lambda^{k}\G\otimes\C$ un $k-1$-vecteur, vecteur propre de la
d{\'e}rivation $ad_\xi$ relatif {\`a} une valeur propre $\mu$ de partie r{\'e}elle {\'e}gale
{\`a} $\tr(ad_{\xi})/p$. Pour la m{\^e}me raison, la fonction
$t\mapsto e^{-t\Re e(\mu)}|(\phi_{t})_{*}a(\eta)|$ est born{\'e}e
inf{\'e}rieurement sur $\R$.

Par hypoth{\`e}se, le groupe {\`a} un param{\`e}tre $\phi_t$ est injectif et ferm{\'e} dans
$G$. Il existe donc un voisinage $U$ de l'origine dans $G$ dont les translat{\'e}s
{\`a} droite par $\phi_t$, $t\in\Z$, sont deux {\`a} deux disjoints. Il vient
$$
\sum_{t\in\Z}
\n{(\phi_{t}^{*}a)(\eta)}^{p}_{L^{p}(U)}+\n{\phi_{t}^{*}e_{0}}^{p}_{L^{p}(U)}\leq
\n{a}\lp+\n{e}\lp<+\infty
$$
donc il existe une suite $t_j$ tendant vers $+\infty$ telle que
$(\phi_{\pm t_{j}}^{*}a)(\eta)$ et
$\phi_{\pm t_{j}}^{*}e_{0}$ tendent vers $0$ dans $L^{p}(U)$. Ceci prouve que
$\omega(\eta)=0$, et donc le deuxi{\`e}me {\'e}nonc{\'e}.

\ali

Supposons maintenant que $\Lambda^{k-1}_{-}=\Lambda^{k-1}_{0}=0$.
Dans ce cas, $\phi_{t}^{*}e$ tend vers $0$ exponentiellement
dans $L^p$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. 

Soit $\eta\in \Lambda^{k}\G\otimes\C$ un $k-1$-vecteur, vecteur propre de la
d{\'e}rivation $ad_\xi$ relatif {\`a} une valeur propre $\mu$ de partie r{\'e}elle {\'e}gale
{\`a} $\tr(ad_{\xi})/p$. On vient de voir qu'il existe une
suite $t_j$ telle que $(\phi_{t_{j}}^{*}a)(\eta)$ tende vers $0$. En particulier
$$
\omega(\eta)=\lim_{j}\phi_{t_{j}}^{*}(a+de)(\eta)=0.
$$
Ceci s'{\'e}crit aussi $0\equiv \omega(\eta)\equiv a(\eta)+de(\eta)$ donc
$\phi_{t}^{*}a(\eta)=-d(\phi_{t}^{*}e)(\eta)$ tend vers $0$ exponentiellement dans
$L^{p}_{-1}$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

Soit $\eta'\in\ker(ad_{\xi}-\mu\,I)^{2}$ et $\eta=(ad_{\xi}-\mu\,I)(\eta')$.
Alors $\eta$ est un vecteur propre et
$$
\exp(t\,ad_{\xi})(\eta')=e^{t\mu}(t\eta+\eta').
$$
On {\'e}tudie la fonction $\d
u_{t}=\phi_{t}^{*}a(\eta')-t\phi_{t}^{*}a(\eta)$ sur $G$. On calcule
$\d u_{t}=e^{t\mu}a(\eta')\circ\phi_{t}$ o{\`u} $\eta'$ est vu comme un champ de
$k$-vecteurs invariant {\`a} gauche sur $G$. Pour tout ouvert $U$, 
$$
\n{u_{t}}_{L^{p}(U)}=\n{u_{0}}_{L^{p}(\phi_{t}(U))}.
$$
Par cons{\'e}quent, il existe une suite $t_j$ tendant vers $+\infty$ telle $u_{t_{j}}$
tende vers $0$ dans $L^p$. Comme $\phi_{t}^{*}a(\eta)$ tend vers $0$
exponentiellement dans $L^{p}_{-1}$, la suite $t_{j}\phi_{t_{j}}^{*}a(\eta)$ tend vers
$0$ dans $L^{p}_{-1}$. On conclut que $\phi_{t_{j}}^{*}a(\eta')$ tend vers
$0$ dans $L^{p}_{-1}$, et donc que $\omega(\eta')=0$. De nouveau, cela
entra{\^\i}ne que $a(\eta')$ est une composante de $de$ donc converge vers
$0$ exponentiellement dans $L^{p}_{-1}$.

De proche en proche, on montre ainsi que $\omega$ s'annule sur tout l'espace
caract{\'e}ristique associ{\'e} {\`a} $\mu$. Ceci montre que $\omega_{0}=0$.\qed

\begin{cor}
\label{distr"}
Soit $G$ un groupe de Lie muni d'une m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a} gauche.
Soit $\xi\in\G$ tel que
$\tr(ad_{\xi})>0$. Soit $\omega$ une $1$-forme ferm{\'e}e dans $L^{p}_{-1}(G)$, nulle sur
$\xi$ et invariante par le flot de $\xi$. Alors au sens des distributions
$\omega$ s'annule sur les espaces caract{\'e}ristiques de $ad_{\xi}$ dans $\G$
correspondant {\`a} des valeurs propres de partie r{\'e}elle inf{\'e}rieure ou
{\'e}gale {\`a} $\tr(ad_{\xi})/p$.
\end{cor}

\preuve
Comme $\tr(ad_{\xi})>0$, le groupe {\`a} $1$ param{\`e}tre engendr{\'e} par $\xi$ est
automatiquement injectif et ferm{\'e}. De plus, en degr{\'e} $k-1=0$,
$\Lambda^{0}_{-}=\Lambda^{0}_{0}=0$. Par cons{\'e}quent, la proposition \ref{distr'}
s'applique.\qed

\section{Exemples d'espaces $\bp{k}$ non nuls}
\label{ex}
Dans cette section, on construit des
{\'e}l{\'e}ments non triviaux de l'espace $\bp{*}(G,\xi)$, lorsque $G$ est un
produit semi-direct. Dans le cas
particulier de l'espace hyperbolique r{\'e}el, on relie $\bp{*}(G,\xi)$ aux
espaces de Besov. Les r{\'e}sultats principaux sont le corollaire \ref{e+}, sorte
de r{\'e}ciproque de la proposition \ref{distr}, et la proposition \ref{hn}. 


\subsection{Construction g{\'e}n{\'e}rale}

On {\'e}tudie des produits semi-directs $G=\R\ltimes{\alpha}H$
o{\`u} $\alpha$ est une d{\'e}rivation de l'alg{\`e}bre de Lie $\H$. On note 
$\xi=\ddt$ le champ de vecteurs invariant {\`a} gauche sur $G$, tel que
$\alpha=ad_{\xi}$ restreinte {\`a} $\H$, $\pi:G\to H$ la projection le long des
orbites de $\xi$ et $t$ la fonction sur $G$ d{\'e}finie par $g\exp(t(g)\xi)\in H$.

Fixons un r{\'e}el $p>1$. On note $\L^{*}_{+}$ (resp. $\L^{*}_{0}$, resp.
$\L^{*}_{-}$) la somme des espaces caract{\'e}ristiques de $\alpha$ dans l'alg{\`e}bre
ext{\'e}rieure $\Lambda^{*}\H^{*}$ relatifs aux valeurs propres de partie
r{\'e}elle sup{\'e}rieure (resp. {\'e}gale, resp. inf{\'e}rieure) {\`a} $\tr(\alpha)/p$.
Une forme diff{\'e}rentielle $e$ sur
$H$ se d{\'e}compose en $e=e_{+}+e_{0}+e_{-}$ et la diff{\'e}rentielle ext{\'e}rieure
se d{\'e}compose en $d=\dplus+\dzero+\dmoins$.

Sur un tel produit semi-direct, on peut {\'e}tendre la d{\'e}finition de
l'op{\'e}rateur $B$ {\`a} toutes les valeurs de $p$. On ignore simplement la
composante $(i\omega)_{0}$. Alors $B$ est born{\'e} sur $L^p$. On pose encore
$P=1-dB-Bd$. Alors $P$ envoie toujours $L^p$ dans $L^{p}+dL^{p}$, mais $iP\not=0$.

On fixe une fois pour toute une fonction lisse $\chi$ sur $\R$
telle que $\chi=0$ au voisinage de
$+\infty$ et $\chi=1$ au voisinage de $+\infty$. 

\begin{lemme}
\label{a-e+}
Soit $k=1,\ldots,n-1=\dim H$. Soit $p>1$.
Soient $e\in\op{k-1}(H)$ et
$a\in\op{k}(H)$ des formes diff{\'e}rentielles telles que
$\dplus a_{-}=\dzero a_{-}=\dmoins a_{+}=\dzero a_{+}=0$. Alors la forme
$$
\omega(s,a,e)=\phi_{s}^{*}(\chi(t)\pi^{*}a_{-}+(1-\chi(t))\pi^{*}a_{+}+
d\chi(t)\wedge\pi^{*}e)
$$
est dans $\op{k}(G)$, et 
$$
P\omega=\pi^{*}(\dmoins e_{+}-\dplus e_{-}+\dzero e_{+}-de_{0})
+d\chi\wedge \pi^{*}e_{0}+\chi\pi^{*}(de_{0}-d_{0}e).
$$
Il existe des constantes positives $C$, $\mu$ et $\eta$ telles que si $s>0$, alors
$$
\n{\omega(s,a,e}_{L^{p}}\leq C\, e^{-\eta s}\n{a_{-}+e_{-}}_{L^{p}}
+C\,e^{\mu s}\n{a_{+}+e_{+}+e_{0}}_{L^{p}},
$$
\begin{eqnarray*}
\n{d\omega(s,a,e)}_{L^{p}}&\leq& C\, e^{-\eta s}\n{\dmoins
a_{-}+(a_{-}-\dmoins e)}_{L^{p}} \\
&+& C\,e^{\mu s}\n{\dplus a_{+}
+(-a_{+}-\dplus e-\dzero e)}_{L^{p}}.
\end{eqnarray*}
Si $e'\in\opr{n-k-1}(H)$ et
$a'\in\opr{n-k}(H)$ satisfont $\dplus a'_{-}=\dzero a'_{-}=\dmoins a'_{+}=\dzero
a'_{+}=0$, alors
\begin{eqnarray*}
\int_{G}\omega(s,a,e)\wedge\omega(s',a',e')&=&
\int_{H}(-1)^{k} a_{+}\wedge e'+e\wedge a'_{-} \quad\hbox{si}\quad s'>>s\,;\\
&=&\int_{H} (-1)^{k}a_{-}\wedge e'+e\wedge a'_{+} \quad\hbox{si}\quad s'<<s.
\end{eqnarray*}
\end{lemme}

\preuve
Comme $\d\n{\phi_{t}^{*}a_{-}}\lp$ tend vers $0$ exponentiellement quand $t$ tend
vers $+\infty$, la forme $\chi(t)\pi^{*}a_{-}$ est dans $L^p$. De m{\^e}me,
$(1-\chi(t))\pi^{*}a_{+}$$\in L^p$. Comme $d\chi$ est {\`a} support compact,
$d\chi\wedge e$ est dans $L^p$ sans condition sur $e$.

On calcule $\d
d\omega=\chi\pi^{*}da_{-}+(1-\chi)\pi^{*}da_{+}+d\chi\wedge\pi^{*}(a_{-}-a_{+}-de)$
qui est dans $L^p$ car $da_{-}\in\L^{k+1}_{-}$ et $da_{+}\in\L^{k+1}_{+}$.

On calcule 
$$
B\omega=\chi(t)\pi^{*}e_{-}-(1-\chi(t))\pi^{*}e_{+},$$$$
Bd\omega=\chi(t)\pi^{*}(a_{-}-\dmoins e)-(1-\chi(t))\pi^{*}(-a_{+}-\dplus e)
$$
et enfin 
\begin{eqnarray*}
P\omega&=&d\chi\wedge \pi^{*}e_{0}
+\chi\pi^{*}(\dmoins e-d e_{-})-(1-\chi)\pi^{*}(\dplus e-de_{+})\\
&=&\pi^{*}(\dmoins e_{+}-\dplus e_{-}+\dzero e_{+}-de_{0})
+d\chi\wedge \pi^{*}e_{0}+\chi\pi^{*}(de_{0}-d_{0}e).
\end{eqnarray*}

Transporter par le flot $\phi_{s}$ ne fait que changer $\chi$ en
$\chi_{s}:t\mapsto \chi(t+s)$ et change pas l'image par $P$. En revanche, cela fait
d{\'e}cro{\^\i}tre exponentiellement les normes $L^p$ des composantes de $\omega$ et
$d\omega$ dans
$\L^{*}_{-}$ et cro{\^\i}tre au plus exponentiellement les autres composantes.

On calcule
\begin{eqnarray*}
&&\int_{G}\omega(s,a,e)\wedge\omega(s',a',e')=\\
&&\int_{\R}\chi_{s}\,d\chi_{s'}\int_{H}(-1)^{k} a_{-}\wedge e'
+\int_{\R}(1-\chi_{s})\,d\chi_{s'}\int_{H}(-1)^{k} a_{+}\wedge e'\\
&&+\int_{\R}\chi_{s'}\,d\chi_{s}\int_{H} e\wedge a'_{-}
+\int_{\R}(1-\chi_{s'})\,d\chi_{s}\int_{H} e\wedge a'_{+}.
\end{eqnarray*}
Lorsque $s'>>s$, la fonction $\chi_{s}$ vaut $1$ sur le support de
$\chi_{s'}$, donc $\d\int_{R}
\chi_{s}\,d\chi_{s'}=1$ et $\d\int_{R}
(1-\chi_{s})\,d\chi_{s'}=0$. Au contraire, lorsque $s'<<s$,
$\chi_{s}\chi'_{s'}\equiv 0$ donc l'int{\'e}grale est nulle.
C'est ainsi que suivant les valeurs relatives de $s$ et $s'$, on peut faire
appara{\^\i}tre $a_{\pm}\wedge e'$ ou $e\wedge a'_{\pm}$ dans l'int{\'e}grale.\qed


\begin{cor}
\label{e+}
Soit $p>1$. Soit $e\in\op{k-1}(H)$ une forme
diff{\'e}rentielle telle que $e_{0}=0$, et $\dzero e_{+}=\dzero e_{-}=0$.
Alors $\pi^{*}(d_{+}e_{-}-d_{-}e_{+})\in\bp{k}(G,\xi)$. 
\end{cor}


\subsection{L'espace hyperbolique r{\'e}el}
\label{hyperbreel}

Il est isom{\'e}trique au produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$
o{\`u} $\alpha$ est 
l'identit{\'e}. Pour chaque
$p>1$ fix{\'e}, l'espace $\bp{k}$
est nul sauf pour au plus une valeur de $k$. En effet,
$$
{{n-1}\over{p}}\leq k-1 \Rightarrow \L^{k-1}_{-}=\L^{k}_{-}=0,\quad
{{n-1}\over{p}}\geq k \Rightarrow \L^{k-1}_{+}=\L^{k}_{+}=0.
$$
Par cons{\'e}quent, si $p\leq n-1/k$ ou $p>n-1/k-1$, $\hp{k}(G)=0$. 

\ali

L'exposant $p=n-1/k-1$ est critique en degr{\'e} $k-1$, et le th{\'e}or{\`e}me
\ref{thm} ne donne
rien. On verra en \ref{hyperbreeltor}     
que $\rp{k}(M)=0$ et $\tp{k}(M)\not=0$ dans ce
cas.

Si
${{n-1}\over{k}}<p<{{n-1}\over{k-1}}$, $\hp{k}(G)=\bp{k}$ est non nul. En effet,
$\L^{k-1}_{+}$ et $\L^{k}_{-}$ sont nuls, donc pour 
toute $k-1$-forme $e$ sur $H=\R^{n-1}$, $e_{+}=0$ et $\dmoins e=0$ donc 
 $\dplus e_{-}-\dmoins e_{+}=de$. Du corollaire \ref{e+}, il r{\'e}sulte que
$\bp{k}$ contient toutes les diff{\'e}rentielles de formes $L^{p}$. De la
proposition \ref{distr}, il r{\'e}sulte que les diff{\'e}rentielles de formes
$L^{p}$ sont denses au sens des distributions dans $\bp{k}$. 


\begin{prop}
\label{hn}
Supposons que ${{n-1}\over{k}}<p<{{n-1}\over{k-1}}$.
Une $k$-forme
sur $\R^{n-1}$ est dans $\bp{k}$ si et seulement si, une fois
transport{\'e}e sur la sph{\`e}re $S^{n-1}$ par projection st{\'e}r{\'e}ographique, elle
est exacte et ses coefficients
sont dans l'espace de Besov 
$\d B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(S^{n-1})$.
\end{prop}

\begin{cor}
\label{banach}
Pour chaque $k=1,\ldots,n-1$, et $p$ tel que
${{n-1}\over{k}}<p<{{n-1}\over{k-1}}$, il existe sur l'espace des
$k$-formes ferm{\'e}es {\`a} composantes dans $\d
B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(S^{n-1})$ une norme 
{\'e}quivalente qui est invariante par le groupe $PO(n,1)$.
\end{cor}

\ali

Rappelons une des caract{\'e}risations des espaces de Besov sur $\R^{n-1}$,
voir \cite{Triebel} page 58.

Soit $\kappa$ une
fonction lisse sur $\R^{n-1}$, {\`a} support compact. Si $u$ est une
fonction sur $\R^{n-1}$, et si $\tau\in[0,1]$, on {\em note} 
$$
\kappa(\tau,u)(x)=\int_{\R^{n-1}} u(x+\tau y)\kappa(y)\,dy.
$$
Soit $s$ un r{\'e}el et $p\geq 1$, $q\geq 1$, $a>0$. Soit $\kappa_{0}$ une fonction
lisse sur $\R^{n-1}$, {\`a} support compact, d'int{\'e}grale non nulle. Il existe une famille
${\cal S}$ de codimension finie de noyaux $\kappa$ telle que la norme de
l'espace de Besov 
$B_{p,q}^{s}$ soit {\'e}quivalente {\`a} 
$$
u\mapsto
\n{\kappa_{0}(1,u)}_{L^{p}}+(\int_{0}^{a}\tau^{-sq}\n{\kappa(\tau,u)}_{L^{p}}^{q}\,{{d\tau}\over{\tau }})^{1/q}.
$$
pour $\kappa\in{\cal S}$. 

\ali

Si $U$ est un ouvert born{\'e} de $\R^{n-1}$, {\`a} bord lisse, l'espace
$B_{p,q}^{s}(U)$ est form{\'e} des restrictions {\`a} $U$ des fonctions de
$B_{p,q}^{s}(\R^{n-1})$. Les espaces de Besov ainsi d{\'e}finis sont
invariants par diff{\'e}omorphismes, donc on peut parler de fonction
$B_{p,q}^{s}$ au voisinage d'un point dans une vari{\'e}t{\'e}. 
Si $M$ est une vari{\'e}t{\'e} compacte, une fonction est dans
$B_{p,q}^{s}(M)$ si elle est $B_{p,q}^{s}$ au voisinage de tout point. 

\ali

Dans les paragraphes suivants, on donne d'abord une d{\'e}finition
plus souple des espaces $\bp{*}$, comme {\em valeurs au bord} de formes
ferm{\'e}es $L^{p}$. Puis on montre que localement (au voisinage de chaque
point du bord {\`a} l'infini) les espaces $\bp{*}$ co{\"\i}ncident avec des espaces de Besov. La preuve de la proposition \ref{hn} s'ach{\`e}ve au
paragraphe \ref{preuvehn} par un passage du local au global.



\subsection{Valeur au bord}
\label{Vbord}
Dans ce paragraphe, on va donner une caract{\'e}risation plus souple des
espaces $\bp{*}$. Il s'agit de se d{\'e}barrasser de l'op{\'e}rateur $P$, qui
d{\'e}pend d'un choix de coordonn{\'e}es.

\ali
On utilise les deux mod{\`e}les de l'espace hyperbolique, le demi-espace
sup{\'e}rieur $\R^{n}_{+}=\{x_{n}>0\}$ et la boule
$D=\{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}<1\}$. Ils se correspondent via le
diff{\'e}omorphisme
$$
\Phi: \R^{n}_{+}\to D,\quad z\mapsto 2{{z-e_{n}}\over{|z-e_{n}|}}-e_{n},
$$
o{\`u} $e_{n}$ est le vecteur de coordonn{\'e}es $(0,0,\ldots,1)$.
Ce diff{\'e}omorphisme se prolonge au bord en une projection st{\'e}r{\'e}ographique
de $\R^{n-1}=\partial \overline{\R^{n}_{+}}$ sur $S^{n-1}\setminus\{e_{n}\}=\partial
\overline{D}\setminus\{e_{n}\}$. Le groupe $G=\R\ltimes{identite}\R^{n-1}$ agit sur
le demi-espace sup{\'e}rieur par 
$$
g=(t,x), ~z\mapsto
(e^{t}z_{1}+x_{1},\ldots,e^{t}z_{n-1}+x_{n-1},e^{t}z_{n}).
$$
en respectant la m{\'e}trique hyperbolique
$\d (z_{n})^{-2}(dz_{1}^{2}+\cdots+dz_{n}^{2})$, donc sur la boule, en
fixant le point $e_{n}$ et en respectant la m{\'e}trique 
$ \d (1-(z_{1}^{2}+\cdots+z_{n}^{2}))^{-2}(dz_{1}^{2}+\cdots+dz_{n}^{2})$.

\remarque
Fixons $p\in]{{n-1}\over{k}},{{n-1}\over{k-1}}[$. Si $\omega'$ est
une $n-k$-forme lisse sur la boule ferm{\'e}e $\overline{D}$, alors
$\omega'$ est automatiquement $L^{p'}$ 
relativement {\`a} la m{\'e}trique hyperbolique. Par cons{\'e}quent, si $\psi$ est
une $n-1-k$-forme lisse sur la boule ferm{\'e}e $\overline{D}$,
et si $\omega$ est une $k$-forme ferm{\'e}e $L^{p}$ sur l'espace
hyperbolique,
l'int{\'e}grale $\d\int_{D} d\psi\wedge\omega$ a un sens mais elle n'est pas
nulle en g{\'e}n{\'e}ral.

\begin{defi}
\label{bord}
{\em Version globale}. Soit $\omega$ une forme diff{\'e}rentielle ferm{\'e}e sur la
boule $D$, $L^{p}$ pour la m{\'e}trique hyperbolique, et $e$ une forme dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-le
sur le bord $\partial D=S^{n-1}$. On dit
que $e$ {\em est une valeur au bord pour} $\omega$ si pour toute forme
lisse $\psi$ sur la boule ferm{\'e}e $\overline{D}$,
$$
\int_{D} d\psi\wedge\omega=\int_{\partial D} \psi\wedge e.
$$

{\em Version locale}. Si $\overline{V}$ est un ouvert de la boule ferm{\'e}e
$\overline{D}$, $\omega$ une forme ferm{\'e}e $L^{p}$ sur
$V=\overline{V}\cap D$ et $e$ une forme sur $U=\overline{V}\cap \partial
D$, on demande que 
$$
\int_{D} d\psi\wedge\omega=\int_{\partial D} \psi\wedge e.
$$
seulement pour les formes $\psi$ {\`a} support compact dans $\overline{V}$.
\end{defi}

\remarque
Si $\omega$ admet une valeur au bord, celle-ci est unique. 

Si $\omega$
admet une valeur au bord $e'$ globalement sur la sph{\`e}re, alors celle-ci est
exacte. En effet, c'est automatique si $k<n-1$. Si $k=n-1$, on choisit
la fonction constante $\psi=1$ comme fonction test, et il vient $\d\int_{S^{n-1}}e'=0$.

La prise de valeur au bord est invariante par diff{\'e}omorphismes. Par
transport par $\Phi$, on peut parler de valeur au bord dans le
demi-espace $\R^{n}_{+}$.


\begin{lemme}
\label{stokes-1}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te. L'int{\'e}gration des
formes lisses {\`a} support compact 
$$
\omega,\omega'\mapsto \int_{M}\omega\wedge\omega'
$$
se prolonge par continuit{\'e} {\`a} $(L^{p}+dL^{p})\otimes \opr{*}$ de m{\^e}me que la
formule de Stokes
$$
\int_{M} d\omega\wedge\omega'+(-1)^{k}\omega\wedge d\omega'=0.
$$
\end{lemme}

\preuve
En effet, les formes lisses 
{\`a} support compact sont denses dans $\opr{*}$
ainsi que dans $L^{p}+dL^{p}$.\qed

\begin{lemme}
\label{Pbord}
Soit $\omega$ une forme diff{\'e}rentielle ferm{\'e}e et $L^{p}$ sur l'espace
hyperbolique vu comme le demi-espace sup{\'e}rieur. Soit $e$ la forme
dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-le sur $\R^{n-1}$ telle que $P\omega=\pi^{*}e$. Alors $e$ est une
valeur au bord pour $\omega$ au sens du demi-espace. 
\end{lemme}

\preuve
Soit $\psi$ une $n-k-1$-forme lisse {\`a} support compact dans le
demi-espace ferm{\'e} $\d\overline{\R^{n}_{+}}$. 
Comme $d\omega=0$, $\omega=P\omega+dB\omega$. Comme $B\omega\in L^{p}$,
$B\omega$ et $dB\omega$ sont dans $L^{p}+dL^{p}$. D'autre part, $d\psi\in
L^{p'}$, donc le lemme \ref{stokes-1} s'applique et $\d \int
d\psi\wedge dB\omega=0$. Soit $\chi$ une fonction qui ne d{\'e}pend que de
$z_{n}$, vaut $0$ au voisinage de $\{z_{n}=0\}$ et $1$ hors d'un petit
voisinage de $\{z_{n}=0\}$. Alors la forme $\chi\psi$ est {\`a} support
compact. Comme $P\omega\in\L^{p}+dL^{p}$ et $dP\omega=0$, le lemme
\ref{stokes-1} s'applique et $\d \int 
d(\chi\psi)\wedge P\omega=0$. On conclut que 
$$
\int d\chi\wedge\psi\wedge P\omega+\int 
\chi d\psi\wedge P\omega=0
$$
Le second terme converge vers $\int d\psi\wedge P\omega=\int 
d\psi\wedge \omega$ lorsque le support de $1-\chi$ grandit. Comme
$P\omega=\pi^{*}e$ et $\psi$ est continue jusqu'au bord, le second terme
converge vers $\d\int_{\R}d\chi\int_{\R^{n-1}}\psi\wedge e$.\qed

\begin{lemme}
\label{KK}
Soit $K$ une fonction lisse et {\`a} support compact sur le groupe $G$ telle
que $\d\int_{G} K(r)\,dr=1$. 
L'op{\'e}rateur de convolution des formes diff{\'e}rentielles avec le noyau $K$
est encore not{\'e} 
$$
K:\omega\mapsto \int_{G} R_{g}^{*}\omega\,K(g)\,dg.
$$
Cet op{\'e}rateur commute avec la
valeur au bord, i.e. $e$ est la valeur au bord de $K(\pi^{*}e)$. En
particulier, si $e\in\bp{*}$, 
$PK(\pi^{*}e)=\pi^{*}e$.
\end{lemme}

\preuve
Par dualit{\'e}, il suffit de v{\'e}rifier que
l'op{\'e}rateur adjoint $K^{*}$ (qui est associ{\'e} au noyau $g\mapsto
K(g^{-1})\,d(g^{-1})/dg$) pr{\'e}serve la restriction au bord, au sens
ordinaire, des formes $\psi$ lisses et {\`a} support compact
dans le demi-espace ferm{\'e}. Or du point de vue euclidien, il s'agit de
faire des moyennes avec un noyau d'int{\'e}grale $1$ et de support dont
le diam{\`e}tre tend vers $0$ lorsqu'on se rapproche du bord. Ces moyennes
convergent vers l'identit{\'e}.\qed

\subsection{Version locale des espaces $\bp{*}$}
\label{local=}

\begin{defi}
\label{bploc}
Soit $U$ un ouvert de $\R^{n-1}$. On {\em note} $\bp{k}(U)$ l'espace des
$k$-formes dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-les ferm{\'e}es $e$ sur $U$ telles qu'il existe un
voisinage $U'$ de $\overline{U}$, un r{\'e}el $a$ et une 
$k$-forme diff{\'e}rentielle ferm{\'e}e $\omega$ sur l'ouvert $]a,+\infty[\times U'$
du groupe de Lie $G=\R\ltimes{identite}\R^{n-1}$, $L^{p}$ pour une
m{\'e}trique invariante {\`a} gauche sur $G$, 
telle que $P\omega=\pi^{*}e$ sur
$]a,+\infty[\times U$.
\end{defi}

\ali

On va comparer $\bp{k}(U)$, non pas {\`a} un espace de formes
ferm{\'e}es {\`a} composantes dans $B_{p,p}^{s}(U)$, mais {\`a} une
variante. C'est un d{\'e}tail technique. 

\begin{defi}
\label{besloc}
Soit $U$ un ouvert de $\R^{n-1}$, soit $s\in\R$, $p>1$. On {\em note}
$Z_{p,p}^{k,s}(U)$ l'espace des 
$k$-formes diff{\'e}rentielles ferm{\'e}es $e$ sur $U$ telles qu'il existe un
voisinage $U'$ de $\overline{U}$ et une 
$k$-forme diff{\'e}rentielle ferm{\'e}e $e'\in B_{p,p}^{s}(U')$ qui
prolonge $e$.
\end{defi}

\remarque
Il est vraisemblable que $Z_{p,p}^{k,s}(U)$
co{\"\i}ncide avec l'espace des $k$-formes ferm{\'e}es {\`a} composantes dans
$B_{p,p}^{s}(U)$. Nous n'aurons pas besoin de rentrer dans
cette subtilit{\'e}, puisque l'ob\-jec\-tif est de travailler avec des formes
ferm{\'e}es d{\'e}finies 
globalement sur la sph{\`e}re.

\begin{lemme}
\label{local}
Soit $U$ un ouvert born{\'e} de $\R^{n-1}$. Une $k$-forme sur $U$ est
dans $\bp{k}(U)$ si et seulement si elle est dans $Z_{p,p}^{k,-k+{{n-1}\over{p}}}(U)$.
\end{lemme}

\preuve
Etant donn{\'e} $\kappa\in{\cal S}$, on construit ais{\'e}ment une fonction lisse $K$
{\`a}
support compact sur le groupe 
$G=\R\ltimes{identite}\R^{n-1}$ telle que
$$
\kappa(x)=\int_{\R} K(t,x)e^{(k-n+1)t}\,dt.
$$
On peut ais{\'e}ment r{\'e}aliser, en plus de cette
{\'e}galit{\'e}, la condition $$\int K(t,x) e^{(n-1)t}\,dt\,dx = 1.$$
L'o\-p{\'e}rateur de convolution $K$
commute avec les translations {\`a} gauche et est donc born{\'e} de
$L_{-1}^{p}$ dans $L^{p}$.

D'apr{\`e}s le
corollaire \ref{comp}, une $k$-forme
ferm{\'e}e sur $\R^{n-1}$ est dans $\bp{k}$ si est seulement si ses composantes
sont dans l'espace fonctionnel $F$ d{\'e}fini comme suit
$$
u\in F \Leftrightarrow e^{kt}\pi^{*}u \in
L^{p}_{-1}(G).
$$
En effet, la forme $e^{-kt}\pi^{*}\,dx_{1}\wedge\ldots\wedge dx_{k}$ est
ferm{\'e}e et invariante {\`a} gauche sur le groupe $G$. La m{\^e}me caract{\'e}risation
s'applique {\`a} la version locale $\bp{k}(U)$, car la d{\'e}finition
s'affranchit des effets de bord. 

Soit $u$ une fonction sur $\R^{n-1}$. On v{\'e}rifie que pour tout $(t,x)\in G$,
$$
K(e^{kt}\pi^{*}u)(t,x)= e^{kt}\kappa(e^{-t},u)(x).
$$
Par d{\'e}finition, 
\begin{eqnarray*}
K(e^{kt}\pi^{*}u)(t,x)
&=&
\int_{G} e^{k(t+t')}\pi^{*}u(R_{(t',x')}(t,x))K(t',x')e^{-(n-1)t'}\,dt'\,dx'\\
&=&
e^{kt}\int_{\R\times\R^{n-1}} u(x+x'e^{t}x')K(t',x')e^{(k-n+1)t'}\,dt'\,dx'\\
&=&
e^{kt}\int_{\R^{n-1}} u(x+e^{t}x')\kappa(x')\,dx'\\
&=&e^{kt}\kappa(e^{t},u)(x)
\end{eqnarray*}

Avec le changement de variable $\tau=e^{t}$, il vient
$$
\n{K(e^{kt}\pi^{*}u)}_{L^{p}(G)}=(\int_{0}^{+\infty} \tau^{kp-n+1}\n{\kappa(\tau,u)}_{L^{p}(\R^{n-1})}^{p}{{d\tau}\over{\tau}})^{1/p},
$$
et plus g{\'e}n{\'e}ralement, {\'e}tant donn{\'e} $a\in\R$ et un ouvert $U\subset\R^{n-1}$,
$$
\n{K(e^{kt}\pi^{*}u)}_{L^{p}(]a,+\infty[\times U)}\leq(\int_{0}^{e^{-a}} \tau^{kp-n+1}\n{\kappa(\tau,u)}_{L^{p}(U^{a})}^{p}{{d\tau}\over{\tau}})^{1/p},
$$
o{\`u} $U^{a}=\{x+e^{-a}\l x'\,|\,x,\,x'\in U\}$ et $\l$ d{\'e}pend du support
du noyau $K$.

Soit $e\in\bp{k}(U)$. Alors il existe un r{\'e}el $a$, un voisinage $U'$ de
$\overline{U}$, une forme ferm{\'e}e $e'$ sur $U'$ prolongeant $e$ et une
forme ferm{\'e}e $\omega\in 
L^{p}(]a,+\infty[\times U')$ telle que $P\omega=\pi^{*}e'$. Comme
l'op{\'e}rateur $P$ est born{\'e} de $L^{p}$ dans 
$L_{-1}^{p}$ et $K$ est born{\'e} de $L_{-1}^{p}$ dans $L^{p}$,
$KP(\omega)=K(\pi^{*}e')$ est dans $L^{p}(]a,+\infty[\times U')$. Si
$u'$ est une composante de $e'$, alors $K(e^{kt}\pi^{*}u')$ est une
composante de $K(\pi^{*}e')$, donc dans $L^{p}(]a,+\infty[\times
U')$. Autrement dit, $u'\in  B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(U)$. Ceci prouve que
$e\in Z_{p,p}^{k,-k+{{n-1}\over{p}}}(U)$.


Inversement, soit $e\in Z_{p,p}^{k,-k+{{n-1}\over{p}}}(U)$. Alors il existe un
voisinage $U'$ de $\overline{U}$ et une $k$-forme ferm{\'e}e $e'$ sur $U'$ dont les
composantes sont dans $B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(U')$. On pose
$\omega=K(\pi^{*}e')$. Comme $U'$ est compact, cette convolution est bien
d{\'e}finie dans un ouvert de la forme $]a,+\infty[\times U''$ et est
$L^{p}$ pour la m{\'e}trique hyperbolique (l'une des m{\'e}triques invariantes {\`a}
gauche sur le groupe $G$). Comme $K$ commute avec la diff{\'e}rentielle, $\omega$ est 
ferm{\'e}e. L'identit{\'e} $P\omega=\pi^{*}e'$ r{\'e}sulte
du lemme \ref{KK}. Elle montre que $e\in\bp{k}(U)$.\qed


\subsection{L'op{\'e}rateur $P'$ adapt{\'e} au mod{\`e}le de la boule de Poincar{\'e}}
\label{boule}


On utilise les coordonn{\'e}es polaires euclidiennes $r\in [0,1[$,
$\theta\in S^{n-1}$ dans la boule $D$. On {\em note} 
$$
\xi'=(1-r^{2}){{\partial}\over{\partial r}}
$$
le gradient de la distance hyperbolique {\`a} l'origine. C'est un champ de vecteurs
unitaire, singulier {\`a} l'origine. Son flot $\phi'_{t}$ est d{\'e}fini pour
tout $t\geq 0$. Il est $(k-1,p)$-dilatant pour chaque $k$ et $p$ tels
que $n-1-(k-1)p<0$. Comme en \ref{gene}, on peut d{\'e}finir l'op{\'e}rateur $B'^{+}$
$$
B'^{+}\omega=-\int_{0}^{+\infty}(\phi'_{t})^{*}\iota_{\xi'}\omega\,dt
$$
puis $P'=1-dB'^{+}$ sur les $k$-formes ferm{\'e}es. Alors $B'^{+}$ est born{\'e}
sur $L^{p}$, $dP'=0$, $\iota_{\xi'}P'=0$. Si $\omega$ est ferm{\'e}e et
$L^{p}$, la forme $P'\omega$ ne d{\'e}pend pas de $r$, elle est de la forme
$$
P'\omega=\pi'^{*}e'
$$
o{\`u} $e'$ est une $k$-forme ferm{\'e}e sur la sph{\`e}re $S^{n-1}$ et
$\pi':D\setminus\{0\}\to S^{n-1}$ est la projection radiale. Cette
construction se localise au-dessus d'un ouvert $U$ de $S^{n-1}$. Par cons{\'e}quent,

\begin{lemme}
\label{Mayer-Vietoris}
Soit $U$ un ouvert de $S^{n-1}$ et $V=\pi'^{-1}(U)$. Soit $\omega$ une
forme ferm{\'e}e sur $V$ qui est $L^{p}$ pour la m{\'e}trique hyperbolique. Si
$P'\omega=0$, alors il existe une forme $\beta$ sur $V$ telle que
$\beta$ et $d\beta$ sont $L^{p}$ pour la m{\'e}trique hyperbolique, et telle
que $d\beta=\omega$.
\end{lemme}

\ali
L'argument du lemme \ref{Pbord} s'{\'e}tend sans changement au cas de la boule.

\begin{lemme}
\label{P'bord}
Soit $\omega$ une
forme ferm{\'e}e sur la boule $D$ qui est $L^{p}$ pour la m{\'e}trique
hyperbolique. Soit $e'$ la forme diff{\'e}rentielle 
sur $S^{n-1}$ telle que $P'\omega=\pi'^{*}e'$. Alors $e'$ est une 
valeur au bord pour $\omega$ au sens de la boule. 
\end{lemme}

\begin{lemme}
\label{Pbord=Sbord}
Notons $\Phi:\R^{n-1}\to S^{n-1}$ la projection st{\'e}r{\'e}ographique.
Soit $\omega$ une $k$-forme ferm{\'e}e $L^{p}$ sur l'espace hyperbolique,
soit $e$ (resp. $e'$) sa valeur au bord sur $\R^{n-1}$ (resp. $S^{n-1}$). Alors $e=\Phi^{*}e'$. En particulier, $e$ est exacte.
\end{lemme}

\preuve
En composant avec $\Phi$ les formes lisses sur la boule ferm{\'e}e
$\overline{D}$, nulles 
au voisinage du point $e_{n}$, on obtient toutes les formes test du
demi-espace. Par cons{\'e}quent $\Phi^{*}e'$ est une valeur au bord de
$\omega$. Par unicit{\'e}, $\Phi^{*}e'=e$.\qed

\begin{cor}
\label{mobius}
Tout {\'e}l{\'e}ment du groupe de M{\"o}bius envoie l'espace $\bp{k}$ dans lui-m{\^e}me.
\end{cor}

\preuve
Le groupe de M{\"o}bius est le groupe des isom{\'e}tries de l'espace
hyperbolique, vu comme groupe de transformations (d{\'e}finies sauf en au
plus un point) de $\R^{n-1}$. 

L'espace $\bp{k}$ est par d{\'e}finition l'ensemble des formes $e$ sur
$\R^{n-1}$ telles que $\pi^{*}e$ est dans l'image de $P$. D'apr{\`e}s les
lemmes \ref{Pbord} et \ref{Pbord=Sbord}, c'est aussi l'espace des
valeurs au bord de
formes ferm{\'e}es $L^{p}$. Or l'op{\'e}ration de prise de la valeur au bord est
invariante par les diff{\'e}omorphismes de $\overline{D}$, et le groupe des
isom{\'e}tries agit par diff{\'e}omorphismes de la boule ferm{\'e}e.\qed 



\subsection{Preuve de la proposition \ref{hn}}
\label{preuvehn}

Soit $e$ une $k$-forme sur $\R^{n-1}$ qui est dans $\bp{k}$. Alors la
forme $e'=(\Phi^{-1})^{*}e$ sur $S^{n-1}$ est la valeur au bord d'une
forme ferm{\'e}e $L^{p}$, donc elle est exacte. De plus, d'apr{\`e}s le lemme
\ref{local}, ses composantes sont
dans l'espace de Besov $\d B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(S^{n-1})$. En effet, le
fait d'{\^e}tre dans l'espace fonctionnel $\d B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(S^{n-1})$ se v{\'e}rifie localement.
Or tous les points du bord de $S^{n-1}$ se valent, au groupe de M{\"o}bius
pr{\`e}s. 

Inversement, soit $e'$ une $k$-forme exacte sur $S^{n-1}$ dont les
composantes sont dans l'espace de Besov de la sph{\`e}re
$B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(S^{n-1})$. On va construire une forme ferm{\'e}e
$L^{p}$ sur l'espace hyperbolique dont $e'$ est la valeur au
bord. On construit d'abord cette forme sur une couronne $\d
C=\{1-\epsilon<r<1\}$. Pour cela, on utilise Mayer-Vietoris. D'apr{\`e}s le lemme
\ref{local}, il existe un recouvrement ouvert $U_{i}$
de $S^{n-1}$ tel que $\d e'_{|U_{i}}$ soit la valeur au bord d'une forme
ferm{\'e}e $\omega_{i}$ d{\'e}finie sur $V_{i}=C\cap \pi'^{-1}(U_{i})$ et $L^{p}$ pour
la m{\'e}trique hyperbolique. Sur l'intersection $V_{i}\cap V_{j}$, la forme
ferm{\'e}e $\omega_{i}-\omega_{j}$ a une valeur au bord nulle, donc, d'apr{\`e}s
le lemme \ref{Mayer-Vietoris}, 
$$
\omega_{i}-\omega_{j}=d\beta_{ij}
$$
o{\`u} $\beta_{ij}=B'^{+}(\omega_{i}-\omega_{j})$ est dans $L^{p}$ ainsi que
sa diff{\'e}rentielle. Noter que sur $V_{i}\cap V_{j}\cap V_{k}$,
$\beta_{ij}+\beta_{jk}+\beta_{ki}=0$. Soit $(\chi_{i})$ une partition de
l'unit{\'e} sur $S^{n-1}$ subordonn{\'e}e au recouvrement $(U_{i})$. On note
$\chi'_{i}=\chi_{i}\circ\pi'$. Ces fonctions sont born{\'e}es et leur
gradient hyperbolique est born{\'e} sur la couronne $C$. Sur
l'ouvert $V_{i}$, on pose
$$
\omega=\omega_{i}+d(\sum_{k}\chi'_{k}\beta_{ik}).
$$
Cela d{\'e}finit sans ambigu{\"\i}t{\'e} une forme ferm{\'e}e sur la couronne $C$,
$L^{p}$ pour la m{\'e}trique hyperbolique, dont la valeur au bord
est $e'$.

Comme $e'$ est exacte, $\omega$ l'est aussi,
$\omega=d\gamma$ et on peut choisir $\gamma$ de sorte qu'elle soit
$L^{p}$ au voisinage du 
bord int{\'e}rieur de la couronne $C$. On utilise maintenant une
fonction lisse $\chi''$ de la distance {\`a} l'origine, {\`a} support compact et
qui vaut $1$ hors de la couronne $C$. La forme $d((1-\chi'')\gamma)$ est
ferm{\'e}e et co{\"\i}ncide avec $\omega$ au voisinage du bord, donc elle
est $L^{p}$ et sa valeur au bord est $e'$. Ceci prouve que $e'$, une
fois transport{\'e}e par la projection st{\'e}r{\'e}ographique, est dans $\bp{k}$.\qed

\remarque 
La proposition \ref{hn} s'{\'e}tend aux autres espaces sym{\'e}triques de rang
un. Dans la d{\'e}finition des espaces de Besov, il faut remplacer la
distance euclidienne de $\R^{n-1}$ par une distance de {\em
Carnot-Carath{\'e}odory} sur un groupe de Heisenberg. Dans
la preuve, la 
seule modification notable concerne le choix des formes-test dans la
d{\'e}finition de la valeur au bord. Il faut prendre les formes lisses sur
la boule ferm{\'e}e dont la restriction au bord est une section de
$\L^{*}_{+(p)}$, i.e. dont certaines composantes sont nulles.



\section{Conditions suffisantes d'annulation}
\label{annul}
\subsection{Cas g{\'e}n{\'e}ral}
\begin{prop}
\label{hpnul}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne de dimension $n$ {\`a} g{\'e}om{\'e}trie
born{\'e}e, soit $\xi$ un champ de vecteurs unitaire 
$(k-1,p)$-contractant et 
$(k,p)$-contractant sur $M$. Alors $H^{k,p}(M)=0$. 
\end{prop}
\preuve
Les sous-fibr{\'e}s $\L_{+}^{k-1}$ et $\L^{k}_{+}$ {\'e}tant nuls, la
proposition \ref{distr} donne que $\bp{k}(M,\xi)=0$. Comme $p$ est
en particulier non critique en degr{\'e} $k-1$, le th{\'e}or{\`e}me
\ref{thm} donne une surjection $0=H^{k}(\bp{*}(M,\xi))\to H^{k,p}(M)$.\qed

\begin{cor}
\label{zero}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne de dimension $n$ {\`a} g{\'e}om{\'e}trie
born{\'e}e, soit $\xi$ un champ de vecteurs unitaire tel que $div(\xi)$ soit
minor{\'e} par une constante strictement positive. Alors $\hp{n}(M)=0$.
\end{cor}
\preuve
En effet, si $div(\xi)\geq \eta>0$, alors tout exposant $p>1$ est non
critique en degr{\'e}s $n$ et $n-1$.\qed

\remarque
L'hypoth{\`e}se de g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e est superflue.

\begin{prop}
\label{k}
Soit $G$ un groupe de Lie r{\'e}soluble connexe. Soient $A$ et $H$ des
sous-groupes ferm{\'e}s tels que $A$ est nilpotent, $H$ est distingu{\'e} et $G=AH$. Soit
$$
\L^{\ell}\H=\sum_{\l\in\Sigma(\ell)} \H_{\ell,\l}
$$ 
la d{\'e}composition
de la puissance
ext{\'e}rieure $\L^{\ell}\H\otimes\C$ en espaces caract{\'e}ristiques sous l'action de
$\A$. On note $\Re \Sigma(\ell)$ l'ensemble des parties r{\'e}elles des
{\'e}l{\'e}ments de  $\Sigma(\ell)$. On note $\tau\in\A^*$ la forme lin{\'e}aire
$\xi\mapsto\tr(ad_{\xi})$. On note $r=\dim G-\dim H$. On consid{\`e}re deux
convexes de $\A^{*}$, l'enveloppe convexe $C_{1}$ de
$\Re\Sigma(k-r)\cup\cdots\cup\Re\Sigma(k-1)$ et l'enveloppe convexe $C_{2}$ de
$\Re\Sigma(k-r)\cup\cdots\cup\Re\Sigma(k)$.

Soit
$p>1$. Si $\tau/p$ n'est contenu ni dans $C_{1}$, ni dans l'int{\'e}rieur de
$C_{2}$, alors $\hp{k}(G)=0$.
\end{prop}

\preuve
Si $\tau/p$ n'est pas contenu dans l'int{\'e}rieur de l'enveloppe convexe de
$\Re\Sigma(k-r)\cup\cdots\cup\Re\Sigma(k)$, alors il existe $\xi\in\A$
tel que pour tout
$\lambda\in \Sigma(k-r)\cup\cdots\cup\Sigma(k)$, $\tau(\xi)-p\Re
e\l(\xi)\geq 0$. Si de plus $\tau/p$ n'est pas contenu dans l'int{\'e}rieur de l'enveloppe convexe de
$\Re\Sigma(k-r)\cup\cdots\cup\Re\Sigma(k-1)$, on peut choisir $\xi$ de
sorte que pour tout
$\lambda\in \Sigma(k-r)\cup\cdots\cup\Sigma(k-1)$, $\tau(\xi)-p\Re
e\l(\xi)> 0$.
N{\'e}cessairement, $\xi\notin\H$. Alors le champ de vecteurs invariant {\`a}
gauche
$\xi$ sur $G$ est $(k-1,p)$-dilatant,
i.e. $\L^{k-1}_{-}=\L^{k-1}_{0}=0$. En effet, comme $ad_\xi$ est
nilpotente sur $A$, 
toute valeur propre de
$ad_{\xi}$ sur $\L^{k}(\G/\R\xi)^{*}$ est de la forme $\l(\xi)$ o{\`u} $\l$ est une
valeur propre de $\A$ sur $\L^{\ell}\H^{*}$ avec $k-\dim G+\dim H+1\leq
\ell\leq k$. De plus, $\xi$ est faiblement $(k,p)$-dilatant au sens o{\`u}
$\L^{k}_{-}=0$. Comme $\tr(ad_{\xi})>0$, le groupe {\`a} $1$ param{\`e}tre
engendr{\'e} par $\xi$ est 
automatiquement injectif et ferm{\'e}. 
D'apr{\`e}s la proposition \ref{distr'},
$\bp{k}(G,\xi)=0$. Avec le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm}, cela donne $\hp{k}(G)=0$.\qed

\remarque 
Soit $m=\dim H$ et $m_{k,\l}=\dim\H_{k,\l}$. Alors 
$$
\sum_{\l\in\Sigma(k)} m_{k,\l}=\dim\L^{k}\H=\pmatrix{m\cr k}\et
\sum_{\l\in\Sigma(k)} m_{k,\l}\l=\pmatrix{m-1\cr k-1}\tau
$$
donc ${{k}\over{m}}\tau$ est dans l'enveloppe convexe de
$\Sigma(k)$. Par cons{\'e}quent, la proposition \ref{k} ne s'applique jamais
lorsque $\tau=0$, i.e. lorsque $G$ est unimodulaire.

\exemple
Soit $G$ la partie $AN$ de la d{\'e}composition d'Iwasawa de $Sl(3,\R)$. Alors il
existe une base de $\A=\R^2$ et dans laquelle les racines s'{\'e}crivent $(1,0)$,
$(0,1)$ et $(1,1)$. Alors $\Sigma_{0}=\{(0,0)\}$, $\Sigma_{1}=\{(1,0), (0,1),
(1,1)\}$, $\Sigma_{2}=\{(1,1), (2,1), (1,2)\}$ et $\Sigma_{3}=\{\tau=(2,2)\}$.
En degr{\'e} $2$, on constate que $\tau/p\in
Conv(\Sigma_{0}\cup\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2})$ si et seulement si $p\geq
4/3$. Par cons{\'e}quent $\hp{2}(G)=0$ pour $p<4/3$.
En degr{\'e} $3$, $\tau/p\in
Conv(\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2}\cup\Sigma_{3})$ si et seulement si $p\leq 4$.
Par cons{\'e}quent $\hp{3}(G)=0$ pour $p>4$.

\begin{cor}
\label{hpk=0}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct o{\`u} $\alpha$ est une
d{\'e}rivation de l'alg{\`e}bre de Lie $\H$. Notons 
$\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ les parties r{\'e}elles des valeurs propres de
$\alpha$. Pour $k=1,\ldots,n-1$, on note $w_{k}=\l_{1}+\cdots+\l_{k}$ et
$W_{k}=\l_{n-k}+\cdots+\l_{n-1}$.  
\begin{itemize}
\item Si $w_{n-1}/p<w_{k-1}$ et $w_{n-1}/p\leq w_{k}\}$, alors $\hp{k}(G)=0$.
\item Si $w_{n-1}/p>W_{k-1}$ et $w_{n-1}/p\geq W_{k}\}$, alors $\hp{k}(G)=0$.
\end{itemize}
\end{cor}

\preuve
Les parties r{\'e}elles des 
valeurs propres de $\L^{k}\alpha$ sont les sommes de $k$ nombres parmi les
$\l_i$. Elles sont toutes comprises entre $w_{k}$ et
$W_{k}$. Par cons{\'e}quent, l'enveloppe convexe $C_{1}$ de $\Re\Sigma(k-1)$
est l'intervalle $[w_{k-1},W_{k-1}]$ et l'enveloppe convexe $C_{2}$ de
$\Re\Sigma(k-1)\cup\Re\Sigma(k)$ est l'inter\-val\-le
$[\min\{w_{k-1},w_{k}\},\max\{W_{k-1},W_{k}\}]$.\qed

\subsection{Cas particulier des groupes m{\'e}tab{\'e}liens}

En utilisant le second m{\'e}canisme illustr{\'e} en \ref{exemple}, on va am{\'e}liorer
les r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents.

\begin{prop}
\label{deux}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct. Soit $\l_{c,min}$
(resp. $\l_{c,max}$) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre
de la restriction de $\alpha$ au centre de $\H$.
\begin{itemize}
\item Si $w_{n-1}/p>W_{k-1}$ et
$w_{n-1}/p\geq \l_{c,min}+W_{k-1}$, alors $\hp{k}(G)=0$.
\item Si $w_{n-1}/p<w_{k-1}$ et
$w_{n-1}/p\leq \l_{c,max}+w_{k-1}$, alors $\hp{k}(G)=0$.
\end{itemize}
\end{prop}

\preuve
La seconde hypoth{\`e}se se d{\'e}duit de la premi{\`e}re en changeant $\alpha$ en
$-\alpha$. Supposons donc que $w_{n-1}/p >W_{k-1}$ et que $w_{n-1}/p\geq
\l_{c,min}+W_{k-1}$. Notons $\xi=\ddt$ de sorte que
$ad_{\xi}=\alpha$ sur $\H$. Les valeurs propres de $\L^{k-1}\alpha$ sont de
partie r{\'e}elle inf{\'e}rieure ou {\'e}gale {\`a}
$W_{k-1}<\tr(\alpha)/p$. Par cons{\'e}quent, le champ invariant {\`a}
gauche $\xi$ est $(k-1,p)$-contractant.

Soit $Z(H)$ le centre de $H$ et $E\subset Z(\H)$, la somme des sous-espaces caract{\'e}ristiques de $\alpha$
relatifs {\`a} des valeurs propres de partie r{\'e}elle $\l_{c,min}$. Le sous-espace
$E^{*}\otimes\L^{k-1}\subset\L^{k}$ est invariant. Les valeurs propres de
$\L^{k}\alpha$ sur ce sous-espace sont de parties r{\'e}elles inf{\'e}rieures ou
{\'e}gales {\`a} $\l_{c,min}+W_{k-1}\leq \tr(\alpha)/p$. Par cons{\'e}quent,
$E^{*}\otimes\L^{k-1}\subset\L^{k}_{-}\oplus\L^{k}_{0}$. 

D'apr{\`e}s la proposition \ref{distr'}, toute forme $\beta$ telle que
$\pi^{*}\beta\in\bp{k}(G,\xi)$ est une section de $\L^{k}_{+}$. Par cons{\'e}quent,
pour tout vecteur $\eta\in E$, $\iota_{\eta}\beta\equiv 0$. Si de plus
$d\beta=0$, alors $\beta$ est invariante par translation dans la direction $\eta$.
Sachant que la norme $L^{p}+dL^{p}$ de $\pi^{*}\beta$ est une int{\'e}grale sur
$H$, ceci n'est possible que si $\beta=0$. On conclut que
$\bp{k}(G,\xi)\cap\ker d=0$, puis, avec le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm}, que
$\hp{k}(G)=0$.\qed


\begin{cor}
\label{rpk=0}
On consid{\`e}re le produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u} $\alpha$
une matrice carr{\'e}e $n-1\times n-1$. On note
$\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ les parties r{\'e}elles des valeurs propres de
$\alpha$. Pour $k=1,\ldots,n-1$,
on note $W_{k}=\l_{n-k}+\cdots+\l_{n-1}$. Si $w_{n-1}/p>W_{k-1}$ et
$w_{n-1}/p\geq \l_{1}+W_{k-1}$, alors $\hp{k}(G)=0$. De m{\^e}me, si
$w_{n-1}/p<w_{k-1}$ et
$w_{n-1}/p\leq \l_{n-1}+w_{k-1}$, alors $\hp{k}(G)=0$.
\end{cor}

\remarque
On verra en \ref{rnonnul} que si $\l_{1}>0$, l'intervalle $[w_{k-1},\l_{1}+W_{k-1}]$
du corollaire \ref{rpk=0} est optimal.

\section{Restrictions sur la torsion}
\label{tor}
Les r{\'e}sultats principaux de cette section sont les propositions
\ref{torsion} et \ref{torsionnulle}. Les comparer {\`a} \cite{KS}.

\subsection{Cas g{\'e}n{\'e}ral}
\begin{prop}
\label{torsion}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e. Soit $\xi$ un
champ de vecteurs unitaire $(k-2,p)$-Anosov et $(k-1,p)$-contractant
(resp $(k-1,p)$-dilatant) sur $M$. Alors $\tp{k}(M)=0$.
\end{prop}


\preuve
D'apr{\`e}s la proposition \ref{distr}, $\bp{k-1}(G,\xi)=0$, car le
sous-fibr{\'e} $\L^{k-1}_{+}$ (resp. $\L^{k-1}_{-}$) est nul. Par cons{\'e}quent, la
cohomologie en degr{\'e} $k$ du complexe $\bp{*}(G,\xi)$ est s{\'e}par{\'e}e. Comme
on suppose $p$ non critique aussi en degr{\'e}
$k-2$, le th{\`e}or{\`e}me \ref{thm} donne un isomorphisme
$\tp{k}(M)=T^{k}(\bp{*}(M,\xi))=0$.\qed 



\begin{prop}
\label{tor=0}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct.
On note
$\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ les parties r{\'e}elles des valeurs propres de
$\alpha$. Pour $k=1,\ldots,n-1$,
on note $w_{k}=\l_{1}+\cdots+\l_{k}$ et
$W_{k}=\l_{n-k}+\cdots+\l_{n-1}$. On suppose que $p>1$ est non critique
en degr{\'e} $k-2$.
Si $w_{n-1}/p>W_{k-1}$ ou bien si $w_{n-1}/p<w_{k-1}$, alors $\tp{k}(G)=0$.
\end{prop}

\remarque
On verra en \ref{tpknonnul} que si $H$ est ab{\'e}lien, l'intervalle $[w_{k-1},$ $W_{k-1}]$ est optimal.

\subsection{Preuve du th{\'e}or{\`e}me A}

Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te de dimension $n$,
simplement connexe, dont la
courbure sectionnelle $K$ satisfait $-1\leq K\leq\delta<0$. Alors $M$
est automatiquement {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e. Soit
$p>1$. Soit $\xi$ un champ de vecteur de Busemann sur $M$.
Supposons que 
$$
p<{\bf q}(n,\delta, k), \quad\hbox{i.e. que}\quad 
k<{{(n-1)\sqrt{-\delta}}\over{p-1+\sqrt{-\delta}}}.
$$
D'apr{\`e}s la proposition \ref{pince}, le champ $\xi$ est $(j,p)$-contractant pour tout degr{\'e} $j\leq k$. De la
proposition \ref{hpnul}, il r{\'e}sulte que $\hp{k}(M)=0$.

Enfin, si
$$
p\leq{\bf q}(n,\delta, k-1), \quad\hbox{i.e. si}\quad 
k<{{p-1+n\sqrt{-\delta}}\over{p-1+\sqrt{-\delta}}},
$$
le champ $\xi$ est $(j,p)$-contractant pour tout degr{\'e} $j\leq k$. En
particulier, il est $(k-2,p)$-Anosov. De la
proposition \ref{torsion}, il r{\'e}sulte que $\tp{k}(M)=0$.\qed


\subsection{Cas o{\`u} le groupe $H$ n'est pas ab{\'e}lien}

Dans ce paragraphe, on s'int{\'e}resse aux produits semi-directs
$G=\R\ltimes{\alpha}H$. 

On va voir que la non commutativit{\'e} du groupe $H$ force parfois la
torsion $\tp{*}(G)$ {\`a} {\^e}tre non nulle sur un intervalle plus grand.

On identifiera (abusivement) $\bp{*}(G,\ddt)$ {\`a} un
espace de formes dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-les sur $H$, {\em not{\'e}} simplement $\bp{k}$. Si on
identifie l'alg{\`e}bre ex\-t{\'e}\-ri\-eu\-re $\L^{*}\H^{*}$ aux formes diff{\'e}rentielles
invariantes
{\`a} gauche sur $H$, alors la dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-le ext{\'e}rieure devient un op{\'e}rateur
alg{\'e}brique {\em not{\'e}} $\delta:\L^{k-1}\H^{*}\to \L^{k}\H^{*}$.

\begin{lemme}
\label{LK}
Soit $J$ un sous-espace vectoriel de $\L^{k-1}\H^{*}$. Posons
$$
K=J\cap\delta^{-1}(\H^{*}\otimes J)=\ker\{\overline{\delta}:J\to
\L^{k}\H^{*}/\H^{*}\otimes J\}.
$$
Alors
$$
\bp{k}\cap\overline{\Gamma(J)}\subset\bp{k}\cap\overline{\Gamma(K)}+d\bp{k-1}.
$$
\end{lemme}

\preuve
Soit $e\in\bp{k}$ tel que $e=\lim da_j$ au sens des distributions, o{\`u}
$a_{j}\in\Gamma(J)$. Soit $K^s$ un suppl{\'e}mentaire de $K$ dans $J$. On {\'e}crit
$a_{j}=b_{j}+c_{j}$ o{\`u} $b_{j}\in\Gamma(K)$ et $c_{j}\in\Gamma(K^{s})$. Alors
modulo $\Gamma(\H^{*}\otimes J)$, 
$$
da_{j}=dc_{j}=\overline{\delta}c_{j}.
$$
Or l'op{\'e}rateur alg{\'e}brique $\overline{\delta}$ est injectif sur $K^{s}$, donc
il admet un inverse {\`a} gauche $\overline{\delta}^{-1}:\L^{k}\H^{*}/\H^{*}\otimes
J\to K^{s}$. D'apr{\`e}s le corollaire \ref{comp},
$\overline{\delta}^{-1}$ est born{\'e} sur $\bp{k}$.
Comme
$$
c_{j}=\overline{\delta}^{-1}(da_{j}\hbox{ mod }\H^{*}\otimes J)\in\bp{k}
$$
et $da_{j}$ converge dans $\bp{k}$, $c_{j}$ converge dans $\bp{k-1}$ vers 
$$
c=\overline{\delta}^{-1}(e\hbox{ mod }\H^{*}\otimes J)
$$
et $e-dc=\lim db_{j}\in \overline{\Gamma(K)}$.\qed

\begin{cor}
\label{K+}
On garde les notations du lemme \ref{LK}. Lorsque, partant du
sous-espace $\L^{k-1}_{\pm}$ de $\L^{k-1}\H^*$, on it{\`e}re la construction $J$
donne $K=J\cap\delta^{-1}(\H^{*}\otimes J)$ on trouve une suite de noyaux qui se
stabilise en $K_{\pm}$. Alors 
$$
\overline{d\bp{k-1}}\subset\bp{k}\cap\overline{\Gamma(K_{\pm})}+d\bp{k-1}.
$$
En particulier, si $p$ est non critique en degr{\'e}s $k-2$ et $k-1$, et si $K_{+}=0$ ou $K_{-}=0$, alors $\tp{k}(G)=0$.
\end{cor}

\preuve
D'apr{\`e}s la proposition \ref{distr},
$$
\bp{k-1}\subset\overline{\Gamma(\L^{k-1}_{+})+d\Gamma(\L^{k-2}_{+})}
$$
donc
$$
\overline{d\bp{k-1}}\subset\overline{d\Gamma(\L^{k-1}_{+})}.
$$
et on applique le lemme \ref{LK} autant de fois que n{\'e}cessaire. Si
$K_{+}=0$, alors $d\bp{k-1}$ est ferm{\'e}. Si de plus $p$ est non critique en
degr{\'e}s $k-2$ et $k-1$, le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm} s'applique et
$\tp{k}(G)=T^{k}(\bp{*},d)=0$.\qed

\begin{cor}
\label{ideal}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct. On suppose que $p$ est non
critique en degr{\'e}s $k-2$ et $k-1$ pour le champ $\ddt$. On note $I_{\pm}$
l'id{\'e}al engendr{\'e} par les sections de $\L^{k-1}_{\pm(p)}$. Si tout id{\'e}al
diff{\'e}rentiel contenu dans $I_{+}$ ou
$I_{-}$ intersecte trivialement
$\L^{k-1}_{\pm(p)}$, alors $\tp{k}(G)=0$.
\end{cor}

\preuve

Il ne s'agit que d'une reformulation du corollaire \ref{K+}. L'id{\'e}al
engendr{\'e} par les sections de $K_{+}$ est invariant par la diff{\'e}rentielle
ext{\'e}rieure. Sa trace en degr{\'e} $k-1$ est la plus grande possible pour un id{\'e}al diff{\'e}rentiel contenu dans
$I_{+}$.\qed

\ali

En degr{\'e} 2, le sous-espace $K_{\pm}$ a une interpr{\'e}tation simple.

\begin{lemme}
\label{ssalg}
Etant donn{\'e} un sous-espace $J\subset\H^{*}$, on note $J^{0}\subset\H$ son
annulateur. Alors $K=J\cap\delta^{-1}(\H^{*}\otimes J)$ satisfait
$$
K^{0}=J^{0}+[J^{0},J^{0}].
$$
En particulier, $K^{0}_{+}$ est la sous-alg{\`e}bre de Lie engendr{\'e}e par
$\H_{-}=(\L_{+})^{0}$.
\end{lemme}

\begin{cor}
\label{ssalgcor}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct. Supposons que
$\tr(\alpha)\not=0$.
Notons $\H_{+}$ (resp. $\H_{-}$) la somme des sous-espaces caract{\'e}ristiques de
$\alpha$ sur $\H$ relatifs {\`a} des valeurs propres de partie r{\'e}elle sup{\'e}rieure
(resp. inf{\'e}rieure) {\`a} $\tr(\alpha)/p$. Supposons que $\H=\H_{+}\oplus\H_{-}$
et que l'un des sous-espaces $\H_{\pm}$ engendre l'alg{\`e}bre de Lie $\H$. Alors
$\tp{2}(G)=0$.
\end{cor}
 
\begin{prop}
\label{torsionnulle}
Soit $G$ un groupe de Lie r{\'e}soluble connexe. Soient $A$ et $N$ des sous-groupes
nilpotents tels que $N$ est distingu{\'e} et $G=AN$. Soit
$\d\N=\sum_{\l\in\Sigma} \N_{\l}$ la d{\'e}composition de l'alg{\`e}bre
de Lie complexifi{\'e}e $\N\otimes\C$ en espaces caract{\'e}ristiques sous l'action de
$\A$. On note $\tau\in\A^*$ la forme lin{\'e}aire
$\xi\mapsto\tr(ad_{\xi})$. Soit $p>1$ un exposant non critique pour
l'action de $A$ sur $G$. S'il existe un sous-ensemble
$\Sigma'\subset \Sigma$ tel que l'enveloppe convexe de
$\Sigma'\cup\{0\}$ ne contient pas  
$\tau/p$ et tel que les $\N_{\l}$ pour $\l\in\Sigma'$ engendrent $\N$, alors $\tp{2}(G)=0$.
\end{prop}

\preuve
Notons $H\subset G$ le noyau de l'homomorphisme modulaire $G\to\R$. Son
alg{\`e}bre de Lie $\H$ est le noyau de la forme lin{\'e}aire $\tau$.
Si l'enveloppe convexe de $\Sigma'\cup\{0\}$ ne contient pas  
$\tau/p$, alors il existe un vecteur $\xi\in\A$ tel que pour toute forme
lin{\'e}aire $\l\in\Sigma'$, $\l(\xi)<\tau(\xi)/p$, et tel que
$0<\tau(\xi)/p$. 
Utilisons ce vecteur
pour {\'e}crire $G$ comme produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}H$,
autrement dit $\alpha=ad_{\xi}$ restreinte {\`a} $\ker\tau$. Quitte {\`a}
perturber $\xi$, on peut supposer que les exposants critiques de $\xi$
sont ceux de l'action de $A$ sur $G$, et en particulier que $p$ est non
critique pour le champ $\xi$.


L'alg{\`e}bre de Lie $\H$ se d{\'e}compose en espaces caract{\'e}ristiques
de l'endomorphisme $\alpha$,
$$
\H=\H_{0}\oplus\bigoplus_{\{\l\in\Sigma,~\l(\xi)\not=0\}} \N_{\l}.
$$ 
Alors
$$
\H^{*}=\H_{0}^{*}\oplus\bigoplus_{\{\l\in\Sigma,~\l(\xi)\not=0\}} \N^{*}_{\l}.
$$ 
Comme $\tr\alpha=\tau(\xi)$,
$$
\L^{1}_{+}=
\bigoplus_{\{\l\in\Sigma,~\l(\xi)>\tau(\xi)/p\}} \N^{*}_{\l}.
$$
Notons $\H_{-}$ l'annulateur dans $\H$ de $\L^{1}_{+}$. Comme
$$
\H_{-}=\H_{0}\oplus\bigoplus_{\{\l\in\Sigma,~\l(\xi)<\tau(\xi)/p\}} \N_{\l}
$$
contient tous les $\N_{\l}$ pour $\l\in\Sigma'$, l'alg{\`e}bre de Lie qu'il
engendre contient $\N$. Comme $\H_{0}$ contient $\A\cap\ker\tau$,
$\H_{-}$ engendre $\H$. Le corollaire \ref{ssalg} entra{\^\i}ne que
$\tp{2}(G)=0$.\qed

\remarque
La proposition \ref{torsionnulle} s'{\'e}tend {\'e}videmment aux degr{\'e}s $\geq 3$, mais
l'{\'e}nonc{\'e} devient compliqu{\'e}.

\exemple
{\em Soit $M$ l'espace sym{\'e}trique $SL(3,\R)/SO(3)$. Alors la torsion $\tp{2}(M)=0$
pour $p<4$.}

En effet, $M$ est isom{\'e}trique au groupe $G$ des matrices triangulaires
sup{\'e}rieures de d{\'e}terminant $1$. On peut prendre pour $A$ les matrices
diagonales et pour $N$ les matrices unipotentes. Alors il existe deux
formes lin{\'e}aires ind{\'e}pendantes $\l$ et $\mu$ sur $\A$ telles que $\d
\Sigma=\{\l,\mu,\l+\mu\}$ et
$$
\N=\N_{\l}\oplus \N_{\mu}\oplus \N_{\l+\mu}
$$
est l'alg{\`e}bre de Lie de Heisenberg, engendr{\'e}e par $\N_{\l}\oplus
\N_{\mu}$. La forme lin{\'e}aire $\tau$ vaut $2(\l+\mu)$. On pose $\d
\Sigma'=\{\l,\mu\}$. Alors l'enveloppe convexe de $\Sigma'\cup\{0\}$ est
un triangle qui contient
$\tau/p$ si et seulement si $p\geq 4$. Si $p\not=2$, $p$ est
non critique. Si de plus $p<4$, la proposition \ref{torsionnulle}
s'applique et $\tp{2}(M)=0$.

Comme $p=2$ est un exposant critique, nos m{\'e}thodes ne s'appliquent pas. N{\'e}anmoins,
il r{\'e}sulte de la formule de Y. Matsushima, \cite{Matsushima}
que la cohomologie $L^{2}$ en degr{\'e} $r$ d'un espace sym{\'e}trique de rang
$r$ est s{\'e}par{\'e}e. On conclut que $\tp{2}(M)=0$ aussi pour $p=2$.\qed

\remarque Il est probable que pour l'espace sym{\'e}trique de $Sl(n,\R)$, la
cohomologie $L^{p}$ en degr{\'e} $2$ est nulle pour tout $p>1$.

\begin{prop}
\label{ross}
Soit $M$ un espace sym{\'e}trique de rang $1$. Soit $
k=2,\ldots,{{\dim M}\over{2}}$. Notons $\p1{k-1}<\p2{k-2}\cdots$
les exposants critiques en degr{\'e} $k-1$. Si $p<\p2{k-1}$, alors
$\tp{k}(M)=0$ sauf peut-{\^e}tre
pour $p=\p1{k-1}$.
\end{prop}

\preuve
Si $M$ est {\`a} courbure constante, $M$ est isom{\'e}trique
au produit semi-direct
$G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u} $\alpha$ est l'identit{\'e}. Il y a au plus
un exposant critique en degr{\'e} $k-1$, c'est $\p1{k-1}=n-1/k-1$. La proposition 
\ref{tor=0} donne que $\tp{k}(M)=0$ pour $p\not=\p1{k-1}$.

\ali

Tout espace sym{\'e}trique de rang $1$ {\`a} courbure non constante est isom{\'e}trique
{\`a} un produit semi-direct
$G=\R\ltimes{\alpha}H$ o{\`u} $\alpha$ admet les valeurs propres $2$ (de
multiplicit{\'e} $\ell=1$, $3$ ou $7$) et $1$ (de multiplicit{\'e} $m$ paire). De plus
l'espace propre $\H_2$ est central, la diff{\'e}rentielle $\delta$ est nulle
sur $\H^{*}_{1}$ et si $e\in\H^{*}_{2}$ est non nulle,
$\delta(e)\in\L^{2}\H^{*}_{1}$ est non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e. L'alg{\`e}bre ext{\'e}rieure
se d{\'e}compose en
$$
\L^{k}\H^{*}=\bigoplus_{i\leq m,\,j\leq\ell,\,i+j=k}\L^{i,j}\quad\hbox{o{\`u}}\quad
\L^{i,j}=\L^{i}\H_{1}^{*}\otimes\L^{j}\H_{2}^{*}
$$
et $\alpha$ vaut $i+2j$ sur $\L^{i,j}$. 

Les exposants critiques en degr{\'e}
$k$ sont les nombres de la forme $m+2\ell/k+j$ o{\`u} $j$ d{\'e}crit les
entiers compris entre $\max\{0,k-m\}$ et $\min\{k,\ell\}$. Pour $k\geq
2$, on v{\'e}rifie que $\p2{k-1}\leq\p1{k-2}$. Par cons{\'e}quent, si
$p\leq\p2{k-1}$, alors $p$ est non critique en degr{\'e} $k-2$. Si de plus $p\not=\p1{k-1}$, alors $p$ est non critique en degr{\'e} $k-1$.


Notons $q_{m}=\min\{k-1,\ell\}$. Pour $k-1-m\leq q\leq q_{m}$,
notons 
$$
J_{q}=\bigoplus_{j=q}^{q_{m}} \L^{k-1-j,j}.
$$
Pour chaque exposant $p$ non critique en degr{\'e} $k-1$, $\L^{k-1}_{+(p)}$ est
l'un des sous-espaces $J_q$.
Or $\H^{*}\otimes J_{q}=\H_{1}^{*}\otimes J_{q}$ contient $\delta(J_{q-1})$
mais est en somme directe avec $\L^{k+1-q,q-1}$ qui contient
$\delta(\L^{k-1-q,q})$. Par cons{\'e}quent
$$
J'_{q}=:J_{q}\cap \delta^{-1}(\H^{*}\otimes J_{q})=J_{q+1}\oplus\ker d\cap\L^{k-1-q,q}.
$$
Comme $\delta\circ \delta=0$, $\delta(J'_{q})\subset \H^{*}\otimes
J'_{q}$. Par cons{\'e}quent, l'it{\'e}ration s'arr{\^e}te {\`a} la deuxi{\`e}me {\'e}tape. 
Si $p<\p1{k-1}$, alors $\L^{k-1}_{+(p)}=0$, et le corollaire \ref{K+}
donne imm{\'e}diatement que $\tp{k}(M)=0$.

Supposons $p$ compris entre $\p1{k-1}$ et $\p2{k-1}$. Alors
$\L^{k-1}_{+(p)}=\L^{k-1-q_{m},q_{m}}$. Lorsque $k\leq\ell+1$, $q_{m}=k-1$ donc
$\L^{k-1}_{+}=\L^{0,k-1}$. Lorsque $k>\ell+1$, $q_{m}=\ell$ donc
$\L^{k-1}_{+}=\L^{k-1-\ell,\ell}$. 

Montrons que dans les deux cas,
et si de plus $k\leq {{\dim M}\over{2}}$, $\delta$ est injectif sur 
$\L^{k-1}_{+}$. 

Soit $v_{1},\ldots,v_{\ell}$ une base du sous-espace $V_{2}$ de l'alg{\`e}bre
de Lie $\H$. Alors les $2$-formes $\delta v_{1},\ldots,\delta v_{\ell}$
sont lin{\'e}airement ind{\'e}pendantes dans $\L^{2}V_{1}^{*}$. Soit $k$ un
entier compris entre $2$ et $\ell+1$. Si $I$ est un
sous-ensemble {\`a} $k-1$ {\'e}l{\'e}ments de $\{1,\ldots,\ell\}$, notons 
$$
v_{I}=\bigwedge_{i\in I} v_{i}.
$$
Alors 
$$
\delta v_{I}=\sum_{i\in I} \pm \delta v_{i}\otimes v_{I\setminus\{i\}}
$$
et lorsque $I$ d{\'e}crit les sous-ensembles {\`a} $k-1$ {\'e}l{\'e}ments de
$\{1,\ldots,\ell\}$ et $i$ d{\'e}crit les {\'e}l{\'e}ments de $I$, les {\'e}l{\'e}ments $\delta v_{i}\otimes v_{I\setminus\{i\}}$ sont
lin{\'e}airement ind{\'e}pendants dans
$\L^{2}V_{1}^{*}\otimes\L^{k-2}V_{2}^{*}$.
Par cons{\'e}quent $\delta$ est injective sur $\L_{0,k-1}$.

Supposons maintenant que $k>\ell+1$. Pour $i=1,\dots,\ell$, notons $L_{i}$ le produit ext{\'e}rieur
par $\delta v_{i}$. Alors sur
$\L^{k-1-\ell,\ell}\sim\L^{k-1-\ell}V_{1}^{*}$, 
$$
\delta=\bigoplus_{1\leq i\leq \ell} L_{i}
$$
donc $\ker\delta=\cap\ker L_{i}$.

Comme les formes $\delta v_{i}$ sont non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}es, les applications
$L_{i}$ sont injectives sur $\L^{q}V_{1}^{*}$ d{\`e}s que
$q\leq {m\over2}+1$. 
Comme $\ell\geq 1$, 
$$
{m\over2}+1\leq {{m+\ell+1}\over{2}}={{\dim M}\over{2}}.
$$
Par cons{\'e}quent, si $k\leq {{\dim M}\over{2}}$, $\delta$ est injective sur
$\L^{k-1-\ell,\ell}$.

Du corollaire \ref{K+}, il r{\'e}sulte que si $k\leq {{\dim M}\over{2}}$,
alors $\tp{k}(M)=0$.\qed

\remarque
La borne ${{\dim M}\over{2}}$ de la proposition \ref{ross} n'est pas
optimale. On peut la remplacer par le nombre $k_{M}$, plus grand entier $k$
tel qu'au\-cu\-ne $k-1-\ell$-forme sur le sous-espace $V_{1}$ ne soit
annul{\'e}e par produit ext{\'e}rieur avec toute forme de $\delta V_{2}$.

\begin{cor}
\label{cplx}
Soit $M$ un espace hyperbolique complexe. Si $p$ est non critique en
degr{\'e} $k-1$ (i.e. sauf pour au plus 2 valeurs de $p$), alors $\tp{k}(M)=0$.
\end{cor}

\preuve

Soit $n=\dim M$. Si $2\leq k\leq n-1$, il y a deux exposants critiques
en degr{\'e} $k-1$, $\p1{k-1}=n/k$ et $\p2{k-1}=n/k-1$. Si $k\leq n/2$, la
proposition 
\ref{ross} donne que $\tp{k}(M)=0$ pour $p<\p1{k-1}$ et pour
$p\in]\p1{k-1},\p2{k-1}[$. Comme $\p2{k-1}$ est plus grand que les
exposants critiques en degr{\'e} $k$, la proposition \ref{k} donne que
$\hp{k}(M)=0$ pour $p>\p2{k-1}$. Par cons{\'e}quent, $\tp{k}(M)=0$ pour $p$
non critique. La dualit{\'e} de Poincar{\'e} (proposition \ref{poincare}) permet
d'{\'e}tendre la conclusion aux valeurs de $k$ sup{\'e}rieures {\`a} $n/2$.\qed

\remarque
Il y a de la torsion {\`a} au moins l'un des deux exposants critiques.
On verra en \ref{hyperbreeltor} que si $2\leq k\leq n/2$,
$\tp{k}(M)\not=0$ pour $p=\p2{k-1}$. Par dualit{\'e} de Poincar{\'e}, si $k\geq
{n\over2}+1$, $\tp{k}(M)\not=0$ pour $p=\p1{k-1}$. Vraisemblablement, la
torsion est nulle {\`a} l'autre exposant critique. Voir en \ref{hyperbcomplexe}
pour le cas o{\`u} $n=4$.


\section{Cohomologie $L^p$ en degr{\'e} $1$}
\label{1formes}

\subsection{Torsion et in{\'e}galit{\'e} isop{\'e}rim{\'e}trique}

\begin{prop}
\label{torsion1}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne de dimension $n$. Soit
$p\geq 1$ et $k=1,\cdots,n$. La torsion $\tp{k}(M)$ est nulle si et seulement
si l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev suivante est vraie. 
Pour toute $k-1$-forme $\omega\in \op{k}(M)$, il existe une
$k-1$-forme $\phi\in \op{k-1}(M)$ telle que 
$$
d\omega=d\phi\et \n{\phi}\lp \leq\con\n{d\phi}\lp.
$$
\end{prop}
\preuve
Supposons l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev vraie en degr{\'e} $k-1$. Elle s'{\'e}tend par
densit{\'e} aux formes de $\op{k-1}(M)$. Soit
$\omega_j$ une suite de $k-1$-formes $L^p$ sur $M$ telle que $d\omega_j$ converge vers
$\alpha$ dans
$L^p$. D'apr{\`e}s l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev, il existe une suite $\phi_j$, born{\'e}e
dans $L^p$, telle que $d\phi_{j}=d\omega_{j}$. Extrayons une sous-suite qui converge
faiblement vers $\phi_\infty$. Alors
$\phi_\infty\in L^p$ et $d\phi_{\infty}=\alpha$. En particulier
$\phi_{\infty}\in\op{k-1}(M)$. On conclut que
$d\op{k-1}(M)$ est ferm{\'e} dans $\op{k}(M)$, donc que $\tp{k}(M)=0$.

Inversement, supposons que $\tp{k}(M)=0$, i.e. que $d\op{k-1}(M)$ est ferm{\'e} dans
$\op{k}(M)$. L'op{\'e}rateur $d$ induit $\overline{d}:\op{k-1}(M)/\ker d\to
d\op{k-1}(M)$. C'est une bijection continue entre espaces de Banach, donc un
isomorphisme. Notons $\overline{d}^{-1}$ son inverse. Etant donn{\'e}e une $k-1$-forme
$\omega\in\op{k-1}(M)$, soit
$\phi\in\op{k-1}(M)$ un repr{\'e}sentant de la classe $\overline{d}^{-1}d\omega\in
\op{k-1}(M)/\ker d$ de norme presque minimum. Elle satisfait 
$$
d\omega=d\phi\et \n{\phi}\lp \leq\con\n{d\phi}\lp.
$$

\remarque
Pour retrouver l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev classique, on doit ne consid{\'e}rer que
les $1$-formes {\em exactes}

\begin{defi}
\label{defexacte}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne. On appelle {\em cohomologie $L^p$ exacte},
et on note $\ehp{*}(M)$ le noyau de l'application tautologique $\hp{k}(M)\to
H^{k}(M,\R)$.
\end{defi}

\begin{rem}
Sur une vari{\'e}t{\'e} riemannienne
compl{\`e}te de volume infini, la nullit{\'e} de $\etp1$ {\'e}quivaut
{\`a} l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev sous sa forme plus classique : pour toute
fonction $u$ lisse et {\`a} support compact sur $M$,
$$
\n{u}\lp \leq\con\n{du}\lp.
$$
{\em En effet, on ne s'int{\'e}resse qu'aux $1$-formes exactes
$\omega=du$. Si $\omega=d\phi$, alors $u-\phi$ est constante et
$L^p$, donc nulle. D'autre part, comme $M$ est compl{\`e}te, les fonctions
lisses et {\`a} support compact sur $M$ sont dense dans $L^{p}(M)$.}
\end{rem}

\begin{defi}
Une vari{\'e}t{\'e} riemannienne $M$ est dite {\em ouverte {\`a} l'infini} si elle
satisfait une in{\'e}galit{\'e} isop{\'e}rim{\'e}trique lin{\'e}aire, i.e. si pour toute
sous-vari{\'e}t{\'e} compacte $\Delta$ de codimension $0$, {\`a} bord lisse,
$$
{\rm Vol}\,\Delta\leq\con{\rm Vol}\,\partial\Delta.
$$
Si $M$ n'est pas ouverte {\`a} l'infini, elle est {\em ferm{\'e}e {\`a} l'infini}.
\end{defi}

\begin{prop}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne {\`a} g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e. Les
propri{\'e}t{\'e}s suivantes sont {\'e}quivalentes.
\begin{enumerate}
\item $M$ est ouverte {\`a} l'infini ;
\item pour tout $p\geq 1$, $\etp1(M)=0$ ;
\item il existe $p\geq 1$ tel que $\etp1(M)=0$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\preuve
Lorsque $p=2$, ces {\'e}quivalences sont essentiellement dues {\`a} R. Brooks,
\cite{Brooks}. 

Il est classique (voir \cite{Mazya}) que l'in{\'e}galit{\'e} isop{\'e}rim{\'e}trique ${\rm
Vol}\,\Delta\leq\con{\rm Vol}\,\partial\Delta$ est {\'e}quivalente {\`a} l'in{\'e}galit{\'e}
de Sobolev $L^1$ (avec la m{\^e}me constante) : pour toute fonction $u$
lisse {\`a} support compact sur $M$, $\d\n{\phi}_{L^{1}}
\leq\con\n{du}_{L^{1}}$. 

L'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev $L^1$, appliqu{\'e}e {\`a} la fonction $u^p$, combin{\'e}e {\`a}
l'in{\'e}galit{\'e} de H{\"o}lder, entra{\^\i}ne l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev $L^p$ pour
$p\geq 1$. Ceci prouve que $(1)\Rightarrow(2)$.

Il reste {\`a} montrer que, sous l'hypoth{\`e}se de g{\'e}om{\'e}trie born{\'e}e, l'i\-n{\'e}\-ga\-li\-t{\'e}
de Sobolev $L^p$ pour un $p>1$ entra{\^\i}ne l'in{\'e}galit{\'e}
de Sobolev $L^1$. Par invariance par quasiisom{\'e}trie, on peut remplacer $M$ par un
graphe $X$ de valence born{\'e}e par $V$ et dont les ar{\^e}tes ont toutes m{\^e}me longueur.
Les fonctions sur $M$ deviennent des fonctions sur l'ensemble $X^0$ des sommets de $X$
et la norme $L^p$ de la diff{\'e}rentielle devient $\d(\sum|u(a)-u(b)|^{p})^{1/p}$ o{\`u}
la somme est {\'e}tendue aux couples de sommets reli{\'e}s par une ar{\^e}te.

Supposons d'abord que $u$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$. Alors $\d
\n{u}_{L^{p}}=\n{u}_{L^{1}}^{1/p}$ et $\d \n{du}_{L^{1}}=\n{du}_{L^{1}}^{1/p}$ donc 
l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev $L^p$ entra{\^\i}ne l'in{\'e}galit{\'e}
de Sobolev $L^1$ dans ce cas. 

Enfin, on {\'e}crit une fonction quelconque comme int{\'e}grale de fonctions {\`a} valeurs
dans $\{0,1\}$. Soit $u$ une fonction sur
$X^0$. Quitte {\`a} remplacer $u$ par sa valeur absolue (ce qui ne change pas la norme
$L^1$ et diminue la norme $L^1$ de la diff{\'e}rentielle), on peut supposer que $u$ est
positive ou nulle. On {\'e}crit alors $\d u=\int_{0}^{+\infty} u_{t}\,dt$ o{\`u} $\d
u_{t}(x)=1$ si $u(x)\geq t$ et $\d u_{t}(x)=0$ sinon. Alors
$$
\n{u}_{L^{1}}=\int_{0}^{+\infty} \n{u_{t}}_{L^{1}}\,dt
$$
et
$$
\n{du}_{L^{1}}=\int_{0}^{+\infty} \n{du_{t}}_{L^{1}}\,dt,
$$
donc l'in{\'e}galit{\'e} de Sobolev $L^p$ entra{\^\i}ne l'in{\'e}galit{\'e}
de Sobolev $L^1$ en g{\'e}n{\'e}ral.\qed

\begin{prop}
\label{hoke}
{\em (H. Hoke, \cite{Hoke})}. Soit $G$ un groupe de Lie muni d'une m{\'e}trique
riemannienne invariante {\`a} gauche. Alors $G$ est ferm{\'e} {\`a} l'infini si et
seulement si $G$ est moyennable (i.e. extension d'un groupe resoluble par un
groupe compact) et unimodulaire.
\end{prop}

\begin{cor}
\label{unimod}
Soit $G$ un groupe de Lie. Si $G$ est moyennable unimodulaire, alors pour tout $p>1$,
$\rp1(G)=0$ et $\tp1(G)\not=0$. Inversement, s'il existe $p>1$ tel que
$\tp1(G)\not=0$, alors $G$ est moyennable unimodulaire.
\end{cor}

\subsection{Quasiisom{\'e}tries entre espaces homog{\`e}nes}

Une application $f:X\to X'$ entre espaces m{\'e}triques est une {\em
quasiisom{\'e}trie} s'il existe des constantes $L$ et $D$ telles que tout point
de $X'$ est {\`a} distance au plus $D$ de l'image de $f$, et pour tous $x$,
$y\in X$, $\d -D+\inv{L}d^{X}(x,y)\leq d^{X'}(f(x),f(y))\leq L\,d^{X}(x,y)+D$.


\begin{lemme}
\label{cocompact}
Soit $G$ un groupe de Lie connexe, soit $H\subset G$ un sous-groupe ferm{\'e} et
connexe. 
\begin{itemize}
\item Si $H$ est compact, alors $M=G/H$ admet des m{\'e}triques riemanniennes
$G$-in\-va-\-ri\-an\-tes, et $G$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} $M$.
\item Si l'espace homog{\`e}ne $G/H$ est compact, alors $G$ est
quasiisom{\'e}\-tri\-que {\`a} $H$.
\end{itemize}
\end{lemme}

\preuve
Supposons $H$ compact. Choisissons un
suppl{\'e}mentaire $ad_H$-invariant $U$ de l'alg{\`e}bre de Lie ${\cal H}$ dans ${\cal
G}$ et une structure euclidienne $ad_H$-invariante $g_{U}$ sur $U$. Cela
d{\'e}termine une m{\'e}trique riemannienne $G$-invariante sur $M$. Soit
$g_{{\cal H}}$ une structure euclidienne sur ${\cal H}$. La
m{\'e}trique euclidienne $g_{{\cal K}}\oplus g_{U}$ sur ${\cal G}$ d{\'e}termine une
m{\'e}trique riemannienne invariante
{\`a} gauche sur $G$, invariante par l'action {\`a} droite de $H$. Pour cette
m{\'e}trique, l'application
$f:G\mapsto G/H$ est une submersion riemannienne, i.e. isom{\'e}trique
orthogonalement aux fibres. Par cons{\'e}quent, $f$ diminue les distances.
Inversement, {\'e}tant donn{\'e} un point
$g\in G$, toute courbe dans $M=G/K$ d'origine $f(g)$ a un unique rel{\`e}vement en une
courbe d'origine $g$ dans $G$ partout orthogonale aux fibres, et le rel{\`e}vement
pr{\'e}l{\`e}ve la longueur. Par cons{\'e}quent, la distance entre deux fibres $f^{-1}(x)$ et
$f^{-1}(x')$ est
{\'e}gale {\`a} $d^{M}(x,x')$. Enfin, par invariance {\`a} gauche, toutes les fibres sont
isom{\'e}triques de m{\^e}me diam{\`e}tre $D$. Par cons{\'e}quent, pour tous $g$, $g'\in G$,
$\d d^{M}(f(g),f(g'))\geq d^{G}(g,g')-D$. Ceci montre que $f$ est une
quasiisom{\'e}trie, et $M$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} $G$.

Supposons $G/H$ compact. Montrons par l'absurde qu'il existe une constante $D$
telle que  $d^{G}(g,H)\leq D$ pour tout $g\in G$. Sinon, il existe une suite $g_j$
telle que $d^{G}(g_{j},H)$ tend vers $+\infty$. L'espace
des classes {\`a} gauche $H\setminus G$ est lui aussi compact. Il existe donc une
suite
$h_{j}\in H$ telle que la suite $h_{j}^{-1}g_j$ converge dans $G$. Les distances
$d^{G}(h_{j},g_{j})=d^{G}(h_{j}^{-1}g_{j},1)$ sont born{\'e}es, et 
$d^{G}(g_{j},H)=d^{G}(h_{j},g_{j})$ l'est aussi, contradiction.

Soient $h$, $h'\in H$.  Alors $\delta=d^{G}(h,h')\leq d^{H}(h,h')$. Il reste 
{\`a} montrer l'in{\'e}galit{\'e} inverse. Soit $\gamma:[0,\delta]\to G$ une
g{\'e}od{\'e}sique minimisante de $h$ {\`a} $h'$. Pour $i=0,\ldots,N=[\delta/D]$, posons
$g_{i}=\gamma(iD)$, de sorte que $d^{G}(g_{i},g_{i+1})\leq D$ et $ND\leq\delta\leq
(N+1)D$. Choisissons $h_{i}\in H$ tel que $d^{G}(h_{i},g_{i})\leq D$. Comme $H$
est ferm{\'e} dans $G$, l'intersection de $H$ et de la boule de rayon $3D$ de $G$
est compacte, donc contenue dans une boule de rayon $D'$ pour la m{\'e}trique de
$H$. Pour tout $i$, $d^{G}(h_{i}^{-1}h_{i+1},1)\leq 3D$, donc
$d^{H}(h_{i}^{-1}h_{i+1},1)\leq D'$. Par cons{\'e}quent,
$$
d^{H}(h,h')\leq \sum d^{H}(h_{i}^{-1}h_{i+1},1)\leq (N+1)D'
\leq {D'\over D} d^{G}(h,h')+D.\qed
$$

\begin{lemme}
\label{centre}
Soit $G$ un groupe de Lie connexe. Alors $G$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} un groupe
de Lie $G'$ connexe dont le centre est connexe.
\end{lemme}

\preuve

Soit $Z(G)=\Gamma\times A$ le centre de $G$, o{\`u} $\Gamma$ est discret et $A$
connexe. Quitte {\`a} prendre un quotient fini, on peut supposer que $\Gamma$ est
isomorphe {\`a} $\Z^{k}$. Soit $C'=\R^k$ et $G'=(G\times C)/\Gamma$ o{\`u} $\Gamma$
agit diagonalement par translation. Alors $G'$ est un $C$-fibr{\'e} principal
de base $G/\Gamma$, donc $G'$ est connexe. 

L'homomorphisme $inc:G\to G'$,
$g\mapsto (g,1)$ mod $\Gamma$ est injectif. Montrons que c'est une quasiisom{\'e}trie.
Le mod{\`e}le est $G=\R$, $\Gamma=\Z$. Alors $G'=(\R\times\R)/\Gamma$ est un
cylindre, quasiisom{\'e}trique {\`a} $\R$. Dans le produit direct $G\times C$,
$$
d^{G\times C}((g,x),1)\sim d^{G}(g,1)+d^{C}(x,1)
$$
donc dans $G'$,
\begin{eqnarray*}
d^{G'}((g,1),1)&\sim& inf_{\gamma\in\Gamma} d^{G}(\gamma g,1)+d^{C}(\gamma,1)\\
&\geq&inf_{\gamma\in\Gamma} d^{G}(\gamma g,1)+d^{G}(\gamma,1)\\
&\geq&inf_{\gamma\in\Gamma} d^{G}(\gamma g,\gamma)\\
&=&d^{G}(g,1)
\end{eqnarray*}
car $\d d^{G}(\gamma,1)\leq\con d^{C}(\gamma,1)$. On conclut que $inc:G\to G'$ est
une quasiisom{\'e}trie.

Enfin, on v{\'e}rifie imm{\'e}diatement que le centre $Z(G')=(Z(G)\times
C)/\Gamma=A\times C$ est connexe.\qed

\begin{lemme}
\label{qires}
Tout espace homog{\`e}ne riemannien est quasiisom{\'e}trique {\`a} un groupe de Lie
r{\'e}soluble connexe dont tout sous-groupe distingu{\'e} 
nilpotent connexe est simplement connexe.
\end{lemme}
\preuve
Soit $M=G/H$ un espace homog{\`e}ne riemannien. Alors $H$ est compact et le lemme
\ref{cocompact} donne que $M$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} $G$.

Soit $G=RS$ la d{\'e}composition de Levi du groupe $G$, o{\`u} $R$ est le radical
de $G$ et $S$ est semi-simple (\cite{Bourbaki} chap. 3 page 244). Il existe un
sous-groupe ab{\'e}lien libre $\Gamma$ d'indice fini dans le centre de $S$ qui agit
trivialement sur $R$. Il est donc contenu dans le centre de $G$. 
Comme au lemme \ref{centre}, choisissons un espace vectoriel $C$ tel que
$\Gamma\subset C$ soit cocompact et posons $G'=(G\times C)/\Gamma$.
D'ap{\`e}s le lemme \ref{centre}, $G$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} $G'$. La
projection sur le premier facteur passe au quotient en $\pi:G'\to
\overline{G}=:G/\Gamma$. Le noyau de $\pi$ est isomorphe {\`a} $C$ donc connexe.
Soit $\overline{S}=S/\Gamma$ et $\overline{R}=R/\Gamma\cap R$. Ces sous-groupes
de $\overline{G}$ engendrent $\overline{G}$. Soit
$\overline{S}=NAK$ la d{\'e}composition d'Iwasawa de $\overline{S}$. Comme le centre
de $\overline{S}$ est fini, le groupe $K$ est compact. Alors $G''=\pi^{-1}(RNA)$
est r{\'e}soluble et connexe, $G'/G''=\overline{G}/\overline{R}NA=\overline{S}/NA$
est compact, donc $G$ et $G'$ sont quasiisom{\'e}triques {\`a} $G''$. 

Il reste {\`a} se ramener d'un groupe de Lie
r{\'e}soluble connexe $G$ {\`a} un groupe de Lie
r{\'e}soluble connexe $\overline{G}$ dont tout sous-groupe distingu{\'e} 
nilpotent connexe est simplement connexe. Soit $N$ un sous-groupe distingu{\'e} 
nilpotent connexe de $G$. Soit ${\tilde N}$ son rev{\^e}tement universel et
$\Gamma$ le noyau de l'homomorphisme ${\tilde N}\to N$. Alors $\Gamma$ est
discret et central dans
${\tilde N}$. Le centre $Z$ de ${\tilde N}$ est connexe,
donc l'exponentielle est un isomorphisme de groupe de son alg{\`e}bre de Lie
${\cal Z}$ sur $Z$. Soit
${\cal C}$ le sous-espace vectoriel de ${\cal Z}$ engendr{\'e} par $\exp^{-1}(\Gamma)$,
et $C=\exp(\C)$. Alors $T=C/\Gamma$ est un sous-groupe compact de $N$. Soit
$\Phi$ un automorphisme du groupe
$N$. Alors $\Phi$ se rel{\^e}ve en un automorphisme ${\tilde \Phi}$ de ${\tilde
N}$ qui pr{\'e}serve
$\Gamma$ et commute {\`a} l'exponentielle. Par cons{\'e}quent ${\tilde \Phi}$ pr{\'e}serve
$\C$ et $C$, donc $\Phi$ pr{\'e}serve $T$. Ceci montre que $T$ est distingu{\'e} dans $G$
et qu'on peut former le groupe quotient $\overline{G}=G/T$. Comme $T$ est
compact, $G$ et $\overline{G}$ sont quasiisom{\'e}triques. Si $\overline{G}$
contient {\`a} son tour un sous-groupe distingu{\'e} nilpotent connexe non
simplement connexe, on peut recommencer l'op{\'e}ration. A chaque fois, la
dimension du groupe diminue strictement, donc au bout d'un nombre fini
d'{\'e}tapes, on obtient un groupe de Lie r{\'e}soluble connexe dont tout
sous-groupe distingu{\'e} nilpotent connexe est simplement connexe.\qed

\subsection{Invariance sous quasiisom{\'e}trie}

On rappelle que $\ehp{*}(M)$ d{\'e}signe la cohomologie $L^p$ exacte, voir en
\ref{defexacte}.

\begin{theo}
\label{qiqi}. 
{\em (voir \cite{P"}).} Soient $M$ et $M'$ deux vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes
connexes poss{\'e}dant des groupes cocompacts d'isom{\'e}tries.
On suppose que pour tout $j=1,\ldots,k-1$,
$H^{j}(M,\R)=H^{j}(M',\R)=0$. Alors $\ehp{k}(M)=\ehp{k}(M')$.
\end{theo}

La distinction entre cohomologie $L^p$ et cohomologie $L^p$ exacte n'a pas lieu
d'{\^e}tre pour les espaces homog{\`e}nes.

\begin{prop}
\label{exacte}
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien connexe et non compact. Alors toute
forme ferm{\'e}e $L^p$ sur $M$ est exacte.
\end{prop}

\preuve
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien connexe et non compact. La composante
neutre $G$ du groupe d'isom{\'e}tries de $M$ est transitive sur $M$. Soit $\omega$
une forme $L^p$ ferm{\'e}e non exacte sur $M$. Alors il existe une boule
$B$ de $M$ telle que la restriction de $\omega$ {\`a} $B$ ne soit pas exacte.
Lorsque $g$ varie dans $G$, les formes $g^{*}\omega$ sont deux {\`a} deux
cohomologues. Par cons{\'e}quent la classe de cohomologie $c\in H^{k}(B,\R)$ de
la restriction de $g^{*}\omega$ {\`a} $B$ est ind{\'e}pendante de $g\in G$. Comme
l'image $d\op{k-1}(B)$ est ferm{\'e}e dans $\op{k}(B)$ il existe une constante
$\epsilon>0$ telle que tout forme ferm{\'e}e repr{\'e}sentant la classe $c$ soit de
norme $L^p$ sup{\'e}rieure {\`a} $\epsilon$. Par cons{\'e}quent
$\d \n{\omega}_{L^{p}(gB)}=\n{g^{*}\omega}_{L^{p}(B)}\geq\epsilon$. C'est
incompatible avec l'hypoth{\`e}se $\omega\in L^{p}(M)$.\qed


\begin{cor}
\label{h1qi}
$\hp1$ est un invariant de quasiisom{\'e}trie pour les
espaces homog{\`e}nes connexes non compacts, et $\hp2$ est un invariant de
quasiisom{\'e}trie pour les espaces homog{\`e}nes simplement connexes non compacts.
\end{cor}


\subsection{Cohomologie $L^p$ en degr{\'e} $1$ des groupes de Lie r{\'e}solubles}

\begin{prop}
\label{nonuni}
Soit $G$ un groupe de Lie r{\'e}soluble non unimodulaire, dont tout sous-groupe
distingu{\'e} nilpotent connexe est simplement connexe. On suppose que $G$ n'admet
pas de m{\'e}trique invariante {\`a} gauche {\`a} courbure sectionnelle strictement
n{\'e}gative. Alors pour tout $p>1$,
$\hp1(G)=0$.
\end{prop}

\preuve
D'apr{\`e}s \cite{Bourbaki}, chap. 7, pages 19-20, il existe des sous-groupes
nilpotents connexes $A$ et
$N\subset G$ tels que $G=AN$, $N$ est distingu{\'e} et $[A,A]\subset N$. Notons
$\A$ et $\N$ leurs alg{\`e}bres de Lie. Si $\xi\in\N$, $ad_{xi}$ est nilpotente
sur $\N$ et son image est contenue dans $\N$. Par cons{\'e}quent, la forme
lin{\'e}aire $\tau:\xi\mapsto\tr ad_{\xi}$ sur $\G$ est nulle sur $\N$.

Comme $G$ n'est pas unimodulaire, $\tau$ n'est pas identiquement nulle sur $\G$,
donc elle est non nulle sur $\A$. Choisissons $\xi_{0}\in\A$ tel que
$\tau(\xi_{0})>0$. Fixons $p>1$. Alors le champ de vecteurs invariant {\`a}
gauche $\xi_{0}$ est $(0,p)$-Anosov, donc, d'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me
\ref{thm}, l'espace
$\hp1(G)$ s'identifie au sous-espace $\bp1(G,\xi_{0})$ de $L^{p}+dL^{p}(G)$ form{\'e}
des diff{\'e}rentielles de fonctions invariantes par le groupe {\`a} un param{\`e}tre de
translations {\`a} droite engendr{\'e} par $\xi_0$.

L'alg{\`e}bre de Lie $\G$ se d{\'e}compose en sous-espaces caract{\'e}ristiques pour
l'action de l'ag{\`e}bre de Lie nilpotente $\A$,
$$
\G\otimes\C=\bigoplus_{\lambda\in\Sigma} \G_{\lambda}
$$
o{\`u} les $\lambda$ sont des formes lin{\'e}aires {\`a} valeurs complexes sur $\A$ telles
que pour $\xi\in\A$, $ad_{\xi}-\lambda(\xi)I$ restreinte {\`a}
$\G_{\lambda}\otimes\C$ soit nilpotente (voir \cite{Bourbaki}, chap. 1, exercice 12
page 127). Par construction, la forme lin{\'e}aire nulle est dans $\Sigma$ et
$\A\subset\G_{0}$. 

Soit $u$ une fonction de $L^{p}_{loc}(G)$ telle que $du\in\bp1_{\xi_{0}}(G)$.
Montrons que si $\dim \A/[\A,\A]\geq 2$, alors $u$ est constante.

Soit $\lambda\in\Sigma$ telle que $\Re
e(\lambda(\xi_{0}))\leq 0$. D'apr{\`e}s le corollaire \ref{distr"}, pour tout
champ de vecteurs invariant {\`a} gauche $\eta\in\G_\l$, 
$du(\eta)$ s'annule au sens des distributions. Par
cons{\'e}quent, $u$ est invariante {\`a} droite par le sous-groupe engendr{\'e} par
$\eta$. Cela s'applique notamment {\`a} $\lambda=0$, donc $u$ est invariante {\`a}
droite par $A$. En fait, $du\in\bp1(G,\xi)$ pour tout $\xi\in \A$.

Supposons maintenant que $\lambda\in\Sigma$ n'est pas proportionnel {\`a} $\tau$. Alors
il existe
$\xi_{1}\in\A$ tel que $\tau(\xi_{1})>0$ mais $\lambda(\xi_{1})\leq 0$. Comme $u$ est
invariante par le groupe {\`a} un param{\`e}tre de translations {\`a} droite engendr{\'e} par
$\xi_{1}$ et $du\in L_{-1}^{p}(G)$, le corollaire \ref{distr"} s'applique, et
$du$ s'annule sur $\G_{\lambda}$. 

Notons $\Sigma_{0}$ le sous-ensemble de $\Sigma$ form{\'e} des racines
proportionnelles {\`a} $\tau$, et notons $\Sigma_{1}$ son compl{\'e}mentaire.
Notons $\d\H_{i}=\bigoplus_{\lambda\in\Sigma_{i}} \N\cap\G_{\lambda}$. Comme
$[\G_{\lambda},\G_{\lambda'}]\subset \G_{\lambda+\lambda'}$,
$\H_0$ est une sous-alg{\`e}bre de Lie, $[\H_{0},\H_{1}]\subset\H_{1}$.
Comme $\H_1$ n'est pas une alg{\`e}bre de Lie, on note $\H$ la
sous-alg{\`e}bre de Lie de $\N$ engendr{\'e}e par $\H_{1}$. Alors $\H$ est
un id{\'e}al de $\N$. 


Comme $\dim \A/[\A,\A]\geq 2$, on peut choisir un vecteur non nul $\xi\in\ker\tau$ qui
n'est pas dans $\N$. Comme $ad_{\xi}$ est nilpotente sur $\H_{0}$, le sous-espace
${\cal L}=\R\xi\oplus\H_{0}$ de $\G$ est une sous-alg{\`e}bre de Lie
nilpotente. Son centre ${\cal Z}$ est donc non trivial. Montrons que ${\cal
Z}\cap\N\not=0$. Sinon, ${\cal L}$ serait une alg{\`e}bre isomorphe {\`a}
$\H_{0}\oplus\R$ dont le centre est de dimension au moins $2$, donc
coupe l'hyperplan $\H_{0}$, contradiction. On peut donc choisir un
vecteur non nul $\zeta\in\N$ qui commute avec $\xi$ et avec $\H_0$.

\def\ub{\overline{u}}
Comme $\zeta$ commute {\`a} $\xi$ et $du$ est $\xi$-invariante et annul{\'e}e par
$\xi$, la proposition \ref{distr'} s'applique et $du(\zeta)=0$.
Notons $\ub$ la restriction {\`a} $N$ de la fonction $u$. Elle est
dans $L^{p}_{-1,loc}$. Montrons que
$d\ub$ s'annule sur le champ de vecteurs invariant {\em {\`a} droite}
$\zeta'=j_{*}\zeta$ o{\`u} $j(n)=n^{-1}$.
En un point $n=\exp(\eta)$ de $N$, $\zeta'(n)$ co{\"\i}ncide avec le champ
invariant {\`a} gauche $-\exp(ad_{\eta})(\zeta)$. Or si
$\eta=\eta_{0}+\eta_{1}$ o{\`u} $\eta_{0}\in\H_{0}$ et $\eta_{1}\in\H_{1}$,
alors $ad_{\eta_{0}}(\zeta)=0$ et
$ad_{\eta_{1}}(\zeta)=-ad_{\zeta}(\eta_{1})\in\H$ donc
$ad_{\eta}(\zeta)\in\H$ et comme $\H$ est un id{\'e}al,
$ad_{\eta}^{k}(\zeta)\in\H$ pour tout $k\geq 1$. Par cons{\'e}quent,
$\exp(ad_{\eta})(\zeta)-\zeta\in\H$, et donc $d\ub$ s'annule sur $\zeta'$.

On conclut que $\ub$ est invariante par un groupe {\`a} un param{\`e}tre $Z$ de
translations {\em {\`a} gauche}. Or d'apr{\`e}s la proposition \ref{kappa}, la
norme $L^{p}+dL^{p}$ de $du$ s'{\'e}crit
\begin{eqnarray*}
\n{du}_{L^{p}+dL^{p}(G)}^{p}
&=&\int_{N\times N}
|\overline{u}(n)-\overline{u}(n')|^{p}\kappa(n^{-1}n')\,dn\,dn'\\
&=&\int_{N} I(n)^{p}\,dn
\end{eqnarray*}
o{\`u} la fonction $I$ sur $N$ est la norme de la fonction
$\ub$ translat{\'e}e {\`a} gauche, $I(n)=J(\ub\circ L_{n})$ o{\`u} la norme $J$
est donn{\'e}e par
$$
J(v)=(\int_{N} |v(\nu)-v(1)|^{p}\kappa(\nu)\,d\nu)^{1/p}.
$$
pour une certaine fonction positive $\kappa$ sur $N$. Comme $N$ est
nilpotent simplement connexe, le sous-groupe {\`a}
un param{\`e}tre engendr{\'e} par $\zeta$ est injectif et ferm{\'e} (voir
\cite{Bourbaki}, chap. 3 page 236). La fonction $I$ qui est $Z$-invariante et $L^p$
est presque partout nulle. On conclut que pour presque tout $n\in N$,
$J(\ub\circ L_{n})=0$, donc
$\ub$ est constante, et $u$ est constante.

On a donc montr{\'e} que $\hp1(G)=0$ d{\`e}s que $\dim \A/[\A,\A]\geq 2$. 

D{\'e}sormais,
on suppose que $\dim \A=1$. Les formes lin{\'e}aires $\lambda\in\Sigma$ ne
sont rien de plus que les nombres $\lambda(\xi_{0})$. On
suppose que $\tau=\tau(\xi_{0})>0$. Soit $u$ une fonction sur $G$, telle que
$du\in\bp1(M,\xi)$. Montrons que si les parties r{\'e}elles des nombres
$\lambda\in\Sigma$ ne sont pas toutes strictement positives, alors $u$ est
constante. Il suffit de montrer que sa restriction $\ub$ {\`a} $N$ est
constante. D'apr{\`e}s le corollaire \ref{distr"},
$du$ s'annule sur tous les espaces $\G_{\lambda}$ avec $\Re e\lambda\leq 0$.
Soit
$\H$ la somme des espaces $\G_{\lambda}$ avec $\Re e\lambda>0$. C'est une
sous-alg{\`e}bre de Lie de $\N$, donc son centre est non trivial. Comme
pr{\'e}cedemment, on montre que $d\ub$ s'annule sur le champ de vecteurs
invariant {\`a} droite $\zeta'=j_{*}(\zeta)$. Alors $\ub$ est invariante par le
groupe de translations {\`a} gauche $\exp(t\zeta')$, et on en d{\'e}duit que
$\ub$ est constante.

On a donc montr{\'e} que $\hp1(G)=0$ aussi lorsque $\dim \A=1$ et les
parties r{\'e}elles des valeurs propres de $ad_{\A}$ ne sont pas toutes de
m{\^e}me signe. Il reste le cas o{\`u} $G$ est le produit semi-direct d'un
groupe de Lie nilpotent $N$ par $\R$ agissant par une d{\'e}rivation dont
les valeurs propres ont une partie r{\'e}elle strictement positive. Un tel
groupe admet une m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a} courbure
sectionnelle strictement n{\'e}gative, \cite{Heintze}.\qed 


\begin{prop}
\label{homneg}
Soit $N$ un groupe de Lie nilpotent de dimension $n-1$, $\alpha$ une
d{\'e}rivation de
$\N$ dont les valeurs propres ont des parties r{\'e}elles
$0<\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ strictement positives. Soit
$G=\R\ltimes{\alpha}N$. Posons
$$
{\bf p}(G)=
{{\l_{1}+\cdots+\l_{n-1}}\over{\l_{1}}}.
$$ 
Alors
$\hp1(G)=0$ si $p\leq {\bf p}(G)$ et $\rp1(G)\not=0$ si $p>{\bf p}(G)$.
\end{prop}
\preuve
Le r{\'e}sultat appara{\^\i}t dans \cite{P} dans le cas particulier o{\`u} $\alpha$
est semi-simple.

Le champ de vecteurs invariant {\`a} gauche $\xi=\ddt$ satisfait
$\tr(ad_{\xi})=\l_{1}+\cdots+\l_{n-1}>0$. Le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm} s'applique
et $\hp1(G)=\bp1(G,\xi)$ est s{\'e}par{\'e}. 

Soit $u$ une fonction sur $G$ telle que $du\in\bp1(G,\xi)$.
Soit $\lambda\in\C$ une valeur propre de $\alpha$ de
partie r{\'e}elle $\l_1$ et $\eta\in\N$ un vecteur propre correspondant. Si
$p\leq{\bf p}(M)$, le corollaire
\ref{distr"} donne que $du(\eta)=0$. On en d{\'e}duit que $du\in \bp1(G,\eta)$,
puis que $d\ub\in\bp1(N,\eta)$. Soit
$\zeta$ un vecteur non nul du centre de $\N$. Alors $\zeta$ est un vecteur
propre de $ad_{\eta}$ pour la valeur propre $0$. Comme
$\L^{0}_{0}$ est de dimension $1$, $ad_{\eta}$ est semi simple sur
$\L^{0}_{0}$, et la proposition \ref{distr'} s'applique. On trouve que
$du(\zeta)=0$. Comme $\zeta$ est central, cela entra{\^\i}ne que $\ub$ est
invariante par le groupe {\`a} $1$ param{\`e}tre de translations {\`a} gauche
engendr{\'e} par $\zeta$. Comme dans la preuve de la proposition \ref{nonuni},
on conclut que $\ub$ est constante, autrement dit, $\hp1(G)=0$.

Inversement, si $p>{\bf p}(G)$, pour toute fonction lisse $\ub$ {\`a} support
compact sur $N$, $\pi^{*}d\ub$ est dans $\bp1(G,\xi)$. En effet, soit $\chi$
une fonction lisse sur $\R$ qui vaut $0$ au voisinage de $-\infty$ et $1$ au
voisinage de $+\infty$. Le flot $\phi_t$ de $\xi$ donne un diff{\'e}omorphisme 
$$
\R\times N\to G,\quad (t,n)\mapsto \phi_{t}(0,n).
$$
Posons $u(t,n)=\chi(t)\ub(n)$. Comme $p>{\bf p}(G)$,
$\L^{1}_{0}=\L^{1}_{+}=0$ donc $du\in L^{p}$, $idu=\chi'(t)\pi^{*}\ub$,
$Bdu=(1-\chi(t))\pi^{*}\ub$,
$dBdu=\chi'(t)\pi^{*}\ub\,dt+(1-\chi(t))\pi^{*}d\ub$ et
$Pdu=\pi^{*}d\ub\in\bp1(G,\xi)$. En particulier, $\rp1(G)\not=0$.\qed


\subsection{Preuve du th{\'e}or{\`e}me H}

Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien connexe non compact. Soit $G$ son
groupe d'i\-so\-m{\'e}\-tries. Comme $M$ et $G$ sont quasiisom{\'e}triques,
$\tp1(M)=\tp1(G)$. D'apr{\`e}s le corollaire
\ref{unimod}, s'il existe $p>1$ tel que
$\tp1(M)\not=0$, alors $G$ est une extension compacte d'un groupe de Lie
r{\'e}soluble unimodulaire. Inversement, si $G$ est une extension compacte
d'un groupe de Lie r{\'e}soluble unimodulaire, alors pour tout $p>1$,
$\tp1(M)\not 0$. L'annulation de $\rp1(M)$ r{\'e}sulte du th{\'e}or{\`e}me
\ref{rpnul}.

D{\'e}sormais, nous pouvons supposer que $\tp1(M)=0$.
D'apr{\`e}s le lemme \ref{qires}, $M$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} un groupe de
Lie r{\'e}soluble $G$ qui satisfait aux hypoth{\`e}ses de la proposition
\ref{nonuni}. De nouveau,
$\tp1(G)=\tp1(M)=0$ donc $G$ n'est pas unimodulaire. 
S'il existe $p>1$ tel que $\hp1(M)\not=0$, alors $\rp1(G)\not=0$. 
D'apr{\`e}s la proposition \ref{nonuni}, $G$ admet une m{\'e}trique
invariante
{\`a} courbure sectionnelle n{\'e}gative, et le d{\'e}tail est donn{\'e} par la
proposition \ref{homneg}.\qed

\begin{cor}
\label{12}
Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien simplement connexe. Soit $p>1$. Si
$\rp1(M)\not=0$, alors
$\hp2(M)=0$.
\end{cor}

\preuve
D'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me H et la proposition \ref{homneg}, si $\rp1(M)\not=0$,
alors $M$ est quasiisom{\'e}trique {\`a} un produit semi-direct
$G=\R\ltimes{\alpha}N$ o{\`u} les parties r{\'e}elles
$\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ des valeurs propres de $\alpha$ sont
strictement positives et satisfont
$\l_{1}+\cdots +\l_{n-1}-p\l_{1}>0$. Dans ce cas, le corollaire \ref{hpk=0} donne
que
$\hp2(G)=0$. Comme $M$ et $G$ sont simplement connexes, par invariance sous
quasiisom{\'e}trie (th{\'e}or{\`e}me \ref{qiqi}), $\hp2(M)=0$.\qed
\ali
\remarque
L'hypoth{\`e}se que $M$ simplement connexe est n{\'e}cessaire. En effet, le groupe
$M=SL(2,\R)$, quasiisom{\'e}trique au plan hyperbolique, satisfait $\rp1(M)\not=0$
pour tout $p>1$. En revanche, par dualit{\'e} de Poincar{\'e} (proposition
\ref{poincare}), $\rp2(M)\not=0$ pour tout $p>1$. 

\subsection{Preuve du corollaire \ref{car2}}

Soit $M$ un espace homog{\`e}ne riemannien connexe non compact.
L'espace des $1$-formes harmoniques $L^2$ sur $M$ est isomorphe {\`a}
$R^{1,2}(M)$. J. Cheeger et M. Gromov \cite{CheegerGromov} ont montré que si $M$ est une variété riemannienne fermée à l'infini qui revêt une variété compacte, alors $R^{k,2}(M)=0$ pour tout $k$. Le même argument, fondé sur la dimension de Von Neumann, s'étend sans changement au cas des groupes de Lie fermés à l'infini. Par invariance sous quasiisométrie (corollaire \ref{h1qi}), on a donc $R^{1,2}(M)=0$ pour tout espace homogène riemannien fermé à l'infini.

D'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me H, si $R^{1,2}(M)\not=0$, $M$ est
quasiisom{\'e}trique {\`a} un espace homog{\`e}ne $M'$ {\`a} courbure sectionnelle
strictement n{\'e}gative, et tel que ${\bf p}(M')<2$. L'expression donn{\'e}e par la
proposition \ref{homneg} montre que cela n'est possible que si $\dim M'=2$.\qed



\section{Dualit{\'e} de Poincar{\'e}}
\label{poin}
Le lemme suivant est essentiellement d{\^u} {\`a} V. Goldshtein et M. Troyanov, \cite{GT}.
\begin{lemme}
\label{stokes}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne orient{\'e}e compl{\`e}te de dimension $n$.
Etant donn{\'e} $p>1$, on note
$p'$ l'exposant conjugu{\'e}, i.e. tel que $\d\inv{p}+\inv{p'}=1$. Soit
$\omega$ une $k$-forme diff{\'e}rentielle ferm{\'e}e et $L^p$ sur $M$. Alors
\begin{itemize}
\item $\omega$ est non nulle en cohomologie $L^p$ r{\'e}duite si et seulement si
il existe une $n-k$-forme ferm{\'e}e $\psi\in L^{p'}$ telle que
$\int_{M}\omega\wedge\psi\not=0$.

\item $\omega$ est non nulle en cohomologie $L^p$ si et seulement si
il existe une suite $\psi_j$ de $n-k$-formes diff{\'e}rentielles $L^{p'}$ telles
que $\int_{M}\omega\wedge\psi_{j}\geq 1$ et $\n{d\psi_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers
$0$.
\end{itemize}
\end{lemme}

\preuve

Comme $M$ est compl{\`e}te, pour toute $n-1$-forme $L^1$ dont la
diff{\'e}ren\-ti\-el\-le est $L^1$, on a
$$
\int_{M}d\omega=0.
$$
Par cons{\'e}quent, si $\omega\in \op{k}(M)$ et $\psi\in\Omega^{n-1-k,p'}(M)$,
$$
\int_{M}\omega\wedge d\psi=(-1)^{k+1}\int_{M} d\omega\wedge\psi.
$$

Si $\omega\in\op{k}(M)$ est nulle en cohomologie $L^p$ r{\'e}duite, alors il
existe une suite $\beta_{j}\in\op{k-1}(M)$ telle que $d\beta_{j}$
converge vers $\omega$ dans $L^p$. Si $\psi\in\Omega^{n-1-k,p'}(M)$, il vient
$$
\int_{M} \omega\wedge\psi=\lim_{j} \int_{M} d\beta_{j}\wedge \psi
=\lim_{j} \int_{M}\beta_{j}\wedge d\psi.
$$
Par cons{\'e}quent, pour toute forme ferm{\'e}e $\psi\in\Omega^{n-k,p'}(M)$,
$\int_{M}\omega\wedge\psi=0$. 

Inversement, si $\omega\in\op{k}(M)$ n'est pas nulle en cohomologie r{\'e}duite,
alors, d'apr{\`e}s Hahn-Banach, il existe une forme lin{\'e}aire continue $L$ sur
$L^{p}\Omega^{k}(M)$ qui s'annule sur l'adh{\'e}rence de l'image $d\op{k-1}(M)$
mais pas sur $\omega$. Par dualit{\'e} de $L^p$ et
$L^{p'}$, il existe une forme $\psi\in L^{p'}\Omega^{n-k}(M)$ telle
que pour tout $\gamma\in L^{p}\Omega^{k}(M)$,
$L(\gamma)=\int_{M}\gamma\wedge\psi$. Si $\beta$ est lisse et {\`a} support
compact, on a $0=L(d\beta)=\int_{M} d\beta\wedge\psi$, i.e. $d\psi=0$ au sens
des distributions. On conclut que $\psi\in \Omega^{n-1-k,p'}(M)$ est ferm{\'e}e
et satisfait $\int_{M}\omega\wedge\psi\not=0$.

Si $\omega\in\op{k}(M)$ est nulle en cohomologie $L^p$, i.e. $\omega=d\beta$
o{\`u} $\beta\in\op{k-1}(M)$, alors pour tout $\psi\in \Omega^{n-1-k,p'}(M)$, 
$$
\int_{M}\omega\wedge\psi=\int_{M}\beta\wedge d\psi\leq\n{\beta}_{L^{p}}
\n{d\psi}_{L^{p'}}
$$
donc si $\d \n{d\psi_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $0$, il en est de m{\^e}me de $\d
\int_{M}\omega\wedge\psi_{j}$.

Inversement, soit $\omega\in\op{k}(M)$ une forme ferm{\'e}e. Si $\omega$ n'est
pas nulle en cohomologie r{\'e}duite, il existe une $n-k$-forme ferm{\'e}e $\psi\in L^{p'}$ telle que
$\int_{M}\omega\wedge\psi\not=0$. La suite stationnaire $\psi_{j}=\psi$ pour
tout $j$ convient. Supposons d{\'e}sormais que $\omega$ est nulle en cohomologie
r{\'e}duite. On d{\'e}finit une forme lin{\'e}aire $L$ sur $d\Omega^{n-k,p'}(M)$
comme suit. Etant donn{\'e} $\gamma\in d\Omega^{n-k,p'}(M)$, on choisit
$\psi\in \Omega^{n-k,p'}(M)$ tel que $d\psi=\gamma$ et on pose
$L(\gamma)=\int_{M}\omega\wedge\psi$. Comme l'int{\'e}grale de $\omega$ contre
une forme ferm{\'e}e est toujours nulle, le r{\'e}sultat ne d{\'e}pend pas du choix de
$\psi$. Supposons qu'il n'existe pas de suite
$\psi_{j}\in\Omega^{n-1-k,p'}(M)$ telle que $\int_{M}\omega\wedge\psi_{j}\geq
1$ et $\n{\psi_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $0$. 
Alors la forme lin{\'e}aire $L$ est continue pour la norme $L^{p'}$. Par
Hahn-Banach, $L$ se prolonge en une forme lin{\'e}aire continue sur
$L^{p'}\Omega^{n-k+1}(M)$. Par dualit{\'e} entre $L^p$ et $L^{p'}$, il existe une
$k-1$-forme $\beta\in L^p$ telle que pour tout $\gamma\in
L^{p'}\Omega^{n-k+1}(M)$, $L(\gamma)=(-1)^{k}\int_{M}\beta\wedge\gamma$. Si
$\psi$ est lisse {\`a} support compact, 
$$ 
\int_{M}\beta\wedge d\psi=(-1)^{k}\int_{M}\omega\wedge\psi
$$
donc $d\beta=\omega$ au sens des distributions. Par cons{\'e}quent,
$\beta\in\op{k-1}(M)$ et $\omega$ est nulle en cohomologie $L^p$.\qed


\begin{cor}
\label{poincare}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te de dimension $n$. Soit $p>1$ et
$p'=p/p-1$. Alors 
$$
\rp{k}(M)\Leftrightarrow R^{n-k,p'}(M)=0,\quad \tp{k}(M)=0\Leftrightarrow
T^{n-k+1,p'}(M)=0.
$$
\end{cor}

\preuve
L'{\'e}nonc{\'e} sur la cohomologie r{\'e}duite r{\'e}sulte imm{\'e}diatement du lemme
\ref{stokes}.

Supposons que $T^{n-k+1,p'}(M)=0$. D'apr{\`e}s le lemme \ref{torsion1}, il existe
une constante $C$ telle que pour tout $\psi\in\Omega^{n-k,p'}(M)$, il
existe $\gamma\in\Omega^{n-k,p'}(M)$ telle que
$d\gamma=d\psi$ et $\n{\gamma}_{L^{p'}}\leq C\,\n{d\psi}_{L^{p'}}$. Soit
$\omega\in\op{k}(M)$ une forme ferm{\'e}e, nulle en cohomologie r{\'e}duite. Alors
$$
\int_{M}\omega\wedge\psi=\int_{M}\omega\wedge\gamma
$$
est contr{\^o}l{\'e}e par $\n{d\psi}_{L^{p'}}$. Par cons{\'e}quent, il n'existe pas
de suite $\psi_j$ de $n-k$-formes diff{\'e}rentielles $L^{p'}$ telles que
$\int_{M}\omega\wedge\psi_{j}\geq 1$ et $\n{d\psi_{j}}_{L^{p'}}$ tende vers $0$.
On conclut que $\omega$ est nulle en cohomologie $L^{p'}$. \qed

\remarque
Plus g{\'e}n{\'e}ralement, $\rp{k}(M)$ est isomorphe au dual de $R^{n-k,p'}(M)$.
On aimerait dire que $\tp{k}(M)=Ext(T^{n-k+1,p'}(M),\R)$ dans une cat{\'e}gorie
ad{\'e}quate.

\section{Groupes de Lie nilpotents}
\label{ferm}

\subsection{Annulation de la cohomologie r{\'e}duite}

La remarque suivante appara\^{\i}t entre autres dans \cite{Gromovasympt}. Elle s'applique notamment aux groupes nilpotents.
\begin{prop}
\label{rpnul}
Soit $G$ un groupe de Lie simplement connexe dont l'alg\`ebre de Lie a un centre non trivial.
Alors la cohomologie $L^p$ r{\'e}duite de $G$ est nulle en tous degr{\'e}s.
\end{prop}

\preuve
Un vecteur non nul du centre donne un champ de vecteurs de Killing $\xi$ de longueur constante. La formule
$$
(\phi_{t})^{*}\omega-\omega=d\int_{0}^{t}(\phi_{s})^{*}\iota_{\xi}\omega\,ds
+\int_{0}^{t}(\phi_{s})^{*}\iota_{\xi}d\omega\,ds
$$
montre que le flot de $\xi$ agit trivialement sur la cohomologie $L^{p}$. Soit $\omega$ une forme ferm{\'e}e $L^{p}$ non nulle en cohomologie r\'eduite. Il existe donc une forme ferm{\'e}e $L^{p'}$ $\psi$ telle que $\d\int_{G}\omega\wedge\psi\not=0$. Comme le flot $\phi_{t}$ est l'identit\'e en cohomologie,
$$
\int_{G}(\phi_{t})^{*}\omega\wedge\psi=\int_{G}\omega\wedge\psi
$$
pour tout $t$. 

On utilise maintenant le fait que l'action de $\R$ sur $G$ par le flot de $\xi$ est propre. Soit $K$ un compact tel que la norme $L^{p}$ (resp. $L^{p'}$) de $\omega$ (resp. $\psi$) dans $G\setminus K$ soit petite. Soit $t$ tel que $\phi_{t}(K)$ soit disjoint de $K$. Alors 
$$
\int_{G}(\phi_{t})^{*}\omega\wedge\psi
\leq\n{\omega}_{L^{p}(G\setminus K}\n{\psi}_{L^{p'}(G)}+
\n{\psi}_{L^{p'}(G\setminus K}\n{\omega}_{L^{p}(G)}
$$
est petit, contradiction.\qed 


\subsection{Torsion des produits directs}
\label{prod}

Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ deux
vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes compl{\`e}tes. Si la torsion $\tp{*}(M_{1})$ est
identiquement nulle, alors $\hp{*}(M_{1}\times
M_{2})=\hp{*}(M_{1})\otimes \hp{*}(M_{2})$. En pr{\'e}sence de torsion,
c'est moins simple. Supposons que $\tp{k_{1}}(M_{1})\not=0$ et
$\tp{k_{2}}(M_{})\not=0$. D'apr{\`e}s le lemme \ref{stokes}, il existe des
formes ferm{\'e}es $L^{p}$ $e_{i}$ sur $M_{i}$ et des formes $L_{p'}$
$e'_{i,j}$ telles que
$$
\int_{M_{i}} e_{i}\wedge e'_{i}=1 \et
\n{de'_{i,j}}_{L^{p'}}\quad\hbox{tende vers}\quad 0.
$$
La forme ferm{\'e}e $L^{p}$ $\omega=e_{1}\wedge e_{2}$ sur $M_{1}\times
M_{2}$ est elle non nulle en cohomologie ? Pour l'affirmer, il faudrait
contr{\^o}ler la norme de $d(e'_{1,j}\wedge e'_{2,j})$, c'est-{\`a}-dire celle
de $e'_{1,j}$ et de $e'_{2,j}$. Ceci motive la d{\'e}finition suivante.

\begin{defi}
\label{to}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne compl{\`e}te de dimension $n$. On note
$\hop{k}(M)$ le 
sous-ensemble de $\hp{k}(M)$ form{\'e} des classes qui contiennent une forme
$\omega$ ayant la propri{\'e}t{\'e} suivante. Il existe une suite
$\omega'_{j}\in\opr{n-k}(M)$ telle que
\begin{enumerate}
\item les int{\'e}grales $\d \int_{M} \omega\wedge\omega'_{j}$ ne tendent
pas vers $0$ ;
\item les normes $\d\n{\omega'_{j}}_{L^{p'}}$ tendent vers $+\infty$
polynomialement en $j$ ;
\item les normes $\d\n{d\omega'_{j}}_{L^{p'}}$ tendent vers $0$
exponentiellement en $j$.
\end{enumerate}
Enfin, on note $\top{k}(M)=\hop{k}(M)\cap\tp{k}(M)$.
\end{defi}

\begin{prop}
\label{direct}
Soient $M_{1}$ et $M_{2}$ des vari{\'e}t{\'e}s riemanniennes com\-pl{\`e}\-tes. Si
les sous-ensembles $\hop{k_{1}}(M_{1})$ et $\hop{k_{2}}(M_{2})$ sont non
vides, alors
$\hop{k_{1}+k_{2}}(M_{1}\times M_{2})$ est non vide. En particulier,
$\hp{k_{1}+k_{2}}(M_{1}\times M_{2})\not=0$. 

Si $k_{1}=n_{1}$ ou bien si $k_{2}=n_{2}$, le r{\'e}sultat est plus pr{\'e}cis:
si $\top{k_{1}}(M_{1})$ et $\top{k_{2}}(M_{2})$ sont non vides, alors
$\top{k_{1}+k_{2}}(M_{1}\times M_{2})$ est non vide. En particulier,
$\tp{k_{1}+k_{2}}(M_{1}\times M_{2})\not=0$. 
\end{prop}

\preuve
Soient $\omega_{1}\in\op{k}(M_{1})$
(resp. $\omega_{2}\in\op{\ell}(M_{2})$) des formes ferm{\'e}es. Supposons
qu'il existe des formes $\omega'_{1,j}\in\opr{n_{1}-k_{1}}(M_{1})$
(resp. $\omega'_{2,j}\in\opr{n_{2}-k_{2}}(M_{2})$) comme dans la
d{\'e}finition \ref{to}. Posons $\omega=\pi_{1}^{*}\omega_{1}\wedge
\pi_{2}^{*}\omega_{2}$ et $\omega'_{j}=\pi_{1}^{*}\omega_{1,j}\wedge
\pi_{2}^{*}\omega_{2,j}$. Alors $\omega$ est ferm{\'e}e et $L^{p}$ et 
les formes $\omega'_{j}$ satisfont aux hypoth{\`e}ses de la d{\'e}finition
\ref{to}, donc la classe de cohomologie de $\omega$ est dans
$\hop{k_{1}+k_{2}}(M_{1}\times M_{2})$.

Supposons maintenant que $k_{1}=n_{1}$ et que 
$\omega_{2}$ est de torsion. Soit $\phi$ une $(n_{2}-k_{2})$-forme
ferm{\'e}e $L^{p'}$ sur $M_{1}\times M_{2}$. La restriction de $\phi$ {\`a}
presque tout facteur $\{*\}\times M_{2}$ est 
ferm{\'e}e et $L^{p'}$, donc pour presque tout $x_{1}\in M_{1}$,
$$
\int_{M_{2}}\omega_{2}\wedge\phi_{\mid\{x_{1}\}\times M_{2}}=0. 
$$
Il vient
$$
\int_{M_{1}\times M_{2}}\omega\wedge\phi
=\int_{M_{1}}\omega_{1}\wedge\int_{M_{2}}\omega_{2}\wedge\phi=0,
$$
autrement dit, $\omega$ est de torsion.\qed 

\subsection{Torsion et spectre du laplacien}
\label{tolaplacien}

Lorsque $p=2$, il n'y a pas lieu de se pr{\'e}occuper du sous-ensemble
$\top{*}$.

\begin{prop}
\label{laplacien}
Soit $M$ une vari{\'e}t{\'e} riemannienne. Alors les conditions suivantes sont
{\'e}\-qui\-va\-len\-tes.
\begin{enumerate}
\item $T_{0}^{2,k}(M)\not=\emptyset$ ;
\item $T^{2,k}(M)\not=0$ ;
\item $0$ est un point d'accumulation du spectre du laplacien restreint
aux $k$-formes co\-fer\-m{\'e}es. 
\end{enumerate}
\end{prop}

\preuve
2 entra{\^\i}ne 3. Si $0$ est un point isol{\'e} du spectre du laplacien
restreint aux $k$-formes 
coferm{\'e}es, il existe une constante $C$ telle que pour tout $k$-forme
coferm{\'e}e $\phi\in\Omega^{k,2}(M)$, orthogonale aux formes harmoniques,
$$
\langle \phi,\phi\rangle\leq C\,\langle d^{*}d\phi,\phi\rangle.
$$
Alors $\d\n{\phi}\leq C\,\n{d\phi}$ pour $\phi$ coferm{\'e}e
orthogonale aux formes harmoniques. Cela
entra{\^\i}ne que $d(\ker d^{*})$ est ferm{\'e}, donc que l'image de $d$ est
ferm{\'e}e, i.e. que $T^{2,k}(M)=0$.

3 entra{\^\i}ne 1. Supposons que $0$ est un point d'accumulation du spectre
du laplacien restreint aux $k$-formes coferm{\'e}es. Soit $\e_{j}$ une suite
d{\'e}croissant strictement vers $0$, de sorte que pour tout $j$ le
projecteur spectral 
$$
\Pi_{j}=1_{]\e_{j+1},\e_{j}[}(d^{*}d)
$$
correspondant {\`a} l'intervalle
$]\e_{j+1},\e_{j}[$ soit non nul. On peut demander que la suite $\e_{j}$
tende vers $0$ exponentiellement. 
Pour chaque $j$, on choisit un
vecteur unitaire $\phi_{j}$ dans l'image de $\Pi_{j}$. Alors
$\d\n{d\phi_{j}}\leq\sqrt{\e_{j}}$. On pose 
$$
\omega=\sum_{j} \inv{j}*\phi_{j}.
$$
C'est une forme ferm{\'e}e $L^{2}$. Posons
$\omega'_{j}=j\phi_{j}$. Alors $\omega'_{j}\in\Omega^{2,k}(M)$ et
$$
\int_{M}\omega\wedge\omega'_{j}=\pm\langle *\omega,\omega_{j}\rangle=\pm 1
$$
ne tend pas vers $0$. De plus $\n{\omega_{j}}=j$ et $\n{d\omega_{j}}\leq
j\sqrt{\e_{j}}$ tend vers $0$ exponentiellement. Par cons{\'e}quent,
$\omega\in T_{0}^{2,k}(M)$.\qed


\subsection{Non nullit{\'e} de la torsion des groupes ab{\'e}liens}

En revanche, pour $p\not=2$, je ne sais montrer que $\top{*}$ est non
vide qu'en en construisant directement des {\'e}l{\'e}ments. Commen{\c c}ons par le
cas de la droite r{\'e}elle.

\begin{lemme}
\label{r}
L'ensemble $\top{1}(\R)$ est non vide. Plus pr{\'e}cis{\'e}ment,
il existe une $1$-forme $L^{p}$ $a\,dt$ et une suite $u_j$ de fonctions
lisses {\`a} support compact sur $\R$ telles que
\begin{enumerate}
\item $\int_{\R} u_{j}a\,dt$ ne tend pas vers $0$ ;
\item $\n{u_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $+\infty$ polynomialement en $j$ ;
\item $\n{u'_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $0$ exponentiellement en $j$.

On a de plus les propri{\'e}t{\'e}s suivantes :

\item $\d\int_{\R} |sa'(s)|^{p}\,ds<+\infty$ ;
\item les fonctions $a$ et $-u_{j}$ sont d{\'e}croissantes sur $[1,+\infty[$
;
\item les fonctions $a$ et $u_{j}$ sont paires et s'annulent au
voisinage de $0$ ; 
\item $\n{u_{j}}_{L^{\infty}}$ tend vers $0$ exponentiellement
en $j$ ;
\item pour tout $\e>0$, $\n{s^{1-\e}u'_{j}}_{L^{p'}}$ et 
$\n{s^{-\e}u_{j}}_{L^{p'}}$ tendent vers $0$ exponentiellement.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\preuve
Soit $\chi$ une fonction lisse et paire sur $\R$, {\`a} support dans
$[-1,1]$, qui vaut $1$
au voisinage de $0$.
On pose 
$$
a(x)=(1-\chi(x))|x|^{-{1\over{p}}}(\log |x|)^{-1} \si |x|\geq e,$$
$$
a(x)=(1-\chi(x))e^{-{1\over{p}}}\sinon.
$$
On d{\'e}finit une suite de fonctions $v_{j}$ paires, d{\'e}croissantes sur
$[0,+\infty[$ par
\begin{eqnarray*}
v_{j}(x)&=&2(1-\chi(x))2e^{-{j\over{p'}}} \si |x|\leq e^{j},\\
v_{j}(x)&=&2j\,|x|^{-{1\over{p'}}}(\log |x|)^{-1} \si e^{j}\leq |x|\leq
e^{2j},\\
v_{j}(x)&=&e^{-{{2j}\over{p'}}}(e^{j}+1-e^{-j}|x|)  \si e^{2j}\leq |x|\leq
e^{2j}(1+j^{-1}),\\
v_{j}(x)&=&0 \sinon.
\end{eqnarray*}
Comme $p>1$, $a$ et sa d{\'e}riv{\'e}e sont $L^p$. De plus $sa'(s)\sim
-{1\over{p}}a(s)$ donc $\int |sa'(s)|^{p}\,ds<+\infty$.
Par construction, $v'_{j}$
est nulle sur $[0,e^{j}]$, constante sur $[e^{j},e^{2j}(1+j^{-1})]$. Sur
l'intervalle $[e^{j},e^{2j}(1+j^{-1})]$, $\d |v'_{j}|$ est major{\'e}e par
$\d\con j\,s^{-1-1/p'}(\log s)^{-1}$. On calcule
$$
\int_{0}^{e^{j}} av_{j}= o(1),\quad
\int_{e^{j}}^{e^{2j}} av_{j}=1,\quad
\int_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{-1})} av_{j}=O(j^{-1}),
$$
$$
\int_{0}^{e^{j}} |v_{j}|^{p'} = 2^{p'},\quad
\int_{e^{j}}^{e^{2j}} |v_{j}|^{p'} =O(j),\quad
\int_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{-1})} |v_{j}|^{p'} =O(j^{-1}),
$$
$$
\int_{0}^{e^{j}} |v'_{j}|^{p'} = 0,\quad
\int_{e^{j}}^{e^{2j}} |v'_{j}|^{p'} =O(j^{p'}e^{-p'j}),
$$
$$
\int_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{-1})} |v'_{j'}|^{p'} =O(j^{p'-1}e^{-2p'j}),
\int_{1}^{e^{j}} |s^{-\e}v_{j}|^{p'} = O(je^{-\e p'j}),
$$
$$
\int_{e^{j}}^{e^{2j}} |s^{-\e}v_{j}|^{p'} = O(j^{p'}e^{-\e p'j}),\,
\int_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{-1})} |s^{-\e}v_{j}|^{p'} = O(j^{-1}e^{-2\e p'j}),
$$
$$
\int_{0}^{e^{j}} |s^{1-\e}v'_{j}|^{p'} = 0,\quad
\int_{e^{j}}^{e^{2j}} |s^{1-\e}v'_{j}|^{p'}=  O(j^{p'}e^{-\e p'j}) ,
$$
$$
\int_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{-1})} |s^{1-\e}v'_{j}|^{p'} = O(j^{p'-1}e^{-2\e p'j}).
$$
Une approximation $u_{j}$ lisse et {\`a} support compact de $v_{j}$ convient.\qed
 
\begin{cor}
\label{rn}
$\tp{k}(\R^{n})\not=0$ pour $k=1,\ldots,n$.
\end{cor}

\preuve
Montrons d'abord que $\top1(\R^{n})$ est non vide.

Dans $\R^{n}$, on note $r$ la distance euclidienne {\`a}
l'origine. Soit $\theta'=dx_{2}\wedge\cdots\wedge dx_{n}$ une
$(n-1)$-forme parall{\`e}le. La forme $dr\wedge\theta$ {\'e}tant homog{\`e}ne de
degr{\'e} $0$, elle s'{\'e}crit
$$
dr\wedge\theta'=h\,dx_{1}\wedge\cdots\wedge dx_{n}
$$
o{\`u} la fonction $h$ est lisse en dehors de l'origine et homog{\`e}ne de degr{\'e}
$0$. Elle n'est pas identiquement nulle. Par homog{\'e}n{\'e}{\"\i}t{\'e}, $|h|$ et $r|dh|$ sont born{\'e}es.

Soient $a$ et $u_{j}$ les fonctions fournies par le
lemme \ref{r}. On consid{\`e}re les formes dif\-f{\'e}\-ren\-ti\-el\-les $\omega=a(r^{n})\,dr$
et $\omega'_{j}=u_{j}(r^{n})h\theta'$ sur $\R^{n}$. On v{\'e}rifie que
$$
\n{\omega}_{L^{p}}=\con(\int_{0}^{+\infty}
|a(r^{n})|^{p}r^{n-1}\,dr)^{1/p}=\con\n{a}_{L^{p}}
$$
est finie, que
$$
\int_{\R^{n}}\omega\wedge\omega'_{j}
=\int_{S^{n-1}}h^{2}\int_{0}^{+\infty} a(r^{n})u_{j}(r^{n})r^{n-1}\,dr
=C\,\int_{\R}au_{j}
$$
ne tend pas vers $0$, et que
$$
\n{\omega'_{j}}_{L^{p'}}=\con(\int_{0}^{+\infty}
|u_{j}(r^{n})|^{p'}r^{n-1}\,dr)^{1/p'}=\con\n{u_{j}}_{L^{p'}}
$$
tend vers $+\infty$ polynomialement.

On calcule
$$
d\omega'_{j}=nr^{n-1}u'_{j}(r^{n})h\, dr\wedge\theta'+
u_{j}(r^{n})\,dh\wedge\theta',
$$
et on majore
\begin{eqnarray*}
\n{r^{n-1}u'_{j}(r^{n})h}_{L^{p'}}
&\leq&\con(\int_{0}^{+\infty}
|r^{n-1}u'_{j}(r^{n})|^{p'}r^{n-1}\,dr)^{1/p'}\\
&=&\con\n{s^{n-1/n}u'_{j}(s)}_{L^{p'}}
\end{eqnarray*}
puis
\begin{eqnarray*}
\n{u_{j}(r^{n})\,dh}_{L^{p'}}
&\leq&\con(\int_{0}^{+\infty}
|r^{-1}u_{j}(r^{n})|^{p'}r^{n-1}\,dr)^{1/p'}\\
&=&\con\n{s^{-1/n}u_{j}(s)}_{L^{p'}}
\end{eqnarray*}
qui tendent vers $0$ exponentiellement, d'apr{\`e}s le lemme \ref{r}. On
conclut que $\omega$ est dans $\hop1(\R^{n})$, donc dans $\top1(\R^{n})$
puisque la cohomologie r{\'e}duite est nulle.

Pour avoir le cas g{\'e}n{\'e}ral, il suffit d'appliquer
suffisamment de fois la proposition \ref{direct}.\qed


\subsection{Cas des groupes de Lie nilpotents simplement connexes}
\label{nilp}
\begin{lemme}
\label{rho}
Soit $N$ un groupe de Lie nilpotent simplement connexe, muni d'une
m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a} gauche. On note $d$ la {\em dimension
homog{\`e}ne} de $N$, i.e. $d=\sum i\dim N^{i}/N^{i+1}$ o{\`u} $N^{i}=[N,N^{i-1}]$ est
la suite centrale descendante. Il existe une
fonction lisse $\rho$ sur $N$ telle que 
\begin{itemize}
\item si $\eta$ et $\eta'$ sont des champs de vecteurs invariants {\`a}
gauche sur $N$, les d{\'e}riv{\'e}es $\eta\rho$ et $\rho|\eta'\eta\rho|$ sont
born{\'e}es ; 
\item le volume de l'ensemble de niveau $\{\rho<R\}$ vaut
$\con R^{d}$ ;
\item soit $\eta$ un champ de vecteurs invariant {\`a} gauche ; on pose 
$\d z(R)=\int_{\{\rho<R\}}(\eta\rho)^{2}$ ; si $\eta$ n'est
pas dans $[\N,\N]$, alors $\d z'(R)\geq \con R^{d-1}$. 
\end{itemize}
\end{lemme}

\preuve
Comme $N$ est nilpotent simplement connexe, l'application exponentielle
est un diff{\'e}o\-mor\-phisme $\exp:\N\to N$.
Comme l'alg{\`e}bre de Lie $\N$ est nilpotente, l'application naturelle $\d
j:\N\to gr(\N)=
\bigoplus_{k=1}^{r}\N^{i}/\N^{i+1}$ est un isomorphisme
d'espaces vectoriels. On note $D=(2r)!$. Soient $x_{i,\ell}$ des coordonn{\'e}es sur
$\N^{i}/\N^{i+1}$. Soit $\nu$ la fonction d{\'e}finie sur $gr(\N)$ par
$$
\nu(x)=(\sum_{i,\ell} |x_{i,\ell}|^{D/i})^{1/D}.
$$
Enfin, on pose $\rho=\nu\circ j \circ \exp^{-1}$.
Alors $\rho$ est lisse (sauf en $0$, ce qui est sans importance). 

Comme
le diff{\'e}omorphisme $j\circ\exp^{-1}$ pr{\'e}serve le volume,
$\d vol(\{\rho<R\})=vol(\{\nu<R\})$. Enfin l'application lin{\'e}aire
$\delta_{R}:gr(\N)\to gr(\N)$ qui vaut $R^{i}$ sur $\N^{i}/\N^{i+1}$ a
pour jacobien $R^{d}$ et satisfait $\nu\circ\delta_{R}=R\nu$, donc
$$
vol(\{\nu<R\})=R^{d}vol(\{\nu<1\})=\con R^{d}.
$$

Un polyn{\^o}me $P$ sur $N$ est dit $\delta$-homog{\`e}ne de $\delta$-degr{\'e} $q$
s'il existe un entier $q$ tel que $P\circ\delta_{R}=R^{q}P$.
Tout polyn{\^o}me $P$ sur $N$ se d{\'e}compose en somme de polyn{\^o}mes
$\delta$-homog{\`e}nes, et le plus grand degr{\'e} des composantes s'appelle le
$\delta$-degr{\'e} de $P$. 

La $\delta$-graduation des polyn{\^o}mes s'{\'e}tend en une $\delta$-graduation
de l'es\-pa\-ce des champs de vecteurs {\`a} coefficients polyn{\^o}miaux sur
$gr(\N)$. Un champ de vecteurs constant sur $gr(\N)$, {\`a} valeurs dans
$\N^{i}/\N^{i+1}$ est $\delta$-homog{\`e}ne de degr{\'e} $-i$. Si $\eta\in\N$
est dans $\N^{i}$ mais pas dans $\N^{i+1}$, le champ de vecteurs
invariant {\`a} gauche sur $N$ correspondant, une fois transport{\'e} sur
$gr(\N)$, est {\`a} coefficients polyn{\^o}miaux, et son degr{\'e} est exactement $-i$.
D{\'e}river suivant un champ de vecteurs invariant {\`a} gauche $\eta$ abaisse le degr{\'e}
d'au moins une unit{\'e}. C'est {\'e}vident lorsque l'alg{\`e}bre de Lie $\N$ est gradu{\'e}e,
i.e. lorsque $j$ est un isomorphisme. En effet, dans ce cas, les champs
de vecteurs invariants {\`a} gauche sont $\delta$-homog{\`e}nes. 
Pour le cas g{\'e}n{\'e}ral, voir par exemple
\cite{PFennicae} page 499.

La fonction $s=\rho^{D}$ est un polyn{\^o}me $\delta$-homog{\`e}ne 
de degr{\'e} $D$. Par cons{\'e}quent, si $\eta$ et $\eta'$ sont des champs de
vecteurs invariants {\`a} gauche, $\eta s$ et $\eta'\eta s$ sont des
polyn{\^o}mes de $\delta$-degr{\'e} au plus {\'e}gal {\`a} $D-1$ et $D-2$
respectivement. Il existe donc une constante $C$ telle que 
$$
|\eta s|\leq C\,\rho^{D-1}\et |\eta'\eta s|\leq C\, \rho^{D-2}
$$
d'o{\`u} 
$$
|\eta\rho|={1\over{D}}\rho^{1-D}|\eta s|\leq\con.
$$
et
$$
|\eta'\eta\rho|={1\over{D}}(1-{1\over{D}})\rho^{1-2D}|\eta
s|^{2}+{1\over{D}}\rho^{1-D}|\eta'\eta s|\leq\con \rho^{-1}.
$$

Soit $\eta$ un champ de vecteurs invariant {\`a} gauche sur $N$, qui n'est
pas dans $\N^{2}$. Alors la fonction $(\eta s)^{2}$ (une fois transport{\'e}e sur
$gr(\N)$) est un polyn{\^o}me de $\delta$-degr{\'e} exactement $2D-2$. Par
cons{\'e}quent, $(\eta s)^{2}\circ\delta_{R}$ est un polyn{\^o}me en $R$ de
degr{\'e} $2D-2$.

On pose 
$$
w(R)=\int_{\{\rho<R\}} (\eta s)^{2} \et z(R)=\int_{\{\rho<R\}} (\eta
\rho)^{2}.
$$
Alors 
$$
w(R)=R^{d}\int_{\{\rho<1\}} (\eta s)^{2}\circ\delta_{R}
$$
est un polyn{\^o}me en $R$ de degr{\'e} $d+2D-2$, donc sa d{\'e}riv{\'e}e $w'$ est
{\'e}\-qui\-va\-len\-te {\`a} $\con$ $R^{d+2D-3}$. De l'{\'e}quation
$\d w'(R)=D^{2}R^{2D-2}z'(R)$, on tire que $z'$ est {\'e}quivalente {\`a} $\con$
$R^{d-1}$.\qed 

\begin{prop}
\label{tornilp}
Soit $N$ un groupe de Lie nilpotent simplement connexe de dimension $n$,
muni d'une 
m{\'e}trique riemannienne invariante {\`a} gauche. On suppose qu'il existe des
formes ferm{\'e}es invariantes {\`a} gauche $\theta$ (de degr{\'e} $k-1$) et $\theta'$ (de
degr{\'e} $n-k$) telles que le champ de vecteur $\eta$ tel que
$\theta\wedge\theta'=\iota_{\eta}vol$ ne soit pas dans
$[\N,\N]$. Alors $\top{k}(N)$ 
est non vide.
\end{prop}

\preuve
On note $d$ la dimension homog{\`e}ne de $N$ et $vol$ son {\'e}l{\'e}ment de
volume. Soit $\rho$ la fonction fournie par le lemme \ref{nilp}.
On va int{\'e}grer des fonctions sur $N$ qui ne d{\'e}pendent que de $\rho$. On
utilisera la formule de la coaire sous la forme
$$
\int_{N} f(\rho)g\,vol=\int_{0}^{+\infty}
f(R)G'(R)\,dR\quad\hbox{o{\`u}}\quad
G(R)=\int_{\{\rho<R\}} g.
$$


On d{\'e}finit une fonction lisse 
(sauf peut-{\^e}tre {\`a} l'origine) $h$ sur $N$ par
$$
d\rho\wedge\theta\wedge\theta'=h\,vol.
$$
Si $\eta$ est le champ de vecteurs invariant {\`a} gauche tel que
$\iota_{\eta}vol=\theta\wedge\theta'$, alors $h=\eta\rho$. Par
hypoth{\`e}se, $\eta\notin[\N,\N]$. D'apr{\`e}s le
lemme \ref{nilp}, $h$ et $\rho|dh|$ sont born{\'e}s sur $N$ et la fonction
$(\eta\rho)^{2}$ est asymptotiquement homog{\`e}ne de degr{\'e} $0$.

Soient $a$ et $u_{j}$ les
fonctions fournies par le lemme \ref{r}.

On consid{\`e}re les formes diff{\'e}rentielles $\omega=a(\rho^{d})\,d\rho\wedge\theta$
et $\omega'_{j}=u_{j}(\rho^{d})h\theta'$ sur $N$. On v{\'e}rifie que
\begin{eqnarray*}
\n{\omega}_{L^{p}}&=&(\int_{N}
|a(\rho^{d})|^{p}\,vol)^{1/p} \\
&=&\con(\int_{0}^{+\infty}
|a(R^{d})|^{p}R^{d-1}\,dR)^{1/p}\\
&=&\con\n{a}_{L^{p}}
\end{eqnarray*}
est finie, que
\begin{eqnarray*}
\int_{N}\omega\wedge\omega'_{j}
&=&\int_{N}a(\rho^{d})u_{j}(\rho^{d})(\eta\rho)^{2}\,vol\\
&=&\int_{0}^{+\infty} a(R^{d})u_{j}(R^{d})z'(R)\,dR\\
&\geq&\con\int_{0}^{+\infty} a(R^{d})u_{j}(R^{d})R^{d-1}\,dR\\
&=&\con\int_{\R}au_{j}
\end{eqnarray*}
ne tend pas vers $0$, et que
\begin{eqnarray*}
\n{\omega'_{j}}_{L^{p'}}
&=&(\int_{N} |hu_{j}(\rho^{d})|^{p'}\,vol)^{1/p'}\\
&\leq&\con(\int_{0}^{+\infty}
|u_{j}(R^{d})|^{p'}R^{n-1}\,dR)^{1/p'}\\
&=&\con\n{u_{j}}_{L^{p'}}
\end{eqnarray*}
tend vers $+\infty$ polynomialement.

On calcule
$$
d\omega'_{j}=d\rho^{d-1}u'_{j}(\rho^{d})h\, dr\wedge\theta'+
u_{j}(\rho^{d})\,dh\wedge\theta',
$$
et on majore
\begin{eqnarray*}
\n{\rho^{d-1}u'_{j}(\rho^{d})h}_{L^{p'}}
&\leq&\con(\int_{0}^{+\infty}
|R^{d-1}u'_{j}(R^{d})|^{p'}R^{d-1}\,dR)^{1/p'}\\
&=&\con\n{s^{n-1/n}u'_{j}(s)}_{L^{p'}}
\end{eqnarray*}
puis
\begin{eqnarray*}
\n{u_{j}(\rho^{d})\,dh}_{L^{p'}}
&\leq&\con(\int_{0}^{+\infty}
|R^{-1}u_{j}(R^{d})|^{p'}R^{d-1}\,dR)^{1/p'}\\
&=&\con\n{s^{-1/n}u_{j}(s)}_{L^{p'}}
\end{eqnarray*}
qui tendent vers $0$ exponentiellement, d'apr{\`e}s le lemme \ref{r}. On
conclut que $\omega$ est dans $\hop{k}(N)$, donc dans $\top{k}(N)$
puisque la cohomologie r{\'e}duite est nulle.\qed

\begin{cor}
\label{torheis}
Soit $N$ le groupe de Heisenberg. Alors $\tp{k}(N)\not=0$ pour tout
$k=0,\ldots,\dim N$.
\end{cor}

\preuve
Par d{\'e}finition, $\N^{2}$ est de dimension $1$. Soit $\N_{1}$ un sup\-pl{\'e}\-men\-tai\-re de
$\N^{2}$. Alors le crochet de Lie $\N_{1}\times \N_{1}\to \N^{2}$ est donn{\'e}
par une forme symplectique $\omega$ sur $\N_{1}$. Autrement dit, la
$1$-forme invariante $\tau$ qui engendre $\N^{2}$ a pour diff{\'e}rentielle
$\omega\in\L^{2}\N_{1}^{*}\subset \L^{2}\N^{*}$ vue comme $2$-forme
invariante, et les {\'e}l{\'e}ments de $\L^{*}\N_{1}^{*}$ donnent des formes
invariantes ferm{\'e}es sur $N$.

Notons $2m=\dim \N_{1}$, de sorte que $n=\dim\N=2m+1$. Pour $k\leq m+1$, la multiplication
ext{\'e}rieure par $\omega$ est surjective
$\L^{2m-k+1}\N_{1}^{*}\to\L^{2m-k+3}\N_{1}^{*}$ donc elle n'est pas injective. Il
existe donc des $2m-k+1$-formes non nulles $\psi\in\L^{2m-k+1}\N_{1}^{*}$ telles
que $\psi\wedge\omega=0$. La $2m-k+2$-forme invariante $\theta'=\psi\wedge\tau$ est
ferm{\'e}e. Comme $\psi$ est non nulle, il existe une $k-1$-forme
$\theta\in\L^{k-1}\N_{1}^{*}$ telle que
$\psi\wedge\theta'\not=0$. Alors $\theta$ est ferm{\'e}e et
$\theta\wedge\theta'=\iota_{\eta}vol$ o{\`u} $\eta$ est non nul et dans
$\N_{1}$, donc n'est pas dans $[\N,\N]$. D'apr{\`e}s la
proposition \ref{tornilp}, cela prouve que $\tp{k}(N)\not=0$ pour $k\leq
m+1$. En changeant $k$ en $2m+2-k$ et en {\'e}changeant les r{\^o}les de
$\theta$ et $\psi$, on trouve que $\tp{k}(N)\not=0$ pour $k\geq
m+2$.\qed




\section{Non nullit{\'e} de cohomologie}
\label{non}
En utilisant le crit{\`e}re de dualit{\'e} \ref{stokes}, on montre que la
cohomologie $L^{p}$ de certains produits semi-directs est non nulle. Les
r{\'e}sultats principaux de cette section sont les corollaires \ref{rnonnul},
\ref{tpknonnul} et \ref{tpkw}.

On {\'e}tudie des produits semi-directs $G=\R\ltimes{\alpha}H$
o{\`u} $\alpha$ est une d{\'e}rivation de l'alg{\`e}bre de Lie $\H$. On note 
$\xi=\ddt$ le champ de vecteurs invariant {\`a} gauche sur $G$, tel que
$\alpha=ad_{\xi}$ restreinte {\`a} $\H$, $\pi:G\to H$ la projection le long des
orbites de $\xi$ et $t$ la fonction sur $G$ d{\'e}finie par
$g\exp(t(g)\xi)\in H$.

Fixons un r{\'e}el $p>1$. On note $\L^{*}_{+(p)}$ (resp. $\L^{*}_{0(p)}$, resp.
$\L^{*}_{-(p)}$) la somme des espaces caract{\'e}ristiques de $\alpha$ dans l'alg{\`e}bre
ext{\'e}rieure $\Lambda^{*}\H^{*}$ relatifs aux valeurs propres de partie
r{\'e}elle sup{\'e}rieure (resp. {\'e}gale, resp. inf{\'e}rieure) {\`a} $\tr(\alpha)/p$.
Une forme diff{\'e}rentielle $e$ sur
$H$ se d{\'e}compose en $e=e_{+}+e_{0}+e_{-}$ et la diff{\'e}rentielle ext{\'e}rieure
se d{\'e}compose en $d=d_{+(p)}+d_{0(p)}+d_{-(p)}$.


\subsection{Non nullit{\'e} de la cohomologie r{\'e}duite}
\begin{prop}
\label{ddmoins}
Supposons qu'il existe des formes $e\in\op{k-1}(H)$ et $e'\in\opr{n-k-1}(H)$
telles que 
\begin{itemize}
\item $d_{+(p)}e=0$, $d_{+(p')}e'=0$, $d_{0(p)}e=0$ et $d_{0(p')}e'=0$ ;
\item $\d \int_{H} e\wedge de'\not=0$.
\end{itemize}
Alors $\rp{k}(G)\not=0$.
\end{prop}

\preuve
On pose $a=de$ et $a'=-de'$. Comme $\dzero e=0$, $a_{-}=de$ donc $da_{-}=0$ et a
fortiori $\dplus a_{-}=0$. Aussi $a_{+}=0$, donc $\dmoins a_{+}=0$ et les
hypoth{\`e}ses du lemme \ref{a-e+} sont satisfaites pour $a$. Il en est de m{\^e}me
pour $a'$. De plus, les formes diff{\'e}rentielles
$\omega(s,a,e)$ et $\omega(s',a',e')$ sur $G$ sont ferm{\'e}es, et
$\d\int_{G} \omega(s,a,e)\wedge \omega(s',a',e')\not=0$ pour $s'$ suffisamment
n{\'e}gatif. D'apr{\`e}s le lemme \ref{stokes}, la forme $\omega(s,a,e)$ est non nulle
en cohomologie r{\'e}duite.\qed

\begin{cor}
\label{rnonnul}
On consid{\`e}re le produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u} $\alpha$
une matrice carr{\'e}e $n-1\times n-1$. On note
$\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$ les parties r{\'e}elles des valeurs propres de
$\alpha$. On suppose qu'elles sont strictement positives. Pour $k=1,\ldots,n-1$,
on note $w_{k}=\l_{1}+\cdots+\l_{k}$ et $W_{k}=\l_{n-k}+\cdots+\l_{n-1}$. 
Etant donn{\'e} $I\subset\{1,\ldots,n-1\}$, on note $\l_{I}=\sum_{i\in I} \l_{i}$.
S'il existe une partie $I\subset\{2,\ldots,n-1\}$ {\`a} $k-1$ {\'e}l{\'e}ments telle que $\l_{I}<w_{n-1}/p<\l_{I}+\l_{1}$,
alors $\d\rp{k}(G)\not=0$. En particulier, si
$W_{k-1}<w_{n-1}/p<\l_{1}+W_{k-1}$, ou bien si
$w_{k}-\l_{1}<w_{n-1}/p<w_{k}$, alors
$\rp{k}(G)\not=0$.
\end{cor}

\preuve
Soient $b$ et $b'$ deux fonctions lisses {\`a} support compact sur
$\R^{n-1}$. Soit $I\subset\{2,\ldots,n-1\}$, soit $I'$ son compl{\'e}mentaire
dans l'en\-sem\-ble $\{2,\ldots,n-1\}$. Choisissons une base de $\C^{n-1}$ dans laquelle
$\alpha$ est triangulaire. On note $dx_{I}$ le produit des $dx_{i}$ pour $i\in
I$ et on pose
$$
e=b\,dx_{I}\et e'=b'\,dx_{I'}.
$$
Alors $de$ est une combinaison lin{\'e}aire d'expressions de la forme
$dx_{i}\wedge dx_{I}$ o{\`u} $i\notin I$. Par cons{\'e}quent,
si $w_{n-1}-p(\l_{1}+\l_{I})<0$, alors $de\in\L^{k}_{-(p)}$. De m{\^e}me, si
$w_{n-1}-p\l_{I}>0$, alors $w_{n-1}-p'(\l_{1}+\l_{I'})<0$, donc
$de'\in\L^{k}_{-(p')}$. Enfin 
$$
\int_{\R^{n-1}} e\wedge de'= \int_{\R^{n-1}} b{{\partial b'}\over{\partial
x_{1}}}\not=0
$$
(choisir $b=\partial b'/\partial x_{1}\not=0$). D'apr{\`e}s la proposition
\ref{ddmoins}, $\rp{k}(G)\not=0$.

Les choix $I=\{2,\ldots,k\}$ et $I=\{n-k+1,\ldots,n-1\}$ donnent les cas
particuliers annonc{\'e}s.\qed

\subsection{Preuve du th{\'e}or{\`e}me E}

Degr{\'e} $1$. Soit $n\geq 2$. L'espace hyperbolique r{\'e}el est isom{\'e}trique au
produit semi-direct $M=\R\ltimes{id}\R^{n-1}$. D'apr{\`e}s le corollaire
\ref{rnonnul}, $\rp{1}(M)\not=0$ pour tout $p>n-1$.

Degr{\'e} $n-1$. S'en d{\'e}duit par dualit{\'e} de Poincar{\'e}.

Degr{\'e} $k=2,\ldots,n-2$. Supposons $n\geq 4$. Soient $x\geq
k-1$ et $y\geq n-k-1$ des r{\'e}els. Posons
$\l_{1}=1$, $\l_{i}=x/k-1$ pour 
$2\leq i\leq k$ et $\l_{i}=y/n-k-1$ pour $k+1\leq i\leq n-1$. Alors 
$$
{{w_{n-1}}\over{w_{k}-{1\over2}\l_{1}}}={{1+x+y}\over{x+{1\over2}}}
$$
tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et vers $0$ lorsque $y$
tend vers $+\infty$. Par cons{\'e}quent, pour tout $p>1$, il existe $x\geq
k-1$ et $y\geq n-k-1$ tels que 
$$
p={{1+x+y}\over{x+{1\over2}}}.
$$
Alors $\d p={{w_{n-1}}\over{w_{k}-{1\over2}\l_{1}}}$ satisfait
$w_{k}-\l_{1}<w_{n-1}/p<w_{k}$. Si $G$ est le produit semi-direct de
$\R$ avec $\R^{n-1}$ d{\'e}fini par la matrice diagonale de valeurs propres
$\l_{1},\ldots,\l_{n-1}$, alors $\rp{k}(G)=0$.\qed

\subsection{Preuve du th{\'e}or{\`e}me H}

On consid{\`e}re le produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u} $\alpha$
est une matrice diagonale de valeurs propres
$0<\l_{1}\leq\cdots\leq\l_{n-1}$. On va choisir les $\l_{i}$ de sorte
que pour tout $k=3,\ldots,[n/2]$, il existe une partition
$\{2,\ldots,n-1\}=I\cup J$ telle que $I$ poss{\`e}de $k-1$ {\'e}l{\'e}ments et
$\l_{I}=\l_{J}$. Alors $\l_{I}<w_{n-1}/2<\l_{I}+\l_{1}$, et
la proposition \ref{rnonnul} garantit que $R^{k,2}(G)\not=0$.

Si $n$ est pair, $n=2m$, on pose $\l_{1}=\l_{2}=\l_{3}=1$ et pour
$\ell=2,\ldots,m-1$, 
$\l_{2\ell}=\l_{2\ell+1}=2^{\ell-2}$, de sorte que 
$$
\sum_{\ell=2}^{n-3} \l_{\ell}=2^{m-2}=\l_{n-2}+\l_{n-1}.
$$
Alors $I_{1}=\{n-2,n-1\}$ convient, mais aussi
$I_{2}=\{n-4,n-3,n-1\}$ car $\l_{n-2}=\l_{n-4}+\l_{n-3}$, et tous les
$I_{j}=\{n-2j,n-2j+1,n-2j+3,n-2j+5,\ldots,n-1\}$ pour $j=2,\ldots,m-2$. 
Comme $I_{j}$ poss{\`e}de $j+1$ {\'e}l{\'e}ments, on r{\'e}alise tous les entiers $k-1$
compris entre $2$ et $m-1=n/2 -1$.

Si $n$ est impair, $n=2m+1$, on pose $\l_{1}=\l_{2}=\l_{3}=1$,
$\l_{4}=\l_{5}=\l_{6}=2$ et pour 
$\ell=3,\ldots,m-1$, 
$\l_{2\ell+1}=\l_{2\ell+2}=2^{\ell-1}$. Les ensembles
$I_{j}=\{n-2j,n-2j+1,n-2j+3,n-2j+5,\ldots,n-1\}$ pour $j=2,\ldots,m-2$
conviennent.\qed

\subsection{Non-nullit{\'e} de la torsion}
\label{semi}
On s'inspire de la discussion des produits directs (paragraphe \ref{prod}).
Lorsqu'on passe aux produits semi-directs
$G=\R\ltimes{\alpha}H$ et qu'on s'in\-t{\'e}\-res\-se {\`a} un exposant $p$ non
critique, on utilise seulement le fait que la cohomologie {\`a} support
compact de la droite r{\'e}elle est non nulle. De plus, l'op{\'e}rateur $\dplus$
remplace en quelque 
sorte l'op{\'e}rateur $d$ sur l'autre facteur.

\begin{prop}
\label{tronc}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct.
Soit $e$ une $k-1$-forme ferm{\'e}e $L^{p}$ sur $H$. On suppose qu'il existe une
suite de formes $e'_{j}\in\op{n-k-1}(H)$ telle que
\begin{enumerate}
\item les int{\'e}grales $\d\int_{H} e\wedge \dplus e'_{j}$ ne tendent pas
vers $0$ ;
\item la suite $\d m_{j}=\n{de'_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $+\infty$
polynomialement ;
\item la suite $\d n_{j}=\n{dd_{+(p')} e'_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $0$ exponentiellement.
\end{enumerate}
Alors $\omega=d\chi\wedge\pi^{*}e$ est non nul dans $\hp{k}(G)$. Si de
plus $H$ est unimodulaire, alors $\tp{k}(G)\not=0$.
\end{prop}

\preuve

Posons
$$
\psi_{j}=\chi_{1}\pi^{*}\dplus e'_{j}+(1-\chi_{1})\pi^{*}\dmoins
e'_{j}+d\chi_{1}\wedge e'_{j}
$$
et
$$
\omega'_{j}=\chi_{s_{j}}(1-\chi_{-s_{j}})\psi_{j},
$$
o{\`u} $s_{j}$ est un r{\'e}el positif.
Alors
\begin{eqnarray*}
\int_{G}\omega\wedge\omega'_{j}
&=& \int_{G}d\chi\wedge e\wedge\psi_{j}\\
&=&\int_{\R}\chi_{1}d\chi \int_{H} e\wedge\dplus e'_{j}
-\int_{\R} (1-\chi_{1})d\chi \int_{H} e\wedge\dmoins e'_{j}\\
&=&\int_{H}e\wedge\dplus e'_{j}
\end{eqnarray*}
ne tend pas vers $0$. Comme
$\d d\psi_{j}=\pi^{*}d\dplus e'_{j}$, 
\begin{eqnarray*}
\n{\chi_{s_{j}}(1-\chi_{-s_{j}})d\psi_{j}}_{L^{p'}(G)}&\leq&
e^{\mu s_{j}}\n{d\dplus e'_{j}}_{L^{p'}(H)}\\
&\leq&e^{\mu s_{j}}n_{j}.
\end{eqnarray*}
D'autre part,
\begin{eqnarray*}
&&\n{d(\chi_{s_{j}}(1-\chi_{-s_{j}}))\wedge\psi_{j}}^{p'}_{L^{p'}(G)}\\
&=&
\n{d(\chi_{s_{j}})\wedge\psi_{j}}^{p'}_{L^{p'}(G)}
+\n{d(1-\chi_{-s_{j}})\wedge\psi_{j}}^{p'}_{L^{p'}(G)}\\
&\leq&\con(
\n{(\phi_{s_{j}})^{*}\dplus e'_{j}}^{p'}_{L^{p'}(H)}+
\n{(\phi_{-s_{j}})^{*}\dmoins e'_{j}}^{p'}_{L^{p'}(H)})\\
&\leq&\con
e^{-\eta p's_{j}}(\n{\dplus e'_{j}}^{p'}_{L^{p'}(H)}+
\n{\dmoins e'_{j}}^{p'}_{L^{p'}(H)})\\
&\leq&\con
e^{-\eta p's_{j}}\n{d e'_{j}}^{p'}_{L^{p'}(H)}.
\end{eqnarray*}
Il vient
$$
\n{\omega'_{j}}_{L^{p'}(G)}
\leq C\,(e^{\mu s_{j}}n_{j}+
e^{-\eta s_{j}}m_{j}).
$$
Posons $\d s_{j}=\inv{\mu+\eta}\log(\eta m_{j}/\mu n_{j})$. Avec ce choix, 
$$
\n{d\omega'_{j}}_{L^{p'}}\leq C'\,m_{j}^{\mu/\mu+\eta}n_{j}^{\eta/\mu+\eta}
$$
qui tend vers $0$ lorsque $j$ tend vers $+\infty$. Le lemme \ref{stokes}
entra{\^\i}ne alors que $\omega$ est non nulle dans $\hp{k}(G)$.

Soit $\omega'$ une $n-k$-forme ferm{\'e}e $L^{p'}$ sur $G$. Ecrivons
$\omega'=\beta'_{t}+dt\wedge \gamma'_{t}$. Alors $\beta'_{t}$ est une
forme ferm{\'e}e sur $H$ qui est dans $L^{p'}$ pour presque tout
$t\in\R$. Supposons $H$ unimodulaire. D'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me \ref{rpnul},
la cohomologie r{\'e}duite $\rp{k-1}(H)$ est nulle. Par cons{\'e}quent, pour
toute $k-1$-forme ferm{\'e}e $L^{p}$ $e$ sur $H$,
$\int_{H}e\wedge\beta'_{t}=0$. Il vient
$$
\int_{G} d\chi\wedge\pi^{*}e\wedge\omega'=\int_{\R}\chi'(t)\,dt\int_{H}
e\wedge\beta'_{t}=0.
$$
Ceci prouve que $\omega=d\chi\wedge\pi^{*}e$ est dans $\tp{k}(G)$, et
donc que $\tp{k}(G)\not=0$.\qed


\begin{prop}
\label{tpknonnul}
On consid{\`e}re un produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}H$ o{\`u}
$H=\R^{n-1}$ est ab{\'e}lien. On note 
$\l_{1}\leq\ldots\leq\l_{n-1}$ les parties r{\'e}elles des valeurs propres de
$\alpha$. On note
$w_{k}=\l_{1}+\cdots+\l_{k}$ et $W_{k}=\l_{n-1-k}+\cdots+\l_{n-1}$. Si 
$w_{k-1}<w_{n-1}/p<W_{k-1}$ et si $p$ est non critique en degr{\'e} $k-1$, alors $\tp{k}(G)\not=0$.
\end{prop}

\preuve
Les in{\'e}galit{\'e}s $w_{k-1}<w_{n-1}/p<W_{k-1}$ entra{\^\i}nent que $w_{n-k}$ $<w_{n-1}/p'<W_{n-k}$.
Etant donn{\'e} $I\subset\{1,\ldots,n-1\}$, on note $\l_{I}=\sum_{i\in I}
\l_{i}$. Consid{\'e}rons, parmi les parties $I$ {\`a} $n-k$ {\'e}l{\'e}ments de
$\{1,\ldots,n-1\}$ telles que $\l_{I}>w_{n-1}/p'$, celle, not{\'e}e $I_{0}$, pour laquelle
$\l_{I}$ est minimum. Notons $i_{m}$ le plus petit indice qui n'est pas
dans $I_{0}$ et $i_{M}$ le plus grand {\'e}l{\'e}ment de $I_{0}$.
Comme $\l_{I_{0}}>w_{n-1}/p'>w_{n-k}$, $i_{m}\leq n-k$ et
$\l_{i_{m}}<\l_{i_{M}}$. Posons
$I_{1}=(I_{0}\cup\{i_{m}\})\setminus\{i_{M}\}$. Alors
$\l_{I_{1}}<\l_{I_{0}}$ donc par d{\'e}finition de $I_{0}$, $\l_{I_{1}}\leq
w_{n-1}/p'$. Comme $p$ est non critique en degr{\'e} $k-1$, $p'$ est non
critique en degr{\'e} $n-k$, donc $w_{n-1}-p'\l_{I}\not=0$ pour tout ensemble
$I$ {\`a} $n-k$ {\'e}l{\'e}ments. Par cons{\'e}quent, $\l_{I_{1}}<w_{n-1}/p'$.

Soit $\theta'\in\L^{n-k-1}\H^{*}$ un
vecteur propre de $\L^{n-k-1}\alpha$ relatif {\`a} une valeur propre de
partie r{\'e}elle $\mu'=\l_{I_{0}}-\l_{i_{M}}$, et soient $\eta$ et $\eta'\in
H^{*}$ des vecteurs propres relatifs {\`a} des valeurs propres de parties
r{\'e}elles $\l_{i_{m}}$ et $\l_{i_{M}}$ respectivement. Alors
$(\eta'\wedge\theta')_{+(p')}=\eta'\wedge\theta'$ mais
$(\eta\wedge\theta')_{+(p')}=0$ donc
$$
(\eta+\eta')\wedge((\eta+\eta')\wedge\theta')_{+(p')}=\eta\wedge\eta'\wedge\theta'
$$
est non nul. Il existe donc $\theta\in\L^{k-2}\H^{*}$ tel que 
$\d\theta\wedge(\eta+\eta')\wedge((\eta+\eta')\wedge\theta')_{+(p')}\not=0$.

Soient $a$ et $u_{j}$ les fonctions fournies par le
lemme \ref{r}. Posons, pour $s>0$, 
$$ 
{\tilde v}_{j}(s)=s^{-1/2}u_{j}(s^{n-1/2}).
$$
Notons $w_{j}$ la fonction
{\`a} support compact sur $[0,+\infty[$ dont la d{\'e}riv{\'e}e est ${\tilde
v}_{j}$. Dans $H=\R^{n-1}$, on note $r$ la distance euclidienne {\`a}
l'origine. On d{\'e}finit des fonctions $f=ra(r^{n-1})$ et $g=w_{j}(r^{2})$
sur $H$. Par construction, $dg_{j}=2u_{j}(r^{n-1})\,dr$. 

On consid{\`e}re
les formes diff{\'e}rentielles $e'_{j}=g_{j}\theta'$ sur
$H$.
On a $de'_{j}=w'_{j}(r^{2})d(r^{2})\wedge\theta'$ donc $\dplus
e'_{j}=w'_{j}(r^{2})\dplus r^{2}\wedge\theta'$ o{\`u} on a not{\'e} 
$$
r_{+}^{2}=\sum_{\l_{i}+\mu'>\tr\alpha/p'} x_{i}^{2}.
$$
Comme la forme $d(r_{+}^{2})$ est ferm{\'e}e, 
$$
d\dplus e'_{j}=w''_{j}(r^{2})d(r^{2})\wedge d(r_{+}^{2})\wedge\theta'.
$$
Comme la $n-1$-forme $d(r^{2})\wedge\dplus
r^{2}\wedge\theta\wedge\theta'$ est homog{\`e}ne, on peut l'{\'e}crire
$$
d(r^{2})\wedge\dplus
r^{2}\wedge\theta\wedge\theta'
=r^{2}h(x)dx_{1}\wedge\cdots\wedge dx_{n-1}
$$
o{\`u} la fonction $h$ est lisse en dehors de l'origine et homog{\`e}ne de degr{\'e}
$0$. Par homog{\'e}n{\'e}{\"\i}t{\'e}, $|h|$ et $r|dh|$ sont born{\'e}es.

Il existe un point de $H$ o{\`u} $d(r^{2})=\eta+\eta'$. En ce point, la
$n-1$-forme $\theta\wedge d(r^{2})\wedge(d(r^{2})\wedge\theta')_{+(p')}$
est non nulle, donc $h$ n'est pas identiquement
nulle. On pose 
$$
e=d(fh\theta).
$$
Comme $e'_{j}$ est {\`a} support compact, 
\begin{eqnarray*}
\int_{H}e\wedge \dplus e'_{j}&=&
\int_{H}fh\theta\wedge d\dplus e'_{j}\\
&=&
\int_{H} fw''_{j}(r^{2})h\,d(r^{2})\wedge\dplus
r^{2}\wedge\theta\wedge\theta'\\
&=&
\int_{S^{n-2}} h^{2}\int_{0}^{+\infty}
f(r)w''_{j}(r^{2})r^{2}r^{n-2}\,dr\\
&=& C\,\int_{0}^{+\infty} f(r)w''_{j}(r^{2})r^{n}\,dr
\end{eqnarray*}
o{\`u} $C>0$. On calcule, pour $r>0$,
$$
w''_{j}(r)=-{1\over2}r^{-3/2}u_{j}(r^{n-1/2})+{{n-1}\over2}r^{n-4/2}u'_{j}(r^{n-1/2}).
$$
Comme $u_{j}$ est d{\'e}croissante sur $[1,\infty[$, les deux termes de la
somme sont de m{\^e}me signe, donc
\begin{eqnarray*}
|\int_{1}^{+\infty} f(r)w''_{j}(r^{2})r^{n}\,dr|
&\geq&
{1\over2}\int_{1}^{+\infty} ra(r^{n-1})r^{-3}u_{j}(r^{n-1})r^{n}\,dr\\
&=&{1\over2}\int_{1}^{+\infty} a(s)u_{j}(s)\,ds\\
&=&{1\over4}\int_{\R} a(s)u_{j}(s)\,ds
\end{eqnarray*}
qui ne tend pas vers $0$. L'int{\'e}grale $\d \int_{0}^{1}
f(r)w''_{j}(r^{2})r^{n}\,dr$ tend vers $0$, donc 
$\d \int_{H}e\wedge \dplus e'_{j}$ ne tend pas vers $0$.

Comme $e=hf'(r)dr\wedge\theta+fdh\wedge\theta$,
\begin{eqnarray*}
\n{e}_{L^{p}}&\leq&\con \n{f'(r)}_{L^{p}(H)}+\n{r^{-1}f(r)}_{L^{p}(H)}\\
&=&
\con (\int_{0}^{+\infty} |f'(r)|^{p}r^{n-2}\,dr)^{1/p}\\
&&+\int_{0}^{+\infty}
|r^{-1}f(r)|^{p}r^{n-2}\,dr)^{1/p}\\
&\leq&
\con (\int_{0}^{+\infty} |r^{n-1}a'(r^{n-1})|^{p}r^{n-2}\,dr)^{1/p}\\
&&+\int_{0}^{+\infty}
|a(r^{n-1})|^{p}r^{n-2}\,dr)^{1/p}\\
&=&
\con (\int_{0}^{+\infty} |sa'(s)|^{p}\,ds)^{1/p}+\int_{0}^{+\infty}
|a(s)|^{p}\,ds)^{1/p}\\
\end{eqnarray*}
est finie.

Comme $de'_{j}=2u_{j}(r^{n-1})dr\wedge\theta'$,
\begin{eqnarray*}
\n{de'_{j}}^{p'}_{L^{p'}}
&=&\con\int_{0}^{+\infty} |u_{j}(r^{n-1})|^{p'}r^{n-1}\,dr\\
&=&\con\int_{0}^{+\infty} |u_{j}(s)|^{p'}\,ds
\end{eqnarray*}
cro{\^\i}t polynomialement en $j$, d'apr{\`e}s le lemme \ref{r}.

Comme $\d d\dplus e'_{j}=w''_{j}(r^{2})d(r^{2})\wedge\dplus
r^{2}\wedge\theta'$,
\begin{eqnarray*}
\n{d\dplus e'_{j}}_{L^{p'}}& \leq& \con
((\int_{0}^{+\infty} |r^{-1}u_{j}(r^{n-1})|^{p'}r_{n-1}\,dr)^{1/p'}\\
&&+
(\int_{0}^{+\infty}
|r^{n-2}u'_{j}(r^{n-1})|^{p'}r_{n-1}\,dr)^{1/p'})\\
&=&\con
((\int_{0}^{+\infty} |s^{-1/n-1}u_{j}(s)|^{p'}ds)^{1/p'}\\
&&+
(\int_{0}^{+\infty}
|s^{n-2/n-1}u'_{j}(s)|^{p'}ds)^{1/p'})\\
\end{eqnarray*}
tend vers $0$ exponentiellement, d'apr{\`e}s le lemme \ref{r}. De la proposition
\ref{tronc}, il r{\'e}sulte que $\tp{k}(G)\not=0$.\qed

\remarque 
La proposition \ref{tpknonnul} s'applique parfois m{\^e}me si l'exposant $p$
est critique en degr{\'e} $k-1$. Il suffit qu'il existe une partie $I$ {\`a}
$n-k-1$ {\'e}l{\'e}ments de $\{1,\ldots,n-1\}$ et des indices distincts $\ell$
$m\notin I$ tels que 
$$
\l_{I}+\l_{\ell}<w_{n-1}/p'<\l_{I}+\l_{m}.
$$
Par exemple, si $k=n-1$, on trouve que $\tp{n-1}(G)\not=0$ pour tout $p$ tel
que $w_{n-2}<w_{n-1}/p<W_{n-2}$.

\remarque
La proposition \ref{tpknonnul} ne s'{\'e}tend pas au cas o{\`u} $H$ est non
ab{\'e}lien, comme on le voit pour les espaces hyperboliques complexes en
dimension $n-1$, corollaire \ref{cplx}.


\subsection{Preuve du th{\'e}or{\`e}me D}
\label{preuveE}
Il
suffit de combiner les propositions \ref{tor=0} et \ref{tpknonnul}.\qed

\subsection{Preuve du th{\'e}or{\`e}me F}
\label{preuveG}
Pour un espace homog{\`e}ne contractile, en degr{\'e}s $0$, $1$, $n-1$ et $n$, la cohomologie r{\'e}duite et la
torsion ne peuvent pas {\^e}tre simultan{\'e}ment non nulles.

En effet, il r{\'e}sulte du th{\'e}or{\`e}me H que, pour tout espace homog{\`e}ne $M$ et tout
exposant $p>1$, l'un au moins des deux espaces $\rp1(M)$ et $\tp1(M)$
est nul.

En combinant le th{\'e}or{\`e}me H, la proposition \ref{tor=0} et la dualit{\'e} de
Poincar{\'e}, on voit que 
pour tout espace homog{\`e}ne $M$ de dimension $n$ et tout
exposant $p>1$, l'un au moins des deux espaces $\rp{n-1}(M)$ et $\tp{n-1}(M)$
est nul. En effet, si $\rp{n-1}(M)\not=0$, alors par dualit{\'e}
$R^{1,p'}(M)\not=0$. D'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me H (compl{\'e}t{\'e} par la proposition \ref{homneg}), $M$ est quasiisom{\'e}trique {\`a}
un produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R$ tel que les parties
r{\'e}elles $\l_{i}$ des valeurs propres de $\alpha$ soient positives et
satisfassent $\l_{1}+\cdots+\l_{n-1}<p'\l_{1}$, i.e.
$p(\l_{2}+\cdots+\l_{n-1})<\l_{1}+\cdots+\l_{n-1}$. Dans les notations
de la proposition \ref{tor=0}, cela s'{\'e}crit $w_{n-1}/p>W_{n-2}$. On
conclut que $\tp{n-1}(G)\not=0$, puis que $\tp{n-1}(M)\not=0$ par
invariance, car $M$ est contractile.

En combinant les propositions \ref{rnonnul} et \ref{tpknonnul}, on
trouve que pour toute dimension $n\geq 4$, tout degr{\'e} $k$ tel que $2\leq
k\leq n-2$ et tout
exposant $\d p>{{n-2}\over{k-1}}$,
il existe des exemples de groupes de Lie $G$ de dimension $n$
tels que $\rp{k}(G)\not=0$ et $\tp{k}(G)\not=0$ simultan{\'e}ment.

En effet, {\'e}tant donn{\'e} des r{\'e}els $x\leq 1$ et $y\geq 0$, posons
$\l_{1}=x$, $\l_{i}=1$ pour
$i=2,\ldots,n-2$ et $\l_{n-1}=1+y$. Alors $w_{n-1}=n-2+x+y$. Comme $\d
p>{{n-2}\over{k-1}}$, il existe $y>0$ tel que 
$$
{{n-2+y}\over{p}}=k-1.
$$
Alors pour tout $x>0$, $w_{n-1}/p=(n-2+x+y)/p=k-1+(x/p)$ est compris entre
$w_{k}-\l_{1}=k-1$ et $w_{k}=k-1+x$. Si de plus on choisit $x<y$ et $x<1$,
$W_{k-1}=k-1+y>w_{k}$ donc $w_{n-1}/p$ est compris entre $w_{k-1}=k-2+x$
et $W_{k-1}$.
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$ o{\`u} $\alpha$ est la matrice diagonale
de valeurs propres $\l_{1},\ldots,\l_{n-1}$.
Comme $w_{k}-\l_{1}<w_{n-1}/p<w_{k}$, $\rp{k}(G)\not=0$. Comme $w_{k-1}<w_{n-1}/p<W_{k-1}$, $\tp{k}(G)\not=0$.\qed

\remarque
La borne $\d {{n-2}\over{k-1}}$ n'est pas optimale.

\subsection{Autres cas de non-nullit{\'e} de cohomologie}

Nous proposons une autre m{\'e}thode pour montrer que la cohomologie $L^{p}$
est non nulle. Elle permet notamment de montrer que si
$G=\R\times\R^{n-1}$ est un 
produit semi-direct, pour tout $p$ non critique il existe un degr{\'e} $k$
tel que $\hp{k}(G)\not=0$.

\begin{prop}
\label{ddplus}
Soit $e\in\op{k-1}(H)$ une forme telle que 
$d_{0(p)}e=0$ et $d_{-(p)}e=0$. Supposons qu'il existe
une suite $e'_{j}\in\opr{n-k-1}(H)$ telle que 
\begin{itemize}
\item $\dzero e'_{j}=0$ ;
\item la suite $\d m_{j}=\n{d_{+(p')}e'_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $+\infty$
polynomialement ;
\item la suite $\d n_{j}=
\n{d_{-(p')}e'_{j}}_{L^{p'}}+\n{d_{0(p')}e'_{j}}_{L^{p'}}$
tend vers $0$ exponentiellement ;
\item la suite $\d \int_{H} de\wedge e'_{j}$ ne tend pas vers $0$.
\end{itemize}
Alors $\hp{k}(G)\not=0$.
\end{prop}

\preuve
Comme en \ref{ddmoins}, $\omega=\omega(0,de,e)$ est ferm{\'e}e et $L^p$ sur $G$. On
pose $\omega'_{j}=\omega(s_{j},0,e'_{j})$ avec une suite $s_j$ tendant vers
$+\infty$. D'apr{\`e}s le lemme \ref{a-e+}, pour $j$ assez grand,
$$
\int_{G} \omega\wedge\omega'_{j}=(-1)^{k}\int_{H} de\wedge
e'_{j}+\int_{H}e\wedge\dmoins e'_{j}
$$
qui ne tend pas vers $0$. Il reste {\`a} choisir la suite $s'_j$ de sorte que
$\d\n{d\omega'_{j}}_{L^{p'}}$ tende vers $0$. Or d'apr{\`e}s le lemme \ref{a-e+},
$$
\n{d\omega'_{j}}_{L^{p'}}\leq C\,e^{-\eta s_{j}}m_{j}+C\,e^{\mu s_{j}}n_{j}.
$$
Posons $\d s'_{j}=\inv{\mu+\eta}\log(\eta m_{j}/\mu n_{j})$. Avec ce choix, 
$$
\n{d\omega'_{j}}_{L^{p'}}\leq C'\,m_{j}^{\mu/\mu+\eta}n_{j}^{\eta/\mu+\eta}
$$
qui tend vers $0$ lorsque $j$ tend vers $+\infty$. Le lemme \ref{stokes}
entra{\^\i}ne alors que $\hp{k}(G)\not=0$.\qed



\begin{lemme}
\label{tpk}
On consid{\`e}re un produit semi-direct $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$. On note 
$\l_{1}\leq\ldots\leq\l_{n-1}$ les parties r{\'e}elles des valeurs propres de
$\alpha$. Si $I\subset\{1,\ldots,n-1\}$, on note $\l_{I}=\sum_{i\in I} \l_{i}$ et
$I^{+}=I\cup\{m\}$ o{\`u} $m$ est le plus petit {\'e}l{\'e}ment du compl{\'e}mentaire de
$I$. Supposons que $I$ a $k-1$ {\'e}l{\'e}ments et qu'il contient tous les indices $i$
tels que $\l_{i}\leq 0$. Alors $\hp{k}(G)\not=0$ si
$\l_{I}<\tr(\alpha)/p<\l_{I^{+}}$. En particulier, si on note
$w_{k}=\l_{1}+\cdots+\l_{k}$, alors $\hp{k}(G)\not=0$ d{\`e}s que $w_{k}>0$ et
$w_{k-1}<w_{n-1}/p<w_{k}$.
\end{lemme}

\preuve
De nouveau, soit $I'$ le
compl{\'e}mentaire de $I^{+}=I\cup\{m\}$. Soient $dx_{I}$ et $dx_{I'}$ des
formes invariantes sur $\R^{n-1}$, vecteurs propres de $\L^{*}\alpha$ pour
des valeurs propres de parties r{\'e}elles $\l_{I}$ et $\l_{I'}$. Comme
$\R^{n-1}$ est ab{\'e}lien, ces formes sont ferm{\'e}es. Soit
$c$ une fonction lisse
{\`a} support compact sur $\R$. Soient $a$ et $u_{j}$ les fonctions sur $\R$ fournies
par le lemme
\ref{r}. On d{\'e}finit des fonctions $b$ et $b'_j$ sur $\R^{n-1}$ comme suit.
$$
b(x_{1},\ldots,x_{n-1})=c'(x_{m})\prod_{i\not=m} a(x_{i})$$ et $$
b'_{j}(x_{1},\ldots,x_{n-1})=c(x_{m})\prod_{i\not=m} u_{j}(x_{i}).
$$
On pose $e=b\,dx_I$ et $e'_{j}=b'_{j}\,dx_{I'}$. 

Si $\tr(\alpha)/p<\l_{I^{+}}$, alors $de\in\L^{k}_{+}$, i.e. $d_{-(p)}e=d_{0(p)}e=0$. Si $\tr(\alpha)/p>\l_{I}$, alors  $\tr(\alpha)/p'<\l_{m}+\l_{I'}$, donc la composante $\d {{\partial b'_{j}}\over{\partial x_{m}}}\,dx_{m}\wedge dx_{I'}$ de $de'_j$ est dans $\L^{k}_{+(p')}$. Sa norme $L^{p'}$ vaut $\n{c'}\n{u_{j}}^{n-2}$ qui est polynomial en $j$. Les autres composantes de $de'_j$ ont une norme $L^{p'}$ {\'e}gale {\`a} $\n{c}\n{u_{j}}^{n-3}\n{u'_{j}}$ qui tend vers $0$ exponentiellement. Enfin, 
$$
\int_{\R^{n-1}} de\wedge e'=(\int_{\R} c'^{2})(\int_{\R} av'_{j})^{n-2})
$$
ne tend pas vers $0$ quand $j$ tend vers l'infini. Les hypoth{\`e}ses du lemme \ref{ddplus} sont satisfaites, et on conclut que $\hp{k}(G)\not=0$.

Le cas particulier s'obtient avec le choix de $I=\{1,\ldots,\l_{n-1}\}$.\qed

\begin{cor}
\label{tpkw}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct o{\`u} $H=\R^{n-1}$ est
ab{\'e}lien. Sauf peut-{\^e}tre pour un nombre fini de valeurs de $p$, il existe
un degr{\'e} $k$ tel que 
$\hp{k}(G)\not=0$.
\end{cor}

\preuve
Si $\tr\alpha=0$, alors $G$ est unimodulaire, donc ferm{\'e} {\`a}
l'infini. D'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me H, $\hp1(G)\not=0$ pour tout $p>1$. 

Si $w_{n-1}=\tr\alpha >0$, il n'y a qu'un nombre fini d'exposants
critiques. Etant donn{\'e} $p>1$ non critique, il existe $k$ tel que 
$w_{k-1}<w_{n-1}/p<w_{k}$.
Le lemme \ref{tpk} donne alors que $\hp{k}(G)\not=0$.\qed


\remarque
Vraisemblablement, $\hp{k}(G)\not=0$ pour $p=w_{n-1}/w_{k}$. C'est le
cas notamment lorsque les $\l_i$ sont tous {\'e}gaux, voir en \ref{reeltorsion}.

\remarque
Le lemme \ref{tpk} ne s'{\'e}tend pas non plus aux produits semi-directs
$G=\R\ltimes{\alpha}H$ o{\`u} $H$ n'est pas ab{\'e}lien.

\subsection{Cohomologie aux exposants critiques}
\label{cri}

\begin{prop}
\label{torcri}
Soit $G=\R\ltimes{\alpha}H$ un produit semi-direct. Soit $p$ un exposant
critique en degr{\'e} $k-1$, i.e. tel que $\L^{k-1}_{0}\not=0$. On suppose
qu'il existe une $k-1$-forme $e$ ferm{\'e}e et $L^{p}$ sur $H$ et une suite 
$e'_{j}\in\Omega^{n-k,p'}(H)$ telles que
\begin{itemize}
\item $e_{-}=0$, $e'_{j,-}=0$, $\dmoins e'_{j}=0$ ;
\item $\int_{H} e\wedge e'_{j}$ ne tend pas vers $0$ ;
\item $\n{e'_{j,0}}_{L^{p'}}$, $\n{e'_{j,+}}_{L^{p'}}$ et $\n{\dplus e'_{j}}_{L^{p'}}$ tendent vers l'infini poly\-n{\^o}\-mia\-le\-ment en $j$ ;
\item $\n{\dzero e'_{j}}_{L^{p'}}$ tend vers $0$ exponentiellement en $j$.
\end{itemize}
Alors $\hp{k}(G)\not=0$.
\end{prop}

\preuve
Soient $a$ et $u_{j}$ des fonctions sur $\R$ qui sont nulles sur
$[0,+\infty[$ et co{\"\i}ncident sur $]-\infty,0]$ avec celles construites en
\ref{r}. 

On pose $\omega=a(t)\,dt\wedge\pi^{*}e$ et
$\omega'_{j}=u_{j}(t)\pi^{*}e'_{j}$. Alors $\omega$ est ferm{\'e}e. Comme
$e_{-}=0$, il
existe une constante strictement positive $\nu$ telle que
$$
\n{\omega}_{L^{p}(G)}^{p}
\leq\con 
\int_{-\infty}^{0} |a(t)|^{p}(
e^{\nu t}\n{e_{+}}_{L^{p}(H)}^{p}+\n{e_{0}}_{L^{p}(H)}^{p})\,dt
$$
donc $\omega\in L^{p}(G)$. De m{\^e}me,
$$
\n{\omega'_{j}}_{L^{p'}(G)}^{p'}
\leq\con 
\int_{-\infty}^{0} |u_{j}(t)|^{p'}(
e^{\nu t}\n{e'_{j,+}}_{L^{p'}(H)}^{p'}+\n{e_{j,0}}_{L^{p'}(H)}^{p'})\,dt
$$
tend vers $+\infty$ polyn{\^o}mialement. On calcule
$$
d\omega'_{j}=u'_{j}(t)\,dt\wedge\pi^{*}e'_{j}+u_{j}(t)\pi^{*}de'_{j},
$$
et 
\begin{eqnarray*}
&&\n{u'_{j}(t)\,dt\wedge\pi^{*}e'_{j}}_{L^{p'}(G)}^{p'}\\
&\leq&\con 
\int_{-\infty}^{0} |u'_{j}(t)|^{p'}(
e^{\nu t}\n{e'_{j,+}}_{L^{p'}(H)}^{p'}+\n{e_{j,0}}_{L^{p'}(H)}^{p'})\,dt
\end{eqnarray*}
tend vers $0$ exponentiellement car $\n{u'_{j}}_{L^{p'}}$ et
$\n{u'_{j}}_{L^{\infty}}$ tendent vers $0$ exponentiellement. De m{\^e}me
\begin{eqnarray*}
&&\n{u_{j}(t)\pi^{*}de'_{j}}_{L^{p'}(G)}^{p'}\\
&\leq&\con 
\int_{-\infty}^{0} |u_{j}(t)|^{p'}(
e^{\nu t}\n{\dplus e'_{j}}_{L^{p'}(H)}^{p'}+\n{\dzero e_{j}}_{L^{p'}(H)}^{p'})\,dt
\end{eqnarray*}
tend vers $0$ exponentiellement car $\n{\dzero e'_{j}}_{L^{p'}}$ et
$\n{u_{j}}_{L^{\infty}}$ tendent vers $0$ exponentiellement.

Enfin 
$$
\int_{G}\omega\wedge\omega'_{j}
=\int_{-\infty}^{0} au_{j}\int_{H}e\wedge e'_{j}
$$
ne tend pas vers $0$. On conclut avec le lemme \ref{stokes} que $\omega$
est non nulle dans $\hp{k}(G)$.\qed

\begin{cor}
\label{hyperbreeltor}
Soit $M$ l'espace hyperbolique r{\'e}el ou complexe de dimension $n$. Pour
$2\leq k\leq {n\over2}+1$, soit $p$ le plus grand exposant critique en degr{\'e} $k-1$
($p={{n-1}\over{k-1}}$ pour l'espace hyperbolique r{\'e}el et 
$p={{n}\over{k-1}}$ pour l'espace hyperbolique complexe). Alors
$\hp{k}(M)\not=0$. Si de plus $k\leq {n\over2}$, alors $\tp{k}(M)\not=0$.
\end{cor}

\preuve
Cas hyperbolique r{\'e}el. On suppose seulement que $k\geq 2$.
Soit $e$ une $k-1$-forme ferm{\'e}e {\`a} support compact
sur $\R^{n-1}$, non nulle. Cela existe d{\`e}s que $k\geq 2$. Soit
$e'_{j}=e'$ une $n-k$-forme sur $\R^{n-1}$ telle que $\int e\wedge
e'\not=0$. Comme $\L^{k-1}=\L^{k-1}_{0}$, $\L^{n-k}=\L^{n-k}_{0}$ et
$\L^{n-k+1}=\L^{n-k+1}_{+}$, les conditions $e_{-}=0$, $e'_{-}=0$ et $\dmoins
e'=0$ sont automatiquement satisfaites. De plus, $\dplus e'=0$, donc la
proposition \ref{torcri} s'applique, et $\hp{k}(M)\not=0$.
L'exposant conjugu{\'e} $p'$ est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal aux exposants
critiques en degr{\'e}s $n-k-1$ et $n-k$, donc $H^{n-k,p'}(M)=0$ d'apr{\`e}s
\ref{hpk=0}.

\ali

Cas hyperbolique complexe. Ici $n=2m+2$, $H$ est le groupe d'Heisenberg
de dimension $2m+1$. On suppose que $k\leq m+1$ et on utilise
les formes ferm{\'e}es invariantes {\`a} gauche $\theta$ et $\theta'$ construites en
\ref{torheis}. On pose $e=b(\rho)\,d\rho\wedge\theta$ et
$e'_{j}=e'=b(\rho)h\theta'$ o{\`u} $b$ est {\`a} support compact et $h$ la fonction
telle que $d\rho\wedge\theta\wedge\theta'=h\,vol$. Alors
$\d\int_{H}e\wedge e'\not=0$.

Pour $p=n/k-1$, $\L^{k-1}_{-(p')}=0$ donc la condition
$e_{-}=0$ est automatiquement satisfaite. On v{\'e}rifie que
$$
\L^{n-k}_{0(p')}=\L^{n-k-1}\N_{1}^{*}\otimes\N_{2}^{*} \et
\L^{n-k+1}_{+(p')}=\L^{n-k}\N_{1}^{*}\otimes\N_{2}^{*}.
$$
Comme $\theta'$ est ferm{\'e}e et divisible par la forme de contact
$\tau$, $e'\in\L^{n-k}_{0}$, et sa
diff{\'e}rentielle est encore divisible par $\tau$, donc dans
$\L^{n-k+1}_{+(p')}$. On a donc automatiquement $e'_{-}=\dmoins e'=0$ et
de plus $\dzero e'=0$. De nouveau, la
proposition \ref{torcri} s'applique, et $\hp{k}(M)\not=0$.

\ali

Dans les deux cas, l'exposant conjugu{\'e} $p'$ est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} tous
les exposants
critiques en degr{\'e}s $n-k-1$ et $n-k$, donc $H^{n-k,p'}(M)=0$ d'apr{\`e}s
\ref{hpk=0}. 
La dualit{\'e} de Poincar{\'e} donne que $\rp{k}(M)=0$ donc c'est bien la
torsion qui est non nulle.
\qed

\remarque
La restriction $k\leq {n\over2}$ est n{\'e}cessaire dans le cas
hyperbolique complexe. Par exemple, pour $n=4$ et $k=3$, $p=2$ or la
cohomologie $L^{2}$ du plan hyperbolique complexe est r{\'e}duite en tout
degr{\'e}, voir \cite{Borel}, \cite{Gromovkahler}.



\section{Quelques exemples d{\'e}taill{\'e}s}
On fait la synth{\`e}se des cons{\'e}quences des r{\'e}sultats g{\'e}n{\'e}raux pour
quel\-ques exemples.

\subsection{Le plan hyperbolique}

Soit $M$ le plan hyperbolique. On peut voir $M$ comme le groupe
$\R\ltimes{\alpha}\R$ o{\`u} $\alpha$ est l'identit{\'e},
$e^{t\alpha}$ est la dilatation par $e^t$. Le th{\'e}or{\`e}me H donne que
$\tp1(M)=0$ et $\rp1(M)=0$ pour tout $p>1$. En fait $\rp1(M)=\bp1$ est un
espace de fonctions (modulo les constantes) sur $\R$. Le corollaire \ref{kappa}
permet d'identifier cet espace. La fonction $\kappa$ du corollaire \ref{kappa}
satisfait
$\kappa(e^{t}s)=\tau^{-2}\kappa(s)$ donc $\kappa(s)\sim s^{-2}$. Soit $u$ une
fonction sur $\R$.
D'apr{\`e}s le corollaire \ref{kappa},
$du\in \bp{1}$ si et seulement si
$$
\int_{\R\times\R} |u(s)-u(s')|^{p}|s-s'|^{-2}\,ds\,ds'<+\infty.
$$
Autrement dit, {\'e}tant donn{\'e}e une fonction $u$ dans $L^{p}(\R)$, sa
diff{\'e}rentielle $du$ est dans $\bp{1}$ si et seulement si $u\in
B^{1/p}_{p,p}(\R)$, voir \cite{Triebel} page 
6. En quelque sorte,
$\bp1$ est la version invariante par $PSL(2,\R)$ de l'espace
$\d B^{{1\over{p}}-1}_{p,p}(\R)$.
Lorsque $p=2$, espaces de Besov et de Sobolev co{\"\i}ncident.

\subsection{L'espace hyperbolique}
\label{reeltorsion}
Ici, $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{n-1}$
o{\`u} $\alpha$ est 
l'identit{\'e}.

Comme on l'a vu au paragraphe \ref{hyperbreel}, la cohomologie $L^{p}$
est s{\'e}par{\'e}e pour tout exposant non critique, et non nulle dans un
intervalle en chaque degr{\'e} $k$. Si $p\leq n-1/k$ ou $p>n-1/k-1$,
$\hp{k}(G)=0$. Si 
$n-1/k<p<n-1/k-1$, $\hp{k}(G)=\bp{k}$ est non nul, c'est en gros l'espace
des $k$-formes
ferm{\'e}es sur $\R^{n-1}$ dont les coefficients sont dans l'espace de Besov
$\d B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(\R^{n-1})$ (pr{\'e}cis{\'e}ment, c'est l'espace
des $k$-formes
exactes sur la sph{\`e}re $S^{n-1}$ dont les coefficients sont dans l'espace de Besov
$\d B_{p,p}^{-k+{{n-1}\over{p}}}(S^{n-1})$, ramen{\'e} sur $\R^{n-1}$ par projection
st{\'e}r{\'e}ographique). 

Si $p=n-1/k-1$, $\rp{k}(M)=0$ par dualit{\'e} de Poincar{\'e},
et $\tp{k}(M)\not=0$ d'apr{\`e}s le corollaire \ref{hyperbreeltor}.

\subsection{Produits semi-directs de $\R$ par $\R^2$}

Soit $G=\R\ltimes{\alpha}\R^{2}$ o{\`u} $\alpha=\pmatrix{\l&0\cr 0&1}$. Ici,
$h=1+\l$.

\medskip

{\sl Cas o{\`u} $\l\in]-1,1]$}. Dans ce cas, le groupe $G$ est ouvert {\`a}
l'infini.

\smallskip

En degr{\'e} $1$, le th{\'e}or{\`e}me H donne la r{\'e}ponse compl{\`e}te si
$p>1$.
\begin{itemize}
\item Si $\l\leq 0$, alors $\hp1(G)=0$ pour tout $p>1$.
\item Si $0<\l\leq 1$, alors $\hp1(G)=0$ pour $p\leq 1+1/\l$ et
$\hp1(G)=\rp1(G)\not=0$ pour $p>1+1/\l$.
\end{itemize}
 
En degr{\'e} 3, comme $\tr(\alpha)\not=0$, la proposition \ref{zero} s'applique
et
$\hp{3}(G)=0$ pour tout $p>1$.

\smallskip

On se place d{\'e}sormais en degr{\'e} 2. Si $\l\leq 0$, il n'y a
aucun
exposant critique en degr{\'e} 1. Si $\l=1$, il y en a un, c'est $p=2$. Si
$0<\l<1$, il
y en a deux, $p=1+\l$ et $p=1+1/\l$.

La proposition \ref{distr} s'applique
directement lorsque
$0<\l\leq 1$ et $p>1+1/\l$. En effet, $\Omega_{-}^{1}=0$ et
$\Omega_{-}^{2}=0$ donc
$\bp{2}=0$ et $\hp{2}(G)=0$.

Si $0<\l\leq 1$ et $p<1+\l$, $\bp{1}=0$ donc $\hp{2}(G)$ est
s{\'e}par{\'e} et $\tp2(G)=0$. Par dualit{\'e}
de Poincar{\'e}, $\rp{2}(G)$ est non nul.

Supposons d{\'e}sormais que $\l\leq 0$ ou que $0<\l< 1$ et $1+\l<p<1+1/\l$.
Par dualit{\'e} de Poincar{\'e}, $\rp2(G)=0$. D'apr{\`e}s le lemme \ref{tpk},
$\hp2(G)\not=0$ et donc $\tp2(G)\not=0$. Dans des cas particuliers, on
le sait par d'autres moyens. Lorsque $\l=0$, cela r{\'e}sulte de la formule de
K{\"u}nneth. Pour $p=2$, d'apr{\`e}s J. Lott \cite{Lott}, pour un espace
homog{\`e}ne riemannien, l'un au moins des espaces de cohomologie
$L^2$ est non nul (th{\'e}or{\`e}me ``z{\'e}ro dans le spectre''). Comme la
cohomologie $L^2$ est nulle en degr{\'e}s 0, 1 et 3, n{\'e}cessairement
$L^{2}H^{2}(G)\not=0$.

\medskip

{\sl Cas o{\`u} $\l=-1$}.
\label{h=0}
Dans ce cas, le groupe $G$ est unimodulaire.

\smallskip

En degr{\'e} 1, le th{\'e}or{\`e}me H donne que $\rp1(G)=0$ et $\tp1(G)\not=0$. Par
dualit{\'e} de Poincar{\'e}, on en d{\'e}duit que
$\rp{3}(G)=0$ et $\tp{3}(G)\not=0$ pour tout $p>1$.

\smallskip

En degr{\'e} 2. Aucun exposant n'est critique en degr{\'e} 1. Comme
$\Omega_{+}^{0}=\Omega_{+}^{0}=0$,
$\bp{1}\subset
\Omega_{-}^{1}\cap \Omega_{+}^{1}$ est nul, donc la cohomologie du complexe
$\bp{*}$ en
degr{\'e} $2$ est s{\'e}par{\'e}e, c'est l'espace de Besov ordinaire
$B_{p,p}^{2/p}(\R^{2})$.
Comme $p$ est critique en degr{\'e} 0, le th{\'e}or{\`e}me \ref{thm} donne
seulement une
surjection $H^{2}(\bp{*})\to \hp{2}(G)$. V. Goldshtein et M.
Troyanov ont montr{\'e}
que $\hp{2}(G)$ est non nul pour tout $p>1$, \cite{GT}. Comme d'apr{\`e}s le
th{\'e}or{\`e}me \ref{rpnul}, la cohomologie r{\'e}duite est nulle, n{\'e}cessairement
$\tp{2}(G)\not=0$.



\subsection{Le plan hyperbolique complexe}
\label{hyperbcomplexe}

Soit $M$ le plan hyperbolique complexe. On peut le voir comme une m{\'e}trique
invariante {\`a} gauche sur le produit semi-direct $\R\ltimes{\alpha} N$ o{\`u}
$N$ est le groupe de Heisenberg, $\N$ a
une base $(X,Y,Z)$ telle que $[X,Y]=Z$ et $Z$ est central, et
$\alpha(X)=X$, $\alpha(Y)=Y$, $\alpha(Z)=2Z$. Notons $(dx,dy,\tau)$ la base
duale de
$\N^*$. Les $1$-formes invariantes {\`a} gauche $dx$ et $dy$ sont ferm{\'e}es, mais
$d\tau=-dx\wedge dy$.

\smallskip

En degr{\'e} $1$, le th{\'e}or{\`e}me H (plus pr{\'e}cis{\'e}ment, la proposition
\ref{homneg}) donne que
$\hp1(M)=0$ pour $p\leq 4$ et $\hp1(M)=\rp1(M)\not=0$ pour $p>4$.

Pour $p>4$, l'espace $\bp{1}\cap\ker
d$ est un espace de fonctions (modulo les constantes) sur la sph{\`e}re $S^3$.
C'est une sorte d'espace de Besov anisotrope. Il contient les diff{\'e}rentielles
de fonctions de classe
$C^1$ {\`a} support compact sur $N$ comme sous-espace dense.

En degr{\'e} $4$, la proposition \ref{zero} donne que $\hp{4}(M)=0$. 

\smallskip

{\sl Degr{\'e} $2$}. Comme $h=4$, il y a 2
exposants critiques en degr{\'e} 1, $p=2$ et $p=4$.

Pour $1<p\leq 4/3$, $\Omega_{+}^{2}=0$ et $\Omega_{+}^{1}=0$ donc
$\bp{2}=0$ et $\hp{2}(M)=0$.

Pour $4/3<p<2$, $\bp{1}=0$ donc $\hp{2}(M)=\bp{2}\cap\ker
d$ est s{\'e}par{\'e}.
Comme $\Omega_{+}^{1}=0$ et $\Omega_{+}^{2}$ est engendr{\'e} par les formes
$dx\wedge\tau$ et $dy\wedge\tau$, les {\'e}l{\'e}ments de $\bp{2}$
s'annulent sur $X\wedge
Y$. Il y a de nombreuses formes ferm{\'e}es qui satisfont cette condition. En
fait,
pour toute $1$-forme $\phi$ sur $N$, $\psi=d\phi+d((d\phi)(X,Y)\tau)$
convient. Si $\phi$
est de classe $C^1$ {\`a} support compact, alors $\psi\in
\bp{2}\cap\ker d$. Par
cons{\'e}quent, $\hp{2}(M)$ est s{\'e}par{\'e} et non nul.

L'exposant $p=2$ est critique en degr{\'e} $1$. Par cons{\'e}quent, le th{\'e}\-o\-r{\`e}\-me
\ref{thm} ne donne rien. On peut modifier la m{\'e}thode
pour traiter
ce cas, voir \cite{P'} page 193. Il est connu (voir
\cite{Borel},
\cite{Gromovkahler}) que
$L^{2}H^{2}(M)$ est non nul et s{\'e}par{\'e}.

Pour $2<p<4$, l'op{\'e}rateur $d:\bp{1}\to \bp{2}$ est d'image
ferm{\'e}e. En effet, une
de ses composantes $D:a\wedge\tau\mapsto a\wedge d\tau$ est un
isomorphisme de
$\bp{1}$ sur le sous-espace ferm{\'e} $\ker\iota_{Z}\subset
\bp{2}$. Par cons{\'e}quent
$\hp{2}(M)$ est s{\'e}par{\'e}, il est isomorphe (non canoniquement) au
sous-espace
$E\subset \bp{2}$ des formes s'annulant sur $X\wedge Y$.

L'exposant $p=4$ est critique en degr{\'e} $1$. Par cons{\'e}quent, le th{\'e}\-o\-r{\`e}\-me
\ref{thm} ne donne rien. N{\'e}anmoins, par dualit{\'e} de Poincar{\'e}, la cohomologie
r{\'e}duite est nulle, et d'apr{\`e}s le corollaire \ref{hyperbreeltor},
$T^{2,4}(M)$ est non nul. 

Pour $p>4$, $\Omega_{-}^{2}=0$ et $\Omega_{-}^{1}=0$ donc $\bp{2}=0$ et
$\hp{2}(M)=0$.


\smallskip

{\sl Degr{\'e} $3$}. Il y a 2
exposants critiques en degr{\'e} 2, $p=4/3$ et $p=2$.

Pour $1<p<4/3$, $\bp{2}=0$ donc $\tp3(M)=0$, $\hp{3}(M)=\rp{3}(M)=\bp3$ est
s{\'e}par{\'e}. Toute
$3$-forme continue {\`a} support compact sur $N$ est dans $\bp{3}$.

Pour $p=4/3$, la dualit{\'e} de Poincar{\'e} donne $R^{3,4/3}(M)=0$ et
$T^{2,4}\not=0$.

Pour $4/3<p<2$, le th{\'e}or{\`e}me
\ref{thm} donne $\hp{3}(M)=\bp{3}/d\bp{2}$. Comme $\rp{1}=\tp{2}=0$, la dualit{\'e}
de Poincar{\'e} donne que $\rp{3}=\tp{3}=0$. C'est compatible avec un r{\'e}sultat de
N. Lohou{\'e}, \cite{Lohoue} (voir aussi \cite{CL}), qui entra{\^\i}ne que
$\hp{3}(M)=0$ pour $p$ assez 
proche de $2$.

Pour $p=2$, on sait, \cite{Gromovkahler} ou \cite{DonnellyFefferman}, que
$L^{2}H^{3}(M)=0$.

Pour $p\geq 2$, le th{\'e}or{\`e}me A donne $\hp{3}(M)=0$. 

\medskip

Pour r{\'e}sumer, pour le plan hyperbolique complexe,
\begin{itemize}
\item la cohomologie r{\'e}duite est non nulle pour un intervalle ouvert de
valeurs de $p$ en
chaque degr{\'e}, cet intervalle est vide en degr{\'e} $0$, $]4,+\infty[$ en
degr{\'e} $1$, $]4/3,4[$ en degr{\'e} $2$, 
$]1,4/3[$ en degr{\'e} $3$, vide en degr{\'e} $4$ ;
\item la torsion est non nulle exactement pour les deux valeurs
exceptionnelles de $p$, en degr{\'e}
$2$ pour $p=4$ et en degr{\'e} $3$ pour $p=4/3$.
\end{itemize}


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\noindent Laboratoire de Math{\'e}matique d'Orsay\\
UMR 8628 du C.N.R.S.\\
Universit{\'e} de Paris-Sud XI\\
B{\^a}timent 425\\
91405 Orsay\\
France\\
\smallskip
{\tt\small Pierre.Pansu@math.u-psud.fr\\
http://www.math.u-psud.fr/\~{}pansu}

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