Cohomologie L^{p}, espaces homogènes et pincement ^{∗}

P. Pansu

4 juillet 1999

RESUME. On calcule, dans certains cas, la cohomologie L^{p} des espaces homogènes riemanniens. Notamment, on montre qu’en degré 1 la cohomologie réduite est non nulle si et seulement si l’espace est quasiisométrique à un espace homogène à courbure sectionnelle strictement négative. On donne un critère optimal d’annulation de la torsion pour les variétés riemanniennes à courbure sectionnelle négative pincée.

ABSTRACT. The L^{p}-cohomology of Riemannian homogeneous spaces is computed in a number of cases. It turns out that reduced L^{p}-cohomology in degree one does not vanish if and only if the space is quasiisometric to a negatively curved homogeneous space. A sharp vanishing theorem for Riemannian manifolds with pinched negative curvature is given.

1 Introduction

1.1 Motivation : un problème de pincement

D’un théorème de M. Berger et W. Klingenberg, [Be], il résulte que si V est un espace symétrique de rang un de type compact à courbure non constante (i.e. un espace projectif complexe CP^{m}, m ≥ 2, un espace projectif quaternionien HP^{m}, m ≥ 2, ou le plan projectif des octaves de Cayley CaP^{2}), V n’admet pas de métrique à courbure comprise entre δ et 1 si δ > \frac{1}{4}.

On se pose un problème analogue en courbure négative. Si δ < 0, on dit qu’une variété riemannienne est δ-pincée s’il existe a > 0 tel que sa courbure soit comprise entre −a et δa.

Par exemple, l’espace hyperbolique réel est −1-pincé. Les espaces symétriques de rang un de type non compact à courbure non constante sont −\frac{1}{4}-pincés. Il s’agit des espaces hyperboliques complexes CH^{m}, m ≥ 2, des espaces hyperboliques quaternioniens HH^{m}, m ≥ 2, et du plan hyperbolique des octaves de Cayley CaH^{2}.

Le problème du pincement optimal consiste à déterminer quel est le meilleur pincement possible pour une métrique sur une variété donnée. Pour les variétés simplement connexes (et donc difféomorphes à l’espace hyperbolique réel), il convient de se restreindre à des métriques comparables à une métrique de référence, par exemple, qui lui sont quasiisométriques. On rappelle que deux variétés riemanniennes M et N sont dites quasiisométriques s’il existe une application f : M → N et des constantes C et L telles que l’image de f soit C-dense dans N et pour tous points x, y ∈ M,

∗Mots clé : Cohomologie L^{p}, courbure négative, espace homogène, espace de Besov. Keywords : L^{p}- cohomology, negative curvature, homogeneous space, Besov space. Mathematics Subject Classification :

43A15, 43A80, 46E35, 53C20, 53C30, 58A14.

−C + \frac{1}{L} ≤ d(f(x), f(y)) ≤ Ld(x, y) + C.

Question. Soit M une variété riemannienne δ-pincée. Existe-t’il une variété riemannienne N quasiisométrique à M et δ′-pincée avec δ′ < δ ?

Dans cet article, on détermine le pincement optimal pour des familles d’espaces homogènes riemanniens. Voici un exemple. Soit G_{2,4,− \frac{1}{4}} le produit semi-direct de R^{3} par R défini par le groupe à un paramètre d’automorphismes de R^{3} engendré par la matrice

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) .

La métrique riemannienne qui en coordonnées exponentielles t (sur le facteur R), x, y et z (sur le facteur R^{3}) s’écrit

ds^{2} = dt^{2} + e^{2t}(dx^{2} + dy^{2}) + e^{4t}dz^{2}

est invariante à gauche. On vérifie aisément (voir par exemple [He]) que cette métrique est −\frac{1}{4}-pincée.

Théorème 1 Soit δ < −\frac{1}{4}. Aucune variété riemannienne δ-pincée n’est quasiisométrique à G_{2,4,− \frac{1}{4}} .

La preuve utilise la torsion en cohomologie L^{p}. C’est un espace vectoriel, noté T^{2,p}(M), défini pour p ≥ 1. Pour une variété simplement connexe à courbure négative, le nombre

T (M) = inf{p > 1 ; T^{2,p}(M) ≠ 0}

est un invariant de quasiisométrie. Un théorème de comparaison (théorème A) entraîne que si dim M = 4 et si M est δ-pincée, alors T (M) ≥ 1 + 2\sqrt{−δ}. Un calcul direct (théorème B) montre que pour le produit semi-direct G_{2,4,− \frac{1}{4}} , la torsion T^{2,p} est non nulle pour 2 < p < 4, d’où

T (G_{2,4,− \frac{1}{4}} ) = 2.

La minoration du pincement s’en déduit immédiatement.

1.2 Un problème ouvert

A ma connaissance, le problème du pincement optimal pour les espaces symétriques −\frac{1}{4}- pincés est toujours ouvert. Pourtant, le plan hyperbolique complexe CH^{2} est infiniment voisin de G_{2,4,− \frac{1}{4}} . Il peut-être vu comme un groupe de Lie résoluble muni d’une métrique invariante à gauche. Ce groupe est le produit semi-direct du groupe de Heisenberg Heis

par R engendré par la dérivation de matrice ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) . Toutefois

T (CH^{2}) = 4,

si bien que le théorème de comparaison ne donne pas de borne optimale pour le pincement des variétés riemanniennes N quasiisométriques au plan hyperbolique complexe.

Le problème restreint où l’on suppose que la variété inconnue N revêt une variété riemannienne compacte a été résolu par M. Ville [V] en dimension 4, par L. Hernández [Hz], S.T. Yau et F. Zheng, [YZ] pour les espaces hyperboliques complexes, par N. Mok, Y.T. Siu et S.K. Yeung [MSY], J. Jost et S.T. Yau [JY] pour les autres espaces symétriques de rang 1. Mais à ma connaissance, la question générale est toujours ouverte.

Il y a donc une limitation essentielle dans la méthode. Néanmoins, la cohomologie L^{p} présente un intérêt en elle-même. Cet article contient un outil de calcul de la cohomologie L^{p} des espaces homogènes riemanniens, qui donne une réponse assez complète en degré 1 (théorème H) et en degrés supérieurs des exemples (théorèmes C à G) qui illustrent plusieurs problèmes classiques.

1.3 Cohomologie L^{p}

Soit M une variété riemannienne. Soit p > 1 un réel. On note L^{p}Ω^{∗}(M) l’espace de Banach des formes différentielles L^{p} et Ω^{∗,p}(M) = L^{p} ∩ d^{−1}L^{p} l’espace des formes différentielles L^{p} dont la différentielle extérieure est aussi L^{p}. La cohomologie du complexe (Ω^{∗,p}(M), d) s’appelle la cohomologie L^{p} de M. Elle est intéressante surtout si M est non compacte.

Par définition, la cohomologie L^{p} est invariante par difféomorphisme bilipschitzien. Dans la classe des variétés simplement connexes à courbure négative ou nulle, c’est un invariant de quasiisométrie (cf. [G2]).

En toute généralité, la cohomologie L^{p} se décompose en cohomologie réduite et torsion

0 → T^{∗,p} → H^{∗,p} → R^{∗,p} → 0

où la cohomologie réduite est R^{∗,p} = ker d/\overline{im d} et la torsion est T^{∗,p} = \overline{im d}/im d. La cohomologie réduite (parfois notée \overline{H}_{(p)}^{k}) est un espace de Banach sur lequel les isométries de M agissent isométriquement. La torsion est non séparée.

Par exemple, la cohomologie L^{p} de la droite réelle est entièrement de torsion. La cohomologie L^{p} du plan hyperbolique est entièrement réduite. Néanmoins, cohomologie réduite et torsion coexistent souvent (voir théorème F).

1.4 Pincement de la courbure

En degrés k > 1, la cohomologie L^{p} est liée de façon optimale au pincement de la courbure.

Théorème A. Soient δ ∈]−1, 0[ un réel, n et k = 2, …, n des entiers. Notons q(n, δ, k) =

1 + \frac{n − k − 1}{k}\sqrt{−δ}.

Soit M une variété riemannienne complète de dimension n, simplement connexe, dont la courbure sectionnelle K satisfait −1 ≤ K ≤ δ. Alors

H^{k,p}(M) = 0 pour 1 < p ≤ q(n, δ, k)

et

T^{k,p}(M) = 0, i.e. H^{k,p}(M) est séparé pour 1 < p < q(n, δ, k − 1).

Ce résultat, annoncé dans [P3], complète celui de H. Donnelly et F. Xavier, [DX], concernant l’annulation de la cohomologie L^{2} réduite. La condition d’annulation de la torsion est optimale. D’abord, pour l’espace hyperbolique (δ = −1) en tout degré, voir en 15.2. Mais il y a d’autres exemples. Soient n et μ des entiers tels que 2 ≤ μ ≤ n − 1 et δ ∈] − 1, 0[. Soit G_{μ,n,δ} le produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1} où α est une matrice diagonale avec seulement deux valeurs propres distinctes 1 et \sqrt{−δ} < 1 de multiplicités μ−1 et n−μ. Alors le groupe de Lie G_{μ,n,δ} possède une métrique riemannienne invariante à gauche δ-pincée.

Théorème B. Soient δ ∈] − 1, 0[ un réel, n et k = 2, …, n des entiers. Si

q(n, δ, k − 1) < p < 1 + \frac{1 + (n − 1 − k)\sqrt{−δ}}{k − 2 + \sqrt{−δ}} ,

alors T^{k,p}(G_{k,n,δ}) ≠ 0, i.e. H^{k,p}(G_{k,n,δ}) n’est pas séparé.

Par conséquent, pour tout μ = 2, ⋯, n − 1, G_{μ,n,δ} n’est pas quasiisométrique à une variété δ′-pincée avec δ′ < δ.

1.5 Cas des espaces symétriques de rang un

Les espaces symétriques de rang 1 de type non compact à courbure non constante sont −1/4-pincés. Alors que ce sont de bons candidats pour tester l’optimalité du théorème A, (la preuve ne comporte aucune perte quand on l’applique à ces espaces pour les valeurs adéquates de k), le calcul révèle que leur cohomologie L^{p} reste séparée au-delà des intervalles donnés par le théorème A. Cela résulte de la non commutativité de leur unipotent maximal.

Théorème C. Soit M un espace symétrique de rang un à courbure non constante, vu comme produit semi-direct R ×_{α} N. Etant donné k ≤ n − 1, notons suiv σ(k) le second élément (dans l’ordre croissant) de l’ensemble σ(k) des valeurs propres de Λ^{k}α. Si tr α/p < suiv σ(k − 1), alors T^{k,p}(M) = 0 sauf peut-être pour tr α/p = min σ(k − 1).

En particulier, si M est un espace hyperbolique complexe, H^{k,p}(M) est séparé sauf pour au plus deux valeurs de p en chaque degré.

1.6 Torsion en degré k ≥ 2

Les théorèmes A, B et D semblent indiquer que la cohomologie L^{p} est souvent séparée. Ce n’est sans doute pas vrai en général. Dans la famille des produits semi directs de R^{n−1} par R, la torsion est très largement présente.

Théorème D. Soit G = R ×_{α} R^{n−1} un produit semi-direct tel que tr α ≠ 0. Etant donné k ≤ n − 1, notons σ(k) l’ensemble (fini) des parties réelles des valeurs propres de Λ^{k}α. Soit p > 1 un réel tel que tr α/p ∉ σ(k − 2) ∪ σ(k − 1). Alors T^{k,p}(G) ≠ 0 si et seulement si tr α/p ∈ [min σ(k − 1), max σ(k − 1)].

Par exemple, si les parties réelles λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} des valeurs propres de α satisfont λ_{1} + ⋯ + λ_{n−2} < 0 < λ_{1} + ⋯ + λ_{n−1}, alors T^{k,p}(G) ≠ 0 pour tout p > 1 et tout k = 2, …, n − 1.

A l’inverse, si les λ_{i} sont toutes de même signe, il existe pour tout k = 2, …, n − 1 des intervalles de valeurs de p pour lesquelles la cohomologie L^{p} est séparée, ce qui fournit de nouveaux invariants numériques de quasiisométrie. Ces invariants suffisent à séparer certains espaces homogènes à courbure négative.

Corollaire 1 Considérons la famille de groupes de Lie résolubles obtenus comme produits semi-directs de R^{n−1} par R au moyen d’une matrice diagonale de valeurs propres strictement positives. Deux groupes dans cette famille ont même cohomologie L^{p} si et seulement si ils sont isomorphes. En particulier, ils sont quasiisométriques si et seulement si ils sont isomorphes.

1.7 Cohomologie réduite en degré k ≥ 2

Le calcul de la cohomologie réduite R^{k,p} semble plus difficile. Néanmoins, voici quelques observations et exemples.

Théorème E. Soit M un espace homogène riemannien contractile de dimension n. Alors la cohomologie réduite R^{0,p}(M) = 0 et R^{n,p}(M) = 0. De plus, R^{1,p}(M) et R^{n−1,p}(M) sont nuls pour tout p ≤ n − 1.

Inversement, pour tout n ≥ 4, tout k = 2, …, n − 2 et tout p > 1 il existe un espace homogène riemannien contractile M de dimension n tel que R^{k,p}(M) ≠ 0. Pour tout n ≥ 2 et tout p > n − 1 il existe un espace homogène riemannien contractile M de dimension n tel que R^{1,p}(M) ≠ 0 et R^{n−1,p}(M) ≠ 0.

Théorème F. Soit M un espace homogène riemannien contractile de dimension n. Alors en degrés 0, 1, n − 1 et n, la cohomologie réduite et la torsion ne peuvent pas être simultanément non nulles.

Inversement, pour tout n ≥ 4, tout k = 2, …, n−2 et tout p > \frac{n − 2}{k − 1} il existe un espace

homogène riemannien contractile M de dimension n tel que R^{k,p}(M) ≠ 0 et T^{k,p}(M) ≠ 0 simultanément.

Enfin, J. Dodziuk et I. Singer ont conjecturé que pour toute variété simplement connexe à courbure négative possédant possédant un groupe discret cocompact d’isométries, il n’existe de formes harmoniques L^{2} qu’en un seul degré, voir [D] et [A]. Ce n’est pas vrai si on ne suppose pas le groupe discret.

Théorème G. Pour tout n ≥ 6, il existe un espace homogène simplement connexe M à courbure négative de dimension n tel que R^{k,2}(M) ≠ 0 simultanément pour tous les k compris entre 3 et n − 3.

1.8 Cohomologie en degré 1 des espaces homogènes

On sait décider pour quelles valeurs de p > 1 l’espace H^{1,p} est nul ou non.

Théorème H. Soit M un espace homogène riemannien non compact. Alors la cohomologie L^{p} en degré 1 de M est nulle, sauf si M est fermé à l’infini ou à courbure négative. Plus précisément,

1. ou bien le groupe d’isométrie de M est une extension compacte d’un groupe de Lie résoluble unimodulaire. Dans ce cas, pour tout p > 1, T^{1,p}(M) ≠ 0.

2. ou bien M est quasiisométrique à un espace homogène à courbure sectionnelle strictement négative. Dans ce cas, T^{1,p}(M) = 0 pour tout p ≥ 1. De plus, il existe un nombre p(M) ≥ 1 tel que H^{1,p}(M) = 0 si p ≤ p(M) et R^{1,p}(M) ≠ 0 si p > p(M).

3. sinon, H^{1,p}(M) = 0 pour tout p > 1.

Pour un espace homogène à courbure négative, le nombre p(M) peut s’interpréter comme la dimension de Hausdorff du bord à l’infini, voir [P2]. Il vaut au moins 2, sauf pour le plan hyperbolique.

Corollaire 2 Soit M un espace homogène riemannien non compact. Si M possède des fonctions harmoniques non constantes dont le gradient est L^{2}, il est quasiisométrique au plan hyperbolique.

1.9 Questions

Voici quelques questions qui se dégagent des exemples étudiés.

1. Soit M un espace homogène riemannien. Montrer que pour tout p > 1 il existe un degré k = 1, ⋯, dim M tel que H^{k,p}(M) ≠ 0. Pour p = 2, le résultat est connu et dû à J. Lott, [Lt]. On trouvera un résultat partiel dans cette direction en 98.

2. Soit M un espace symétrique de rang r. Montrer que pour k ≤ r − 1, H^{k,p}(M) = 0 et H^{r,p}(M) est séparé pour tout p > 1. Pour p = 2, c’est un théorème d’A. Borel [Bo], et résulte aussi, dans de nombreux cas, d’une formule due à Y. Matsushima [M].

3. Soit G un groupe de Lie résoluble unimodulaire connexe et simplement connexe. Montrer que la cohomologie réduite R^{k,p}(G) est nulle et que la torsion T^{k,p}(G) est non nulle en tout degré et pour tout p > 1. C’est connu pour les groupes abéliens (voir en 88), pour certains groupes nilpotents (voir en 90). Pour le groupe SOL, V. Goldshtein et M. Troyanov ont montré que T^{2,p} ≠ 0, [GT].

4. Semi-continuïté. Soit M_{j} une suite d’espaces homogènes riemanniens qui converge vers M. Si pour tout j, H^{k,p}(M_{j}) ≠ 0, est-ce que H^{k,p}(M) ≠ 0 ?

5. Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. L’ensemble des p tels que R^{k,p}(M) ≠ 0 est-il ouvert ? L’ensemble des p tels que T^{k,p}(M) ≠ 0 est-il fermé ? On trouve des résultats dans cette direction dans [CL].

6. Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. Alors M admet des fonctions harmoniques non constantes à gradient L^{p} si et seulement si R^{1,p}(M) ≠ 0. C’est trivialement vrai si p = 2. Un théorème de N. Lohoué affirme que c’est vrai si M est ouverte à l’infini, [L1].

1.10 Méthode

Les preuves combinent des principes généraux (l’invariance par quasiisométrie, qui permet de se ramener au cas des groupes de Lie résolubles, le lien entre T^{1,p} et l’inégalité isopérimétrique) avec un avatar de la formule de Künneth.

Celle-ci ramène le calcul de la cohomologie L^{p} d’un produit semi-direct R × H au calcul de la cohomologie d’un complexe B^{∗,p} de formes différentielles sur H. L’espace B^{∗,p} est constitué de formes différentielles dont certaines composantes s’annulent et les autres appartiennent à des sortes d’espaces de Besov anisotropes. Par exemple, l’espace hyperbolique réel (à courbure constante) s’écrit R × R^{n−1} et B^{k,p} est à peu de choses près l’espace des k-formes différentielles fermées sur R^{n−1} à coefficients dans l’espace de Besov B_{p,p}^{−k+( \frac{n−1}{p})}, voir paragraphe 8.2. Autrement dit, la question de savoir si la cohomologie L^{p} est séparée ou même nulle mêle analyse et algèbre.

Lorsque p = 2, la torsion est liée à la présence de spectre proche de 0 pour le laplacien (voir en 13.3). Le calcul de la torsion pour des produits tordus s’apparente à l’étude des petites valeurs propres du laplacien sur les formes dans la limite adiabatique, voir par exemple [MM] ou [F], où les considérations algébriques jouent un grand rôle. La nouveauté tient dans le fait que les poids (la “taille” des fibres) tendent simultanément vers l’infini et vers 0 suivant les directions (mélange de limite adiabatique et antiadiabatique). C’est le caractère antiadiabatique qui produit les espaces de Besov.

La preuve du théorème de Künneth est inspirée des travaux de A.N. Livsic [Li] sur la cohomologie des systèmes dynamiques.

1.11 Plan de l’article

La section 2 explique le mécanisme de la formule de Künneth. Celle-ci ne fonctionne pas pour certaines valeurs de p baptisées exposants critiques, et calculés dans des exemples en section 3. La formule de Künneth est énoncée en 4, modulo un point technique établi en 5. Les sections 6, 7 et 8 contiennent des exemples et des résultats sur les espaces B^{k,p}. En 9, on en tire deux critères d’annulation de cohomologie, et en 10 un critère d’annulation de la torsion. La preuve du théorème H se trouve en section 11. En 13, on montre que la cohomologie L^{p} de l’espace euclidien n’est jamais nulle, de même que celle de certains groupes nilpotents. La dualité de Poincaré, énoncée en 12, est exploitée en 14 pour obtenir des exemples d’espaces homogènes ouverts à l’infini où la cohomologie ne s’annule pas. La section 15 détaille les quelques exemples (espace hyperbolique réel, groupes de Lie de dimension 3, plan hyperbolique complexe) pour lesquels la cohomologie L^{p} est pratiquement entièrement connue.

1.12 Remerciements

Je tiens à remercier D. Rugina pour les nombreuses conversations que nous avons eues autour de la cohomologie L^{p}, V. Goldshtein et M. Troyanov, pour leurs marques d’intérêt et leur manuscrit [GT] qui a été une source d’inspiration. Je remercie aussi Y. Benoist pour son aide dans les questions de structure de groupes de Lie.

2 Formule de Künneth

2.1 La formule de Künneth, aspect formels

Soient M_{1} et M_{2} deux variétés riemanniennes. L’espace des formes différentielles sur le produit M_{1} × M_{2} est bigradué. En effet,

Λ^{∗}T^{∗}(M_{1} × M_{2}) = Λ^{∗}(T^{∗}M_{1} ⊕ T^{∗}M_{2}) = ⨁ Λ^{p,q}

où Λ^{p,q} = Λ^{p}T^{∗}M_{1} × Λ^{q}T^{∗}M_{2}.

L’espace L^{p}Ω^{∗}(M_{1} × M_{2}) des formes différentielles L^{p} sur le produit M_{1} × M_{2} est un produit tensoriel,

L^{p}Ω^{∗}(M_{1} × M_{2}) = L^{p}Ω^{∗}(M_{1}) ⊗ L^{p}Ω^{∗}(M_{2})

au sens suivant. Le produit cartésien de formes sur les facteurs,

(ω_{1}, ω_{2}) → ω_{1} × ω_{2} = π_{1}^{∗}ω_{1} ∧ π_{2}^{∗}ω_{2}

est bilinéaire, bigradué, satisfait

∥ ω_{1} × ω_{2} ∥_{L^{p}} = ∥ ω_{1} ∥_{L^{p}}∥ ω_{2} ∥_{L^{p}}

et son image est dense.

La différentielle d se décompose en

d = d_{1} + ϵd_{2}

où ϵ est un signe, ϵ = (−1)^{p} sur Λ^{p,q}.

Calculer la cohomologie du complexe d, c’est trouver un projecteur P de degré 0 sur un sous-complexe et un opérateur B de degré −1 tel que 1 − P = dB + Bd. Si dP = 0 la cohomologie de d s’identifie au sous-complexe, et le calcul est terminé. Si on a seulement dP = P d, la paire (P, B) constitue néanmoins un pas vers la solution.

Supposons connue une telle paire (P_{1}, B_{1}) pour la variété M_{1}. Prolongeons P_{1} et B_{1} au produit en les faisant agir trivialement sur les formes sur M_{2}. Alors

dB_{1} + B_{1}d = d_{1}B_{1} + B_{1}d_{1} + ϵd_{2}B_{1} + B_{1}ϵd_{2} = 1 − P_{1}

car B_{1} et d_{2} commutent, et comme B_{1} diminue le degré d’une unité dans la direction de M_{1}, B_{1} et ϵ anticommutent.

Autrement dit, toute information sur la cohomologie de d_{1} se traduit par une information sur la cohomologie de d.

2.2 Des produits aux variétés munies de flots

Sur la droite réelle R, on dispose d’opérateurs B explicites. Fixons une fonction χ sur R qui vaut 0 au voisinage de −∞ et 1 au voisinage de +∞. Sur les fonctions sur R, on pose B = 0. Sur les 1-formes v dt sur R dont la décroissance en −∞ (resp. en +∞) est suffisante, on pose

B(v dt)(t) = ∫_{−∞}^{t} v(s) ds (resp. − ∫_{t}^{+∞} v(s) ds).

Voici une écriture sophistiquée de ces opérateurs. On note ξ le champ de vecteurs \frac{∂}{∂t} sur R, et ϕ_{t} : s ↦ s + t le groupe à un paramètre de translations qu’il engendre. Alors

Bω = ∫_{−∞}^{0} ϕ_{t}^{∗}(ι_{ξ}ω) dt (resp. Bω = − ∫_{0}^{+∞} ϕ_{t}^{∗}(ι_{ξ}ω) dt).

où ι_{ξ}, produit intérieur par le champ de vecteurs ξ, est nul en degré 0 et efface le dt en degré 1.

Soit M_{2} une variété. Comme on l’a vu au paragraphe 2.1, l’opérateur B qui inverse la différentielle sur le facteur R se prolonge à R × M_{2}. L’opérateur obtenu n’est autre que

B_{1}ω = ∫_{−∞}^{0} ϕ_{t}^{∗}(ι_{ξ}ω) dt

où ϕ_{t} est le groupe à un paramètre de translations le long du facteur R. De plus P_{1} = 1 − dB_{1} − B_{1}d est à valeurs dans les formes ω sur le produit qui satisfont ι_{ξ}ω = ι_{ξ}dω = 0.

2.3 Généralisation

Plus généralement, soit M une variété riemannienne complète et ξ un champ de vecteurs unitaire sur M. Une condition suffisante pour que la formule

B^{−}ω = ∫_{−∞}^{0} ϕ_{t}^{∗}(ι_{ξ}ω) dt

définisse un opérateur borné sur les k-formes L^{p} est qu’il existe des constantes η > 0 et C telles que pour tout t ≤ 0 et toute k-forme ω,

∥ ϕ_{t}^{∗}ι_{ξ}ω ∥_{L^{p}(M)} ≤ C e^{ηt}∥ ι_{ξ}ω ∥_{L^{p}(M)}.

Lorsque c’est le cas, on dit que le champ ξ est (k − 1, p)-contractant. De même, on dit que le champ ξ est (k − 1, p)-dilatant si pour tout t ≥ 0 et toute k-forme ω,

∥ ϕ_{t}^{∗}ι_{ξ}ω ∥_{L^{p}(M)} ≤ C e^{−ηt}∥ ι_{ξ}ω ∥_{L^{p}(M)}

pour un η > 0. Si c’est le cas, l’opérateur

B^{+}ω = − ∫_{0}^{+∞} ϕ_{t}^{∗}(ι_{ξ}ω) dt

est borné sur les k-formes L^{p}.

Supposons que le champ ξ soit pour chaque degré k, ou bien (k − 1, p)-contractant, ou bien (k − 1, p)-dilatant. On définit un opérateur borné B sur les formes L^{p} sur M qui en chaque degré vaut B^{+} ou B^{−} suivant les propriétés de contraction du champ. Comme B^{+} et B^{−} satisfont ι_{ξ}B^{±} = ι_{ξ}(1−dB^{±}) = 0 (voir proposition 10), l’opérateur P = 1−dB −Bd est à valeurs dans le sous-complexe B^{∗,p} = ker ι_{ξ} ∩ ker ι_{ξ}d de L^{p} + dL^{p}.

On montre (voir le théorème 2) que si M est à géométrie bornée, P = 1 − dB − Bd induit un isomorphisme du complexe entre Ω^{∗,p}(M) et B^{∗,p}. Les éléments de B^{∗,p}, formes basiques par rapport au champ ξ, s’identifient (au moins localement) avec un espace de formes différentielles sur une transversale, à coefficients dans un espace fonctionnel intermédiaire entre L^{p} et L_{−1}^{p}.

En général, le champ ξ p-contracte un certain sous-espace des k − 1-formes et p-dilate une sous-espace complémentaire. Dans ce cas, on dit que ξ est (k − 1, p)-Anosov. Un opérateur B, somme de B^{+} et de B^{−}, peut encore être défini. Cette idée remonte à A.N. Livsic, [Li].

2.4 Cohomologie L^{p} de l’espace hyperbolique réel

On illustre la méthode sur l’exemple le plus simple. L’espace hyperbolique réel H^{n} est la variété R × R^{n−1} (avec coordonnées t et x = (x_{1}, …, x_{n−1})) munie d’une métrique de produit tordu ds^{2} = dt^{2} + e^{2t}dx^{2}.

Soit p > 1. On constate que le champ de vecteur ξ = \frac{∂}{∂t} est (k, p)-dilatant si et seulement si n−1−p(k−1) > 0 et (k, p)-contractant si et seulement si n−1−p(k−1) < 0.

La méthode du paragraphe précédent s’applique si et seulement si 1 + \frac{n−1}{p} n’est pas un entier inférieur à n. Dans ce cas, on définit un opérateur borné B sur les formes L^{p} sur H^{n} qui vaut B^{+} sur les formes de degré < 1 + \frac{n−1}{p} et B^{−} sur les formes de degré > 1 + \frac{n−1}{p}.

Comme on l’attend d’une formule de Künneth, l’espace B^{∗,p} peut être vu comme un espace de formes différentielles sur le facteur R^{n−1}. Néanmoins, la norme obtenue n’est pas la norme L^{p} sur les formes sur R^{n−1}.

On montrera en 8.2 que B^{k,p} est nul sauf pour une seule valeur de k, la partie entière de 1 + \frac{n−1}{p}. Pour cette valeur, B^{k,p} est en gros l’espace des k-formes fermées sur R^{n−1}

dont les coefficients sont dans l’espace de Besov B_{p,p}^{−k+( \frac{n−1}{p})}(R^{n−1}).

Ce qu’il faut retenir à ce niveau, c’est que la formule de Künneth généralisée concerne des variétés riemanniennes munies d’un champ de vecteurs unitaire. La méthode s’applique pour un ensemble de valeurs de p qui dépend des propriétés de contraction du champ de vecteurs.

3 Exposants critiques

On note Gl^{+}(n − 1) le groupe des matrices n − 1 × n − 1 de déterminant strictement positif. On considère des représentations linéaires ρ du groupe Gl^{+}(n − 1) sur des espaces euclidiens, qui ont la propriété que le sous-groupe SO(n − 1) agit par isométries. Si M est une variété orientée de dimension n portant un champ de vecteurs ξ qui ne s’annule pas, on construit le fibré vectoriel E_{ρ} associé au fibré des repères directs ayant ξ comme premier vecteur. Tout difféomorphisme préservant l’orientation et le champ ξ agit sur le fibré E_{ρ}. Si de plus M porte une métrique riemannienne, alors E_{ρ} porte une métrique lui aussi.

Définition 3 Soit M une variété riemannienne complète. Soit ξ un champ de vecteurs unitaire sur M. Soit ρ une représentation linéaire du groupe Gl^{+}(n − 1). On dit que ξ est ρ-Anosov s’il existe des constantes positives C et η et une décomposition

E_{ρ} = E_{ρ}^{+} ⊕ E_{ρ}^{−}

invariante par le flot ϕ_{t} de ξ, et telle que

• quasi-orthogonalité : si e_{±} ∈ E_{ρ}^{±}, alors

|e_{+}|^{2} + |e_{−}|^{2} ≤ C |e_{+} + e_{−}|^{2};

• contraction : si e ∈ E_{ρ}^{±}, alors pour tout t ≥ 0,

|ϕ_{±t}(e)| ≤ C e^{−ηt}.

Soit p ≥ 1. On dit que ξ est (k, p)-Anosov, ou bien que p est un exposant non critique en degré k si ξ est ρ-Anosov pour la représentation ρ = Λ^{k} ⊗ (det)^{−1/p} de Gl^{+}(n − 1).

On dit que ξ est (k, p)-contractant si ξ est (k, p)-Anosov et Λ_{+}^{k} = 0. On dit que ξ est (k, p)-dilatant si −ξ est (k, p)-contractant.

Concrètement, pour ρ = Λ^{k}, les sections du fibré E_{ρ} s’identifie aux k-formes différentielles sur M annulées par le produit intérieur par ξ, ι_{ξ}. Une décomposition (k, p)-Anosov est une décomposition quasi-orthogonale

Λ^{k}T^{∗}M ∩ ker ι_{ξ} = Λ_{+} ⊕ Λ_{−}

telle que

|(Λ^{k}dϕ_{±t})_{|Λ_{±}}|^{p} ≤ const.e^{−ηt}Jac(ϕ_{t})

pour tout t ≥ 0.

Remarque. Un champ de vecteurs est Anosov au sens des systèmes dynamiques si et seulement si il est (0, +∞)-Anosov.

Remarque. Si la divergence div(ξ) est bornée, alors les exposants non critiques forment un ouvert de ]1, +∞].

Exemple. S’il existe η > 0 tel que div(ξ) ≥ η, alors tout exposant p ≥ 1 est non critique en degrés 0 et n − 1.

En effet, si k = 0 ou k = n−1, Λ^{k}T^{∗}M ∩ker ι_{ξ} est de dimension 1, Λ^{0}dϕ_{t} est l’identité, |Λ^{n−1}dϕ_{t}| = Jac(ϕ_{t}) ≥ e^{ηt}.

Les deux paragraphes suivants donnent des exemples moins triviaux.

3.1 Groupes de Lie

Proposition 4 Soit G un groupe de Lie muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. Soit ξ un champ de vecteur invariant à gauche sur G. On note h = tr ad_{ξ}. Un réel p ≥ 1 est un exposant critique en degré k pour ξ si et seulement si h/p est la partie réelle d’une valeur propre de (Λ^{k}ad_{ξ})_{|Λ^{k}ξ^{⊥}}.

Preuve. Soit Λ_{+}^{k} ⊂ Λ^{k}G^{∗} ∩ ker ι_{ξ} = Λ^{k}ξ^{⊥} (resp. Λ_{−}^{k}) la somme des espaces caractéristiques de Λ^{k}ad_{ξ} relatifs à des valeurs propres w telles que h − pw > 0 (resp. h − pw < 0). On note de la même façon les sous-fibrés obtenus en translatant à gauche ces sous-espaces. Notons η_{0} le plus petit des nombres |h − pw| où w décrit les valeurs propres de Λ^{k}ad_{ξ} sur Λ^{k}ξ^{⊥}. Fixons un η < η_{0}.

Par définition, L_{exp −tξ} ∘ R_{exp tξ} = Ad_{exp tξ} = exp(t ad_{ξ}). Comme les sous-fibrés Λ_{±}^{∗} sont invariants par ad_{ξ}, ils sont invariants par les translations à droite ϕ_{t} = R_{exp tξ} qui constituent le flot de ξ.

Le champ de vecteurs ξ a une divergence constante égale à h, donc le jacobien de son flot vaut exactement e^{ht}.

Soit ω ∈ Λ_{+}^{k} une forme différentielle invariante à gauche qui est dans l’image de i. On a

(ϕ_{t})^{∗}ω = Ad_{exp tξ}^{∗}ω = (exp t ad_{ξ})^{∗}ω.

Comme η < η_{0}, il existe une constante indépendante de ω et de t telle que pour tout t ≥ 0,

|(exp t ad_{ξ})^{∗}ω| ≤ const.e^{t(h−η)/p}|ω|.

Il vient

|(ϕ_{t})^{∗}ω|^{p} = const.e^{−ηt}J(ϕ_{t})|ω|^{p}.

On conclut que p est non critique en degré k.

Inversement, s’il existe un couple de valeurs propres conjuguées (λ, \overline{λ}) de (Λ^{k}ad_{ξ})_{|Λ^{k}ξ^{⊥}} de partie réelle h/p, alors sur la partie réelle de la somme des sous-espaces caractéristiques correspondants, ∥ exp t ad_{ξ} ∥ est polynomial en t donc ne décroît pas exponentiellement, et p est critique en degré k. q.e.d.

Corollaire 5 Si G n’est pas unimodulaire, un champ de vecteurs invariant à gauche générique sur G a au plus un nombre fini d’exposants critiques.

Exemple. Produits semi-directs. Soit H un groupe de Lie d’algèbre de Lie H. Soit α une dérivation de H. Soit G = R × H muni de la multiplication

(t, h)(t′, h′) = (t + t′, e^{tα}(h)h′).

Soit ξ le champ de vecteurs invariant à gauche correspondant au facteur R. Alors ξ^{⊥} s’identifie à H^{∗}, ad_{ξ}_{|ξ^{⊥}} à α et dϕ_{t} à exp tα. Cela fournit une grande variété d’exemples.

Exemple. Soit G = R×_{α}R^{2} le produit semi-direct défini par la dérivation α = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

Si λ > 0, G est à courbure sectionnelle strictement négative. G est unimodulaire si et seulement si λ = −1. Si λ = 0, G est le produit riemannien d’une droite et d’un plan hyperbolique. Noter que pour tout ℓ ≠ 0, les groupes obtenus pour les valeurs ℓ et 1/ℓ de λ sont isomorphes. Par conséquent, sans perdre de généralité, on peut se limiter aux valeurs de λ ∈ [−1, 1].

On s’intéresse au champ de vecteurs invariant à gauche correspondant au facteur R. Si λ ≠ −1, il n’a d’exposants critiques qu’en degré 1, il en a deux (ce sont p = 1 + \frac{1}{λ} et p = 1 + λ) si λ ≠ 0, 1, un (c’est p = 2) si λ = 1 et aucun si λ = 0.

Si λ = −1, tout exposant p ≥ 1 est critique en degrés 0 et 2. En degré 1, aucun exposant n’est critique.

Exemple. Espace hyperbolique réel de dimension n. Soit G le groupe des dilatations et translations de R^{n−1}. Alors G agit simplement transitivement sur l’espace hyperbolique réel de dimension n. Soit ξ le champ de vecteur invariant à gauche correspondant aux dilatations. Sur ξ^{⊥}, ad_{ξ} est l’identité. Il y a exactement un exposant critique pour chaque degré k = 1, …, n − 1, c’est p = \frac{n−1}{k}. Il n’y en a pas en degrés 0.

Exemple. Espace hyperbolique complexe. Soit G le groupe des dilatations translations du groupe de Heisenberg N de dimension 2m−1. Alors G agit simplement transitivement sur l’espace hyperbolique complexe de dimension réelle n = 2m, i.e., la boule de C^{m} munie de sa métrique de Bergmann. Soit ξ le champ de vecteurs invariant à gauche correspondant aux dilatations. Sur ξ^{⊥}, ad_{ξ} vaut 2 fois l’identité sur le centre et l’identité sur un supplémentaire.

Aucun exposant n’est critique en degré 0. Seul 1 est critique en degré n−1. En chaque degré k = 1, …, n−2, il y a exactement deux exposants critiques, p = n/k et p = n/k +1.

Exemple. Soit G le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de Sl(3, R). Alors G agit simplement transitivement sur l’espace symétrique Sl(3, R)/SO(3). Soit ξ le vecteur de G donné par la matrice diagonale diag(−1/3, −1/3, 2/3). Alors ad_{ξ} est diagonalisable, de valeurs propres 0 (multiplicité 3) et 1 (multiplicité 2).

Le seul exposant critique est p = 2, critique en degrés 1, 2 et 3.

3.2 Actions de R^{ℓ}

Définition 6 Soit M une variété riemannienne complète, munie d’une action de R^{ℓ}. On dit que p > 1 est un exposant non critique en degré k pour l’action de R^{ℓ} s’il existe un vecteur non nul ξ ∈ R^{ℓ} qui est (k, p)-Anosov.

Exemple. Soit G = R^{ℓ} × H un produit semi-direct. Les valeurs propres de ad_{ξ} deviennent des formes linéaires sur R^{ℓ}, appelées racines. Soit Σ l’ensemble des racines. Alors p est non critique en degré k si et seulement si pour tout sous-ensemble de Σ à s éléments, k − ℓ + 1 ≤ s ≤ k, la forme linéaire

∑_{α∈Σ} α − p ∑_{α∈I} α

sur R^{ℓ} est non nulle.

Remarque. Si la forme linéaire τ = ∑_{α∈Σ} α sur R^{ℓ} n’est pas nulle, il n’y a qu’un nombre fini d’exposants critiques.

Exemple. Tout espace symétrique de type non compact M = G/K est isométrique à un produit semi-direct R^{r} × N où r est le rang et N le sous-groupe unipotent minimal de G. Les racines de l’action de R^{r} sur N sont les racines positives de l’espace symétrique. La somme des racines positives est toujours non nulle. Il n’y a donc qu’un nombre fini d’exposants critiques. La question de savoir s’il y en a ou non est plus subtile. On traite (imparfaitement) le cas de G = SL(q, R).

Lemme 7 Soit G = KAN la décomposition d’Iwasawa du groupe G = SL(q, R). On voit l’espace symétrique M = G/K comme le produit semi-direct AN. Pour q pair, il n’y a aucun exposant critique en aucun degré. Si q est impair, le seul exposant critique est 2, et seulement dans certains degrés compris entre (q^{2} − 1)/8 et q(q − 1)/2 − (q^{2} − 1)/8 + q − 2.

Preuve. Le groupe A est le groupe des matrices diagonales

diag{e^{x_{1}}, ⋯, e^{x_{q}}}

telles que ∑ x_{i} = 0. Pour ξ ∈ A, les valeurs propres de ad_{ξ} sont les racines positives de l’espace symétrique, i.e. les α_{i,j}(ξ) = x_{i} − x_{j} où

(i, j) ∈ Σ_{+} = {(i, j) | i, j ∈ {1, ⋯, q}, i < j},

auxquelles il faut ajouter 0 compté r − 1 = q − 2 fois.

On cherche les sous ensembles I de Σ_{+} tels que, pour un p > 1,

p ∑_{(i,j)∈I} α_{i,j} = ∑_{(i,j)∈Σ_{+}} α_{i,j}.  (1)

On calcule ∑_{(i,j)∈Σ_{+}} α_{i,j} = ∑_{i=1}^{q}(q + 1 − 2i)x_{i}. D’autre part, pour tout I ⊂ Σ_{+}, ∑_{(i,j)∈I} α_{i,j} =

∑_{i=1}^{q} b_{i}x_{i} où les b_{i} sont des entiers. Si I et p sont solutions de (1), alors 2 = q + 1 − 2 − (q + 1 − 4) = p(b_{1} − b_{2}), donc p est rationnel et son numérateur divise 2. Comme p > 1, on conclut que p = 2. D’autre part, q + 1 − 2 = 2b_{1} est pair, donc q est impair. On note q′ = q − 1/2.

Soit

I_{0} = {(i, j) ∈ Σ_{+} | j − i > q′}

et I_{1} son complémentaire,

I_{1} = {(i, j) ∈ Σ_{+} | j − i ≤ q′}.

Montrons que I_{0} et I_{1} sont solutions de (1). Pour cela, on utilise la base α_{k,k+1}, k = 1, ⋯, q − 1. Notons R_{k} l’ensemble des couples (i, j) tels que i ≤ k < j (de sorte que

#R_{k} = k(q − k)). Alors pour tout I ⊂ Σ_{+}, ∑_{(i,j)∈I} α_{i,j} = ∑_{k} a_{k}(I)α_{k,k+1} où

a_{k}(I) = #I ∩ R_{k}.

On vérifie que a_{k}(I_{0}) = a_{q−k}(I_{0}) et pour k ≤ q′,

a_{k}(I_{0}) = #I_{0} ∩ R_{k} = ∑_{i=1}^{k} q − q′ − i = k(q − q′) − \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{k(q − k)}{2}.

On va montrer que toute solution de (1) a un cardinal compris entre #I_{0} et #I_{1}. Si I ⊂ Σ_{+}, on note

S(I) = ∑_{(i,j)∈I} j − i.

Etant donné un entier s ≤ q(q − 1)/2, on note S_{M}(s) (resp. S_{m}(s)) le maximum de S sur les parties à s éléments de Σ_{+}. En déplaçant un à un les éléments de I pour les éloigner de la diagonale, on ne peut qu’augmenter le nombre S(I). Par conséquent, pour chaque entier s, parmi toutes les parties I de Σ_{+} telles que #I = s, celles qui maximisent S s’obtiennent en remplissant au maximum les diagonales en descendant {(1, q)}, {(1, q − 1), (2, q)}, {(1, q − 2), (2, q − 1), (3, q)}, etc...Par exemple, si s = q′(q′ − 1)/2, S_{M}(s) est atteint par I_{0} et si s = q(q − 1)/2 − q′(q′ − 1)/2, S_{m}(s) est atteint par I_{1}. Clairement, les fonctions S_{M} et S_{m} sont strictement croissantes.

Notons ξ de vecteur de composantes x_{i} = i − q(q + 1)/2. On a

S(I) = ∑_{(i,j)∈I} α_{i,j}(ξ) = \frac{1}{2} ∑_{(i,j)∈Σ_{+}} α_{i,j}(ξ) = S(I_{0}) = S(I_{1})

donc

S_{M}(#I_{0}) = S(I_{0}) = S(I) ≤ S_{M}(#I),
S_{m}(#I_{1}) = S(I_{1}) = S(I) ≥ S_{m}(#I).

Comme, S_{M} et S_{m} sont strictement croissantes, on conclut que

\frac{q′(q′ + 1)}{2} = #I_{0} ≤ #I ≤ #I_{1} = \frac{q(q − 1)}{2} − \frac{q′(q′ + 1)}{2}.

Soit k un entier, k ≤ dim M − 1 = q(q − 1)/2 + q − 2. Alors p est un exposant critique en degré k si et seulement si k = s + k − s où k − s ≤ q − 2 et il existe une partie I à s éléments de Σ_{+} qui est solution de (1). Ceci ne se produit que si q est impair, p = 2 et q′(q′ + 1)/2 ≤ s ≤ q(q − 1)/2 − q′(q′ + 1)/2. Par conséquent le seul exposant critique est p = 2, et il n’est pas critique en degré k si k < q′(q′ + 1)/2 = (q^{2} − 1)/8 ou si k > q(q − 1)/2 − q′(q′ + 1)/2 + q − 2. q.e.d.

Remarque. D’après [Bn], la situation est sensiblement la même pour les autres groupes simples déployés, comme SO(q, q + 1), Sp(q, R), SO(q, q).

3.3 Variétés à courbure négative

Soit M une variété riemannienne simplement connexe à courbure négative. Etant donné x ∈ M, on note ξ_{x} le gradient de la fonction distance à x. Lorsque x tend vers l’infini le long d’un rayon géodésique ρ, le champ ξ_{x} converge vers un champ de vecteurs ξ_{ρ} de classe C^{∞}, de norme 1, appelé champ de vecteurs de Busemann. La dérivée de ξ_{ρ} est contrôlée par la courbure sectionnelle. Si celle-ci est suffisamment pincée, i.e. proche de −1, ξ_{ρ} admet des exposants non critiques.

Proposition 8 Soit M une variété riemannienne complète de dimension n, simplement connexe, dont la courbure sectionnelle K satisfait −1 ≤ K ≤ δ < 0. Soit ξ un champ de vecteurs de Busemann. Si k = 0, ⋯, n − 1 et si p > 1 satisfait

p < 1 + \frac{n − k − 1}{k}\sqrt{−δ}, (resp. p > 1 + \frac{n − k − 1}{k\sqrt{−δ}}),

alors le champ ξ est (k, p)-contractant (resp. (k, p)-dilatant).

Preuve. Notons ϕ_{t} le flot de ξ. Ses trajectoires sont des géodésiques parcourues à vitesse 1. Soit x ∈ M. La quantité à majorer est

n(t, x) = p log ∥ (Λ^{k}dϕ_{t})_{|Λ^{k}ξ^{⊥}} ∥ − log det(dϕ_{t}).

Elle satisfait, pour tous s et t, n(t + s, x) = n(s, ϕ_{t}(x)) + n(t, x).

Notons τ_{t} le transport parallèle de ϕ_{t}(x) à x le long de la géodésique s ↦ ϕ_{s}(x). Alors τ_{t}dϕ_{t} préserve l’hyperplan orthogonal à ξ(x). Notons J(t) sa matrice dans une base orthonormée de ξ(x)^{⊥}, de sorte que n(t, x) = p log ∥ Λ^{k}J(t) ∥ − log det(J(t)).

Comme ξ est un gradient, la matrice U(t) = J(t)^{−1}J′(t), seconde forme fondamentale des hypersurfaces de niveau, est symétrique. Comme les colonnes de J sont des champs de Jacobi, la matrice U(t) satisfait l’équation de Riccati

U′ + U^{2} + R = 0

où R est la matrice de l’opérateur de courbure v ↦ R(v, ξ)ξ. Classiquement (voir par exemple [BK]), on en tire une estimation des valeurs propres λ_{1}, …, λ_{n−1} de U,

\sqrt{−δ} ≤ λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} ≤ 1.

Comme J(0) = I est l’identité, J(t) = I+tU(0)+o(t) donc ∥ Λ^{k}J(t) ∥ ≤ 1+|t|∥ D^{k}U(0) ∥+ o(t) où D^{k}U désigne l’extension de U comme dérivation de l’algèbre extérieure. On peut donc majorer la dérivée à droite

n′(0+) = \frac{∂n}{∂t}(0, x) ≤ p∥ D^{k}U(0) ∥ − trU(0)
≤ p( ∑_{i=n−k}^{n−1} λ_{i}) − ∑_{i=1}^{n−1} λ_{i}

= (p − 1)( ∑_{i=n−k}^{n−1} λ_{i}) − ∑_{i=1}^{n−k−1} λ_{i}
≤ k(p − 1) − (n − k − 1)\sqrt{−δ}.

En dérivant l’équation n(t + s, x) = n(s, ϕ_{t}(x)) + n(t, x), on trouve que n′(t+, x) = n′(0+, ϕ_{t}(x)) ≤ k(p − 1) − (n − k − 1)\sqrt{−δ} pour tout t. En intégrant, il vient pour tout t ∈ R

∥ (Λ^{k}dϕ_{t})_{|Λ^{k}ξ^{⊥}} ∥^{p} ≤ e^{−ηt}Jac(ϕ_{t})

avec η = (n − k − 1)\sqrt{−δ} − k(p − 1). Si η > 0, i.e. si la courbure est suffisamment pincée, on peut poser Λ_{−} = 0, utiliser cette inégalité seulement pour t ≥ 0 et conclure que p est non critique en degré k.

Si on remplace ξ par −ξ, les valeurs propres λ_{i} de la seconde forme fondamentale sont remplacées par μ_{i} = −λ_{n−i} qui satisfont

−1 ≤ μ_{1} ≤ ⋯ ≤ μ_{n−1} ≤ −\sqrt{−δ}.

La nouvelle fonction ñ(t, x) = n(−t, x) satisfait

ñ′(0+) ≤ p( ∑_{i=n−k}^{n−1} μ_{i}) − ∑_{i=1}^{n−1} μ_{i}

= (p − 1)( ∑_{i=n−k}^{n−1} μ_{i}) − ∑_{i=1}^{n−k−1} μ_{i}
≤ k(p − 1)(−\sqrt{−δ}) + (n − k − 1).

Il vient

∥ (Λ^{k}dϕ_{t})_{|Λ^{k}ξ^{⊥}} ∥^{p} ≤ e^{η′t}Jac(ϕ_{t})

avec η′ = k(p − 1)\sqrt{−δ} − n + k + 1. Si η′ > 0, on peut poser Λ_{−} = 0, utiliser cette inégalité seulement pour t ≤ 0 et conclure que p est non critique en degré k. q.e.d.

Remarque 9 Dans l’argument ci-dessus, les inégalités sont optimales sauf celle où on remplace certaines valeurs propres par la borne inférieure \sqrt{−δ} et d’autres par la borne supérieure 1. Il existe de nombreux exemples d’espaces homogènes à courbure négative pour lesquels les valeurs propres prennent exactement deux valeurs égales aux bornes de la courbure sectionnelle.

Exemple. Les espaces symétriques de rang un. La courbure sectionnelle varie entre −1 et −1/4. Les valeurs propres sont 1/2 (avec multiplicité 2m − 2 pour l’espace hyperbolique complexe CH^{m}, m ≥ 2, 4m − 4 pour l’espace hyperbolique quaternionien HH^{m}, m ≥ 2, 8 pour le plan hyperbolique des octaves de Cayley CaH^{2}), et 1 avec multiplicité complémentaire.

Exemple. Soient 1 ≤ μ < n des entiers et δ ∈] − 1, 0[. Soit G_{μ,n,δ} le produit semidirect G = R ×_{α} R^{n−1} où α est une matrice diagonale avec seulement deux valeurs propres distinctes 1 et \sqrt{−δ} < 1 de multiplicités μ − 1 et n − μ. La métrique invariante dt^{2} + e^{2t}dx^{2} + e^{2t\sqrt{−δ}}dy^{2} (où x regroupe les μ − 1 premières coordonnées de R^{n−1} et y les n − μ suivantes) a une courbure sectionnelle comprise entre −1 et −δ.

Dans les deux familles d’exemples, on constate que la borne 1 + (n − μ)\sqrt{−δ}/μ − 1, qui apparaît dans la proposition 8, est critique en degré μ − 1.

4 Formule de Künneth généralisée

Dans cette section, on démontre le principal résultat technique de cet article, le théorème 2.

4.1 L’opérateur B

Proposition 10 Soit p ≥ 1. Soit M une variété riemannienne complète, soit ξ un champ de vecteurs unitaire (k, p)-Anosov sur M, de flot ϕ_{t}. On note Λ_{+} ⊕ Λ_{−} la décomposition (k, p)-Anosov des k-formes annulées par ι_{ξ}. Si ω ∈ Λ^{k}T_{x}^{∗}M, on note ω_{±} la projection orthogonale de ω sur Λ_{±}T_{x}^{∗}M. Alors les opérateurs

\overline{B} : ω ↦ ∫_{−∞}^{0}(ϕ_{t})^{∗}ω_{−} dt − ∫_{0}^{+∞}(ϕ_{t})^{∗}ω_{+} dt,

i = ι_{ξ} = produit intérieur par ξ

et

B = \overline{B}i

sont bornés sur les k + 1-formes L^{p}. De plus, il satisfont Bi = iB = 0, i(1 − dB) = 0.

Preuve. Par hypothèse, pour tout x ∈ M et tout t ≥ 0,

|(ϕ_{t})^{∗}iω_{+}|^{p}(x) ≤ const.e^{−ηt}|iω_{+}|^{p}(ϕ_{t}x)J_{ϕ_{t}}(x)

donc

∫_{M} |(ϕ_{t})^{∗}iω_{+}|^{p}(x) dx ≤ const.e^{−ηt} ∫_{M} |ω|^{p}(ϕ_{t}x)J_{ϕ_{t}}(x) dx
= const.e^{−ηt} ∫_{M} |ω|^{p}(z) dz.

Par conséquent, la fonction t ↦ ∥ (ϕ_{t})^{∗}iω_{+} ∥_{L^{p}} est intégrable sur R_{+}, la seconde intégrale converge dans L^{p}Ω^{k}(M) et

∥ (ϕ_{t})^{∗}iω_{+} ∥_{L^{p}} ≤ \frac{1}{η}∥ iω_{+} ∥_{L^{p}}.

Il vient ∥ Bω ∥ ≤ η^{−1}∥ ω ∥.

L’opérateur i est évidemment borné sur L^{p}. Comme il commute avec ϕ_{t}, il commute avec \overline{B} d’où iB = i\overline{B}i = \overline{B}ii = 0.

Notons L_{ξ} la dérivée de Lie suivant ξ. Si ω est une k+1-forme lisse à support compact, alors pour tout t,

\frac{d}{dt}(ϕ_{t})^{∗}ω = (ϕ_{t})^{∗}L_{ξ}ω = L_{ξ}(ϕ_{t})^{∗}ω.

D’autre part, au voisinage d’un point, (ϕ_{t})^{∗}ω = 0 pour t assez grand. Par conséquent

L_{ξ}\overline{B}ω = ω_{+} + ω_{−} = ω.

Il vient

iω = iL_{ξ}\overline{B}ω = L_{ξ}Bω = (di + id)Bω = idBω.

Par densité, cette identité s’étend à L^{p}. q.e.d.

4.2 L’espace L^{p} + dL^{p}

Si ω ∈ L^{p} et dω ∈ L^{p}, en général dBω n’est pas L^{p}. C’est pourquoi l’opérateur P = 1 − dB − Bd ne fournit pas un isomorphisme du complexe Ω^{∗,p} avec un de ses souscomplexes.

Définition 11 On note L^{p} + dL^{p} l’espace des formes différentielles sur M qui peuvent s’écrire comme somme d’une forme L^{p} et de la différentielle extérieure d’une forme L^{p}. On le munit de la norme

∥ ω ∥_{L^{p}+dL^{p}} = inf{(∥ β ∥_{L^{p}}^{p} + ∥ γ ∥_{L^{p}}^{p})^{1/p} ;
β ∈ L^{p}Ω^{k}(M), γ ∈ L^{p}Ω^{k−1}(M), ω = β + dγ}.

Remarque. L’espace L^{p} + dL^{p} est complet et invariant par d. L’opérateur

P : Ω^{∗,p}(M) → L^{p} + dL^{p}

est borné.

4.3 Le complexe des formes basiques

Définition 12 Soit M une variété riemannienne complète, ξ un champ de vecteurs borné sur M. On note B^{∗,p}(M, ξ) ⊂ L^{p} + dL^{p} le sous-complexe des formes qui sont annulées, au sens des distributions, par i = ι_{ξ} et id.

Soit G = R × H un produit semi-direct. Notons π : G → H la projection le long des orbites du champ de vecteurs ξ correspondant à l’action à droite du facteur R. L’opération π^{∗}, image inverse par π, identifie B^{∗,p}(G, ξ) à un sous-complexe de formes différentielles sur H, qu’on note B^{∗,p}. La nature de cet espace ne saute pas aux yeux. Il s’avère qu’il est souvent nul. Lorsqu’il ne l’est pas, c’est un espace fonctionnel constitué de formes dont les coefficients ont des dérivées fractionnaires dans L^{p}.

4.4 Théorème principal

Théorème 2 Soit M une variété riemannienne complète, ξ un champ de vecteurs unitaire sur M. Soit p ≥ 1. On suppose qu’il existe des opérateurs bornés S et T sur les formes différentielles L^{p} tels que

1. Sd = dS et 1 − S = dT + T d ;

2. dS est borné sur L^{p} ;

3. (iT − T i)d est borné sur L^{p}.

Si le champ ξ est (k − 1, p)-Anosov, alors S : H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)) → H^{k,p}(M) est surjectif. Si ξ est (k − 2, p)− et (k − 1, p)-Anosov, alors S est un isomorphisme. Si ξ est (j, p)-Anosov pour tout j = 0, ⋯, n − 1, alors l’opérateur S réalise une équivalence d’homotopie entre les complexes B^{∗,p}(M, ξ) et Ω^{∗,p}(M).

Remarque. Sur toute variété riemannienne à géométrie bornée, il existe (voir la proposition 20) des opérateurs S et T qui satisfont aux hypothèses du théorème 2 pour tout p > 1.

Preuve. Supposons dans un premier temps que p n’est critique pour aucun degré (i.e., que ξ est (j, p)-Anosov pour tout j = 0, ⋯, n − 1). Par construction, si ω ∈ Ω^{k,p}(M), alors P ω ∈ L^{p} + dL^{p}. Comme iP = idP = 0, P ω ∈ B^{∗,p}, donc P est un morphisme de complexes Ω^{∗,p}(M) → B^{∗,p}(M, ξ).

Comme dS = Sd est borné sur L^{p}, S et dS envoient L^{p} et dL^{p} dans L^{p}. Par conséquent, S est un morphisme de complexes B^{∗,p}(M, ξ) → Ω^{∗,p}(M).

On a SP = 1 − d(T + SB) − (T + SB)d. Comme dT = 1 − S − T d, T est borné de Ω^{∗,p}(M) dans lui-même. Quant à SB, il envoie L^{p} dans Ω^{∗,p}(M), donc a fortiori Ω^{∗,p}(M) dans lui-même.

On pose P S = 1−d(B+P T)−(B+P T)d. On remarque que B+P T envoie ker i∩ker id dans lui-même. De plus

B + P T = B + (1 − dB − Bd)T
= B + T − d\overline{B}iT − \overline{B}i(1 − S − T d)
= T + BS − d\overline{B}[i, T] + \overline{B}[i, T]d − dBT i + BT id.

Sur ker i ∩ ker id, B + P T coïncide avec l’opérateur T + BS − d\overline{B}[i, T] + \overline{B}[i, T]d qui est borné sur L^{p} + dL^{p}, donc B + P T est borné de B^{∗,p}(M, ξ) dans lui-même.

Supposons seulement que p est non critique en degrés k − 2 et k − 1. Alors P est défini sur les k − 1-formes ainsi que sur les k-formes fermées. L’identité dP = P d est satisfaite sur Ω^{k−1,p}(M), donc P passe au quotient H^{k,p}(M) → H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)). Les identités P S = 1 − d(P T) et SP = 1 − d(T + SB) sont vraies sur L^{p}Ω^{k}(M) ∩ ker d. Cela suffit à prouver que S : H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)) → H^{k,p}(M) est un isomorphisme d’inverse P.

Enfin, si p est non critique seulement en degré k−1, P n’est défini que sur les k-formes. Toutefois, il préserve les k-formes fermées. L’identité SP = 1 − d(T + SB) montre que S : H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)) → H^{k,p}(M) est surjectif. q.e.d.

Remarque. On trouvera en 15.3 une situation (produit semi-direct) où pour un exposant p non critique en degré k − 1 mais critique en degré k − 2, l’espace H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)) est séparé alors que H^{k,p}(M) ne l’est pas, interdisant une injection

H^{k,p}(M) → H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)).

5 Régularisation

On vérifie que les hypothèses techniques du théorème 2 sont toujours satisfaites par les variétés riemanniennes à géométrie bornée, pour p > 1. Les résultats principaux de cette section sont les corollaires 21 et 24.

5.1 L’espace L_{−1}^{p}Ω^{k}(M)

La norme de l’espace L^{p}+dL^{p} est difficile à évaluer en général. On va construire une norme équivalente plus commode, dans le cas particulier des variétés riemanniennes à géométrie bornée.

Définition 13 Fixons un entier ℓ ≥ 1. Soit M une variété riemannienne. On dit que M est à géométrie bornée s’il existe un ϵ > 0 tel que toutes les boules de rayon ϵ soient uniformément proches, au sens C^{ℓ}, de la boule unité de R^{n}.

Remarque. Dans la littérature, on demande souvent seulement une borne inférieure sur le rayon d’injectivité et des bornes sur la courbure sectionnelle. Quitte à déformer la métrique en une métrique équivalente plus régulière (ce qui ne change pas la cohomologie L^{p}), on peut supposer que les dérivées covariantes jusqu’à l’ordre ℓ de la courbure sont uniformément bornées (voir [BMR]). La proximité C^{ℓ} ne coûte donc pas plus cher.

Définition 14 Soit M une variété riemannienne compacte (resp. compacte à bord). On

note ∇ la dérivée covariante. Soient p et p′ des réels positifs tels que \frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1. Soit

ω une k-forme différentielle sur M. Sa norme L_{−ℓ}^{p} est la borne supérieure des intégrales

∫_{M} ω ∧ ϕ sur les n − k-formes ϕ sur M, de classe C^{ℓ} (resp. nulles au voisinage du bord) et telles que

∥ ϕ ∥_{L_{ℓ}^{p′}(M)} := (∥ ϕ ∥_{L^{p′}(M)}^{p′} + ∥ ∇ϕ ∥_{L^{p′}(M)}^{p′} + ⋯ + ∥ ∇^{ℓ}ϕ ∥_{L^{p′}(M)}^{p′})^{1/p′} ≤ 1.

Remarque. Le transport par un difféomorphisme de classe C^{ℓ} est un isomorphisme entre espaces L_{−ℓ}^{p}.

Définition 15 Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. Soit ω une k-forme sur M. On note

∥ ω ∥_{L_{−ℓ}^{p}Ω^{k}(M)} = (∫_{M} ∥ ω_{|B(x,ϵ)} ∥_{L_{−ℓ}^{p}(B(x,ϵ))}^{p} dx)^{1/p}.

Remarque. Changer le rayon des boules conduit à une norme équivalente. Si M est compacte, elle est automatiquement à géométrie bornée. Les définitions 14 et 15 donnent dans ce cas des normes équivalentes.

Remarque. Clairement, L_{−ℓ}^{p} ⊂ L_{−ℓ−1}^{p} et la différentielle extérieure est bornée de L_{−ℓ}^{p} dans L_{−ℓ−1}^{p}.

Lemme 16 Si M est compacte (éventuellement avec bord), l’espace L_{−ℓ}^{p}(M) est un module sur l’algèbre C^{ℓ}(M).

Preuve. Soit u une fonction de classe C^{ℓ} sur M, ω une k-forme sur B et ϕ une n−k-forme lisse à support compact dans M, telle que ∥ ϕ ∥_{L_{ℓ}^{p}(M)} ≤ 1. Alors ∇uϕ = (∇u)ϕ + u∇ϕ entraîne

∥ uϕ ∥_{L_{ℓ}^{p′}} ≤ ∥ u ∥_{C^{ℓ}}∥ ϕ ∥_{L_{ℓ}^{p′}} ≤ ∥ u ∥_{C^{ℓ}(M)}.

Il vient

∫_{M} uω ∧ ϕ = ∫_{M} ω ∧ uϕ ≤ ∥ u ∥_{C^{ℓ}(M)}∥ ω ∥_{L_{−ℓ}^{p}(M)}

donc

∥ uω ∥_{L_{−ℓ}^{p}(M)} ≤ ∥ u ∥_{C^{ℓ}(M)}∥ ω ∥_{L_{−ℓ}^{p}(M)}. q.e.d.

Remarque. Plus généralement, si ϕ est une forme différentielle de classe C^{ℓ} sur M, le produit extérieur par ϕ est un opérateur borné sur L_{−ℓ}^{p}.

Proposition 17 Soit G un groupe de Lie muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. Une forme différentielle sur G est dans L_{−ℓ}^{p} si et seulement si ses composantes dans un repère de formes invariantes à gauche sont des fonctions dans L_{−ℓ}^{p}.

Preuve. Par invariance à gauche, il suffit de le vérifier pour la boule unité B de G. Soit θ_{1}, ⋯, θ_{n} une base de 1-formes invariantes à gauche. Soit {i_{1}, ⋯, i_{n}} une permutation de {1, ⋯, n}, soit u une fonction de classe C^{ℓ} à support compact dans B. Il existe une constante indépendante de u telle que

const.∥ u ∥_{L_{ℓ}^{p′}(B)} ≤ ∥ uθ_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ θ_{i_{k}} ∥_{L_{ℓ}^{p′}(B)} ≤ const.∥ u ∥_{L_{ℓ}^{p′}(B)}.

Par dualité, on en tire, pour toute fonction v de L_{−ℓ}^{p}(B)

const.∥ v ∥_{L_{−ℓ}^{p}(B)} ≤ ∥ vθ_{i_{k+1}} ∧ ⋯ ∧ θ_{i_{n}} ∥_{L_{−ℓ}^{p}(B)} ≤ const.∥ v ∥_{L_{−ℓ}^{p}(B)}.

q.e.d.

Remarque. En particulier, dans la boule unité de R^{n}, une forme différentielle est dans L_{ℓ}^{p} si et seulement si ses composantes, des fonctions, le sont.

5.2 Régularisation

Dans cette section, on construit les opérateurs de régularisation S et T nécessaires pour appliquer le théorème 2.

Soit M une variété riemannienne compacte sans bord. Notons H l’espace des formes harmonique sur M. Le laplacien Δ admet un inverse borné sur l’orthogonal L^{2} de H. On note Γ = Δ^{−1} ∘ Π la composition avec le projecteur orthogonal sur H^{⊥}. Comme Δ commute avec d et d^{∗}, il en est de même de Γ.

Lemme 18 Soit M une variété riemannienne compacte sans bord. Soit p > 1. Les opérateurs T_{M} = d^{∗}Γ et S_{M} = 1−dT_{M}−T_{M}d sont bornés de L_{−ℓ}^{p}Ω^{∗}(M) dans L_{−ℓ+1}^{p}Ω^{∗}(M).

Preuve. Comme Γ commute avec d, S_{M} = 1 − dT_{M} − T d_{M} = 1 − ΔΓ = 1 − Π est le projecteur orthogonal sur H. Il est donc aussi régularisant qu’on veut.

Montrons que Γ est borné de L^{p′} dans L_{2}^{p′}. L’estimée L^{p′} pour le laplacien, [ADN], s’énonce comme suit. Pour ϕ ∈ L_{2}^{p′},

∥ ϕ ∥_{L_{2}^{p′}} ≤ const.(∥ ϕ ∥_{L^{p′}} + ∥ ϕ ∥_{L^{p′}}).

Montrons d’abord que l’image par Δ de H^{⊥} ∩ L_{2}^{p′} est fermée dans L^{p′}. Soit ω ∈ L^{p′}, soit ϕ_{j} ∈ H^{⊥} ∩ L_{2}^{p′} une suite telle que Δ(ϕ_{j}) converge dans L^{p′} vers ω. Alors ϕ_{j} est bornée dans L^{p′}. Sinon, ψ_{j} = ϕ_{j}/∥ ϕ_{j} ∥_{L^{p′}} est borné dans L_{2}^{p′} donc, par compacité du plongement de Sobolev, on peut supposer que ψ_{j} converge fortement dans L^{p′} vers un ψ de norme 1, et converge faiblement dans H^{⊥} ∩ L_{2}^{p}. Or Δψ_{j} tend vers 0, donc ψ ∈ H. Il vient ψ = 0, contradiction. On conclut que ϕ_{j} est bornée dans L^{p′}. On peut donc supposer que ϕ_{j} converge faiblement dans H^{⊥} ∩ L_{2}^{p′} vers ϕ, et ω = Δϕ est dans l’image du laplacien. On conclut que Δ(H^{⊥} ∩ L_{2}^{p′}) est fermé dans L^{p′}.

Le laplacien étant symétrique, son image est exactement H^{⊥} ∩ L^{p′}. L’opérateur Δ est une bijection continue entre les espaces de Banach H^{⊥} ∩ L_{2}^{p′} et H^{⊥} ∩ L^{p′}. C’est donc un isomorphisme. On conclut que Γ est borné de L^{p′} dans L_{2}^{p′}.

Le même argument montre que Γ est borné de L_{ℓ}^{p′} dans L_{ℓ+2}^{p′}. En effet, l’estimée elliptique est vraie sur L_{ℓ}^{p′}. En particulier, l’adjoint L^{2} de T_{M}, l’opérateur T^{∗} = dΓ est borné de L_{ℓ}^{p′} dans L_{ℓ+1}^{p′}.

Par dualité, on conclut que T_{M} est borné de L_{−ℓ}^{p} dans L_{−ℓ+1}^{p}. q.e.d.

Corollaire 19 Soit M une variété riemannienne à bord compacte. Soit p > 1. Il existe des opérateurs S_{M} et T_{M} tels que 1 = S_{M} + dT_{M} + T d_{M} et pour toutes fonctions lisses χ et χ′ à support compact dans l’intérieur de M, χ′ ∘ S_{M} ∘ χ, dχ′ ∧ T_{M} ∘ χ et T_{M} ∘ dχ ∧ · sont bornés de L_{−ℓ}^{p}Ω^{∗}(M) dans L_{−ℓ+1}^{p}Ω^{∗}(M).

Preuve. On peut toujours compléter M en une variété compacte sans bord. On utilise ensuite le fait que L_{−ℓ}^{p} est un C^{ℓ}-module (lemme 16 et la remarque qui le suit). q.e.d.

Proposition 20 Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. Soit p > 1, ℓ ≥ 1. Il existe des opérateurs bornés S et T de L_{−ℓ}^{p}Ω^{∗}(M) dans L_{ℓ+1}^{p}Ω^{∗}(M), tels que 1 = S + dT + T d.

Preuve. En transportant au moyen de difféomorphismes contrôlés en norme C^{ℓ} les opérateurs S_{B} et T_{B} de la boule unité B de R^{n}, on obtient pour chaque z ∈ M des opérateurs S_{z} et T_{z} sur la boule B(z, ϵ) de M tels que χ′_{z} ∘ S_{z} ∘ χ_{z}, dχ′_{z} ∧ T_{z} ∘ χ_{z} et T_{z} ∘ dχ_{z} ∧ · soient bornés de L_{−ℓ}^{p}Ω^{∗}(B(z, ϵ)) dans L_{−ℓ+1}^{p}Ω^{∗}(B(z, ϵ)) en fonction seulement des normes C^{ℓ} de χ′_{z} et χ_{z}. On choisit les fonctions χ′_{z} et χ_{z} de sorte que pour tout x ∈ M, ∫ χ′_{z}χ_{z}(x) dz = 1.

On pose, pour ω ∈ L_{−ℓ}^{p}(M),

T ω = ∫_{M} χ′_{z}T_{z}(χ_{z}ω_{|B(z,ϵ)}) dz.

Pour chaque z ∈ M, χ_{z}ω_{|B(z,ϵ)} ∈ L_{−ℓ}^{p}(B(z, ϵ)) et

∥ χ′_{z}T_{z}(χ_{z}ω_{|B(z,ϵ)}) ∥_{L_{−ℓ+1}^{p}(B(z,ϵ))} ≤ const.∥ ω_{|B(z,ϵ)} ∥_{L_{−ℓ}^{p}(B(z,ϵ))}

donc, par définition de la norme L_{−ℓ}^{p},

∥ T ω ∥_{L_{−ℓ+1}^{p}} ≤ const.∥ ω ∥_{L_{−ℓ}^{p}}.

On calcule

d(χ′_{z}T_{z}(χ_{z}ω)) + χ′_{z}T_{z}(χ_{z}dω)
= dχ′_{z} ∧ T_{z}(χ_{z}ω) + χ′_{z}(T_{z}d + dT_{z})(χ_{z}ω) − χ′_{z}T_{z}(dχ_{z} ∧ ω)
= χ′_{z}(1 − S_{z})(χ_{z}ω) + dχ′_{z} ∧ T_{z}(χ_{z}ω) − χ′_{z}T_{z}(dχ_{z} ∧ ω)
= χ′_{z}χ_{z}ω − S̃_{z}(ω)

où

S̃_{z}(ω) = χ′_{z}S_{z}(χ_{z}ω) + χ′_{z}T_{z}(dχ_{z} ∧ ω) − dχ′_{z} ∧ T_{z}(χ_{z}ω)

donc S̃_{z} est borné de L_{−ℓ}^{p}(B(z, ϵ)) dans L_{−ℓ+1}^{p}(B(z, ϵ)), uniformément en z. On pose

S = ∫_{M} S̃_{z} dz.

Alors 1 = S + dT + T d, et S et T sont bornés de L_{−ℓ}^{p}Ω^{∗}(M) dans L_{−ℓ+1}^{p}Ω^{∗}(M). q.e.d.

Corollaire 21 Sur une variété riemannienne à géométrie bornée, les hypothèses 1., 2. et 3. du théorème 2 sont satisfaites pour tout p > 1.

Preuve. Soient S et T les opérateurs fournis par la proposition 20. La relation S = 1 − dT − T d entraîne que dS = Sd. Par définition, L^{p} ⊂ L_{−1}^{p} donc S et T sont bornés sur L^{p}. L’opérateur d est borné de L^{p} dans L_{−1}^{p} donc iT d et Sd sont bornés sur L^{p}. Enfin, comme L_{−1}^{p} est un C^{1}-module, i est borné de L_{−1}^{p} dans lui-même, et T id est borné sur L^{p}. q.e.d.

5.3 Comparaison des normes L^{p} + dL^{p} et L_{−1}^{p}

Définition 22 On note Ω_{−1}^{∗,p}(M) l’espace des formes différentielles qui sont dans L_{−1}^{p} ainsi que leur différentielle extérieure, muni de la norme

∥ ω ∥_{Ω_{−1}^{∗,p}(M)} = (∥ ω ∥_{L_{−1}^{p}(M)}^{p} + ∥ dω ∥_{L_{−1}^{p}(M)}^{p})^{1/p}.

Proposition 23 Soit M une variété riemannienne de dimension n à géométrie bornée. Alors les normes de L^{p} + dL^{p} et de Ω_{−1}^{∗,p}(M) sont équivalentes.

Preuve. Par construction, L^{p} +dL^{p} ⊂ L_{−1}^{p} et L^{p} +dL^{p} est stable par d donc L^{p} +dL^{p} ⊂ Ω_{−1}^{∗,p}. Inversement, soit ω une forme dans L_{−1}^{p}(M) telle que dω ∈ L_{−1}^{p}(M). Utilisons les opérateurs de régularisation de la proposition 20. Alors ω = (S + T d)ω + dT ω où (S + T d)ω ∈ L^{p} et T ω ∈ L^{p}, donc ω ∈ L^{p} + dL^{p}. q.e.d.

Corollaire 24 Soit G un groupe de Lie muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. Une forme différentielle ω sur G est dans L^{p} + dL^{p} si et seulement si les composantes de ω et de dω dans un repère de formes invariantes à gauche sont des fonctions dans L_{−1}^{p}(G).

Preuve. Combiner les propositions 17 et 23. q.e.d.

Remarque. En degré maximum, les normes L^{p} + dL^{p} et L_{−1}^{p} sont non seulement équivalentes, mais elles coïncident.

Proposition 25 Soit M une variété riemannienne compacte (éventuellement avec bord) de dimension n. Si ω est une n-forme sur M,

∥ ω ∥_{L_{−1}^{p}(M)} = ∥ ω ∥_{(L^{p}+dL^{p})(M)}.

Preuve. Soit ω une n-forme différentielle sur M. L’inégalité

∥ ω ∥_{L_{−1}^{p}(M)} ≤ ∥ ω ∥_{(L^{p}+dL^{p})(M)}

résulte de la définition.

Notons E ⊂ L_{1}^{p′}(B) l’adhérence du sous-espace des fonctions lisses à support compact. Par définition, ∥ ω ∥_{L_{−1}^{p}(B)} est la borne supérieure sur la boule unité de E de la forme

linéaire u ↦ ∫ uω. Par uniforme convexité de la norme L^{p′}, cette borne supérieure est atteint en une unique fonction u de norme 1. Celle-ci satisfait l’équation différentielle suivante. Il existe un multiplicateur de Lagrange λ ∈ R tel que, pour tout fonction lisse v nulle au bord de M,

∫_{M} p′u^{p′−1}vω_{0} + p′|du|^{p−2} ∗ du ∧ dv − λvω = 0

où ω_{0} est l’élément de volume riemannien. En faisant v = u, on trouve en particulier

λ ∫_{M} uω = p′∥ u ∥_{L_{1}^{p′}(M)}^{p′} = p′

donc λ ≠ 0. Une intégration par parties donne

∫_{M} v(p′u^{p′−1}ω_{0} + d(p′|du|^{p−2} ∗ du) − λω) = 0,

i.e. p′u^{p′−1}ω_{0} + d(p′|du|^{p−2} ∗ du) − λω ≡ 0.

Posons β = p′/λu^{p′−1}ω_{0} et γ = p′/λ|du|^{p−2} ∗ du. Alors β ∈ L^{p}, γ ∈ L^{p}, ω = β + dγ et

∥ β ∥_{L^{p}(B)}^{p} + ∥ γ ∥_{L^{p}(M)}^{p} = (p′/λ)^{p}∥ u ∥_{L_{1}^{p′}(M)}^{p′} = (p′/λ)^{p} = (∫_{M} uω)^{p}.

On conclut que ∥ ω ∥_{L_{−1}^{p}(M)} = ∥ ω ∥_{(L^{p}+dL^{p})(M)}. q.e.d.

Corollaire 26 Soit B la boule unité d’un groupe de Lie M. On se donne une base (ξ_{1}, ⋯, ξ_{n}) de champs de vecteurs invariants à gauche. Soit u une fonction sur B. Sa norme L_{−1}^{p} est (équivalente à) la borne inférieure des expressions

∑_{j=1}^{n} ∥ v_{j} ∥_{L^{p}(B)}

sur les n-uplets de fonctions (v_{1}, …, v_{n}) telles que v = ∑ ξ_{j}v_{j}.

6 Norme L^{p} + dL^{p} sur les 1-formes fermées

La norme L^{p} + dL^{p} de la différentielle d’une fonction a une expression simple (lemme 28). On en tire une expression assez explicite pour la norme de l’espace B^{1,p} d’un produit semi-direct (corollaire 30).

Lemme 27 Soit u une fonction sur la boule unité B de R^{n}. Alors

∥ du ∥_{(L^{p}+dL^{p})(B)} ∼ inf{∥ u − a ∥_{L^{p}(B)} ; a ∈ R}.

Preuve. D’après l’inégalité de Poincaré, il existe une constante telle que pour toute fonction v ∈ L_{1}^{p}(B), il existe une constante m_{v} (dépendant de v) telle que ∥ v − m_{v} ∥_{L^{p}(B)} ≤ const.∥ dv ∥_{L^{p}(B)}.

Soient β et γ des formes différentielles sur B telles que β + dγ = du. Alors γ est une fonction, β une 1-forme fermée L^{p} donc il existe une fonction v ∈ L_{1}^{p}(B) telle que β = dv. Alors il existe une constante m_{v} telle que

∥ β ∥_{L^{p}(B)}^{p} + ∥ γ ∥_{L^{p}(B)}^{p} ≥ const.∥ v − m_{v} ∥_{L^{p}(B)}^{p} + ∥ γ ∥_{L^{p}(B)}^{p}
≥ const.∥ v − m_{v} + γ ∥_{L^{p}(B)}^{p}
= const.∥ u − a ∥_{L^{p}(B)}^{p}

où a est le réel tel que v−m_{v} +γ = u−a. Il existe car par construction d(v−m_{v} +γ) = du.

Inversement, soit a ∈ R. Alors posant β = 0 et γ = u − a, on a β + dγ = du et ∥ β ∥_{L^{p}(B)}^{p} + ∥ γ ∥_{L^{p}(B)}^{p} = ∥ u − a ∥_{L^{p}(B)}^{p}. qed

Lemme 28 Soit u une fonction sur la boule unité B de R^{n}. Alors à des constantes près,

∥ du ∥_{L^{p}+dL^{p}(B)} ∼ (∫_{B×B} |u(x) − u(y)|^{p} dx dy)^{1/p}.

Preuve. D’après le lemme 27, il existe une fonction v sur B telle que du = dv et

∥ du ∥_{L^{p}+dL^{p}(B)} ∼ ∥ v ∥_{L^{p}(B)}.

Soit w la fonction obtenue en retranchant à v sa valeur moyenne sur B. Comme | ∫_{B} v| ≤

∥ v ∥_{L^{p}(B)}, on a ∥ w ∥_{L^{p}(B)} ≤ 2∥ v ∥_{L^{p}(B)}. Comme dw = du, ∥ w ∥_{L^{p}(B)} ≥ ∥ u ∥_{L^{p}+dL^{p}(B)}. Autrement dit, il existe une fonction w de moyenne nulle sur B telle que dw = du et

∥ du ∥_{L^{p}+dL^{p}(B)} ∼ ∥ w ∥_{L^{p}(B)}.

Clairement

(∫_{B×B} |u(x) − u(y)|^{p} dx dy)^{1/p} = (∫_{B×B} |w(x) − w(y)|^{p} dx dy)^{1/p}
= ∥ w(x) − w(y) ∥_{L^{p}(B×B)}
≤ ∥ w(x) ∥_{L^{p}(B×B)} + ∥ w(y) ∥_{L^{p}(B×B)}
≤ const.∥ w ∥_{L^{p}(B)}.

Inversement, comme ∫_{B} w(y) dy = 0,

∫_{B} w(x)^{p}dx = ∫_{B}(∫_{B}(w(x) − w(y)) dy)^{p}dx
≤ ∫_{B×B} |w(x) − w(y)|^{p}dx dy
= ∫_{B×B} |u(x) − u(y)|^{p} dx dy

par Hölder. On a donc bien

∥ du ∥_{L^{p}+dL^{p}(B)} ∼ (∫_{B×B} |u(x) − u(y)|^{p} dx dy)^{1/p}. q.e.d.

Corollaire 29 Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. Soit u une fonction sur M telle que du ∈ L_{−1}^{p}. Alors

∥ du ∥_{L^{p}+dL^{p}} ∼ ∥ du ∥_{L_{−1}^{p}} ∼ (∫_{M×M} |u(x) − u(y)|^{p}ψ(x, y) dx dy)^{1/p}

où ψ(x, y) = volB(x, ϵ) ∩ B(y, ϵ).

Preuve. La proposition 23 donne pour les formes fermées l’équivalence des normes L^{p} + dL^{p} et L_{−1}^{p} dans chaque boule de rayon ϵ. En intégrant par rapport aux centres, on obtient

∥ du ∥_{L_{−1}^{p}} ∼ (∫_{M×M} |u(x) − u(y)|^{p}ψ(x, y) dx dy)^{1/p}.

La proposition 23 donne enfin l’équivalence des normes globales. q.e.d.

Corollaire 30 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct. Soit u une fonction sur H telle que du ∈ B^{1,p}(M, ξ) où ξ est le champ invariant à gauche \frac{∂}{∂t}. Alors

∥ du ∥_{B^{1,p}} ∼ (∫_{H×H} |u(h) − u(h′)|^{p}κ(h^{−1}h′) dh dh′)^{1/p}

où κ est une fonction positive sur H telle que κ ∘ e^{tα} = e^{−2ht}κ.

Preuve. Si x = (t, h) et y = (t′, h′) ∈ G, on réécrit l’intégrale du corollaire 29

∫_{G×G} |u(x) − u(y)|^{p}ψ(x, y) dx dy = ∫_{H×H} |u(h) − u(h′)|^{p}κ(h, h′) dh dh′

où

κ(h, h′) = ∫_{R×R} ψ((h, t), (h′, t′))e^{tr(α)(t+t′)} dt dt′.

L’invariance de ψ par les translations à gauche de G se traduit d’une part par l’invariance de κ (ce qui permet d’écrire κ(h, h′) = κ(h^{−1}h′)) et d’autre part, par l’homogénéïté annoncée sous le groupe e^{tα}. q.e.d.

7 Restrictions sur les formes basiques

A l’exception du degré 1 (voir en sections 6 et 11), ou du cas de l’espace hyperbolique réel (voir en 8.2), on ne sait pas calculer complètement les espaces B^{k,p}(M). Néanmoins, on va montrer que dans certains cas, certaines composantes d’une forme de B^{k,p}(M) sont automatiquement nulles.

7.1 Deux mécanismes

Exemple. Soit G = R×_{α} R^{2} le produit semi-direct défini par la matrice α = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ).

Notons π : G → H la projection. Soit β = a dx + b dy une 1-forme différentielle non nulle sur H. Alors ϕ = π^{∗}β n’est jamais dans L^{2}. En effet, notons β_{+} = a dx et β_{−} = b dy. Il vient

∥ ϕ ∥_{L^{2}(G)}^{2} ∼ ∫_{R}(∥ β_{+} ∥_{L^{2}(R^{2})}^{2}e^{3t} + ∥ β_{−} ∥_{L^{2}(R^{2})}^{2}e^{−3t}) dt

donc

ϕ ∈ L^{2}(R_{+} × R^{2}) ⇒ β_{+} = 0, ϕ ∈ L^{2}(R_{−} × R^{2}) ⇒ β_{−} = 0.

La condition π^{∗}β ∈ (L^{2} + dL^{2})(R_{±} × R^{2}) impose aussi une restriction, plus faible, sur les composantes de β. On écrit π^{∗}β = ω + dψ où ω et ψ sont dans L^{2}(R_{+} × R^{2}). On décompose encore ω = a_{t} + dt ∧ b_{t} et ψ = e_{t}, où les a_{t} sont des 1-formes et les b_{t} et e_{t} des fonctions sur R^{2}. Alors ∥ a_{+,t} ∥ + ∥ e_{t} ∥ est dans L^{2}(R_{+}, e^{3t}dt). Par conséquent il existe une suite t_{j} tendant vers −∞ telle que a_{−,t_{j}} et e_{t_{j}} tendent vers 0. D’autre part, pour tout t,

β = a_{t} + de_{t} = a_{+,t} + a_{−,t} + de_{t}

donc β = lim a_{−,t_{j}} dans L_{−1}^{2}(R^{2}), donc β_{+} = 0.

Supposons maintenant que π^{∗}β ∈ (L^{2} + dL^{2})(R_{−} × R^{2}). On trouve que ∥ a_{−,t} ∥ est dans L^{2}(R_{−}, e^{−3t}dt) donc tend vers 0 (quitte à prendre une sous-suite t_{j}). Il vient β = lim a_{+,t_{j}} +de_{t_{j}} dans L_{−1}^{2}(R^{2}). On conclut seulement que β_{−} est dans l’adhérence L_{−1}^{2} de l’image de d_{−} = \frac{∂}{∂x}, ce qui ne dit rien.

Montrons comment un second mecanisme permet de déduire de cette annulation partielle l’annulation de la cohomologie L^{2}. On sait qu’une 1-forme β sur R^{2} telle que π^{∗}β ∈ B^{1,2}(G, ξ) est nécessairement de la forme b dy. Si de plus dβ = 0, alors la fonction b ne dépend pas de x, i.e. β est invariante par translation le long de l’axe des x. Or la norme L^{2} +dL^{2} de π^{∗}β est une intégrale sur R^{2} d’une quantité qui est elle aussi invariante par translation le long de l’axe des x. On conclut que cette norme est nulle. Comme B^{1,2}(G, ξ) = 0 et ξ est (0, 2)-Anosov, le théorème 2 donne que H^{1,2}(G) = 0.

7.2 Cas général : exposants non critiques

Définition 31 Soit E un fibré sur une variété M. On note Γ(E) l’espace vectoriel topologique des sections de E à coefficients distributions. Lorsque M = G est un groupe de Lie et E un fibré invariant à gauche sur G, on confondra parfois dans la notation le fibré E et sa fibre au-dessus de l’élément neutre.

Proposition 32 Soit M une variété riemannienne complète. Soit ξ un champ de vecteurs unitaire (k − 1, p)-Anosov et (k, p)-Anosov sur M. On suppose qu’il existe une 1-forme fermée dt invariante par ξ et telle que dt(ξ) = 1. Pour j = k − 1, k, on note Λ_{−}^{j} ⊕ Λ_{−}^{j} la décomposition (j, p)-Anosov de ker ι_{ξ}. Soit ω une k-forme différentielle sur M annulée par ι_{ξ} et invariante par le flot de ξ, à coefficients dans L_{−1}^{p}(M). Alors

ω ∈ \overline{Γ(Λ_{+(p)}^{k}) + dΓ(Λ_{+(p)}^{k−1})} ∩ \overline{Γ(Λ_{−(p)}^{k}) + dΓ(Λ_{−(p)}^{k−1})},

où l’adhérence est prise au sens des distributions. En particulier, avec les notations de 12,

B^{k,p}(M, ξ) ⊂ \overline{Γ(Λ_{+(p)}^{k}) + dΓ(Λ_{+(p)}^{k−1})} ∩ \overline{Γ(Λ_{−(p)}^{k}) + dΓ(Λ_{−(p)}^{k−1})}.

Preuve. Soit ω = β + dγ ∈ B^{k,p}(M, ξ) où β et γ sont dans L^{p}. Notons ϕ_{t} le flot de ξ. Ecrivons β = a+dt∧b et γ = e+dt∧f où a, b, e et f sont annulées par ι_{ξ}. Alors ω = a+d_{ν}e où d_{ν} ne garde que la composante annulée par ι_{ξ} de la différentielle extérieure. Comme ξ est (k − 1, p)-Anosov et (k, p)-Anosov, les k − 1-formes et k-formes se décomposent en a = a_{+} + a_{−} et e = e_{+} + e_{−}, de sorte que, lorsque t tend vers +∞, ϕ_{t}^{∗}a_{+} et ϕ_{t}^{∗}e_{+} tendent vers 0 en norme L^{p}. Par conséquent

ω = lim_{t→+∞} ϕ_{t}^{∗}a_{−} + d_{ν}ϕ_{t}^{∗}e_{−}.

en topologie L_{−1}^{p}. Ceci entraîne la convergence des restrictions à presque toute feuille du feuilletage défini par dt. Localement, on peut projeter sur une telle feuille F parallèlement aux orbites de ξ, et tirer en arrière les formes ϕ_{t}^{∗}a_{−} et ϕ_{t}^{∗}e_{−}. On obtient des formes a_{t} et e_{t} définies localement, invariantes par ξ, annulées par ι_{ξ}, à valeurs dans Λ_{−}, et telles que a_{t} + de_{t} converge vers ω lorsque t tend vers +∞. De même, on construit localement des formes a′_{t} et e′_{t} invariantes par ξ, annulées par ι_{ξ}, à valeurs dans Λ_{+}, et telles que a′_{t} + de′_{t} converge vers ω lorsque t tend vers −∞. q.e.d.

Remarque. On trouvera en 36 une réciproque partielle de la proposition 32.

7.3 Cas des groupes de Lie

Pour les champs de vecteurs invariants à gauche sur les groupes de Lie, on peut affaiblir l’hypothèse (k, p)-Anosov, i.e. il n’est pas nécessaire de supposer l’exposant p non critique.

Proposition 33 Soit G un groupe de Lie muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche et soit ξ ∈ G. Soit

ker ι_{ξ} = Λ_{+}^{k} ⊕ Λ_{0}^{k} ⊕ Λ_{−}^{k}

la décomposition de ker ι_{ξ} ⊂ Λ^{k}G^{∗} en sous-espaces caractéristiques correspondant à des valeurs propres de ad_{ξ} de partie réelle strictement supérieure (resp. égale, resp. strictement inférieure) à tr (ad_{ξ})/p. On note β_{+} la composantes d’une forme différentielle β sur Λ_{+}^{k}, et d_{+}β = (dβ)_{+}. Alors pour toute forme ω ∈ B^{k,p}(G, ξ),

ω_{+} ∈ \overline{d_{+}(Γ(Λ_{−}^{k−1}) + Γ(Λ_{0}^{k−1}))}, ω_{−} ∈ \overline{d_{−}(Γ(Λ_{+}^{k−1}) + Γ(Λ_{0}^{k−1}))}

où l’adhérence est dans la topologie L_{−1,loc}^{p}.

Supposons de plus que le groupe à 1 paramètre ϕ : R → G engendré par ξ est injectif et d’image fermée et que ad_{ξ} est semi simple sur Λ_{0}^{k−1}. Alors ω s’annule sur tout vecteur propre de ad_{ξ} dans Λ_{0}^{k} ⊗ C. Supposons enfin que Λ_{−}^{k−1} = Λ_{0}^{k−1} = 0. Alors ω_{0} = 0.

Preuve. On reprend l’argument de la proposition 32. On écrit ω = a + d_{ν}e où a et e sont annulées par ι_{ξ}. On décompose a = a_{+} + a_{0} + a_{−} et e = e_{+} + e_{0} + e_{−}, de sorte que ϕ_{±t}^{∗}a_{±} (resp. ϕ_{±t}^{∗}e_{±} tende vers 0 dans L_{loc}^{p} lorsque t tend vers +∞. Alors

ω = lim_{t→+∞} ϕ_{±t}^{∗}(a_{0} + a_{∓}) + dϕ_{±t}^{∗}(e_{0} + e_{∓}),

ce qui prouve l’énoncé le plus général.

Sous les hypothèses supplémentaires, on montre qu’il existe une suite t_{j} tendant vers +∞ telle que ϕ_{±t_{j}}^{∗}e_{0} tende vers 0 dans L_{loc}^{p}.

Supposons d’abord que ad_{ξ} est semi simple sur Λ_{0}^{k−1}. Alors sur Λ_{0}^{k}, ad_{ξ} − tr (ad_{ξ})/p id est semi-simple à valeurs propres imaginaires pures. Il existe donc une métrique euclidienne sur Λ_{0}^{k−1} pour laquelle ad_{ξ}−tr (ad_{ξ})/p id est antisymétrique. En translatant Λ_{0}^{k−1} à gauche sur G, on trouve un sous-fibré du fibré des k-formes, muni d’une métrique euclidienne multipliée exactement par le facteur J(ϕ_{t})^{1/p} par le flot ϕ_{t}. Par conséquent, il existe des constantes telles que pour tout ouvert U de G et tout t ∈ R,

const.∥ e_{0} ∥_{L^{p}(ϕ_{t}(U))} ≤ ∥ ϕ_{t}^{∗}e_{0} ∥_{L^{p}(U)} ≤ const.∥ e_{0} ∥_{L^{p}(ϕ_{t}(U))}.

Soit η ∈ Λ^{k}G ⊗ C un k − 1-vecteur, vecteur propre de la dérivation ad_{ξ} relatif à une valeur propre μ de partie réelle égale à tr (ad_{ξ})/p. Pour la même raison, la fonction t ↦ e^{−tℜe(μ)}|(ϕ_{t})_{∗}a(η)| est bornée inférieurement sur R.

Par hypothèse, le groupe à un paramètre ϕ_{t} est injectif et fermé dans G. Il existe donc un voisinage U de l’origine dans G dont les translatés à droite par ϕ_{t}, t ∈ Z, sont deux à deux disjoints. Il vient

∑_{t∈Z} ∥ (ϕ_{t}^{∗}a)(η) ∥_{L^{p}(U)}^{p} + ∥ ϕ_{t}^{∗}e_{0} ∥_{L^{p}(U)}^{p} ≤ ∥ a ∥_{L^{p}} + ∥ e ∥_{L^{p}} < +∞

donc il existe une suite t_{j} tendant vers +∞ telle que (ϕ_{±t_{j}}^{∗}a)(η) et ϕ_{±t_{j}}^{∗}e_{0} tendent vers 0 dans L^{p}(U). Ceci prouve que ω(η) = 0, et donc le deuxième énoncé.

Supposons maintenant que Λ_{−}^{k−1} = Λ_{0}^{k−1} = 0. Dans ce cas, ϕ_{t}^{∗}e tend vers 0 exponentiellement dans L^{p} lorsque t tend vers +∞.

Soit η ∈ Λ^{k}G ⊗ C un k − 1-vecteur, vecteur propre de la dérivation ad_{ξ} relatif à une valeur propre μ de partie réelle égale à tr (ad_{ξ})/p. On vient de voir qu’il existe une suite t_{j} telle que (ϕ_{t_{j}}^{∗}a)(η) tende vers 0. En particulier

ω(η) = lim_{j} ϕ_{t_{j}}^{∗}(a + de)(η) = 0.

Ceci s’écrit aussi 0 ≡ ω(η) ≡ a(η) + de(η) donc ϕ_{t}^{∗}a(η) = −d(ϕ_{t}^{∗}e)(η) tend vers 0 exponentiellement dans L_{−1}^{p} lorsque t tend vers +∞.

Soit η′ ∈ ker (ad_{ξ} − μ I)^{2} et η = (ad_{ξ} − μ I)(η′). Alors η est un vecteur propre et

exp(t ad_{ξ})(η′) = e^{tμ}(tη + η′).

On étudie la fonction u_{t} = ϕ_{t}^{∗}a(η′) − tϕ_{t}^{∗}a(η) sur G. On calcule u_{t} = e^{tμ}a(η′) ∘ ϕ_{t} où η′ est vu comme un champ de k-vecteurs invariant à gauche sur G. Pour tout ouvert U,

∥ u_{t} ∥_{L^{p}(U)} = ∥ u_{0} ∥_{L^{p}(ϕ_{t}(U))}.

Par conséquent, il existe une suite t_{j} tendant vers +∞ telle u_{t_{j}} tende vers 0 dans L^{p}. Comme ϕ_{t}^{∗}a(η) tend vers 0 exponentiellement dans L_{−1}^{p}, la suite t_{j}ϕ_{t_{j}}^{∗}a(η) tend vers 0 dans L_{−1}^{p}. On conclut que ϕ_{t_{j}}^{∗}a(η′) tend vers 0 dans L_{−1}^{p}, et donc que ω(η′) = 0. De nouveau, cela entraîne que a(η′) est une composante de de donc converge vers 0 exponentiellement dans L_{−1}^{p}.

De proche en proche, on montre ainsi que ω s’annule sur tout l’espace caractéristique associé à μ. Ceci montre que ω_{0} = 0. q.e.d.

Corollaire 34 Soit G un groupe de Lie muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. Soit ξ ∈ G tel que tr (ad_{ξ}) > 0. Soit ω une 1-forme fermée dans L_{−1}^{p}(G), nulle sur ξ et invariante par le flot de ξ. Alors au sens des distributions ω s’annule sur les espaces caractéristiques de ad_{ξ} dans G correspondant à des valeurs propres de partie réelle inférieure ou égale à tr (ad_{ξ})/p.

Preuve. Comme tr (ad_{ξ}) > 0, le groupe à 1 paramètre engendré par ξ est automatiquement injectif et fermé. De plus, en degré k − 1 = 0, Λ_{−}^{0} = Λ_{0}^{0} = 0. Par conséquent, la proposition 33 s’applique. q.e.d.

8 Exemples d’espaces B^{k,p} non nuls

Dans cette section, on construit des éléments non triviaux de l’espace B^{∗,p}(G, ξ), lorsque G est un produit semi-direct. Dans le cas particulier de l’espace hyperbolique réel, on relie B^{∗,p}(G, ξ) aux espaces de Besov. Les résultats principaux sont le corollaire 36, sorte de réciproque de la proposition 32, et la proposition 37.

8.1 Construction générale

On étudie des produits semi-directs G = R ×_{α} H où α est une dérivation de l’algèbre de Lie H. On note ξ = \frac{∂}{∂t} le champ de vecteurs invariant à gauche sur G, tel que α = ad_{ξ} restreinte à H, π : G → H la projection le long des orbites de ξ et t la fonction sur G définie par g exp(t(g)ξ) ∈ H.

Fixons un réel p > 1. On note Λ_{+}^{∗} (resp. Λ_{0}^{∗}, resp. Λ_{−}^{∗}) la somme des espaces caractéristiques de α dans l’algèbre extérieure Λ^{∗}H^{∗} relatifs aux valeurs propres de partie réelle supérieure (resp. égale, resp. inférieure) à tr (α)/p. Une forme différentielle e sur H se décompose en e = e_{+} + e_{0} + e_{−} et la différentielle extérieure se décompose en d = d_{+} + d_{0} + d_{−}.

Sur un tel produit semi-direct, on peut étendre la définition de l’opérateur B à toutes les valeurs de p. On ignore simplement la composante (iω)_{0}. Alors B est borné sur L^{p}. On pose encore P = 1−dB −Bd. Alors P envoie toujours L^{p} dans L^{p} +dL^{p}, mais iP ≠ 0.

On fixe une fois pour toute une fonction lisse χ sur R telle que χ = 0 au voisinage de +∞ et χ = 1 au voisinage de +∞.

Lemme 35 Soit k = 1, …, n − 1 = dim H. Soit p > 1. Soient e ∈ Ω^{k−1,p}(H) et a ∈ Ω^{k,p}(H) des formes différentielles telles que d_{+}a_{−} = d_{0}a_{−} = d_{−}a_{+} = d_{0}a_{+} = 0. Alors la forme

ω(s, a, e) = ϕ_{s}^{∗}(χ(t)π^{∗}a_{−} + (1 − χ(t))π^{∗}a_{+} + dχ(t) ∧ π^{∗}e)

est dans Ω^{k,p}(G), et

P ω = π^{∗}(d_{−}e_{+} − d_{+}e_{−} + d_{0}e_{+} − de_{0}) + dχ ∧ π^{∗}e_{0} + χπ^{∗}(de_{0} − d_{0}e).

Il existe des constantes positives C, μ et η telles que si s > 0, alors

∥ ω(s, a, e ∥_{L^{p}} ≤ C e^{−ηs}∥ a_{−} + e_{−} ∥_{L^{p}} + C e^{μs}∥ a_{+} + e_{+} + e_{0} ∥_{L^{p}},
∥ dω(s, a, e) ∥_{L^{p}} ≤ C e^{−ηs}∥ d_{−}a_{−} + (a_{−} − d_{−}e) ∥_{L^{p}}
+ C e^{μs}∥ d_{+}a_{+} + (−a_{+} − d_{+}e − d_{0}e) ∥_{L^{p}}.

Si e′ ∈ Ω^{n−k−1,p′}(H) et a′ ∈ Ω^{n−k,p′}(H) satisfont d_{+}a′_{−} = d_{0}a′_{−} = d_{−}a′_{+} = d_{0}a′_{+} = 0, alors

∫_{G} ω(s, a, e) ∧ ω(s′, a′, e′) = ∫_{H}(−1)^{k}a_{+} ∧ e′ + e ∧ a′_{−} si s′ >> s;
= ∫_{H}(−1)^{k}a_{−} ∧ e′ + e ∧ a′_{+} si s′ << s.

Preuve. Comme ∥ ϕ_{t}^{∗}a_{−} ∥_{L^{p}} tend vers 0 exponentiellement quand t tend vers +∞, la forme χ(t)π^{∗}a_{−} est dans L^{p}. De même, (1 − χ(t))π^{∗}a_{+}∈ L^{p}. Comme dχ est à support compact, dχ ∧ e est dans L^{p} sans condition sur e.

On calcule dω = χπ^{∗}da_{−} + (1 − χ)π^{∗}da_{+} + dχ ∧ π^{∗}(a_{−} − a_{+} − de) qui est dans L^{p} car da_{−} ∈ Λ_{−}^{k+1} et da_{+} ∈ Λ_{+}^{k+1}.

On calcule

Bω = χ(t)π^{∗}e_{−} − (1 − χ(t))π^{∗}e_{+},
Bdω = χ(t)π^{∗}(a_{−} − d_{−}e) − (1 − χ(t))π^{∗}(−a_{+} − d_{+}e)

et enfin

P ω = dχ ∧ π^{∗}e_{0} + χπ^{∗}(d_{−}e − de_{−}) − (1 − χ)π^{∗}(d_{+}e − de_{+})
= π^{∗}(d_{−}e_{+} − d_{+}e_{−} + d_{0}e_{+} − de_{0}) + dχ ∧ π^{∗}e_{0} + χπ^{∗}(de_{0} − d_{0}e).

Transporter par le flot ϕ_{s} ne fait que changer χ en χ_{s} : t ↦ χ(t+s) et change pas l’image par P. En revanche, cela fait décroître exponentiellement les normes L^{p} des composantes de ω et dω dans Λ_{−}^{∗} et croître au plus exponentiellement les autres composantes.

On calcule

∫_{G} ω(s, a, e) ∧ ω(s′, a′, e′) =
∫_{R} χ_{s} dχ_{s′} ∫_{H}(−1)^{k}a_{−} ∧ e′ + ∫_{R}(1 − χ_{s}) dχ_{s′} ∫_{H}(−1)^{k}a_{+} ∧ e′
+ ∫_{R} χ_{s′} dχ_{s} ∫_{H} e ∧ a′_{−} + ∫_{R}(1 − χ_{s′}) dχ_{s} ∫_{H} e ∧ a′_{+}.

Lorsque s′ >> s, la fonction χ_{s} vaut 1 sur le support de χ_{s′}, donc ∫_{R} χ_{s} dχ_{s′} = 1 et

∫_{R}(1 − χ_{s}) dχ_{s′} = 0. Au contraire, lorsque s′ << s, χ_{s}χ′_{s′} ≡ 0 donc l’intégrale est nulle.

C’est ainsi que suivant les valeurs relatives de s et s′, on peut faire apparaître a_{±} ∧ e′ ou e ∧ a′_{±} dans l’intégrale. q.e.d.

Corollaire 36 Soit p > 1. Soit e ∈ Ω^{k−1,p}(H) une forme différentielle telle que e_{0} = 0, et d_{0}e_{+} = d_{0}e_{−} = 0. Alors π^{∗}(d_{+}e_{−} − d_{−}e_{+}) ∈ B^{k,p}(G, ξ).

8.2 L’espace hyperbolique réel

Il est isométrique au produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1} où α est l’identité. Pour chaque p > 1 fixé, l’espace B^{k,p} est nul sauf pour au plus une valeur de k. En effet,

\frac{n − 1}{p} ≤ k − 1 ⇒ Λ_{−}^{k−1} = Λ_{−}^{k} = 0, \frac{n − 1}{p} ≥ k ⇒ Λ_{+}^{k−1} = Λ_{+}^{k} = 0.

Par conséquent, si p ≤ n − 1/k ou p > n − 1/k − 1, H^{k,p}(G) = 0.

L’exposant p = n − 1/k − 1 est critique en degré k − 1, et le théorème 2 ne donne rien. On verra en 100 que R^{k,p}(M) = 0 et T^{k,p}(M) ≠ 0 dans ce cas.

Si \frac{n−1}{k} < p < \frac{n−1}{k−1}, H^{k,p}(G) = B^{k,p} est non nul. En effet, Λ_{+}^{k−1} et Λ_{−}^{k} sont nuls, donc pour toute k − 1-forme e sur H = R^{n−1}, e_{+} = 0 et d_{−}e = 0 donc d_{+}e_{−} − d_{−}e_{+} = de. Du corollaire 36, il résulte que B^{k,p} contient toutes les différentielles de formes L^{p}. De la proposition 32, il résulte que les différentielles de formes L^{p} sont denses au sens des distributions dans B^{k,p}.

Proposition 37 Supposons que \frac{n−1}{k} < p < \frac{n−1}{k−1}. Une k-forme sur R^{n−1} est dans B^{k,p} si et seulement si, une fois transportée sur la sphère S^{n−1} par projection stéréographique,

elle est exacte et ses coefficients sont dans l’espace de Besov B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (S^{n−1}).

Corollaire 38 Pour chaque k = 1, …, n − 1, et p tel que \frac{n−1}{k} < p < \frac{n−1}{k−1}, il existe sur

l’espace des k-formes fermées à composantes dans B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (S^{n−1}) une norme équivalente qui est invariante par le groupe P O(n, 1).

Rappelons une des caractérisations des espaces de Besov sur R^{n−1}, voir [T] page 58. Soit κ une fonction lisse sur R^{n−1}, à support compact. Si u est une fonction sur R^{n−1},

et si τ ∈ [0, 1], on note

κ(τ, u)(x) = ∫_{R^{n−1}} u(x + τy)κ(y) dy.

Soit s un réel et p ≥ 1, q ≥ 1, a > 0. Soit κ_{0} une fonction lisse sur R^{n−1}, à support compact, d’intégrale non nulle. Il existe une famille S de codimension finie de noyaux κ telle que la norme de l’espace de Besov B_{p,q}^{s} soit équivalente à

u ↦ ∥ κ_{0}(1, u) ∥_{L^{p}} + (∫_{0}^{a} τ^{−sq}∥ κ(τ, u) ∥_{L^{p}}^{q} \frac{dτ}{τ})^{1/q}.

pour κ ∈ S.

Si U est un ouvert borné de R^{n−1}, à bord lisse, l’espace B_{p,q}^{s}(U) est formé des restrictions à U des fonctions de B_{p,q}^{s}(R^{n−1}). Les espaces de Besov ainsi définis sont invariants par difféomorphismes, donc on peut parler de fonction B_{p,q}^{s} au voisinage d’un point dans une variété. Si M est une variété compacte, une fonction est dans B_{p,q}^{s}(M) si elle est B_{p,q}^{s} au voisinage de tout point.

Dans les paragraphes suivants, on donne d’abord une définition plus souple des espaces B^{∗,p}, comme valeurs au bord de formes fermées L^{p}. Puis on montre que localement (au voisinage de chaque point du bord à l’infini) les espaces B^{∗,p} coïncident avec des espaces de Besov. La preuve de la proposition 37 s’achève au paragraphe 8.6 par un passage du local au global.

8.3 Valeur au bord

Dans ce paragraphe, on va donner une caractérisation plus souple des espaces B^{∗,p}. Il s’agit de se débarrasser de l’opérateur P, qui dépend d’un choix de coordonnées.

On utilise les deux modèles de l’espace hyperbolique, le demi-espace supérieur R_{+}^{n} = {x_{n} > 0} et la boule D = {x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} < 1}. Ils se correspondent via le difféomorphisme

Φ : R_{+}^{n} → D, z ↦ 2\frac{z − e_{n}}{|z − e_{n}|} − e_{n},

où e_{n} est le vecteur de coordonnées (0, 0, …, 1). Ce difféomorphisme se prolonge au bord en une projection stéréographique de R^{n−1} = ∂\overline{R_{+}^{n}} sur S^{n−1} \ \{e_{n}\} = ∂\overline{D} \ \{e_{n}\}. Le groupe G = R ×_{α} R^{n−1} agit sur le demi-espace supérieur par

g = (t, x), z ↦ (e^{t}z_{1} + x_{1}, …, e^{t}z_{n−1} + x_{n−1}, e^{t}z_{n}).

en respectant la métrique hyperbolique (z_{n})^{−2}(dz_{1}^{2} +⋯+dz_{n}^{2}), donc sur la boule, en fixant le point e_{n} et en respectant la métrique (1 − (z_{1}^{2} + ⋯ + z_{n}^{2}))^{−2}(dz_{1}^{2} + ⋯ + dz_{n}^{2}).

Remarque. Fixons p ∈]\frac{n−1}{k}, \frac{n−1}{k−1}[. Si ω′ est une n − k-forme lisse sur la boule fermée \overline{D}, alors ω′ est automatiquement L^{p′} relativement à la métrique hyperbolique. Par conséquent, si ψ est une n − 1 − k-forme lisse sur la boule fermée \overline{D}, et si ω est une k-forme fermée L^{p} sur l’espace hyperbolique, l’intégrale ∫_{D} dψ ∧ ω a un sens mais elle n’est pas nulle en général.

Définition 39 Version globale. Soit ω une forme différentielle fermée sur la boule D, L^{p} pour la métrique hyperbolique, et e une forme différentielle sur le bord ∂D = S^{n−1}. On dit que e est une valeur au bord pour ω si pour toute forme lisse ψ sur la boule fermée \overline{D},

∫_{D} dψ ∧ ω = ∫_{∂D} ψ ∧ e.

Version locale. Si \overline{V} est un ouvert de la boule fermée \overline{D}, ω une forme fermée L^{p} sur V = \overline{V} ∩ D et e une forme sur U = \overline{V} ∩ ∂D, on demande que

∫_{D} dψ ∧ ω = ∫_{∂D} ψ ∧ e.

seulement pour les formes ψ à support compact dans \overline{V}.

Remarque. Si ω admet une valeur au bord, celle-ci est unique.

Si ω admet une valeur au bord e′ globalement sur la sphère, alors celle-ci est exacte. En effet, c’est automatique si k < n − 1. Si k = n − 1, on choisit la fonction constante ψ = 1 comme fonction test, et il vient ∫_{S^{n−1}} e′ = 0.

La prise de valeur au bord est invariante par difféomorphismes. Par transport par Φ, on peut parler de valeur au bord dans le demi-espace R_{+}^{n}.

Lemme 40 Soit M une variété riemannienne complète. L’intégration des formes lisses à support compact

ω, ω′ ↦ ∫_{M} ω ∧ ω′

se prolonge par continuité à (L^{p} + dL^{p}) ⊗ Ω^{∗,p′} de même que la formule de Stokes

∫_{M} dω ∧ ω′ + (−1)^{k}ω ∧ dω′ = 0.

Preuve. En effet, les formes lisses à support compact sont denses dans Ω^{∗,p′} ainsi que dans L^{p} + dL^{p}. q.e.d.

Lemme 41 Soit ω une forme différentielle fermée et L^{p} sur l’espace hyperbolique vu comme le demi-espace supérieur. Soit e la forme différentielle sur R^{n−1} telle que P ω = π^{∗}e. Alors e est une valeur au bord pour ω au sens du demi-espace.

Preuve. Soit ψ une n − k − 1-forme lisse à support compact dans le demi-espace fermé \overline{R_{+}^{n}}. Comme dω = 0, ω = P ω + dBω. Comme Bω ∈ L^{p}, Bω et dBω sont dans L^{p} + dL^{p}.

D’autre part, dψ ∈ L^{p′}, donc le lemme 40 s’applique et ∫ dψ ∧ dBω = 0. Soit χ une

fonction qui ne dépend que de z_{n}, vaut 0 au voisinage de {z_{n} = 0} et 1 hors d’un petit voisinage de {z_{n} = 0}. Alors la forme χψ est à support compact. Comme P ω ∈ Λ^{p} + dL^{p}

et dP ω = 0, le lemme 40 s’applique et ∫ d(χψ) ∧ P ω = 0. On conclut que

∫ dχ ∧ ψ ∧ P ω + ∫ χdψ ∧ P ω = 0

Le second terme converge vers ∫ dψ ∧ P ω = ∫ dψ ∧ ω lorsque le support de 1 − χ grandit. Comme P ω = π^{∗}e et ψ est continue jusqu’au bord, le second terme converge vers ∫_{R} dχ ∫_{R^{n−1}} ψ ∧ e. q.e.d.

Lemme 42 Soit K une fonction lisse et à support compact sur le groupe G telle que ∫_{G} K(r) dr = 1. L’opérateur de convolution des formes différentielles avec le noyau K est encore noté

K : ω ↦ ∫_{G} R_{g}^{∗}ω K(g) dg.

Cet opérateur commute avec la valeur au bord, i.e. e est la valeur au bord de K(π^{∗}e). En particulier, si e ∈ B^{∗,p}, P K(π^{∗}e) = π^{∗}e.

Preuve. Par dualité, il suffit de vérifier que l’opérateur adjoint K^{∗} (qui est associé au noyau g ↦ K(g^{−1}) d(g^{−1})/dg) préserve la restriction au bord, au sens ordinaire, des formes ψ lisses et à support compact dans le demi-espace fermé. Or du point de vue euclidien, il s’agit de faire des moyennes avec un noyau d’intégrale 1 et de support dont le diamètre tend vers 0 lorsqu’on se rapproche du bord. Ces moyennes convergent vers l’identité. q.e.d.

8.4 Version locale des espaces B^{∗,p}

Définition 43 Soit U un ouvert de R^{n−1}. On note B^{k,p}(U) l’espace des k-formes différentielles fermées e sur U telles qu’il existe un voisinage U′ de \overline{U}, un réel a et une k-forme différentielle fermée ω sur l’ouvert ]a, +∞[×U′ du groupe de Lie G = R×_{α} R^{n−1}, L^{p} pour une métrique invariante à gauche sur G, telle que P ω = π^{∗}e sur ]a, +∞[×U.

On va comparer B^{k,p}(U), non pas à un espace de formes fermées à composantes dans B_{p,p}^{s}(U), mais à une variante. C’est un détail technique.

Définition 44 Soit U un ouvert de R^{n−1}, soit s ∈ R, p > 1. On note Z_{p,p}^{k,s}(U) l’espace des k-formes différentielles fermées e sur U telles qu’il existe un voisinage U′ de \overline{U} et une k-forme différentielle fermée e′ ∈ B_{p,p}^{s}(U′) qui prolonge e.

Remarque. Il est vraisemblable que Z_{p,p}^{k,s}(U) coïncide avec l’espace des k-formes fermées à composantes dans B_{p,p}^{s}(U). Nous n’aurons pas besoin de rentrer dans cette subtilité, puisque l’objectif est de travailler avec des formes fermées définies globalement sur la sphère.

Lemme 45 Soit U un ouvert borné de R^{n−1}. Une k-forme sur U est dans B^{k,p}(U) si et

seulement si elle est dans Z_{p,p}^{k,−k+ \frac{n−1}{p}} (U).

Preuve. Etant donné κ ∈ S, on construit aisément une fonction lisse K à support compact sur le groupe G = R ×_{α} R^{n−1} telle que

κ(x) = ∫_{R} K(t, x)e^{(k−n+1)t} dt.

On peut aisément réaliser, en plus de cette égalité, la condition

∫ K(t, x)e^{(n−1)t} dt dx = 1.

L’opérateur de convolution K commute avec les translations à gauche et est donc borné de L_{−1}^{p} dans L^{p}.

D’après le corollaire 24, une k-forme fermée sur R^{n−1} est dans B^{k,p} si est seulement si ses composantes sont dans l’espace fonctionnel F défini comme suit

u ∈ F ⇔ e^{kt}π^{∗}u ∈ L_{−1}^{p}(G).

En effet, la forme e^{−kt}π^{∗} dx_{1} ∧ … ∧ dx_{k} est fermée et invariante à gauche sur le groupe G. La même caractérisation s’applique à la version locale B^{k,p}(U), car la définition s’affranchit des effets de bord.

Soit u une fonction sur R^{n−1}. On vérifie que pour tout (t, x) ∈ G,

K(e^{kt}π^{∗}u)(t, x) = e^{kt}κ(e^{−t}, u)(x).

Par définition,

K(e^{kt}π^{∗}u)(t, x) = ∫_{G} e^{k(t+t′)}π^{∗}u(R_{(t′,x′)}(t, x))K(t′, x′)e^{−(n−1)t′} dt′ dx′
= e^{kt} ∫_{R×R^{n−1}} u(x + x′e^{t}x′)K(t′, x′)e^{(k−n+1)t′} dt′ dx′
= e^{kt} ∫_{R^{n−1}} u(x + e^{t}x′)κ(x′) dx′
= e^{kt}κ(e^{t}, u)(x)

Avec le changement de variable τ = e^{t}, il vient

∥ K(e^{kt}π^{∗}u) ∥_{L^{p}(G)} = (∫_{0}^{+∞} τ^{kp−n+1}∥ κ(τ, u) ∥_{L^{p}(R^{n−1})}^{p} \frac{dτ}{τ})^{1/p},

et plus généralement, étant donné a ∈ R et un ouvert U ⊂ R^{n−1},

∥ K(e^{kt}π^{∗}u) ∥_{L^{p}(]a,+∞[×U)} ≤ (∫_{0}^{e^{−a}} τ^{kp−n+1}∥ κ(τ, u) ∥_{L^{p}(U^{a})}^{p} \frac{dτ}{τ})^{1/p},

où U^{a} = {x + e^{−a}λx′ | x, x′ ∈ U} et λ dépend du support du noyau K.

Soit e ∈ B^{k,p}(U). Alors il existe un réel a, un voisinage U′ de \overline{U}, une forme fermée e′ sur U′ prolongeant e et une forme fermée ω ∈ L^{p}(]a, +∞[×U′) telle que P ω = π^{∗}e′. Comme l’opérateur P est borné de L^{p} dans L_{−1}^{p} et K est borné de L_{−1}^{p} dans L^{p}, KP (ω) = K(π^{∗}e′) est dans L^{p}(]a, +∞[×U′). Si u′ est une composante de e′, alors K(e^{kt}π^{∗}u′) est une

composante de K(π^{∗}e′), donc dans L^{p}(]a, +∞[×U′). Autrement dit, u′ ∈ B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (U).

Ceci prouve que e ∈ Z_{p,p}^{k,−k+ \frac{n−1}{p}} (U).

Inversement, soit e ∈ Z_{p,p}^{k,−k+ \frac{n−1}{p}} (U). Alors il existe un voisinage U′ de \overline{U} et une k-forme

fermée e′ sur U′ dont les composantes sont dans B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (U′). On pose ω = K(π^{∗}e′). Comme U′ est compact, cette convolution est bien définie dans un ouvert de la forme ]a, +∞[×U′′ et est L^{p} pour la métrique hyperbolique (l’une des métriques invariantes à gauche sur le groupe G). Comme K commute avec la différentielle, ω est fermée. L’identité P ω = π^{∗}e′ résulte du lemme 42. Elle montre que e ∈ B^{k,p}(U). q.e.d.

8.5 L’opérateur P′ adapté au modèle de la boule de Poincaré

On utilise les coordonnées polaires euclidiennes r ∈ [0, 1[, θ ∈ S^{n−1} dans la boule D. On note

ξ′ = (1 − r^{2})\frac{∂}{∂r}

le gradient de la distance hyperbolique à l’origine. C’est un champ de vecteurs unitaire, singulier à l’origine. Son flot ϕ′_{t} est défini pour tout t ≥ 0. Il est (k − 1, p)-dilatant pour chaque k et p tels que n − 1 − (k − 1)p < 0. Comme en 2.3, on peut définir l’opérateur B^{′+}

B^{′+}ω = − ∫_{0}^{+∞}(ϕ′_{t})^{∗}ι_{ξ′}ω dt

puis P′ = 1 − dB^{′+} sur les k-formes fermées. Alors B^{′+} est borné sur L^{p}, dP′ = 0, ι_{ξ′}P′ = 0. Si ω est fermée et L^{p}, la forme P′ω ne dépend pas de r, elle est de la forme

P′ω = π^{′∗}e′

où e′ est une k-forme fermée sur la sphère S^{n−1} et π′ : D \ {0} → S^{n−1} est la projection radiale. Cette construction se localise au-dessus d’un ouvert U de S^{n−1}. Par conséquent,

Lemme 46 Soit U un ouvert de S^{n−1} et V = π^{′−1}(U). Soit ω une forme fermée sur V qui est L^{p} pour la métrique hyperbolique. Si P′ω = 0, alors il existe une forme β sur V telle que β et dβ sont L^{p} pour la métrique hyperbolique, et telle que dβ = ω.

L’argument du lemme 41 s’étend sans changement au cas de la boule.

Lemme 47 Soit ω une forme fermée sur la boule D qui est L^{p} pour la métrique hyperbolique. Soit e′ la forme différentielle sur S^{n−1} telle que P′ω = π^{′∗}e′. Alors e′ est une valeur au bord pour ω au sens de la boule.

Lemme 48 Notons Φ : R^{n−1} → S^{n−1} la projection stéréographique. Soit ω une k-forme fermée L^{p} sur l’espace hyperbolique, soit e (resp. e′) sa valeur au bord sur R^{n−1} (resp. S^{n−1}). Alors e = Φ^{∗}e′. En particulier, e est exacte.

Preuve. En composant avec Φ les formes lisses sur la boule fermée \overline{D}, nulles au voisinage du point e_{n}, on obtient toutes les formes test du demi-espace. Par conséquent Φ^{∗}e′ est une valeur au bord de ω. Par unicité, Φ^{∗}e′ = e. q.e.d.

Corollaire 49 Tout élément du groupe de Möbius envoie l’espace B^{k,p} dans lui-même.

Preuve. Le groupe de Möbius est le groupe des isométries de l’espace hyperbolique, vu comme groupe de transformations (définies sauf en au plus un point) de R^{n−1}.

L’espace B^{k,p} est par définition l’ensemble des formes e sur R^{n−1} telles que π^{∗}e est dans l’image de P. D’après les lemmes 41 et 48, c’est aussi l’espace des valeurs au bord de formes fermées L^{p}. Or l’opération de prise de la valeur au bord est invariante par les difféomorphismes de \overline{D}, et le groupe des isométries agit par difféomorphismes de la boule fermée. q.e.d.

8.6 Preuve de la proposition 37

Soit e une k-forme sur R^{n−1} qui est dans B^{k,p}. Alors la forme e′ = (Φ^{−1})^{∗}e sur S^{n−1} est la valeur au bord d’une forme fermée L^{p}, donc elle est exacte. De plus, d’après le lemme

45, ses composantes sont dans l’espace de Besov B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (S^{n−1}). En effet, le fait d’être

dans l’espace fonctionnel B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (S^{n−1}) se vérifie localement. Or tous les points du bord de S^{n−1} se valent, au groupe de Möbius près.

Inversement, soit e′ une k-forme exacte sur S^{n−1} dont les composantes sont dans

l’espace de Besov de la sphère B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (S^{n−1}). On va construire une forme fermée L^{p} sur l’espace hyperbolique dont e′ est la valeur au bord. On construit d’abord cette forme sur une couronne C = {1−ϵ < r < 1}. Pour cela, on utilise Mayer-Vietoris. D’après le lemme 45, il existe un recouvrement ouvert U_{i} de S^{n−1} tel que e′_{|U_{i}} soit la valeur au bord d’une forme fermée ω_{i} définie sur V_{i} = C ∩ π^{′−1}(U_{i}) et L^{p} pour la métrique hyperbolique. Sur l’intersection V_{i} ∩ V_{j}, la forme fermée ω_{i} − ω_{j} a une valeur au bord nulle, donc, d’après le lemme 46,

ω_{i} − ω_{j} = dβ_{ij}

où β_{ij} = B^{′+}(ω_{i} − ω_{j}) est dans L^{p} ainsi que sa différentielle. Noter que sur V_{i} ∩ V_{j} ∩ V_{k}, β_{ij}+β_{jk}+β_{ki} = 0. Soit (χ_{i}) une partition de l’unité sur S^{n−1} subordonnée au recouvrement (U_{i}). On note χ′_{i} = χ_{i} ∘ π′. Ces fonctions sont bornées et leur gradient hyperbolique est borné sur la couronne C. Sur l’ouvert V_{i}, on pose

ω = ω_{i} + d(∑_{k} χ′_{k}β_{ik}).

Cela définit sans ambiguïté une forme fermée sur la couronne C, L^{p} pour la métrique hyperbolique, dont la valeur au bord est e′.

Comme e′ est exacte, ω l’est aussi, ω = dγ et on peut choisir γ de sorte qu’elle soit L^{p} au voisinage du bord intérieur de la couronne C. On utilise maintenant une fonction lisse χ′′ de la distance à l’origine, à support compact et qui vaut 1 hors de la couronne C. La forme d((1 − χ′′)γ) est fermée et coïncide avec ω au voisinage du bord, donc elle est L^{p} et sa valeur au bord est e′. Ceci prouve que e′, une fois transportée par la projection stéréographique, est dans B^{k,p}. q.e.d.

Remarque. La proposition 37 s’étend aux autres espaces symétriques de rang un. Dans la définition des espaces de Besov, il faut remplacer la distance euclidienne de R^{n−1} par une distance de Carnot-Carathéodory sur un groupe de Heisenberg. Dans la preuve, la seule modification notable concerne le choix des formes-test dans la définition de la valeur au bord. Il faut prendre les formes lisses sur la boule fermée dont la restriction au bord est une section de Λ_{+(p)}^{∗}, i.e. dont certaines composantes sont nulles.

9 Conditions suffisantes d’annulation

9.1 Cas général

Proposition 50 Soit M une variété riemannienne de dimension n à géométrie bornée, soit ξ un champ de vecteurs unitaire (k − 1, p)-contractant et (k, p)-contractant sur M. Alors H^{k,p}(M) = 0.

Preuve. Les sous-fibrés Λ_{+}^{k−1} et Λ_{+}^{k} étant nuls, la proposition 32 donne que B^{k,p}(M, ξ) = 0. Comme p est en particulier non critique en degré k − 1, le théorème 2 donne une surjection 0 = H^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)) → H^{k,p}(M). q.e.d.

Corollaire 51 Soit M une variété riemannienne de dimension n à géométrie bornée, soit ξ un champ de vecteurs unitaire tel que div(ξ) soit minoré par une constante strictement positive. Alors H^{n,p}(M) = 0.

Preuve. En effet, si div(ξ) ≥ η > 0, alors tout exposant p > 1 est non critique en degrés n et n − 1. q.e.d.

Remarque. L’hypothèse de géométrie bornée est superflue.

Proposition 52 Soit G un groupe de Lie résoluble connexe. Soient A et H des sousgroupes fermés tels que A est nilpotent, H est distingué et G = AH. Soit

Λ^{ℓ}H = ∑_{λ∈Σ(ℓ)} H_{ℓ,λ}

la décomposition de la puissance extérieure Λ^{ℓ}H ⊗ C en espaces caractéristiques sous l’action de A. On note ℜΣ(ℓ) l’ensemble des parties réelles des éléments de Σ(ℓ). On note τ ∈ A^{∗} la forme linéaire ξ ↦ tr (ad_{ξ}). On note r = dim G − dim H. On considère deux convexes de A^{∗}, l’enveloppe convexe C_{1} de ℜΣ(k − r) ∪ ⋯ ∪ ℜΣ(k − 1) et l’enveloppe convexe C_{2} de ℜΣ(k − r) ∪ ⋯ ∪ ℜΣ(k).

Soit p > 1. Si τ/p n’est contenu ni dans C_{1}, ni dans l’intérieur de C_{2}, alors H^{k,p}(G) = 0.

Preuve. Si τ/p n’est pas contenu dans l’intérieur de l’enveloppe convexe de ℜΣ(k − r) ∪ ⋯ ∪ ℜΣ(k), alors il existe ξ ∈ A tel que pour tout λ ∈ Σ(k − r) ∪ ⋯ ∪ Σ(k), τ(ξ) − pℜeλ(ξ) ≥ 0. Si de plus τ/p n’est pas contenu dans l’intérieur de l’enveloppe convexe de ℜΣ(k − r) ∪ ⋯ ∪ ℜΣ(k − 1), on peut choisir ξ de sorte que pour tout λ ∈ Σ(k − r) ∪ ⋯ ∪ Σ(k − 1), τ(ξ) − pℜeλ(ξ) > 0. Nécessairement, ξ ∉ H. Alors le champ de vecteurs invariant à gauche ξ sur G est (k − 1, p)-dilatant, i.e. Λ_{−}^{k−1} = Λ_{0}^{k−1} = 0. En effet, comme ad_{ξ} est nilpotente sur A, toute valeur propre de ad_{ξ} sur Λ^{k}(G/Rξ)^{∗} est de la forme λ(ξ) où λ est une valeur propre de A sur Λ^{ℓ}H^{∗} avec k − dim G + dim H + 1 ≤ ℓ ≤ k. De plus, ξ est faiblement (k, p)-dilatant au sens où Λ_{−}^{k} = 0. Comme tr (ad_{ξ}) > 0, le groupe à 1 paramètre engendré par ξ est automatiquement injectif et fermé. D’après la proposition 33, B^{k,p}(G, ξ) = 0. Avec le théorème 2, cela donne H^{k,p}(G) = 0. q.e.d.

Remarque. Soit m = dim H et m_{k,λ} = dim H_{k,λ}. Alors

∑_{λ∈Σ(k)} m_{k,λ} = dim Λ^{k}H = ( \begin{matrix}m \\ k \end{matrix} ) et ∑_{λ∈Σ(k)} m_{k,λ}λ = ( \begin{matrix}m − 1 \\ k − 1 \end{matrix} ) τ

donc \frac{k}{m}τ est dans l’enveloppe convexe de Σ(k). Par conséquent, la proposition 52 ne s’applique jamais lorsque τ = 0, i.e. lorsque G est unimodulaire.

Exemple. Soit G la partie AN de la décomposition d’Iwasawa de Sl(3, R). Alors il existe une base de A = R^{2} et dans laquelle les racines s’écrivent (1, 0), (0, 1) et (1, 1). Alors Σ_{0} = {(0, 0)}, Σ_{1} = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}, Σ_{2} = {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} et Σ_{3} = {τ = (2, 2)}. En degré 2, on constate que τ/p ∈ Conv(Σ_{0} ∪ Σ_{1} ∪ Σ_{2}) si et seulement si p ≥ 4/3. Par conséquent H^{2,p}(G) = 0 pour p < 4/3. En degré 3, τ/p ∈ Conv(Σ_{1} ∪ Σ_{2} ∪ Σ_{3}) si et seulement si p ≤ 4. Par conséquent H^{3,p}(G) = 0 pour p > 4.

Corollaire 53 Soit G = R×_{α}H un produit semi-direct où α est une dérivation de l’algèbre de Lie H. Notons λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} les parties réelles des valeurs propres de α. Pour k = 1, …, n − 1, on note w_{k} = λ_{1} + ⋯ + λ_{k} et W_{k} = λ_{n−k} + ⋯ + λ_{n−1}.

• Si w_{n−1}/p < w_{k−1} et w_{n−1}/p ≤ w_{k}}, alors H^{k,p}(G) = 0.

• Si w_{n−1}/p > W_{k−1} et w_{n−1}/p ≥ W_{k}}, alors H^{k,p}(G) = 0.

Preuve. Les parties réelles des valeurs propres de Λ^{k}α sont les sommes de k nombres parmi les λ_{i}. Elles sont toutes comprises entre w_{k} et W_{k}. Par conséquent, l’enveloppe convexe C_{1} de ℜΣ(k −1) est l’intervalle [w_{k−1}, W_{k−1}] et l’enveloppe convexe C_{2} de ℜΣ(k − 1) ∪ ℜΣ(k) est l’intervalle [min{w_{k−1}, w_{k}}, max{W_{k−1}, W_{k}}]. q.e.d.

9.2 Cas particulier des groupes métabéliens

En utilisant le second mécanisme illustré en 7.1, on va améliorer les résultats précédents.

Proposition 54 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct. Soit λ_{c,min} (resp. λ_{c,max}) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de la restriction de α au centre de H.

• Si w_{n−1}/p > W_{k−1} et w_{n−1}/p ≥ λ_{c,min} + W_{k−1}, alors H^{k,p}(G) = 0.

• Si w_{n−1}/p < w_{k−1} et w_{n−1}/p ≤ λ_{c,max} + w_{k−1}, alors H^{k,p}(G) = 0.

Preuve. La seconde hypothèse se déduit de la première en changeant α en −α. Supposons donc que w_{n−1}/p > W_{k−1} et que w_{n−1}/p ≥ λ_{c,min} + W_{k−1}. Notons ξ = \frac{∂}{∂t} de sorte que ad_{ξ} = α sur H. Les valeurs propres de Λ^{k−1}α sont de partie réelle inférieure ou égale à W_{k−1} < tr (α)/p. Par conséquent, le champ invariant à gauche ξ est (k −1, p)-contractant.

Soit Z(H) le centre de H et E ⊂ Z(H), la somme des sous-espaces caractéristiques de α relatifs à des valeurs propres de partie réelle λ_{c,min}. Le sous-espace E^{∗} ⊗ Λ^{k−1} ⊂ Λ^{k} est invariant. Les valeurs propres de Λ^{k}α sur ce sous-espace sont de parties réelles inférieures ou égales à λ_{c,min} + W_{k−1} ≤ tr (α)/p. Par conséquent, E^{∗} ⊗ Λ^{k−1} ⊂ Λ_{−}^{k} ⊕ Λ_{0}^{k}.

D’après la proposition 33, toute forme β telle que π^{∗}β ∈ B^{k,p}(G, ξ) est une section de Λ_{+}^{k}. Par conséquent, pour tout vecteur η ∈ E, ι_{η}β ≡ 0. Si de plus dβ = 0, alors β est invariante par translation dans la direction η. Sachant que la norme L^{p} + dL^{p} de π^{∗}β est une intégrale sur H, ceci n’est possible que si β = 0. On conclut que B^{k,p}(G, ξ)∩ker d = 0, puis, avec le théorème 2, que H^{k,p}(G) = 0. q.e.d.

Corollaire 55 On considère le produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1} où α une matrice carrée n − 1 × n − 1. On note λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} les parties réelles des valeurs propres de α. Pour k = 1, …, n − 1, on note W_{k} = λ_{n−k} + ⋯ + λ_{n−1}. Si w_{n−1}/p > W_{k−1} et w_{n−1}/p ≥ λ_{1} + W_{k−1}, alors H^{k,p}(G) = 0. De même, si w_{n−1}/p < w_{k−1} et w_{n−1}/p ≤ λ_{n−1} + w_{k−1}, alors H^{k,p}(G) = 0.

Remarque. On verra en 93 que si λ_{1} > 0, l’intervalle [w_{k−1}, λ_{1} + W_{k−1}] du corollaire 55 est optimal.

10 Restrictions sur la torsion

Les résultats principaux de cette section sont les propositions 56 et 63. Les comparer à [KS].

10.1 Cas général

Proposition 56 Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. Soit ξ un champ de vecteurs unitaire (k −2, p)-Anosov et (k −1, p)-contractant (resp (k −1, p)-dilatant) sur M. Alors T^{k,p}(M) = 0.

Preuve. D’après la proposition 32, B^{k−1,p}(G, ξ) = 0, car le sous-fibré Λ_{+}^{k−1} (resp. Λ_{−}^{k−1}) est nul. Par conséquent, la cohomologie en degré k du complexe B^{∗,p}(G, ξ) est séparée. Comme on suppose p non critique aussi en degré k − 2, le thèorème 2 donne un isomorphisme T^{k,p}(M) = T^{k}(B^{∗,p}(M, ξ)) = 0. q.e.d.

Proposition 57 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct. On note λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} les parties réelles des valeurs propres de α. Pour k = 1, …, n − 1, on note w_{k} = λ_{1} + ⋯ + λ_{k} et W_{k} = λ_{n−k} + ⋯ + λ_{n−1}. On suppose que p > 1 est non critique en degré k − 2. Si w_{n−1}/p > W_{k−1} ou bien si w_{n−1}/p < w_{k−1}, alors T^{k,p}(G) = 0.

Remarque. On verra en 95 que si H est abélien, l’intervalle [w_{k−1}, W_{k−1}] est optimal.

10.2 Preuve du théorème A

Soit M une variété riemannienne complète de dimension n, simplement connexe, dont la courbure sectionnelle K satisfait −1 ≤ K ≤ δ < 0. Alors M est automatiquement à géométrie bornée. Soit p > 1. Soit ξ un champ de vecteur de Busemann sur M. Supposons que

p < q(n, δ, k), i.e. que k < \frac{(n − 1)\sqrt{−δ}}{p − 1 + \sqrt{−δ}} .

D’après la proposition 8, le champ ξ est (j, p)-contractant pour tout degré j ≤ k. De la proposition 50, il résulte que H^{k,p}(M) = 0.

Enfin, si

p ≤ q(n, δ, k − 1), i.e. si k < \frac{p − 1 + n\sqrt{−δ}}{p − 1 + \sqrt{−δ}} ,

le champ ξ est (j, p)-contractant pour tout degré j ≤ k. En particulier, il est (k − 2, p)- Anosov. De la proposition 56, il résulte que T^{k,p}(M) = 0. q.e.d.

10.3 Cas où le groupe H n’est pas abélien

Dans ce paragraphe, on s’intéresse aux produits semi-directs G = R ×_{α} H.

On va voir que la non commutativité du groupe H force parfois la torsion T^{∗,p}(G) à être non nulle sur un intervalle plus grand.

On identifiera (abusivement) B^{∗,p}(G, \frac{∂}{∂t}) à un espace de formes différentielles sur H, noté simplement B^{k,p}. Si on identifie l’algèbre extérieure Λ^{∗}H^{∗} aux formes différentielles invariantes à gauche sur H, alors la différentielle extérieure devient un opérateur algébrique noté δ : Λ^{k−1}H^{∗} → Λ^{k}H^{∗}.

Lemme 58 Soit J un sous-espace vectoriel de Λ^{k−1}H^{∗}. Posons

K = J ∩ δ^{−1}(H^{∗} ⊗ J) = ker \{\overline{δ} : J → Λ^{k}H^{∗}/H^{∗} ⊗ J\}.

Alors

B^{k,p} ∩ \overline{Γ(J)} ⊂ B^{k,p} ∩ \overline{Γ(K)} + dB^{k−1,p}.

Preuve. Soit e ∈ B^{k,p} tel que e = lim da_{j} au sens des distributions, où a_{j} ∈ Γ(J). Soit K^{s} un supplémentaire de K dans J. On écrit a_{j} = b_{j} + c_{j} où b_{j} ∈ Γ(K) et c_{j} ∈ Γ(K^{s}). Alors modulo Γ(H^{∗} ⊗ J),

da_{j} = dc_{j} = \overline{δ}c_{j}.

Or l’opérateur algébrique \overline{δ} est injectif sur K^{s}, donc il admet un inverse à gauche \overline{δ}^{−1} : Λ^{k}H^{∗}/H^{∗} ⊗ J → K^{s}. D’après le corollaire 24, \overline{δ}^{−1} est borné sur B^{k,p}. Comme

c_{j} = \overline{δ}^{−1}(da_{j} mod H^{∗} ⊗ J) ∈ B^{k,p}

et da_{j} converge dans B^{k,p}, c_{j} converge dans B^{k−1,p} vers

c = \overline{δ}^{−1}(e mod H^{∗} ⊗ J)

et e − dc = lim db_{j} ∈ \overline{Γ(K)}. q.e.d.

Corollaire 59 On garde les notations du lemme 58. Lorsque, partant du sous-espace Λ_{±}^{k−1} de Λ^{k−1}H^{∗}, on itère la construction J donne K = J ∩ δ^{−1}(H^{∗} ⊗ J) on trouve une suite de noyaux qui se stabilise en K_{±}. Alors

\overline{dB^{k−1,p}} ⊂ B^{k,p} ∩ \overline{Γ(K_{±})} + dB^{k−1,p}.

En particulier, si p est non critique en degrés k − 2 et k − 1, et si K_{+} = 0 ou K_{−} = 0, alors T^{k,p}(G) = 0.

Preuve. D’après la proposition 32,

B^{k−1,p} ⊂ \overline{Γ(Λ_{+}^{k−1}) + dΓ(Λ_{+}^{k−2})}

donc

\overline{dB^{k−1,p}} ⊂ \overline{dΓ(Λ_{+}^{k−1})}.

et on applique le lemme 58 autant de fois que nécessaire. Si K_{+} = 0, alors dB^{k−1,p} est fermé. Si de plus p est non critique en degrés k − 2 et k − 1, le théorème 2 s’applique et T^{k,p}(G) = T^{k}(B^{∗,p}, d) = 0. q.e.d.

Corollaire 60 Soit G = R×_{α}H un produit semi-direct. On suppose que p est non critique en degrés k − 2 et k − 1 pour le champ \frac{∂}{∂t}. On note I_{±} l’idéal engendré par les sections de Λ_{±(p)}^{k−1}. Si tout idéal différentiel contenu dans I_{+} ou I_{−} intersecte trivialement Λ_{±(p)}^{k−1}, alors T^{k,p}(G) = 0.

Preuve.

Il ne s’agit que d’une reformulation du corollaire 59. L’idéal engendré par les sections de K_{+} est invariant par la différentielle extérieure. Sa trace en degré k − 1 est la plus grande possible pour un idéal différentiel contenu dans I_{+}. q.e.d.

En degré 2, le sous-espace K_{±} a une interprétation simple.

Lemme 61 Etant donné un sous-espace J ⊂ H^{∗}, on note J^{0} ⊂ H son annulateur. Alors K = J ∩ δ^{−1}(H^{∗} ⊗ J) satisfait

K^{0} = J^{0} + [J^{0}, J^{0}].

En particulier, K_{+}^{0} est la sous-algèbre de Lie engendrée par H_{−} = (Λ_{+})^{0}.

Corollaire 62 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct. Supposons que tr (α) ≠ 0. Notons H_{+} (resp. H_{−}) la somme des sous-espaces caractéristiques de α sur H relatifs à des valeurs propres de partie réelle supérieure (resp. inférieure) à tr (α)/p. Supposons que H = H_{+} ⊕ H_{−} et que l’un des sous-espaces H_{±} engendre l’algèbre de Lie H. Alors T^{2,p}(G) = 0.

Proposition 63 Soit G un groupe de Lie résoluble connexe. Soient A et N des sousgroupes nilpotents tels que N est distingué et G = AN. Soit N = ∑_{λ∈Σ} N_{λ} la décomposition

de l’algèbre de Lie complexifiée N ⊗ C en espaces caractéristiques sous l’action de A. On note τ ∈ A^{∗} la forme linéaire ξ ↦ tr (ad_{ξ}). Soit p > 1 un exposant non critique pour l’action de A sur G. S’il existe un sous-ensemble Σ′ ⊂ Σ tel que l’enveloppe convexe de Σ′∪{0} ne contient pas τ/p et tel que les N_{λ} pour λ ∈ Σ′ engendrent N, alors T^{2,p}(G) = 0.

Preuve. Notons H ⊂ G le noyau de l’homomorphisme modulaire G → R. Son algèbre de Lie H est le noyau de la forme linéaire τ. Si l’enveloppe convexe de Σ′ ∪ {0} ne contient pas τ/p, alors il existe un vecteur ξ ∈ A tel que pour toute forme linéaire λ ∈ Σ′, λ(ξ) < τ(ξ)/p, et tel que 0 < τ(ξ)/p. Utilisons ce vecteur pour écrire G comme produit semi-direct G = R ×_{α} H, autrement dit α = ad_{ξ} restreinte à ker τ. Quitte à perturber ξ, on peut supposer que les exposants critiques de ξ sont ceux de l’action de A sur G, et en particulier que p est non critique pour le champ ξ.

L’algèbre de Lie H se décompose en espaces caractéristiques de l’endomorphisme α,

H = H_{0} ⊕ ⨁_{{λ∈Σ, λ(ξ)≠0}} N_{λ}.

Alors

H^{∗} = H_{0}^{∗} ⊕ ⨁_{{λ∈Σ, λ(ξ)≠0}} N_{λ}^{∗}.

Comme tr α = τ(ξ),

Λ_{+}^{1} = ⨁_{{λ∈Σ, λ(ξ)>τ(ξ)/p}} N_{λ}^{∗}.

Notons H_{−} l’annulateur dans H de Λ_{+}^{1}. Comme

H_{−} = H_{0} ⊕ ⨁_{{λ∈Σ, λ(ξ)<τ(ξ)/p}} N_{λ}

contient tous les N_{λ} pour λ ∈ Σ′, l’algèbre de Lie qu’il engendre contient N. Comme H_{0} contient A ∩ ker τ, H_{−} engendre H. Le corollaire 61 entraîne que T^{2,p}(G) = 0. q.e.d.

Remarque. La proposition 63 s’étend évidemment aux degrés ≥ 3, mais l’énoncé devient compliqué.

Exemple. Soit M l’espace symétrique SL(3, R)/SO(3). Alors la torsion T^{2,p}(M) = 0 pour p < 4.

En effet, M est isométrique au groupe G des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1. On peut prendre pour A les matrices diagonales et pour N les matrices unipotentes. Alors il existe deux formes linéaires indépendantes λ et μ sur A telles que Σ = {λ, μ, λ + μ} et

N = N_{λ} ⊕ N_{μ} ⊕ N_{λ+μ}

est l’algèbre de Lie de Heisenberg, engendrée par N_{λ} ⊕ N_{μ}. La forme linéaire τ vaut 2(λ + μ). On pose Σ′ = {λ, μ}. Alors l’enveloppe convexe de Σ′ ∪ {0} est un triangle qui contient τ/p si et seulement si p ≥ 4. Si p ≠ 2, p est non critique. Si de plus p < 4, la proposition 63 s’applique et T^{2,p}(M) = 0.

Comme p = 2 est un exposant critique, nos méthodes ne s’appliquent pas. Néanmoins, il résulte de la formule de Y. Matsushima, [M] que la cohomologie L^{2} en degré r d’un espace symétrique de rang r est séparée. On conclut que T^{2,p}(M) = 0 aussi pour p = 2. q.e.d.

Remarque. Il est probable que pour l’espace symétrique de Sl(n, R), la cohomologie L^{p} en degré 2 est nulle pour tout p > 1.

Proposition 64 Soit M un espace symétrique de rang 1. Soit k = 2, …, \frac{dim M}{2} . Notons p_{1}^{k−1} < p_{2}^{k−2} ⋯ les exposants critiques en degré k − 1. Si p < p_{2}^{k−1}, alors T^{k,p}(M) = 0 sauf peut-être pour p = p_{1}^{k−1}.

Preuve. Si M est à courbure constante, M est isométrique au produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1} où α est l’identité. Il y a au plus un exposant critique en degré k − 1, c’est p_{1}^{k−1} = n − 1/k − 1. La proposition 57 donne que T^{k,p}(M) = 0 pour p ≠ p_{1}^{k−1}.

Tout espace symétrique de rang 1 à courbure non constante est isométrique à un produit semi-direct G = R ×_{α} H où α admet les valeurs propres 2 (de multiplicité ℓ = 1, 3 ou 7) et 1 (de multiplicité m paire). De plus l’espace propre H_{2} est central, la différentielle δ est nulle sur H_{1}^{∗} et si e ∈ H_{2}^{∗} est non nulle, δ(e) ∈ Λ^{2}H_{1}^{∗} est non dégénérée. L’algèbre extérieure se décompose en

Λ^{k}H^{∗} = ⨁_{i≤m, j≤ℓ, i+j=k} Λ^{i,j} où Λ^{i,j} = Λ^{i}H_{1}^{∗} ⊗ Λ^{j}H_{2}^{∗}

et α vaut i + 2j sur Λ^{i,j}.

Les exposants critiques en degré k sont les nombres de la forme m + 2ℓ/k + j où j décrit les entiers compris entre max{0, k − m} et min{k, ℓ}. Pour k ≥ 2, on vérifie que p_{2}^{k−1} ≤ p_{1}^{k−2}. Par conséquent, si p ≤ p_{2}^{k−1}, alors p est non critique en degré k − 2. Si de plus p ≠ p_{1}^{k−1}, alors p est non critique en degré k − 1.

Notons q_{m} = min{k − 1, ℓ}. Pour k − 1 − m ≤ q ≤ q_{m}, notons

J_{q} = ⨁_{j=q}^{q_{m}} Λ^{k−1−j,j}.

Pour chaque exposant p non critique en degré k − 1, Λ_{+(p)}^{k−1} est l’un des sous-espaces J_{q}. Or H^{∗} ⊗ J_{q} = H_{1}^{∗} ⊗ J_{q} contient δ(J_{q−1}) mais est en somme directe avec Λ^{k+1−q,q−1} qui contient δ(Λ^{k−1−q,q}). Par conséquent

J′_{q} =: J_{q} ∩ δ^{−1}(H^{∗} ⊗ J_{q}) = J_{q+1} ⊕ ker d ∩ Λ^{k−1−q,q}.

Comme δ∘δ = 0, δ(J′_{q}) ⊂ H^{∗}⊗J′_{q}. Par conséquent, l’itération s’arrête à la deuxième étape. Si p < p_{1}^{k−1}, alors Λ_{+(p)}^{k−1} = 0, et le corollaire 59 donne immédiatement que T^{k,p}(M) = 0.

Supposons p compris entre p_{1}^{k−1} et p_{2}^{k−1}. Alors Λ_{+(p)}^{k−1} = Λ^{k−1−q_{m},q_{m}}. Lorsque k ≤ ℓ+1, q_{m} = k − 1 donc Λ_{+}^{k−1} = Λ^{0,k−1}. Lorsque k > ℓ + 1, q_{m} = ℓ donc Λ_{+}^{k−1} = Λ^{k−1−ℓ,ℓ}.

Montrons que dans les deux cas, et si de plus k ≤ \frac{dim M}{2} , δ est injectif sur Λ_{+}^{k−1}.

Soit v_{1}, …, v_{ℓ} une base du sous-espace V_{2} de l’algèbre de Lie H. Alors les 2-formes δv_{1}, …, δv_{ℓ} sont linéairement indépendantes dans Λ^{2}V_{1}^{∗}. Soit k un entier compris entre 2 et ℓ + 1. Si I est un sous-ensemble à k − 1 éléments de {1, …, ℓ}, notons

v_{I} = ⋀_{i∈I} v_{i}.

Alors

δv_{I} = ∑_{i∈I} ±δv_{i} ⊗ v_{I\{i}}

et lorsque I décrit les sous-ensembles à k − 1 éléments de {1, …, ℓ} et i décrit les éléments de I, les éléments δv_{i} ⊗ v_{I\{i}} sont linéairement indépendants dans Λ^{2}V_{1}^{∗} ⊗ Λ^{k−2}V_{2}^{∗}. Par conséquent δ est injective sur Λ_{0,k−1}.

Supposons maintenant que k > ℓ + 1. Pour i = 1, …, ℓ, notons L_{i} le produit extérieur par δv_{i}. Alors sur Λ^{k−1−ℓ,ℓ} ∼ Λ^{k−1−ℓ}V_{1}^{∗},

δ = ⨁_{1≤i≤ℓ} L_{i}

donc ker δ = ∩ker L_{i}.

Comme les formes δv_{i} sont non dégénérées, les applications L_{i} sont injectives sur Λ^{q}V_{1}^{∗} dès que q ≤ \frac{m}{2} + 1. Comme ℓ ≥ 1,

\frac{m}{2} + 1 ≤ \frac{m + ℓ + 1}{2} = \frac{dim M}{2} .

Par conséquent, si k ≤ \frac{dim M}{2} , δ est injective sur Λ^{k−1−ℓ,ℓ}.

Du corollaire 59, il résulte que si k ≤ \frac{dim M}{2} , alors T^{k,p}(M) = 0. q.e.d.

Remarque. La borne \frac{dim M}{2} de la proposition 64 n’est pas optimale. On peut la remplacer par le nombre k_{M}, plus grand entier k tel qu’aucune k−1−ℓ-forme sur le sous-espace V_{1} ne soit annulée par produit extérieur avec toute forme de δV_{2}.

Corollaire 65 Soit M un espace hyperbolique complexe. Si p est non critique en degré k − 1 (i.e. sauf pour au plus 2 valeurs de p), alors T^{k,p}(M) = 0.

Preuve.

Soit n = dim M. Si 2 ≤ k ≤ n − 1, il y a deux exposants critiques en degré k − 1, p_{1}^{k−1} = n/k et p_{2}^{k−1} = n/k − 1. Si k ≤ n/2, la proposition 64 donne que T^{k,p}(M) = 0 pour p < p_{1}^{k−1} et pour p ∈]p_{1}^{k−1}, p_{2}^{k−1}[. Comme p_{2}^{k−1} est plus grand que les exposants critiques en degré k, la proposition 52 donne que H^{k,p}(M) = 0 pour p > p_{2}^{k−1}. Par conséquent, T^{k,p}(M) = 0 pour p non critique. La dualité de Poincaré (proposition 82) permet d’étendre la conclusion aux valeurs de k supérieures à n/2. q.e.d.

Remarque. Il y a de la torsion à au moins l’un des deux exposants critiques. On verra en 100 que si 2 ≤ k ≤ n/2, T^{k,p}(M) ≠ 0 pour p = p_{2}^{k−1}. Par dualité de Poincaré, si k ≥ \frac{n}{2} + 1, T^{k,p}(M) ≠ 0 pour p = p_{1}^{k−1}. Vraisemblablement, la torsion est nulle à l’autre exposant critique. Voir en 15.4 pour le cas où n = 4.

11 Cohomologie L^{p} en degré 1

11.1 Torsion et inégalité isopérimétrique

Proposition 66 Soit M une variété riemannienne de dimension n. Soit p ≥ 1 et k = 1, ⋯, n. La torsion T^{k,p}(M) est nulle si et seulement si l’inégalité de Sobolev suivante est vraie. Pour toute k − 1-forme ω ∈ Ω^{k,p}(M), il existe une k − 1-forme ϕ ∈ Ω^{k−1,p}(M) telle que

dω = dϕ et ∥ ϕ ∥_{L^{p}} ≤ const.∥ dϕ ∥_{L^{p}}.

Preuve. Supposons l’inégalité de Sobolev vraie en degré k − 1. Elle s’étend par densité aux formes de Ω^{k−1,p}(M). Soit ω_{j} une suite de k − 1-formes L^{p} sur M telle que dω_{j} converge vers α dans L^{p}. D’après l’inégalité de Sobolev, il existe une suite ϕ_{j}, bornée dans L^{p}, telle que dϕ_{j} = dω_{j}. Extrayons une sous-suite qui converge faiblement vers ϕ_{∞}. Alors ϕ_{∞} ∈ L^{p} et dϕ_{∞} = α. En particulier ϕ_{∞} ∈ Ω^{k−1,p}(M). On conclut que dΩ^{k−1,p}(M) est fermé dans Ω^{k,p}(M), donc que T^{k,p}(M) = 0.

Inversement, supposons que T^{k,p}(M) = 0, i.e. que dΩ^{k−1,p}(M) est fermé dans Ω^{k,p}(M). L’opérateur d induit \overline{d} : Ω^{k−1,p}(M)/ker d → dΩ^{k−1,p}(M). C’est une bijection continue entre espaces de Banach, donc un isomorphisme. Notons \overline{d}^{−1} son inverse. Etant donnée une k − 1-forme ω ∈ Ω^{k−1,p}(M), soit ϕ ∈ Ω^{k−1,p}(M) un représentant de la classe \overline{d}^{−1}dω ∈ Ω^{k−1,p}(M)/ker d de norme presque minimum. Elle satisfait

dω = dϕ et ∥ ϕ ∥_{L^{p}} ≤ const.∥ dϕ ∥_{L^{p}}.

Remarque. Pour retrouver l’inégalité de Sobolev classique, on doit ne considérer que les 1-formes exactes

Définition 67 Soit M une variété riemannienne. On appelle cohomologie L^{p} exacte, et on note EH^{∗,p}(M) le noyau de l’application tautologique H^{k,p}(M) → H^{k}(M, R).

Remarque 68 Sur une variété riemannienne complète de volume infini, la nullité de ET^{1,p} équivaut à l’inégalité de Sobolev sous sa forme plus classique : pour toute fonction u lisse et à support compact sur M,

∥ u ∥_{L^{p}} ≤ const.∥ du ∥_{L^{p}}.

En effet, on ne s’intéresse qu’aux 1-formes exactes ω = du. Si ω = dϕ, alors u − ϕ est constante et L^{p}, donc nulle. D’autre part, comme M est complète, les fonctions lisses et à support compact sur M sont dense dans L^{p}(M).

Définition 69 Une variété riemannienne M est dite ouverte à l’infini si elle satisfait une inégalité isopérimétrique linéaire, i.e. si pour toute sous-variété compacte Δ de codimension 0, à bord lisse,

Vol Δ ≤ const.Vol ∂Δ.

Si M n’est pas ouverte à l’infini, elle est fermée à l’infini.

Proposition 70 Soit M une variété riemannienne à géométrie bornée. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

1. M est ouverte à l’infini ;

2. pour tout p ≥ 1, ET^{1,p}(M) = 0 ;

3. il existe p ≥ 1 tel que ET^{1,p}(M) = 0.

Preuve. Lorsque p = 2, ces équivalences sont essentiellement dues à R. Brooks, [Br].

Il est classique (voir [Ma]) que l’inégalité isopérimétrique Vol Δ ≤ const.Vol ∂Δ est équivalente à l’inégalité de Sobolev L^{1} (avec la même constante) : pour toute fonction u lisse à support compact sur M, ∥ ϕ ∥_{L^{1}} ≤ const.∥ du ∥_{L^{1}}.

L’inégalité de Sobolev L^{1}, appliquée à la fonction u^{p}, combinée à l’inégalité de Hölder, entraîne l’inégalité de Sobolev L^{p} pour p ≥ 1. Ceci prouve que (1) ⇒ (2).

Il reste à montrer que, sous l’hypothèse de géométrie bornée, l’inégalité de Sobolev L^{p} pour un p > 1 entraîne l’inégalité de Sobolev L^{1}. Par invariance par quasiisométrie, on peut remplacer M par un graphe X de valence bornée par V et dont les arêtes ont toutes même longueur. Les fonctions sur M deviennent des fonctions sur l’ensemble X^{0} des sommets de X et la norme L^{p} de la différentielle devient (∑ |u(a) − u(b)|^{p})^{1/p} où la somme est étendue aux couples de sommets reliés par une arête.

Supposons d’abord que u ne prend que les valeurs 0 et 1. Alors ∥ u ∥_{L^{p}} = ∥ u ∥_{L^{1}}^{1/p} et ∥ du ∥_{L^{1}} = ∥ du ∥_{L^{1}}^{1/p} donc l’inégalité de Sobolev L^{p} entraîne l’inégalité de Sobolev L^{1} dans ce cas.

Enfin, on écrit une fonction quelconque comme intégrale de fonctions à valeurs dans {0, 1}. Soit u une fonction sur X^{0}. Quitte à remplacer u par sa valeur absolue (ce qui ne change pas la norme L^{1} et diminue la norme L^{1} de la différentielle), on peut supposer que

u est positive ou nulle. On écrit alors u = ∫_{0}^{+∞} u_{t} dt où u_{t}(x) = 1 si u(x) ≥ t et u_{t}(x) = 0 sinon. Alors

∥ u ∥_{L^{1}} = ∫_{0}^{+∞} ∥ u_{t} ∥_{L^{1}} dt

et

∥ du ∥_{L^{1}} = ∫_{0}^{+∞} ∥ du_{t} ∥_{L^{1}} dt,

donc l’inégalité de Sobolev L^{p} entraîne l’inégalité de Sobolev L^{1} en général. q.e.d.

Proposition 71 (H. Hoke, [Ho]). Soit G un groupe de Lie muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. Alors G est fermé à l’infini si et seulement si G est moyennable (i.e. extension d’un groupe resoluble par un groupe compact) et unimodulaire.

Corollaire 72 Soit G un groupe de Lie. Si G est moyennable unimodulaire, alors pour tout p > 1, R^{1,p}(G) = 0 et T^{1,p}(G) ≠ 0. Inversement, s’il existe p > 1 tel que T^{1,p}(G) ≠ 0, alors G est moyennable unimodulaire.

11.2 Quasiisométries entre espaces homogènes

Une application f : X → X′ entre espaces métriques est une quasiisométrie s’il existe des constantes L et D telles que tout point de X′ est à distance au plus D de l’image de f, et

pour tous x, y ∈ X, −D + \frac{1}{L}d^{X}(x, y) ≤ d^{X′}(f(x), f(y)) ≤ L d^{X}(x, y) + D.

Lemme 73 Soit G un groupe de Lie connexe, soit H ⊂ G un sous-groupe fermé et connexe.

• Si H est compact, alors M = G/H admet des métriques riemanniennes G-inva-ri-antes, et G est quasiisométrique à M.

• Si l’espace homogène G/H est compact, alors G est quasiisométrique à H.

Preuve. Supposons H compact. Choisissons un supplémentaire ad_{H}-invariant U de l’algèbre de Lie H dans G et une structure euclidienne ad_{H}-invariante g_{U} sur U. Cela détermine une métrique riemannienne G-invariante sur M. Soit g_{H} une structure euclidienne sur H. La métrique euclidienne g_{K} ⊕ g_{U} sur G détermine une métrique riemannienne invariante à gauche sur G, invariante par l’action à droite de H. Pour cette métrique, l’application f : G ↦ G/H est une submersion riemannienne, i.e. isométrique orthogonalement aux fibres. Par conséquent, f diminue les distances. Inversement, étant donné un point g ∈ G, toute courbe dans M = G/K d’origine f(g) a un unique relèvement en une courbe d’origine g dans G partout orthogonale aux fibres, et le relèvement prélève la longueur. Par conséquent, la distance entre deux fibres f^{−1}(x) et f^{−1}(x′) est égale à d^{M}(x, x′). Enfin, par invariance à gauche, toutes les fibres sont isométriques de même diamètre D. Par conséquent, pour tous g, g′ ∈ G, d^{M}(f(g), f(g′)) ≥ d^{G}(g, g′) − D. Ceci montre que f est une quasiisométrie, et M est quasiisométrique à G.

Supposons G/H compact. Montrons par l’absurde qu’il existe une constante D telle que d^{G}(g, H) ≤ D pour tout g ∈ G. Sinon, il existe une suite g_{j} telle que d^{G}(g_{j}, H) tend vers +∞. L’espace des classes à gauche H \G est lui aussi compact. Il existe donc une suite h_{j} ∈ H telle que la suite h_{j}^{−1}g_{j} converge dans G. Les distances d^{G}(h_{j}, g_{j}) = d^{G}(h_{j}^{−1}g_{j}, 1) sont bornées, et d^{G}(g_{j}, H) = d^{G}(h_{j}, g_{j}) l’est aussi, contradiction.

Soient h, h′ ∈ H. Alors δ = d^{G}(h, h′) ≤ d^{H}(h, h′). Il reste à montrer l’inégalité inverse. Soit γ : [0, δ] → G une géodésique minimisante de h à h′. Pour i = 0, …, N = [δ/D], posons g_{i} = γ(iD), de sorte que d^{G}(g_{i}, g_{i+1}) ≤ D et ND ≤ δ ≤ (N + 1)D. Choisissons h_{i} ∈ H tel que d^{G}(h_{i}, g_{i}) ≤ D. Comme H est fermé dans G, l’intersection de H et de la boule de rayon 3D de G est compacte, donc contenue dans une boule de rayon D′ pour la métrique de H. Pour tout i, d^{G}(h_{i}^{−1}h_{i+1}, 1) ≤ 3D, donc d^{H}(h_{i}^{−1}h_{i+1}, 1) ≤ D′. Par conséquent,

d^{H}(h, h′) ≤ ∑ d^{H}(h_{i}^{−1}h_{i+1}, 1) ≤ (N + 1)D′ ≤ \frac{D′}{D} d^{G}(h, h′) + D. q.e.d.

Lemme 74 Soit G un groupe de Lie connexe. Alors G est quasiisométrique à un groupe de Lie G′ connexe dont le centre est connexe.

Preuve.

Soit Z(G) = Γ × A le centre de G, où Γ est discret et A connexe. Quitte à prendre un quotient fini, on peut supposer que Γ est isomorphe à Z^{k}. Soit C′ = R^{k} et G′ = (G×C)/Γ où Γ agit diagonalement par translation. Alors G′ est un C-fibré principal de base G/Γ, donc G′ est connexe.

L’homomorphisme inc : G → G′, g ↦ (g, 1) mod Γ est injectif. Montrons que c’est une quasiisométrie. Le modèle est G = R, Γ = Z. Alors G′ = (R × R)/Γ est un cylindre, quasiisométrique à R. Dans le produit direct G × C,

d^{G×C}((g, x), 1) ∼ d^{G}(g, 1) + d^{C}(x, 1)

donc dans G′,

d^{G′}((g, 1), 1) ∼ inf_{γ∈Γ}d^{G}(γg, 1) + d^{C}(γ, 1)
≥ inf_{γ∈Γ}d^{G}(γg, 1) + d^{G}(γ, 1)
≥ inf_{γ∈Γ}d^{G}(γg, γ)
= d^{G}(g, 1)

car d^{G}(γ, 1) ≤ const.d^{C}(γ, 1). On conclut que inc : G → G′ est une quasiisométrie.

Enfin, on vérifie immédiatement que le centre Z(G′) = (Z(G) × C)/Γ = A × C est connexe. q.e.d.

Lemme 75 Tout espace homogène riemannien est quasiisométrique à un groupe de Lie résoluble connexe dont tout sous-groupe distingué nilpotent connexe est simplement connexe.

Preuve. Soit M = G/H un espace homogène riemannien. Alors H est compact et le lemme 73 donne que M est quasiisométrique à G.

Soit G = RS la décomposition de Levi du groupe G, où R est le radical de G et S est semi-simple ([B] chap. 3 page 244). Il existe un sous-groupe abélien libre Γ d’indice fini dans le centre de S qui agit trivialement sur R. Il est donc contenu dans le centre de G. Comme au lemme 74, choisissons un espace vectoriel C tel que Γ ⊂ C soit cocompact et posons G′ = (G × C)/Γ. D’apès le lemme 74, G est quasiisométrique à G′. La projection sur le premier facteur passe au quotient en π : G′ → \overline{G} =: G/Γ. Le noyau de π est isomorphe à C donc connexe. Soit \overline{S} = S/Γ et \overline{R} = R/Γ ∩ R. Ces sous-groupes de \overline{G} engendrent \overline{G}. Soit \overline{S} = NAK la décomposition d’Iwasawa de \overline{S}. Comme le centre de \overline{S} est fini, le groupe K est compact. Alors G′′ = π^{−1}(RNA) est résoluble et connexe, G′/G′′ = \overline{G}/\overline{R}NA = \overline{S}/NA est compact, donc G et G′ sont quasiisométriques à G′′.

Il reste à se ramener d’un groupe de Lie résoluble connexe G à un groupe de Lie résoluble connexe \overline{G} dont tout sous-groupe distingué nilpotent connexe est simplement connexe. Soit N un sous-groupe distingué nilpotent connexe de G. Soit Ñ son revêtement universel et Γ le noyau de l’homomorphisme Ñ → N. Alors Γ est discret et central dans Ñ. Le centre Z de Ñ est connexe, donc l’exponentielle est un isomorphisme de groupe de son algèbre de Lie Z sur Z. Soit C le sous-espace vectoriel de Z engendré par exp^{−1}(Γ), et C = exp(C). Alors T = C/Γ est un sous-groupe compact de N. Soit Φ un automorphisme du groupe N. Alors Φ se relêve en un automorphisme Φ̃ de Ñ qui préserve Γ et commute à l’exponentielle. Par conséquent Φ̃ préserve C et C, donc Φ préserve T. Ceci montre que T est distingué dans G et qu’on peut former le groupe quotient \overline{G} = G/T. Comme T est compact, G et \overline{G} sont quasiisométriques. Si \overline{G} contient à son tour un sous-groupe distingué nilpotent connexe non simplement connexe, on peut recommencer l’opération. A chaque fois, la dimension du groupe diminue strictement, donc au bout d’un nombre fini d’étapes, on obtient un groupe de Lie résoluble connexe dont tout sous-groupe distingué nilpotent connexe est simplement connexe. q.e.d.

11.3 Invariance sous quasiisométrie

On rappelle que EH^{∗,p}(M) désigne la cohomologie L^{p} exacte, voir en 67.

Théorème 3 . (voir [P4]). Soient M et M′ deux variétés riemanniennes connexes possédant des groupes cocompacts d’isométries. On suppose que pour tout j = 1, …, k −1, H^{j}(M, R) = H^{j}(M′, R) = 0. Alors EH^{k,p}(M) = EH^{k,p}(M′).

La distinction entre cohomologie L^{p} et cohomologie L^{p} exacte n’a pas lieu d’être pour les espaces homogènes.

Proposition 76 Soit M un espace homogène riemannien connexe et non compact. Alors toute forme fermée L^{p} sur M est exacte.

Preuve. Soit M un espace homogène riemannien connexe et non compact. La composante neutre G du groupe d’isométries de M est transitive sur M. Soit ω une forme L^{p} fermée non exacte sur M. Alors il existe une boule B de M telle que la restriction de ω à B ne soit pas exacte. Lorsque g varie dans G, les formes g^{∗}ω sont deux à deux cohomologues. Par conséquent la classe de cohomologie c ∈ H^{k}(B, R) de la restriction de g^{∗}ω à B est indépendante de g ∈ G. Comme l’image dΩ^{k−1,p}(B) est fermée dans Ω^{k,p}(B) il existe une constante ϵ > 0 telle que tout forme fermée représentant la classe c soit de norme L^{p} supérieure à ϵ. Par conséquent ∥ ω ∥_{L^{p}(gB)} = ∥ g^{∗}ω ∥_{L^{p}(B)} ≥ ϵ. C’est incompatible avec l’hypothèse ω ∈ L^{p}(M). q.e.d.

Corollaire 77 H^{1,p} est un invariant de quasiisométrie pour les espaces homogènes connexes non compacts, et H^{2,p} est un invariant de quasiisométrie pour les espaces homogènes simplement connexes non compacts.

11.4 Cohomologie L^{p} en degré 1 des groupes de Lie résolubles

Proposition 78 Soit G un groupe de Lie résoluble non unimodulaire, dont tout sousgroupe distingué nilpotent connexe est simplement connexe. On suppose que G n’admet pas de métrique invariante à gauche à courbure sectionnelle strictement négative. Alors pour tout p > 1, H^{1,p}(G) = 0.

Preuve. D’après [B], chap. 7, pages 19-20, il existe des sous-groupes nilpotents connexes A et N ⊂ G tels que G = AN, N est distingué et [A, A] ⊂ N. Notons A et N leurs algèbres de Lie. Si ξ ∈ N, ad_{xi} est nilpotente sur N et son image est contenue dans N. Par conséquent, la forme linéaire τ : ξ ↦ tr ad_{ξ} sur G est nulle sur N.

Comme G n’est pas unimodulaire, τ n’est pas identiquement nulle sur G, donc elle est non nulle sur A. Choisissons ξ_{0} ∈ A tel que τ(ξ_{0}) > 0. Fixons p > 1. Alors le champ de vecteurs invariant à gauche ξ_{0} est (0, p)-Anosov, donc, d’après le théorème 2, l’espace H^{1,p}(G) s’identifie au sous-espace B^{1,p}(G, ξ_{0}) de L^{p} + dL^{p}(G) formé des différentielles de fonctions invariantes par le groupe à un paramètre de translations à droite engendré par ξ_{0}.

L’algèbre de Lie G se décompose en sous-espaces caractéristiques pour l’action de l’agèbre de Lie nilpotente A,

G ⊗ C = ⨁_{λ∈Σ} G_{λ}

où les λ sont des formes linéaires à valeurs complexes sur A telles que pour ξ ∈ A, ad_{ξ} − λ(ξ)I restreinte à G_{λ} ⊗ C soit nilpotente (voir [B], chap. 1, exercice 12 page 127). Par construction, la forme linéaire nulle est dans Σ et A ⊂ G_{0}.

Soit u une fonction de L_{loc}^{p}(G) telle que du ∈ B_{ξ_{0}}^{1,p}(G). Montrons que si dim A/[A, A] ≥ 2, alors u est constante.

Soit λ ∈ Σ telle que ℜe(λ(ξ_{0})) ≤ 0. D’après le corollaire 34, pour tout champ de vecteurs invariant à gauche η ∈ G_{λ}, du(η) s’annule au sens des distributions. Par conséquent, u est invariante à droite par le sous-groupe engendré par η. Cela s’applique notamment à λ = 0, donc u est invariante à droite par A. En fait, du ∈ B^{1,p}(G, ξ) pour tout ξ ∈ A.

Supposons maintenant que λ ∈ Σ n’est pas proportionnel à τ. Alors il existe ξ_{1} ∈ A tel que τ(ξ_{1}) > 0 mais λ(ξ_{1}) ≤ 0. Comme u est invariante par le groupe à un paramètre de translations à droite engendré par ξ_{1} et du ∈ L_{−1}^{p}(G), le corollaire 34 s’applique, et du s’annule sur G_{λ}.

Notons Σ_{0} le sous-ensemble de Σ formé des racines proportionnelles à τ, et notons Σ_{1} son complémentaire. Notons H_{i} = ⨁_{λ∈Σ_{i}} N ∩ G_{λ}. Comme [G_{λ}, G_{λ′}] ⊂ G_{λ+λ′}, H_{0} est une

sous-algèbre de Lie, [H_{0}, H_{1}] ⊂ H_{1}. Comme H_{1} n’est pas une algèbre de Lie, on note H la sous-algèbre de Lie de N engendrée par H_{1}. Alors H est un idéal de N.

Comme dim A/[A, A] ≥ 2, on peut choisir un vecteur non nul ξ ∈ ker τ qui n’est pas dans N. Comme ad_{ξ} est nilpotente sur H_{0}, le sous-espace L = Rξ ⊕H_{0} de G est une sousalgèbre de Lie nilpotente. Son centre Z est donc non trivial. Montrons que Z ∩ N ≠ 0. Sinon, L serait une algèbre isomorphe à H_{0} ⊕ R dont le centre est de dimension au moins 2, donc coupe l’hyperplan H_{0}, contradiction. On peut donc choisir un vecteur non nul ζ ∈ N qui commute avec ξ et avec H_{0}.

Comme ζ commute à ξ et du est ξ-invariante et annulée par ξ, la proposition 33 s’applique et du(ζ) = 0. Notons \overline{u} la restriction à N de la fonction u. Elle est dans L_{−1,loc}^{p}. Montrons que d\overline{u} s’annule sur le champ de vecteurs invariant à droite ζ′ = j_{∗}ζ où j(n) = n^{−1}. En un point n = exp(η) de N, ζ′(n) coïncide avec le champ invariant à gauche − exp(ad_{η})(ζ). Or si η = η_{0} + η_{1} où η_{0} ∈ H_{0} et η_{1} ∈ H_{1}, alors ad_{η_{0}}(ζ) = 0 et ad_{η_{1}}(ζ) = −ad_{ζ}(η_{1}) ∈ H donc ad_{η}(ζ) ∈ H et comme H est un idéal, ad_{η}^{k}(ζ) ∈ H pour tout k ≥ 1. Par conséquent, exp(ad_{η})(ζ) − ζ ∈ H, et donc d\overline{u} s’annule sur ζ′.

On conclut que \overline{u} est invariante par un groupe à un paramètre Z de translations à gauche. Or d’après la proposition 30, la norme L^{p} + dL^{p} de du s’écrit

∥ du ∥_{L^{p}+dL^{p}(G)}^{p} = ∫_{N×N} |\overline{u}(n) − \overline{u}(n′)|^{p}κ(n^{−1}n′) dn dn′
= ∫_{N} I(n)^{p} dn

où la fonction I sur N est la norme de la fonction \overline{u} translatée à gauche, I(n) = J(\overline{u} ∘ L_{n}) où la norme J est donnée par

J(v) = (∫_{N} |v(ν) − v(1)|^{p}κ(ν) dν)^{1/p}.

pour une certaine fonction positive κ sur N. Comme N est nilpotent simplement connexe, le sous-groupe à un paramètre engendré par ζ est injectif et fermé (voir [B], chap. 3 page 236). La fonction I qui est Z-invariante et L^{p} est presque partout nulle. On conclut que pour presque tout n ∈ N, J(\overline{u} ∘ L_{n}) = 0, donc \overline{u} est constante, et u est constante.

On a donc montré que H^{1,p}(G) = 0 dès que dim A/[A, A] ≥ 2.

Désormais, on suppose que dim A = 1. Les formes linéaires λ ∈ Σ ne sont rien de plus que les nombres λ(ξ_{0}). On suppose que τ = τ(ξ_{0}) > 0. Soit u une fonction sur G, telle que du ∈ B^{1,p}(M, ξ). Montrons que si les parties réelles des nombres λ ∈ Σ ne sont pas toutes strictement positives, alors u est constante. Il suffit de montrer que sa restriction \overline{u} à N est constante. D’après le corollaire 34, du s’annule sur tous les espaces G_{λ} avec ℜeλ ≤ 0. Soit H la somme des espaces G_{λ} avec ℜeλ > 0. C’est une sous-algèbre de Lie de N, donc son centre est non trivial. Comme précedemment, on montre que d\overline{u} s’annule sur le champ de vecteurs invariant à droite ζ′ = j_{∗}(ζ). Alors \overline{u} est invariante par le groupe de translations à gauche exp(tζ′), et on en déduit que \overline{u} est constante.

On a donc montré que H^{1,p}(G) = 0 aussi lorsque dim A = 1 et les parties réelles des valeurs propres de ad_{A} ne sont pas toutes de même signe. Il reste le cas où G est le produit semi-direct d’un groupe de Lie nilpotent N par R agissant par une dérivation dont les valeurs propres ont une partie réelle strictement positive. Un tel groupe admet une métrique riemannienne invariante à courbure sectionnelle strictement négative, [He]. q.e.d.

Proposition 79 Soit N un groupe de Lie nilpotent de dimension n − 1, α une dérivation de N dont les valeurs propres ont des parties réelles 0 < λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} strictement positives. Soit G = R ×_{α} N. Posons

p(G) = \frac{λ_{1} + ⋯ + λ_{n−1}}{λ_{1}} .

Alors H^{1,p}(G) = 0 si p ≤ p(G) et R^{1,p}(G) ≠ 0 si p > p(G).

Preuve. Le résultat apparaît dans [P1] dans le cas particulier où α est semi-simple.

Le champ de vecteurs invariant à gauche ξ = \frac{∂}{∂t} satisfait tr (ad_{ξ}) = λ_{1} +⋯+λ_{n−1} > 0. Le théorème 2 s’applique et H^{1,p}(G) = B^{1,p}(G, ξ) est séparé.

Soit u une fonction sur G telle que du ∈ B^{1,p}(G, ξ). Soit λ ∈ C une valeur propre de α de partie réelle λ_{1} et η ∈ N un vecteur propre correspondant. Si p ≤ p(M), le corollaire 34 donne que du(η) = 0. On en déduit que du ∈ B^{1,p}(G, η), puis que d\overline{u} ∈ B^{1,p}(N, η). Soit ζ un vecteur non nul du centre de N. Alors ζ est un vecteur propre de ad_{η} pour la valeur propre 0. Comme Λ_{0}^{0} est de dimension 1, ad_{η} est semi simple sur Λ_{0}^{0}, et la proposition 33 s’applique. On trouve que du(ζ) = 0. Comme ζ est central, cela entraîne que \overline{u} est invariante par le groupe à 1 paramètre de translations à gauche engendré par ζ. Comme dans la preuve de la proposition 78, on conclut que \overline{u} est constante, autrement dit, H^{1,p}(G) = 0.

Inversement, si p > p(G), pour toute fonction lisse \overline{u} à support compact sur N, π^{∗}d\overline{u} est dans B^{1,p}(G, ξ). En effet, soit χ une fonction lisse sur R qui vaut 0 au voisinage de −∞ et 1 au voisinage de +∞. Le flot ϕ_{t} de ξ donne un difféomorphisme

R × N → G, (t, n) ↦ ϕ_{t}(0, n).

Posons u(t, n) = χ(t)\overline{u}(n). Comme p > p(G), Λ_{0}^{1} = Λ_{+}^{1} = 0 donc du ∈ L^{p}, idu = χ′(t)π^{∗}\overline{u}, Bdu = (1 − χ(t))π^{∗}\overline{u}, dBdu = χ′(t)π^{∗}\overline{u} dt + (1 − χ(t))π^{∗}d\overline{u} et P du = π^{∗}d\overline{u} ∈ B^{1,p}(G, ξ). En particulier, R^{1,p}(G) ≠ 0. q.e.d.

11.5 Preuve du théorème H

Soit M un espace homogène riemannien connexe non compact. Soit G son groupe d’isométries. Comme M et G sont quasiisométriques, T^{1,p}(M) = T^{1,p}(G). D’après le corollaire 72, s’il existe p > 1 tel que T^{1,p}(M) ≠ 0, alors G est une extension compacte d’un groupe de Lie résoluble unimodulaire. Inversement, si G est une extension compacte d’un groupe de Lie résoluble unimodulaire, alors pour tout p > 1, T^{1,p}(M) 0̸. L’annulation de R^{1,p}(M) résulte du théorème 83.

Désormais, nous pouvons supposer que T^{1,p}(M) = 0. D’après le lemme 75, M est quasiisométrique à un groupe de Lie résoluble G qui satisfait aux hypothèses de la proposition 78. De nouveau, T^{1,p}(G) = T^{1,p}(M) = 0 donc G n’est pas unimodulaire. S’il existe p > 1 tel que H^{1,p}(M) ≠ 0, alors R^{1,p}(G) ≠ 0. D’après la proposition 78, G admet une métrique invariante à courbure sectionnelle négative, et le détail est donné par la proposition 79. q.e.d.

Corollaire 80 Soit M un espace homogène riemannien simplement connexe. Soit p > 1. Si R^{1,p}(M) ≠ 0, alors H^{2,p}(M) = 0.

Preuve. D’après le théorème H et la proposition 79, si R^{1,p}(M) ≠ 0, alors M est quasiisométrique à un produit semi-direct G = R ×_{α} N où les parties réelles λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} des valeurs propres de α sont strictement positives et satisfont λ_{1} + ⋯ + λ_{n−1} − pλ_{1} > 0. Dans ce cas, le corollaire 53 donne que H^{2,p}(G) = 0. Comme M et G sont simplement connexes, par invariance sous quasiisométrie (théorème 3), H^{2,p}(M) = 0. q.e.d.

Remarque. L’hypothèse que M simplement connexe est nécessaire. En effet, le groupe M = SL(2, R), quasiisométrique au plan hyperbolique, satisfait R^{1,p}(M) ≠ 0 pour tout p > 1. En revanche, par dualité de Poincaré (proposition 82), R^{2,p}(M) ≠ 0 pour tout p > 1.

11.6 Preuve du corollaire 2

Soit M un espace homogène riemannien connexe non compact. L’espace des 1-formes harmoniques L^{2} sur M est isomorphe à R^{1,2}(M). J. Cheeger et M. Gromov [CG] ont montré que si M est une variété riemannienne fermée à l’infini qui revêt une variété compacte, alors R^{k,2}(M) = 0 pour tout k. Le même argument, fondé sur la dimension de Von Neumann, s’étend sans changement au cas des groupes de Lie fermés à l’infini. Par invariance sous quasiisométrie (corollaire 77), on a donc R^{1,2}(M) = 0 pour tout espace homogène riemannien fermé à l’infini.

D’après le théorème H, si R^{1,2}(M) ≠ 0, M est quasiisométrique à un espace homogène M′ à courbure sectionnelle strictement négative, et tel que p(M′) < 2. L’expression donnée par la proposition 79 montre que cela n’est possible que si dim M′ = 2. q.e.d.

12 Dualité de Poincaré

Le lemme suivant est essentiellement dû à V. Goldshtein et M. Troyanov, [GT].

Lemme 81 Soit M une variété riemannienne orientée complète de dimension n. Etant

donné p > 1, on note p′ l’exposant conjugué, i.e. tel que \frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1. Soit ω une k-forme

différentielle fermée et L^{p} sur M. Alors

• ω est non nulle en cohomologie L^{p} réduite si et seulement si il existe une n−k-forme fermée ψ ∈ L^{p′} telle que ∫_{M} ω ∧ ψ ≠ 0.

• ω est non nulle en cohomologie L^{p} si et seulement si il existe une suite ψ_{j} de n − kformes différentielles L^{p′} telles que ∫_{M} ω ∧ ψ_{j} ≥ 1 et ∥ dψ_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0.

Preuve.

Comme M est complète, pour toute n − 1-forme L^{1} dont la différentielle est L^{1}, on a

∫_{M} dω = 0.

Par conséquent, si ω ∈ Ω^{k,p}(M) et ψ ∈ Ω^{n−1−k,p′}(M),

∫_{M} ω ∧ dψ = (−1)^{k+1} ∫_{M} dω ∧ ψ.

Si ω ∈ Ω^{k,p}(M) est nulle en cohomologie L^{p} réduite, alors il existe une suite β_{j} ∈ Ω^{k−1,p}(M) telle que dβ_{j} converge vers ω dans L^{p}. Si ψ ∈ Ω^{n−1−k,p′}(M), il vient

∫_{M} ω ∧ ψ = lim_{j} ∫_{M} dβ_{j} ∧ ψ = lim_{j} ∫_{M} β_{j} ∧ dψ.

Par conséquent, pour toute forme fermée ψ ∈ Ω^{n−k,p′}(M), ∫_{M} ω ∧ ψ = 0.

Inversement, si ω ∈ Ω^{k,p}(M) n’est pas nulle en cohomologie réduite, alors, d’après Hahn-Banach, il existe une forme linéaire continue L sur L^{p}Ω^{k}(M) qui s’annule sur l’adhérence de l’image dΩ^{k−1,p}(M) mais pas sur ω. Par dualité de L^{p} et L^{p′}, il existe une forme ψ ∈ L^{p′}Ω^{n−k}(M) telle que pour tout γ ∈ L^{p}Ω^{k}(M), L(γ) = ∫_{M} γ ∧ ψ. Si β est lisse et à support compact, on a 0 = L(dβ) = ∫_{M} dβ ∧ ψ, i.e. dψ = 0 au sens des distributions. On conclut que ψ ∈ Ω^{n−1−k,p′}(M) est fermée et satisfait ∫_{M} ω ∧ ψ ≠ 0.

Si ω ∈ Ω^{k,p}(M) est nulle en cohomologie L^{p}, i.e. ω = dβ où β ∈ Ω^{k−1,p}(M), alors pour tout ψ ∈ Ω^{n−1−k,p′}(M),

∫_{M} ω ∧ ψ = ∫_{M} β ∧ dψ ≤ ∥ β ∥_{L^{p}}∥ dψ ∥_{L^{p′}}

donc si ∥ dψ_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0, il en est de même de ∫_{M} ω ∧ ψ_{j}.

Inversement, soit ω ∈ Ω^{k,p}(M) une forme fermée. Si ω n’est pas nulle en cohomologie réduite, il existe une n − k-forme fermée ψ ∈ L^{p′} telle que ∫_{M} ω ∧ ψ ≠ 0. La suite stationnaire ψ_{j} = ψ pour tout j convient. Supposons désormais que ω est nulle en cohomologie réduite. On définit une forme linéaire L sur dΩ^{n−k,p′}(M) comme suit. Etant donné γ ∈ dΩ^{n−k,p′}(M), on choisit ψ ∈ Ω^{n−k,p′}(M) tel que dψ = γ et on pose L(γ) = ∫_{M} ω ∧ ψ. Comme l’intégrale de ω contre une forme fermée est toujours nulle, le résultat ne dépend pas du choix de ψ. Supposons qu’il n’existe pas de suite ψ_{j} ∈ Ω^{n−1−k,p′}(M) telle que ∫_{M} ω ∧ψ_{j} ≥ 1 et ∥ ψ_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0. Alors la forme linéaire L est continue pour la norme L^{p′}. Par Hahn-Banach, L se prolonge en une forme linéaire continue sur L^{p′}Ω^{n−k+1}(M). Par dualité entre L^{p} et L^{p′}, il existe une k − 1-forme β ∈ L^{p} telle que pour tout γ ∈ L^{p′}Ω^{n−k+1}(M), L(γ) = (−1)^{k} ∫_{M} β ∧ γ. Si ψ est lisse à support compact,

∫_{M} β ∧ dψ = (−1)^{k} ∫_{M} ω ∧ ψ

donc dβ = ω au sens des distributions. Par conséquent, β ∈ Ω^{k−1,p}(M) et ω est nulle en cohomologie L^{p}. q.e.d.

Corollaire 82 Soit M une variété riemannienne complète de dimension n. Soit p > 1 et p′ = p/p − 1. Alors

R^{k,p}(M) ⇔ R^{n−k,p′}(M) = 0, T^{k,p}(M) = 0 ⇔ T^{n−k+1,p′}(M) = 0.

Preuve. L’énoncé sur la cohomologie réduite résulte immédiatement du lemme 81.

Supposons que T^{n−k+1,p′}(M) = 0. D’après le lemme 66, il existe une constante C telle que pour tout ψ ∈ Ω^{n−k,p′}(M), il existe γ ∈ Ω^{n−k,p′}(M) telle que dγ = dψ et ∥ γ ∥_{L^{p′}} ≤ C ∥ dψ ∥_{L^{p′}}. Soit ω ∈ Ω^{k,p}(M) une forme fermée, nulle en cohomologie réduite. Alors

∫_{M} ω ∧ ψ = ∫_{M} ω ∧ γ

est contrôlée par ∥ dψ ∥_{L^{p′}}. Par conséquent, il n’existe pas de suite ψ_{j} de n − k-formes différentielles L^{p′} telles que ∫_{M} ω ∧ ψ_{j} ≥ 1 et ∥ dψ_{j} ∥_{L^{p′}} tende vers 0. On conclut que ω est nulle en cohomologie L^{p′}. q.e.d.

Remarque. Plus généralement, R^{k,p}(M) est isomorphe au dual de R^{n−k,p′}(M). On aimerait dire que T^{k,p}(M) = Ext(T^{n−k+1,p′}(M), R) dans une catégorie adéquate.

13 Groupes de Lie nilpotents

13.1 Annulation de la cohomologie réduite

La remarque suivante apparaît entre autres dans [G2]. Elle s’applique notamment aux groupes nilpotents.

Proposition 83 Soit G un groupe de Lie simplement connexe dont l’algèbre de Lie a un centre non trivial. Alors la cohomologie L^{p} réduite de G est nulle en tous degrés.

Preuve. Un vecteur non nul du centre donne un champ de vecteurs de Killing ξ de longueur constante. La formule

(ϕ_{t})^{∗}ω − ω = d ∫_{0}^{t}(ϕ_{s})^{∗}ι_{ξ}ω ds + ∫_{0}^{t}(ϕ_{s})^{∗}ι_{ξ}dω ds

montre que le flot de ξ agit trivialement sur la cohomologie L^{p}. Soit ω une forme fermée L^{p} non nulle en cohomologie réduite. Il existe donc une forme fermée L^{p′} ψ telle que ∫_{G} ω ∧ ψ ≠ 0. Comme le flot ϕ_{t} est l’identité en cohomologie,

∫_{G}(ϕ_{t})^{∗}ω ∧ ψ = ∫_{G} ω ∧ ψ

pour tout t.

On utilise maintenant le fait que l’action de R sur G par le flot de ξ est propre. Soit K un compact tel que la norme L^{p} (resp. L^{p′}) de ω (resp. ψ) dans G \ K soit petite. Soit t tel que ϕ_{t}(K) soit disjoint de K. Alors

∫_{G}(ϕ_{t})^{∗}ω ∧ ψ ≤ ∥ ω ∥_{L^{p}(G\K}∥ ψ ∥_{L^{p′}(G)} + ∥ ψ ∥_{L^{p′}(G\K}∥ ω ∥_{L^{p}(G)}

est petit, contradiction. q.e.d.

13.2 Torsion des produits directs

Soient M_{1} et M_{2} deux variétés riemanniennes complètes. Si la torsion T^{∗,p}(M_{1}) est identiquement nulle, alors H^{∗,p}(M_{1} × M_{2}) = H^{∗,p}(M_{1}) ⊗ H^{∗,p}(M_{2}). En présence de torsion, c’est moins simple. Supposons que T^{k_{1},p}(M_{1}) ≠ 0 et T^{k_{2},p}(M) ≠ 0. D’après le lemme 81, il existe des formes fermées L^{p} e_{i} sur M_{i} et des formes L_{p′} e′_{i,j} telles que

∫_{M_{i}} e_{i} ∧ e′_{i} = 1 et ∥ de′_{i,j} ∥_{L^{p′}} tende vers 0.

La forme fermée L^{p} ω = e_{1} ∧ e_{2} sur M_{1} × M_{2} est elle non nulle en cohomologie ? Pour l’affirmer, il faudrait contrôler la norme de d(e′_{1,j} ∧ e′_{2,j}), c’est-à-dire celle de e′_{1,j} et de e′_{2,j}. Ceci motive la définition suivante.

Définition 84 Soit M une variété riemannienne complète de dimension n. On note H_{o}^{k,p}(M) le sous-ensemble de H^{k,p}(M) formé des classes qui contiennent une forme ω ayant la propriété suivante. Il existe une suite ω′_{j} ∈ Ω^{n−k,p′}(M) telle que

1. les intégrales ∫_{M} ω ∧ ω′_{j} ne tendent pas vers 0 ;

2. les normes ∥ ω′_{j} ∥_{L^{p′}} tendent vers +∞ polynomialement en j ;

3. les normes ∥ dω′_{j} ∥_{L^{p′}} tendent vers 0 exponentiellement en j.

Enfin, on note T_{o}^{k,p}(M) = H_{o}^{k,p}(M) ∩ T^{k,p}(M).

Proposition 85 Soient M_{1} et M_{2} des variétés riemanniennes complètes. Si les sousensembles H_{o}^{k_{1},p}(M_{1}) et H_{o}^{k_{2},p}(M_{2}) sont non vides, alors H_{o}^{k_{1}+k_{2},p}(M_{1} × M_{2}) est non vide. En particulier, H^{k_{1}+k_{2},p}(M_{1} × M_{2}) ≠ 0.

Si k_{1} = n_{1} ou bien si k_{2} = n_{2}, le résultat est plus précis: si T_{o}^{k_{1},p}(M_{1}) et T_{o}^{k_{2},p}(M_{2}) sont non vides, alors T_{o}^{k_{1}+k_{2},p}(M_{1} × M_{2}) est non vide. En particulier, T^{k_{1}+k_{2},p}(M_{1} × M_{2}) ≠ 0.

Preuve. Soient ω_{1} ∈ Ω^{k,p}(M_{1}) (resp. ω_{2} ∈ Ω^{ℓ,p}(M_{2})) des formes fermées. Supposons qu’il existe des formes ω′_{1,j} ∈ Ω^{n_{1}−k_{1},p′}(M_{1}) (resp. ω′_{2,j} ∈ Ω^{n_{2}−k_{2},p′}(M_{2})) comme dans la définition 84. Posons ω = π_{1}^{∗}ω_{1} ∧ π_{2}^{∗}ω_{2} et ω′_{j} = π_{1}^{∗}ω_{1,j} ∧ π_{2}^{∗}ω_{2,j}. Alors ω est fermée et L^{p} et les formes ω′_{j} satisfont aux hypothèses de la définition 84, donc la classe de cohomologie de ω est dans H_{o}^{k_{1}+k_{2},p}(M_{1} × M_{2}).

Supposons maintenant que k_{1} = n_{1} et que ω_{2} est de torsion. Soit ϕ une (n_{2} −k_{2})-forme fermée L^{p′} sur M_{1} × M_{2}. La restriction de ϕ à presque tout facteur {∗} × M_{2} est fermée et L^{p′}, donc pour presque tout x_{1} ∈ M_{1},

∫_{M_{2}} ω_{2} ∧ ϕ_{|{x_{1}}×M_{2}} = 0.

Il vient

∫_{M_{1}×M_{2}} ω ∧ ϕ = ∫_{M_{1}} ω_{1} ∧ ∫_{M_{2}} ω_{2} ∧ ϕ = 0,

autrement dit, ω est de torsion. q.e.d.

13.3 Torsion et spectre du laplacien

Lorsque p = 2, il n’y a pas lieu de se préoccuper du sous-ensemble T_{o}^{∗,p}.

Proposition 86 Soit M une variété riemannienne. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

1. T_{0}^{2,k}(M) ≠ ∅ ;

2. T^{2,k}(M) ≠ 0 ;

3. 0 est un point d’accumulation du spectre du laplacien restreint aux k-formes cofermées.

Preuve. 2 entraîne 3. Si 0 est un point isolé du spectre du laplacien restreint aux kformes cofermées, il existe une constante C telle que pour tout k-forme cofermée ϕ ∈ Ω^{k,2}(M), orthogonale aux formes harmoniques,

⟨ϕ, ϕ⟩ ≤ C ⟨d^{∗}dϕ, ϕ⟩.

Alors ∥ ϕ ∥ ≤ C ∥ dϕ ∥ pour ϕ cofermée orthogonale aux formes harmoniques. Cela entraîne que d(ker d^{∗}) est fermé, donc que l’image de d est fermée, i.e. que T^{2,k}(M) = 0.

3 entraîne 1. Supposons que 0 est un point d’accumulation du spectre du laplacien restreint aux k-formes cofermées. Soit ϵ_{j} une suite décroissant strictement vers 0, de sorte que pour tout j le projecteur spectral

Π_{j} = 1_{]ϵ_{j+1},ϵ_{j}[}(d^{∗}d)

correspondant à l’intervalle ]ϵ_{j+1}, ϵ_{j}[ soit non nul. On peut demander que la suite ϵ_{j} tende vers 0 exponentiellement. Pour chaque j, on choisit un vecteur unitaire ϕ_{j} dans l’image de Π_{j}. Alors ∥ dϕ_{j} ∥ ≤ \sqrt{ϵ_{j}}. On pose

ω = ∑_{j} \frac{1}{j} ∗ ϕ_{j}.

C’est une forme fermée L^{2}. Posons ω′_{j} = jϕ_{j}. Alors ω′_{j} ∈ Ω^{2,k}(M) et

∫_{M} ω ∧ ω′_{j} = ±⟨∗ω, ω_{j}⟩ = ±1

ne tend pas vers 0. De plus ∥ ω_{j} ∥ = j et ∥ dω_{j} ∥ ≤ j\sqrt{ϵ_{j}} tend vers 0 exponentiellement. Par conséquent, ω ∈ T_{0}^{2,k}(M). q.e.d.

13.4 Non nullité de la torsion des groupes abéliens

En revanche, pour p ≠ 2, je ne sais montrer que T_{o}^{∗,p} est non vide qu’en en construisant directement des éléments. Commençons par le cas de la droite réelle. Lemme 87 L’ensemble T_{o}^{1,p}(R) est non vide. Plus précisément, il existe une 1-forme L^{p} a dt et une suite u_{j} de fonctions lisses à support compact sur R telles que

1. ∫_{R} u_{j}a dt ne tend pas vers 0 ;

2. ∥ u_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers +∞ polynomialement en j ;

3. ∥ u′_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0 exponentiellement en j.

On a de plus les propriétés suivantes :

4. ∫_{R} |sa′(s)|^{p} ds < +∞ ;

5. les fonctions a et −u_{j} sont décroissantes sur [1, +∞[ ;

6. les fonctions a et u_{j} sont paires et s’annulent au voisinage de 0 ;

7. ∥ u_{j} ∥_{L^{∞}} tend vers 0 exponentiellement en j ;

8. pour tout ϵ > 0, ∥ s^{1−ϵ}u′_{j} ∥_{L^{p′}} et ∥ s^{−ϵ}u_{j} ∥_{L^{p′}} tendent vers 0 exponentiellement. Preuve. Soit χ une fonction lisse et paire sur R, à support dans [−1, 1], qui vaut 1 au voisinage de 0. On pose

a(x) = (1 − χ(x))|x|^{− \frac{1}{p}} (log |x|)^{−1} si |x| ≥ e,

a(x) = (1 − χ(x))e^{− \frac{1}{p}} sinon.

On définit une suite de fonctions v_{j} paires, décroissantes sur [0, +∞[ par

v_{j}(x) = 2(1 − χ(x))2e^{− \frac{j}{p′}} si |x| ≤ e^{j},
v_{j}(x) = 2j |x|^{− \frac{1}{p′}} (log |x|)^{−1} si e^{j} ≤ |x| ≤ e^{2j},
v_{j}(x) = e^{− \frac{2j}{p′}} (e^{j} + 1 − e^{−j}|x|) si e^{2j} ≤ |x| ≤ e^{2j}(1 + j^{−1}),
v_{j}(x) = 0 sinon.

Comme p > 1, a et sa dérivée sont L^{p}. De plus sa′(s) ∼ −\frac{1}{p}a(s) donc ∫ |sa′(s)|^{p} ds < +∞. Par construction, v′_{j} est nulle sur [0, e^{j}], constante sur [e^{j}, e^{2j}(1 + j^{−1})]. Sur l’intervalle [e^{j}, e^{2j}(1 + j^{−1})], |v′_{j}| est majorée par const.j s^{−1−1/p′}(log s)^{−1}. On calcule

∫_{0}^{e^{j}} av_{j} = o(1), ∫_{e^{j}}^{e^{2j}} av_{j} = 1, ∫_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{−1})} av_{j} = O(j^{−1}),

∫_{0}^{e^{j}} |v_{j}|^{p′} = 2^{p′}, ∫_{e^{j}}^{e^{2j}} |v_{j}|^{p′} = O(j), ∫_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{−1})} |v_{j}|^{p′} = O(j^{−1}),
∫_{0}^{e^{j}} |v′_{j}|^{p′} = 0, ∫_{e^{j}}^{e^{2j}} |v′_{j}|^{p′} = O(j^{p′}e^{−p′j}),
∫_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{−1})} |v′_{j′}|^{p′} = O(j^{p′−1}e^{−2p′j}), ∫_{1}^{e^{j}} |s^{−ϵ}v_{j}|^{p′} = O(je^{−ϵp′j}),
∫_{e^{j}}^{e^{2j}} |s^{−ϵ}v_{j}|^{p′} = O(j^{p′}e^{−ϵp′j}), ∫_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{−1})} |s^{−ϵ}v_{j}|^{p′} = O(j^{−1}e^{−2ϵp′j}),
∫_{0}^{e^{j}} |s^{1−ϵ}v′_{j}|^{p′} = 0, ∫_{e^{j}}^{e^{2j}} |s^{1−ϵ}v′_{j}|^{p′} = O(j^{p′}e^{−ϵp′j}),
∫_{e^{2j}}^{e^{2j}(1+j^{−1})} |s^{1−ϵ}v′_{j}|^{p′} = O(j^{p′−1}e^{−2ϵp′j}).

Une approximation u_{j} lisse et à support compact de v_{j} convient. q.e.d.

Corollaire 88 T^{k,p}(R^{n}) ≠ 0 pour k = 1, …, n.

Preuve. Montrons d’abord que T_{o}^{1,p}(R^{n}) est non vide.

Dans R^{n}, on note r la distance euclidienne à l’origine. Soit θ′ = dx_{2} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} une (n − 1)-forme parallèle. La forme dr ∧ θ étant homogène de degré 0, elle s’écrit

dr ∧ θ′ = h dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n}

où la fonction h est lisse en dehors de l’origine et homogène de degré 0. Elle n’est pas identiquement nulle. Par homogénéïté, |h| et r|dh| sont bornées.

Soient a et u_{j} les fonctions fournies par le lemme 87. On considère les formes différentielles ω = a(r^{n}) dr et ω′_{j} = u_{j}(r^{n})hθ′ sur R^{n}. On vérifie que

∥ ω ∥_{L^{p}} = const.(∫_{0}^{+∞} |a(r^{n})|^{p}r^{n−1} dr)^{1/p} = const.∥ a ∥_{L^{p}}

est finie, que

∫_{R^{n}} ω ∧ ω′_{j} = ∫_{S^{n−1}} h^{2} ∫_{0}^{+∞} a(r^{n})u_{j}(r^{n})r^{n−1} dr = C ∫_{R} au_{j}

ne tend pas vers 0, et que

∥ ω′_{j} ∥_{L^{p′}} = const.(∫_{0}^{+∞} |u_{j}(r^{n})|^{p′}r^{n−1} dr)^{1/p′} = const.∥ u_{j} ∥_{L^{p′}}

tend vers +∞ polynomialement.

On calcule

dω′_{j} = nr^{n−1}u′_{j}(r^{n})h dr ∧ θ′ + u_{j}(r^{n}) dh ∧ θ′,

et on majore

∥ r^{n−1}u′_{j}(r^{n})h ∥_{L^{p′}} ≤ const.(∫_{0}^{+∞} |r^{n−1}u′_{j}(r^{n})|^{p′}r^{n−1} dr)^{1/p′}
= const.∥ s^{n−1/n}u′_{j}(s) ∥_{L^{p′}}

puis

∥ u_{j}(r^{n}) dh ∥_{L^{p′}} ≤ const.(∫_{0}^{+∞} |r^{−1}u_{j}(r^{n})|^{p′}r^{n−1} dr)^{1/p′}
= const.∥ s^{−1/n}u_{j}(s) ∥_{L^{p′}}

qui tendent vers 0 exponentiellement, d’après le lemme 87. On conclut que ω est dans H_{o}^{1,p}(R^{n}), donc dans T_{o}^{1,p}(R^{n}) puisque la cohomologie réduite est nulle.

Pour avoir le cas général, il suffit d’appliquer suffisamment de fois la proposition 85. q.e.d.

13.5 Cas des groupes de Lie nilpotents simplement connexes

Lemme 89 Soit N un groupe de Lie nilpotent simplement connexe, muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. On note d la dimension homogène de N, i.e. d = ∑ idim N^{i}/N^{i+1} où N^{i} = [N, N^{i−1}] est la suite centrale descendante. Il existe une fonction lisse ρ sur N telle que

• si η et η′ sont des champs de vecteurs invariants à gauche sur N, les dérivées ηρ et ρ|η′ηρ| sont bornées ;

• le volume de l’ensemble de niveau {ρ < R} vaut const.R^{d} ;

• soit η un champ de vecteurs invariant à gauche ; on pose z(R) = ∫_{{ρ<R}}(ηρ)^{2} ; si η

n’est pas dans [N , N], alors z′(R) ≥ const.R^{d−1}.

Preuve. Comme N est nilpotent simplement connexe, l’application exponentielle est un difféomorphisme exp : N → N. Comme l’algèbre de Lie N est nilpotente, l’application

naturelle j : N → gr(N) = ⨁_{k=1}^{r} N^{i}/N^{i+1} est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On

note D = (2r)!. Soient x_{i,ℓ} des coordonnées sur N^{i}/N^{i+1}. Soit ν la fonction définie sur gr(N) par

ν(x) = (∑_{i,ℓ} |x_{i,ℓ}|^{D/i})^{1/D}.

Enfin, on pose ρ = ν ∘ j ∘ exp^{−1}. Alors ρ est lisse (sauf en 0, ce qui est sans importance).

Comme le difféomorphisme j∘exp^{−1} préserve le volume, vol({ρ < R}) = vol({ν < R}). Enfin l’application linéaire δ_{R} : gr(N) → gr(N) qui vaut R^{i} sur N^{i}/N^{i+1} a pour jacobien R^{d} et satisfait ν ∘ δ_{R} = Rν, donc

vol({ν < R}) = R^{d}vol({ν < 1}) = const.R^{d}.

Un polynôme P sur N est dit δ-homogène de δ-degré q s’il existe un entier q tel que P ∘ δ_{R} = R^{q}P. Tout polynôme P sur N se décompose en somme de polynômes δ-homogènes, et le plus grand degré des composantes s’appelle le δ-degré de P.

La δ-graduation des polynômes s’étend en une δ-graduation de l’espace des champs de vecteurs à coefficients polynômiaux sur gr(N). Un champ de vecteurs constant sur gr(N), à valeurs dans N^{i}/N^{i+1} est δ-homogène de degré −i. Si η ∈ N est dans N^{i} mais pas dans N^{i+1}, le champ de vecteurs invariant à gauche sur N correspondant, une fois transporté sur gr(N), est à coefficients polynômiaux, et son degré est exactement −i. Dériver suivant un champ de vecteurs invariant à gauche η abaisse le degré d’au moins une unité. C’est évident lorsque l’algèbre de Lie N est graduée, i.e. lorsque j est un isomorphisme. En effet, dans ce cas, les champs de vecteurs invariants à gauche sont δ-homogènes. Pour le cas général, voir par exemple [P5] page 499.

La fonction s = ρ^{D} est un polynôme δ-homogène de degré D. Par conséquent, si η et η′ sont des champs de vecteurs invariants à gauche, ηs et η′ηs sont des polynômes de δ-degré au plus égal à D − 1 et D − 2 respectivement. Il existe donc une constante C telle que

|ηs| ≤ C ρ^{D−1} et |η′ηs| ≤ C ρ^{D−2}

d’où

|ηρ| = \frac{1}{D} ρ^{1−D}|ηs| ≤ const..

et

|η′ηρ| = \frac{1}{D} (1 − \frac{1}{D})ρ^{1−2D}|ηs|^{2} + \frac{1}{D} ρ^{1−D}|η′ηs| ≤ const.ρ^{−1}.

Soit η un champ de vecteurs invariant à gauche sur N, qui n’est pas dans N^{2}. Alors la fonction (ηs)^{2} (une fois transportée sur gr(N)) est un polynôme de δ-degré exactement 2D − 2. Par conséquent, (ηs)^{2} ∘ δ_{R} est un polynôme en R de degré 2D − 2.

On pose

w(R) = ∫_{{ρ<R}}(ηs)^{2} et z(R) = ∫_{{ρ<R}}(ηρ)^{2}.

Alors

w(R) = R^{d} ∫_{{ρ<1}}(ηs)^{2} ∘ δ_{R}

est un polynôme en R de degré d + 2D − 2, donc sa dérivée w′ est équivalente à const. R^{d+2D−3}. De l’équation w′(R) = D^{2}R^{2D−2}z′(R), on tire que z′ est équivalente à const. R^{d−1}. q.e.d.

Proposition 90 Soit N un groupe de Lie nilpotent simplement connexe de dimension n, muni d’une métrique riemannienne invariante à gauche. On suppose qu’il existe des formes fermées invariantes à gauche θ (de degré k − 1) et θ′ (de degré n − k) telles que le champ de vecteur η tel que θ ∧ θ′ = ι_{η}vol ne soit pas dans [N , N]. Alors T_{o}^{k,p}(N) est non vide.

Preuve. On note d la dimension homogène de N et vol son élément de volume. Soit ρ la fonction fournie par le lemme 13.5. On va intégrer des fonctions sur N qui ne dépendent que de ρ. On utilisera la formule de la coaire sous la forme

∫_{N} f(ρ)g vol = ∫_{0}^{+∞} f(R)G′(R) dR où G(R) = ∫_{{ρ<R}} g.

On définit une fonction lisse (sauf peut-être à l’origine) h sur N par

dρ ∧ θ ∧ θ′ = h vol.

Si η est le champ de vecteurs invariant à gauche tel que ι_{η}vol = θ ∧ θ′, alors h = ηρ. Par hypothèse, η ∉ [N , N]. D’après le lemme 13.5, h et ρ|dh| sont bornés sur N et la fonction (ηρ)^{2} est asymptotiquement homogène de degré 0.

Soient a et u_{j} les fonctions fournies par le lemme 87.

On considère les formes différentielles ω = a(ρ^{d}) dρ ∧ θ et ω′_{j} = u_{j}(ρ^{d})hθ′ sur N. On vérifie que

∥ ω ∥_{L^{p}} = (∫_{N} |a(ρ^{d})|^{p} vol)^{1/p}
= const.(∫_{0}^{+∞} |a(R^{d})|^{p}R^{d−1} dR)^{1/p}
= const.∥ a ∥_{L^{p}}

est finie, que

∫_{N} ω ∧ ω′_{j} = ∫_{N} a(ρ^{d})u_{j}(ρ^{d})(ηρ)^{2} vol
= ∫_{0}^{+∞} a(R^{d})u_{j}(R^{d})z′(R) dR
≥ const. ∫_{0}^{+∞} a(R^{d})u_{j}(R^{d})R^{d−1} dR
= const. ∫_{R} au_{j}

ne tend pas vers 0, et que

∥ ω′_{j} ∥_{L^{p′}} = (∫_{N} |hu_{j}(ρ^{d})|^{p′} vol)^{1/p′}
≤ const.(∫_{0}^{+∞} |u_{j}(R^{d})|^{p′}R^{n−1} dR)^{1/p′}
= const.∥ u_{j} ∥_{L^{p′}}

tend vers +∞ polynomialement.

On calcule

dω′_{j} = dρ^{d−1}u′_{j}(ρ^{d})h dr ∧ θ′ + u_{j}(ρ^{d}) dh ∧ θ′,

et on majore

∥ ρ^{d−1}u′_{j}(ρ^{d})h ∥_{L^{p′}} ≤ const.(∫_{0}^{+∞} |R^{d−1}u′_{j}(R^{d})|^{p′}R^{d−1} dR)^{1/p′}
= const.∥ s^{n−1/n}u′_{j}(s) ∥_{L^{p′}}

puis

∥ u_{j}(ρ^{d}) dh ∥_{L^{p′}} ≤ const.(∫_{0}^{+∞} |R^{−1}u_{j}(R^{d})|^{p′}R^{d−1} dR)^{1/p′}
= const.∥ s^{−1/n}u_{j}(s) ∥_{L^{p′}}

qui tendent vers 0 exponentiellement, d’après le lemme 87. On conclut que ω est dans H_{o}^{k,p}(N), donc dans T_{o}^{k,p}(N) puisque la cohomologie réduite est nulle. q.e.d.

Corollaire 91 Soit N le groupe de Heisenberg. Alors T^{k,p}(N) ≠ 0 pour tout k = 0, …, dim N.

Preuve. Par définition, N^{2} est de dimension 1. Soit N_{1} un supplémentaire de N^{2}. Alors le crochet de Lie N_{1} × N_{1} → N^{2} est donné par une forme symplectique ω sur N_{1}. Autrement dit, la 1-forme invariante τ qui engendre N^{2} a pour différentielle ω ∈ Λ^{2}N_{1}^{∗} ⊂ Λ^{2}N^{∗} vue comme 2-forme invariante, et les éléments de Λ^{∗}N_{1}^{∗} donnent des formes invariantes fermées sur N.

Notons 2m = dim N_{1}, de sorte que n = dim N = 2m + 1. Pour k ≤ m + 1, la multiplication extérieure par ω est surjective Λ^{2m−k+1}N_{1}^{∗} → Λ^{2m−k+3}N_{1}^{∗} donc elle n’est pas injective. Il existe donc des 2m − k + 1-formes non nulles ψ ∈ Λ^{2m−k+1}N_{1}^{∗} telles que ψ ∧ω = 0. La 2m−k +2-forme invariante θ′ = ψ ∧τ est fermée. Comme ψ est non nulle, il existe une k −1-forme θ ∈ Λ^{k−1}N_{1}^{∗} telle que ψ ∧θ′ ≠ 0. Alors θ est fermée et θ ∧θ′ = ι_{η}vol où η est non nul et dans N_{1}, donc n’est pas dans [N , N]. D’après la proposition 90, cela prouve que T^{k,p}(N) ≠ 0 pour k ≤ m + 1. En changeant k en 2m + 2 − k et en échangeant les rôles de θ et ψ, on trouve que T^{k,p}(N) ≠ 0 pour k ≥ m + 2. q.e.d.

14 Non nullité de cohomologie

En utilisant le critère de dualité 81, on montre que la cohomologie L^{p} de certains produits semi-directs est non nulle. Les résultats principaux de cette section sont les corollaires 93, 95 et 98.

On étudie des produits semi-directs G = R ×_{α} H où α est une dérivation de l’algèbre de Lie H. On note ξ = \frac{∂}{∂t} le champ de vecteurs invariant à gauche sur G, tel que α = ad_{ξ} restreinte à H, π : G → H la projection le long des orbites de ξ et t la fonction sur G définie par g exp(t(g)ξ) ∈ H.

Fixons un réel p > 1. On note Λ_{+(p)}^{∗} (resp. Λ_{0(p)}^{∗}, resp. Λ_{−(p)}^{∗}) la somme des espaces caractéristiques de α dans l’algèbre extérieure Λ^{∗}H^{∗} relatifs aux valeurs propres de partie réelle supérieure (resp. égale, resp. inférieure) à tr (α)/p. Une forme différentielle e sur H se décompose en e = e_{+} + e_{0} + e_{−} et la différentielle extérieure se décompose en d = d_{+(p)} + d_{0(p)} + d_{−(p)}.

14.1 Non nullité de la cohomologie réduite

Proposition 92 Supposons qu’il existe des formes e ∈ Ω^{k−1,p}(H) et e′ ∈ Ω^{n−k−1,p′}(H) telles que

• d_{+(p)}e = 0, d_{+(p′)}e′ = 0, d_{0(p)}e = 0 et d_{0(p′)}e′ = 0 ;

• ∫_{H} e ∧ de′ ≠ 0.

Alors R^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve. On pose a = de et a′ = −de′. Comme d_{0}e = 0, a_{−} = de donc da_{−} = 0 et a fortiori d_{+}a_{−} = 0. Aussi a_{+} = 0, donc d_{−}a_{+} = 0 et les hypothèses du lemme 35 sont satisfaites pour a. Il en est de même pour a′. De plus, les formes différentielles ω(s, a, e)

et ω(s′, a′, e′) sur G sont fermées, et ∫_{G} ω(s, a, e) ∧ ω(s′, a′, e′) ≠ 0 pour s′ suffisamment

négatif. D’après le lemme 81, la forme ω(s, a, e) est non nulle en cohomologie réduite. q.e.d.

Corollaire 93 On considère le produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1} où α une matrice carrée n − 1 × n − 1. On note λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1} les parties réelles des valeurs propres de α. On suppose qu’elles sont strictement positives. Pour k = 1, …, n − 1, on note w_{k} = λ_{1} + ⋯ + λ_{k} et W_{k} = λ_{n−k} + ⋯ + λ_{n−1}. Etant donné I ⊂ {1, …, n − 1}, on note λ_{I} = ∑_{i∈I} λ_{i}. S’il existe une partie I ⊂ {2, …, n − 1} à k − 1 éléments telle que λ_{I} < w_{n−1}/p < λ_{I} + λ_{1}, alors R^{k,p}(G) ≠ 0. En particulier, si W_{k−1} < w_{n−1}/p < λ_{1} + W_{k−1}, ou bien si w_{k} − λ_{1} < w_{n−1}/p < w_{k}, alors R^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve. Soient b et b′ deux fonctions lisses à support compact sur R^{n−1}. Soit I ⊂ {2, …, n − 1}, soit I′ son complémentaire dans l’ensemble {2, …, n − 1}. Choisissons une base de C^{n−1} dans laquelle α est triangulaire. On note dx_{I} le produit des dx_{i} pour i ∈ I et on pose

e = b dx_{I} et e′ = b′ dx_{I′}.

Alors de est une combinaison linéaire d’expressions de la forme dx_{i} ∧ dx_{I} où i ∉ I. Par conséquent, si w_{n−1} − p(λ_{1} + λ_{I}) < 0, alors de ∈ Λ_{−(p)}^{k}. De même, si w_{n−1} − pλ_{I} > 0, alors w_{n−1} − p′(λ_{1} + λ_{I′}) < 0, donc de′ ∈ Λ_{−(p′)}^{k}. Enfin

∫_{R^{n−1}} e ∧ de′ = ∫_{R^{n−1}} b\frac{∂b′}{∂x_{1}} ≠ 0

(choisir b = ∂b′/∂x_{1} ≠ 0). D’après la proposition 92, R^{k,p}(G) ≠ 0.

Les choix I = {2, …, k} et I = {n − k + 1, …, n − 1} donnent les cas particuliers annoncés. q.e.d.

14.2 Preuve du théorème E

Degré 1. Soit n ≥ 2. L’espace hyperbolique réel est isométrique au produit semi-direct M = R ×_{α} R^{n−1}. D’après le corollaire 93, R^{1,p}(M) ≠ 0 pour tout p > n − 1.

Degré n − 1. S’en déduit par dualité de Poincaré.

Degré k = 2, …, n − 2. Supposons n ≥ 4. Soient x ≥ k − 1 et y ≥ n − k − 1 des réels. Posons λ_{1} = 1, λ_{i} = x/k − 1 pour 2 ≤ i ≤ k et λ_{i} = y/n − k − 1 pour k + 1 ≤ i ≤ n − 1. Alors

\frac{w_{n−1}}{w_{k} − \frac{1}{2}λ_{1}} = \frac{1 + x + y}{x + \frac{1}{2}}

tend vers 1 lorsque x tend vers +∞ et vers 0 lorsque y tend vers +∞. Par conséquent, pour tout p > 1, il existe x ≥ k − 1 et y ≥ n − k − 1 tels que

p = \frac{1 + x + y}{x + \frac{1}{2}} .

Alors p = \frac{w_{n−1}}{w_{k} − \frac{1}{2}λ_{1}} satisfait w_{k} − λ_{1} < w_{n−1}/p < w_{k}. Si G est le produit semi-direct

de R avec R^{n−1} défini par la matrice diagonale de valeurs propres λ_{1}, …, λ_{n−1}, alors R^{k,p}(G) = 0. q.e.d.

14.3 Preuve du théorème H

On considère le produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1} où α est une matrice diagonale de valeurs propres 0 < λ_{1} ≤ ⋯ ≤ λ_{n−1}. On va choisir les λ_{i} de sorte que pour tout k = 3, …, [n/2], il existe une partition {2, …, n − 1} = I ∪ J telle que I possède k − 1 éléments et λ_{I} = λ_{J}. Alors λ_{I} < w_{n−1}/2 < λ_{I} + λ_{1}, et la proposition 93 garantit que R^{k,2}(G) ≠ 0.

Si n est pair, n = 2m, on pose λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 1 et pour ℓ = 2, …, m − 1, λ_{2ℓ} = λ_{2ℓ+1} = 2^{ℓ−2}, de sorte que

∑_{ℓ=2}^{n−3} λ_{ℓ} = 2^{m−2} = λ_{n−2} + λ_{n−1}.

Alors I_{1} = {n − 2, n − 1} convient, mais aussi I_{2} = {n − 4, n − 3, n − 1} car λ_{n−2} = λ_{n−4} + λ_{n−3}, et tous les I_{j} = {n − 2j, n − 2j + 1, n − 2j + 3, n − 2j + 5, …, n − 1} pour j = 2, …, m−2. Comme I_{j} possède j +1 éléments, on réalise tous les entiers k−1 compris entre 2 et m − 1 = n/2 − 1.

Si n est impair, n = 2m + 1, on pose λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 1, λ_{4} = λ_{5} = λ_{6} = 2 et pour ℓ = 3, …, m − 1, λ_{2ℓ+1} = λ_{2ℓ+2} = 2^{ℓ−1}. Les ensembles I_{j} = {n − 2j, n − 2j + 1, n − 2j + 3, n − 2j + 5, …, n − 1} pour j = 2, …, m − 2 conviennent. q.e.d.

14.4 Non-nullité de la torsion

On s’inspire de la discussion des produits directs (paragraphe 13.2). Lorsqu’on passe aux produits semi-directs G = R ×_{α} H et qu’on s’intéresse à un exposant p non critique, on utilise seulement le fait que la cohomologie à support compact de la droite réelle est non nulle. De plus, l’opérateur d_{+} remplace en quelque sorte l’opérateur d sur l’autre facteur.

Proposition 94 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct. Soit e une k − 1-forme fermée L^{p} sur H. On suppose qu’il existe une suite de formes e′_{j} ∈ Ω^{n−k−1,p}(H) telle que

1. les intégrales ∫_{H} e ∧ d_{+}e′_{j} ne tendent pas vers 0 ;

2. la suite m_{j} = ∥ de′_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers +∞ polynomialement ;

3. la suite n_{j} = ∥ dd_{+(p′)}e′_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0 exponentiellement.

Alors ω = dχ ∧ π^{∗}e est non nul dans H^{k,p}(G). Si de plus H est unimodulaire, alors T^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve.

Posons

ψ_{j} = χ_{1}π^{∗}d_{+}e′_{j} + (1 − χ_{1})π^{∗}d_{−}e′_{j} + dχ_{1} ∧ e′_{j}

et

ω′_{j} = χ_{s_{j}}(1 − χ_{−s_{j}})ψ_{j},

où s_{j} est un réel positif. Alors

∫_{G} ω ∧ ω′_{j} = ∫_{G} dχ ∧ e ∧ ψ_{j}
= ∫_{R} χ_{1}dχ ∫_{H} e ∧ d_{+}e′_{j} − ∫_{R}(1 − χ_{1})dχ ∫_{H} e ∧ d_{−}e′_{j}
= ∫_{H} e ∧ d_{+}e′_{j}

ne tend pas vers 0. Comme dψ_{j} = π^{∗}dd_{+}e′_{j},

∥ χ_{s_{j}}(1 − χ_{−s_{j}})dψ_{j} ∥_{L^{p′}(G)} ≤ e^{μs_{j}}∥ dd_{+}e′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}
≤ e^{μs_{j}}n_{j}.

D’autre part,

∥ d(χ_{s_{j}}(1 − χ_{−s_{j}})) ∧ ψ_{j} ∥_{L^{p′}(G)}^{p′}
= ∥ d(χ_{s_{j}}) ∧ ψ_{j} ∥_{L^{p′}(G)}^{p′} + ∥ d(1 − χ_{−s_{j}}) ∧ ψ_{j} ∥_{L^{p′}(G)}^{p′}
≤ const.(∥ (ϕ_{s_{j}})^{∗}d_{+}e′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′} + ∥ (ϕ_{−s_{j}})^{∗}d_{−}e′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′})
≤ const.e^{−ηp′s_{j}}(∥ d_{+}e′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′} + ∥ d_{−}e′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′})
≤ const.e^{−ηp′s_{j}}∥ de′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′}.

Il vient

∥ ω′_{j} ∥_{L^{p′}(G)} ≤ C (e^{μs_{j}}n_{j} + e^{−ηs_{j}}m_{j}).

Posons s_{j} = \frac{1}{μ + η} log(ηm_{j}/μn_{j}). Avec ce choix,

∥ dω′_{j} ∥_{L^{p′}} ≤ C′ m_{j}^{μ/μ+η}n_{j}^{η/μ+η}

qui tend vers 0 lorsque j tend vers +∞. Le lemme 81 entraîne alors que ω est non nulle dans H^{k,p}(G).

Soit ω′ une n − k-forme fermée L^{p′} sur G. Ecrivons ω′ = β′_{t} + dt ∧ γ′_{t}. Alors β′_{t} est une forme fermée sur H qui est dans L^{p′} pour presque tout t ∈ R. Supposons H unimodulaire. D’après le théorème 83, la cohomologie réduite R^{k−1,p}(H) est nulle. Par conséquent, pour toute k − 1-forme fermée L^{p} e sur H, ∫_{H} e ∧ β′_{t} = 0. Il vient

∫_{G} dχ ∧ π^{∗}e ∧ ω′ = ∫_{R} χ′(t) dt ∫_{H} e ∧ β′_{t} = 0.

Ceci prouve que ω = dχ ∧ π^{∗}e est dans T^{k,p}(G), et donc que T^{k,p}(G) ≠ 0. q.e.d.

Proposition 95 On considère un produit semi-direct G = R ×_{α} H où H = R^{n−1} est abélien. On note λ_{1} ≤ … ≤ λ_{n−1} les parties réelles des valeurs propres de α. On note w_{k} = λ_{1} + ⋯ + λ_{k} et W_{k} = λ_{n−1−k} + ⋯ + λ_{n−1}. Si w_{k−1} < w_{n−1}/p < W_{k−1} et si p est non critique en degré k − 1, alors T^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve. Les inégalités w_{k−1} < w_{n−1}/p < W_{k−1} entraînent que w_{n−k} < w_{n−1}/p′ < W_{n−k}. Etant donné I ⊂ {1, …, n − 1}, on note λ_{I} = ∑_{i∈I} λ_{i}. Considérons, parmi les parties I à n − k éléments de {1, …, n − 1} telles que λ_{I} > w_{n−1}/p′, celle, notée I_{0}, pour laquelle λ_{I} est minimum. Notons i_{m} le plus petit indice qui n’est pas dans I_{0} et i_{M} le plus grand élément de I_{0}. Comme λ_{I_{0}} > w_{n−1}/p′ > w_{n−k}, i_{m} ≤ n − k et λ_{i_{m}} < λ_{i_{M}}. Posons I_{1} = (I_{0} ∪ {i_{m}}) \ {i_{M}}. Alors λ_{I_{1}} < λ_{I_{0}} donc par définition de I_{0}, λ_{I_{1}} ≤ w_{n−1}/p′. Comme p est non critique en degré k − 1, p′ est non critique en degré n − k, donc w_{n−1} − p′λ_{I} ≠ 0 pour tout ensemble I à n − k éléments. Par conséquent, λ_{I_{1}} < w_{n−1}/p′.

Soit θ′ ∈ Λ^{n−k−1}H^{∗} un vecteur propre de Λ^{n−k−1}α relatif à une valeur propre de partie réelle μ′ = λ_{I_{0}} − λ_{i_{M}}, et soient η et η′ ∈ H^{∗} des vecteurs propres relatifs à des valeurs propres de parties réelles λ_{i_{m}} et λ_{i_{M}} respectivement. Alors (η′ ∧ θ′)_{+(p′)} = η′ ∧ θ′ mais (η ∧ θ′)_{+(p′)} = 0 donc

(η + η′) ∧ ((η + η′) ∧ θ′)_{+(p′)} = η ∧ η′ ∧ θ′

est non nul. Il existe donc θ ∈ Λ^{k−2}H^{∗} tel que θ ∧ (η + η′) ∧ ((η + η′) ∧ θ′)_{+(p′)} ≠ 0. Soient a et u_{j} les fonctions fournies par le lemme 87. Posons, pour s > 0,

ṽ_{j}(s) = s^{−1/2}u_{j}(s^{n−1/2}).

Notons w_{j} la fonction à support compact sur [0, +∞[ dont la dérivée est ṽ_{j}. Dans H = R^{n−1}, on note r la distance euclidienne à l’origine. On définit des fonctions f = ra(r^{n−1}) et g = w_{j}(r^{2}) sur H. Par construction, dg_{j} = 2u_{j}(r^{n−1}) dr.

On considère les formes différentielles e′_{j} = g_{j}θ′ sur H. On a de′_{j} = w′_{j}(r^{2})d(r^{2}) ∧ θ′ donc d_{+}e′_{j} = w′_{j}(r^{2})d_{+}r^{2} ∧ θ′ où on a noté

r_{+}^{2} = ∑_{λ_{i}+μ′>tr α/p′} x_{i}^{2}.

Comme la forme d(r_{+}^{2}) est fermée,

dd_{+}e′_{j} = w′′_{j}(r^{2})d(r^{2}) ∧ d(r_{+}^{2}) ∧ θ′.

Comme la n − 1-forme d(r^{2}) ∧ d_{+}r^{2} ∧ θ ∧ θ′ est homogène, on peut l’écrire

d(r^{2}) ∧ d_{+}r^{2} ∧ θ ∧ θ′ = r^{2}h(x)dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n−1}

où la fonction h est lisse en dehors de l’origine et homogène de degré 0. Par homogénéïté, |h| et r|dh| sont bornées.

Il existe un point de H où d(r^{2}) = η + η′. En ce point, la n − 1-forme θ ∧ d(r^{2}) ∧ (d(r^{2}) ∧ θ′)_{+(p′)} est non nulle, donc h n’est pas identiquement nulle. On pose

e = d(fhθ).

Comme e′_{j} est à support compact,

∫_{H} e ∧ d_{+}e′_{j} = ∫_{H} fhθ ∧ dd_{+}e′_{j}
= ∫_{H} fw′′_{j}(r^{2})h d(r^{2}) ∧ d_{+}r^{2} ∧ θ ∧ θ′
= ∫_{S^{n−2}} h^{2} ∫_{0}^{+∞} f(r)w′′_{j}(r^{2})r^{2}r^{n−2} dr
= C ∫_{0}^{+∞} f(r)w′′_{j}(r^{2})r^{n} dr

où C > 0. On calcule, pour r > 0,

w′′_{j}(r) = −\frac{1}{2}r^{−3/2}u_{j}(r^{n−1/2}) + \frac{n − 1}{2}r^{n−4/2}u′_{j}(r^{n−1/2}).

Comme u_{j} est décroissante sur [1, ∞[, les deux termes de la somme sont de même signe, donc

| ∫_{1}^{+∞} f(r)w′′_{j}(r^{2})r^{n} dr| ≥ \frac{1}{2} ∫_{1}^{+∞} ra(r^{n−1})r^{−3}u_{j}(r^{n−1})r^{n} dr
= \frac{1}{2} ∫_{1}^{+∞} a(s)u_{j}(s) ds
= \frac{1}{4} ∫_{R} a(s)u_{j}(s) ds

qui ne tend pas vers 0. L’intégrale ∫_{0}^{1} f(r)w′′_{j}(r^{2})r^{n} dr tend vers 0, donc ∫_{H} e ∧ d_{+}e′_{j} ne tend pas vers 0.

Comme e = hf′(r)dr ∧ θ + fdh ∧ θ,

∥ e ∥_{L^{p}} ≤ const.∥ f′(r) ∥_{L^{p}(H)} + ∥ r^{−1}f(r) ∥_{L^{p}(H)}
= const.(∫_{0}^{+∞} |f′(r)|^{p}r^{n−2} dr)^{1/p}
+ ∫_{0}^{+∞} |r^{−1}f(r)|^{p}r^{n−2} dr)^{1/p}
≤ const.(∫_{0}^{+∞} |r^{n−1}a′(r^{n−1})|^{p}r^{n−2} dr)^{1/p}
+ ∫_{0}^{+∞} |a(r^{n−1})|^{p}r^{n−2} dr)^{1/p}
= const.(∫_{0}^{+∞} |sa′(s)|^{p} ds)^{1/p} + ∫_{0}^{+∞} |a(s)|^{p} ds)^{1/p}

est finie.

Comme de′_{j} = 2u_{j}(r^{n−1})dr ∧ θ′,

∥ de′_{j} ∥_{L^{p′}}^{p′} = const. ∫_{0}^{+∞} |u_{j}(r^{n−1})|^{p′}r^{n−1} dr
= const. ∫_{0}^{+∞} |u_{j}(s)|^{p′} ds

croît polynomialement en j, d’après le lemme 87.

Comme dd_{+}e′_{j} = w′′_{j}(r^{2})d(r^{2}) ∧ d_{+}r^{2} ∧ θ′,

∥ dd_{+}e′_{j} ∥_{L^{p′}} ≤ const.((∫_{0}^{+∞} |r^{−1}u_{j}(r^{n−1})|^{p′}r_{n−1} dr)^{1/p′}
+(∫_{0}^{+∞} |r^{n−2}u′_{j}(r^{n−1})|^{p′}r_{n−1} dr)^{1/p′})
= const.((∫_{0}^{+∞} |s^{−1/n−1}u_{j}(s)|^{p′}ds)^{1/p′}
+(∫_{0}^{+∞} |s^{n−2/n−1}u′_{j}(s)|^{p′}ds)^{1/p′})

tend vers 0 exponentiellement, d’après le lemme 87. De la proposition 94, il résulte que T^{k,p}(G) ≠ 0. q.e.d.

Remarque. La proposition 95 s’applique parfois même si l’exposant p est critique en degré k − 1. Il suffit qu’il existe une partie I à n − k − 1 éléments de {1, …, n − 1} et des indices distincts ℓ m ∉ I tels que

λ_{I} + λ_{ℓ} < w_{n−1}/p′ < λ_{I} + λ_{m}.

Par exemple, si k = n − 1, on trouve que T^{n−1,p}(G) ≠ 0 pour tout p tel que w_{n−2} < w_{n−1}/p < W_{n−2}.

Remarque. La proposition 95 ne s’étend pas au cas où H est non abélien, comme on le voit pour les espaces hyperboliques complexes en dimension n − 1, corollaire 65.

14.5 Preuve du théorème D

Il suffit de combiner les propositions 57 et 95. q.e.d.

14.6 Preuve du théorème F

Pour un espace homogène contractile, en degrés 0, 1, n − 1 et n, la cohomologie réduite et la torsion ne peuvent pas être simultanément non nulles.

En effet, il résulte du théorème H que, pour tout espace homogène M et tout exposant p > 1, l’un au moins des deux espaces R^{1,p}(M) et T^{1,p}(M) est nul.

En combinant le théorème H, la proposition 57 et la dualité de Poincaré, on voit que pour tout espace homogène M de dimension n et tout exposant p > 1, l’un au moins des deux espaces R^{n−1,p}(M) et T^{n−1,p}(M) est nul. En effet, si R^{n−1,p}(M) ≠ 0, alors par dualité R^{1,p′}(M) ≠ 0. D’après le théorème H (complété par la proposition 79), M est quasiisométrique à un produit semi-direct G = R ×_{α} R tel que les parties réelles λ_{i} des valeurs propres de α soient positives et satisfassent λ_{1} + ⋯ + λ_{n−1} < p′λ_{1}, i.e. p(λ_{2} + ⋯ + λ_{n−1}) < λ_{1} + ⋯ + λ_{n−1}. Dans les notations de la proposition 57, cela s’écrit w_{n−1}/p > W_{n−2}. On conclut que T^{n−1,p}(G) ≠ 0, puis que T^{n−1,p}(M) ≠ 0 par invariance, car M est contractile.

En combinant les propositions 93 et 95, on trouve que pour toute dimension n ≥ 4,

tout degré k tel que 2 ≤ k ≤ n − 2 et tout exposant p > \frac{n − 2}{k − 1}, il existe des exemples de

groupes de Lie G de dimension n tels que R^{k,p}(G) ≠ 0 et T^{k,p}(G) ≠ 0 simultanément. En effet, étant donné des réels x ≤ 1 et y ≥ 0, posons λ_{1} = x, λ_{i} = 1 pour i =

2, …, n − 2 et λ_{n−1} = 1 + y. Alors w_{n−1} = n − 2 + x + y. Comme p > \frac{n − 2}{k − 1}, il existe y > 0 tel que

\frac{n − 2 + y}{p} = k − 1.

Alors pour tout x > 0, w_{n−1}/p = (n − 2 + x + y)/p = k − 1 + (x/p) est compris entre w_{k}−λ_{1} = k−1 et w_{k} = k−1+x. Si de plus on choisit x < y et x < 1, W_{k−1} = k−1+y > w_{k} donc w_{n−1}/p est compris entre w_{k−1} = k − 2 + x et W_{k−1}. Soit G = R ×_{α} R^{n−1} où α est la matrice diagonale de valeurs propres λ_{1}, …, λ_{n−1}. Comme w_{k} − λ_{1} < w_{n−1}/p < w_{k}, R^{k,p}(G) ≠ 0. Comme w_{k−1} < w_{n−1}/p < W_{k−1}, T^{k,p}(G) ≠ 0. q.e.d.

Remarque. La borne \frac{n − 2}{k − 1} n’est pas optimale.

14.7 Autres cas de non-nullité de cohomologie

Nous proposons une autre méthode pour montrer que la cohomologie L^{p} est non nulle. Elle permet notamment de montrer que si G = R × R^{n−1} est un produit semi-direct, pour tout p non critique il existe un degré k tel que H^{k,p}(G) ≠ 0.

Proposition 96 Soit e ∈ Ω^{k−1,p}(H) une forme telle que d_{0(p)}e = 0 et d_{−(p)}e = 0. Supposons qu’il existe une suite e′_{j} ∈ Ω^{n−k−1,p′}(H) telle que

• d_{0}e′_{j} = 0 ;

• la suite m_{j} = ∥ d_{+(p′)}e′_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers +∞ polynomialement ;

• la suite n_{j} = ∥ d_{−(p′)}e′_{j} ∥_{L^{p′}} + ∥ d_{0(p′)}e′_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0 exponentiellement ;

• la suite ∫_{H} de ∧ e′_{j} ne tend pas vers 0.

Alors H^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve. Comme en 92, ω = ω(0, de, e) est fermée et L^{p} sur G. On pose ω′_{j} = ω(s_{j}, 0, e′_{j}) avec une suite s_{j} tendant vers +∞. D’après le lemme 35, pour j assez grand,

∫_{G} ω ∧ ω′_{j} = (−1)^{k} ∫_{H} de ∧ e′_{j} + ∫_{H} e ∧ d_{−}e′_{j}

qui ne tend pas vers 0. Il reste à choisir la suite s′_{j} de sorte que ∥ dω′_{j} ∥_{L^{p′}} tende vers 0. Or d’après le lemme 35,

∥ dω′_{j} ∥_{L^{p′}} ≤ C e^{−ηs_{j}}m_{j} + C e^{μs_{j}}n_{j}.

Posons s′_{j} = \frac{1}{μ + η} log(ηm_{j}/μn_{j}). Avec ce choix,

∥ dω′_{j} ∥_{L^{p′}} ≤ C′ m_{j}^{μ/μ+η}n_{j}^{η/μ+η}

qui tend vers 0 lorsque j tend vers +∞. Le lemme 81 entraîne alors que H^{k,p}(G) ≠ 0. q.e.d.

Lemme 97 On considère un produit semi-direct G = R ×_{α} R^{n−1}. On note λ_{1} ≤ … ≤ λ_{n−1} les parties réelles des valeurs propres de α. Si I ⊂ {1, …, n − 1}, on note λ_{I} = ∑_{i∈I} λ_{i} et I^{+} = I ∪{m} où m est le plus petit élément du complémentaire de I. Supposons que I a k−1 éléments et qu’il contient tous les indices i tels que λ_{i} ≤ 0. Alors H^{k,p}(G) ≠ 0 si λ_{I} < tr (α)/p < λ_{I^{+}}. En particulier, si on note w_{k} = λ_{1} + ⋯ + λ_{k}, alors H^{k,p}(G) ≠ 0 dès que w_{k} > 0 et w_{k−1} < w_{n−1}/p < w_{k}.

Preuve. De nouveau, soit I′ le complémentaire de I^{+} = I ∪ {m}. Soient dx_{I} et dx_{I′} des formes invariantes sur R^{n−1}, vecteurs propres de Λ^{∗}α pour des valeurs propres de parties réelles λ_{I} et λ_{I′}. Comme R^{n−1} est abélien, ces formes sont fermées. Soit c une fonction lisse à support compact sur R. Soient a et u_{j} les fonctions sur R fournies par le lemme 87. On définit des fonctions b et b′_{j} sur R^{n−1} comme suit.

b(x_{1}, …, x_{n−1}) = c′(x_{m}) ∏_{i≠m} a(x_{i})

et

b′_{j}(x_{1}, …, x_{n−1}) = c(x_{m}) ∏_{i≠m} u_{j}(x_{i}).

On pose e = b dx_{I} et e′_{j} = b′_{j} dx_{I′}.

Si tr (α)/p < λ_{I^{+}}, alors de ∈ Λ_{+}^{k}, i.e. d_{−(p)}e = d_{0(p)}e = 0. Si tr (α)/p > λ_{I}, alors

tr (α)/p′ < λ_{m} + λ_{I′}, donc la composante \frac{∂b′_{j}}{∂x_{m}} dx_{m} ∧ dx_{I′} de de′_{j} est dans Λ_{+(p′)}^{k}. Sa

norme L^{p′} vaut ∥ c′ ∥∥ u_{j} ∥^{n−2} qui est polynomial en j. Les autres composantes de de′_{j} ont une norme L^{p′} égale à ∥ c ∥∥ u_{j} ∥^{n−3}∥ u′_{j} ∥ qui tend vers 0 exponentiellement. Enfin,

∫_{R^{n−1}} de ∧ e′ = (∫_{R} c^{′2})(∫_{R} av′_{j})^{n−2})

ne tend pas vers 0 quand j tend vers l’infini. Les hypothèses du lemme 96 sont satisfaites, et on conclut que H^{k,p}(G) ≠ 0.

Le cas particulier s’obtient avec le choix de I = {1, …, λ_{n−1}}. q.e.d.

Corollaire 98 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct où H = R^{n−1} est abélien. Sauf peut-être pour un nombre fini de valeurs de p, il existe un degré k tel que H^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve. Si tr α = 0, alors G est unimodulaire, donc fermé à l’infini. D’après le théorème H, H^{1,p}(G) ≠ 0 pour tout p > 1.

Si w_{n−1} = tr α > 0, il n’y a qu’un nombre fini d’exposants critiques. Etant donné p > 1 non critique, il existe k tel que w_{k−1} < w_{n−1}/p < w_{k}. Le lemme 97 donne alors que H^{k,p}(G) ≠ 0. q.e.d.

Remarque. Vraisemblablement, H^{k,p}(G) ≠ 0 pour p = w_{n−1}/w_{k}. C’est le cas notamment lorsque les λ_{i} sont tous égaux, voir en 15.2.

Remarque. Le lemme 97 ne s’étend pas non plus aux produits semi-directs G = R×_{α}H où H n’est pas abélien.

14.8 Cohomologie aux exposants critiques

Proposition 99 Soit G = R ×_{α} H un produit semi-direct. Soit p un exposant critique en degré k − 1, i.e. tel que Λ_{0}^{k−1} ≠ 0. On suppose qu’il existe une k − 1-forme e fermée et L^{p} sur H et une suite e′_{j} ∈ Ω^{n−k,p′}(H) telles que

• e_{−} = 0, e′_{j,−} = 0, d_{−}e′_{j} = 0 ;

• ∫_{H} e ∧ e′_{j} ne tend pas vers 0 ;

• ∥ e′_{j,0} ∥_{L^{p′}}, ∥ e′_{j,+} ∥_{L^{p′}} et ∥ d_{+}e′_{j} ∥_{L^{p′}} tendent vers l’infini polynômialement en j ;

• ∥ d_{0}e′_{j} ∥_{L^{p′}} tend vers 0 exponentiellement en j.

Alors H^{k,p}(G) ≠ 0.

Preuve. Soient a et u_{j} des fonctions sur R qui sont nulles sur [0, +∞[ et coïncident sur ] − ∞, 0] avec celles construites en 87.

On pose ω = a(t) dt ∧ π^{∗}e et ω′_{j} = u_{j}(t)π^{∗}e′_{j}. Alors ω est fermée. Comme e_{−} = 0, il existe une constante strictement positive ν telle que

∥ ω ∥_{L^{p}(G)}^{p} ≤ const. ∫_{−∞}^{0} |a(t)|^{p}(e^{νt}∥ e_{+} ∥_{L^{p}(H)}^{p} + ∥ e_{0} ∥_{L^{p}(H)}^{p}) dt

donc ω ∈ L^{p}(G). De même,

∥ ω′_{j} ∥_{L^{p′}(G)}^{p′} ≤ const. ∫_{−∞}^{0} |u_{j}(t)|^{p′}(e^{νt}∥ e′_{j,+} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′} + ∥ e_{j,0} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′}) dt

tend vers +∞ polynômialement. On calcule

dω′_{j} = u′_{j}(t) dt ∧ π^{∗}e′_{j} + u_{j}(t)π^{∗}de′_{j},

et

∥ u′_{j}(t) dt ∧ π^{∗}e′_{j} ∥_{L^{p′}(G)}^{p′}
≤ const. ∫_{−∞}^{0} |u′_{j}(t)|^{p′}(e^{νt}∥ e′_{j,+} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′} + ∥ e_{j,0} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′}) dt

tend vers 0 exponentiellement car ∥ u′_{j} ∥_{L^{p′}} et ∥ u′_{j} ∥_{L^{∞}} tendent vers 0 exponentiellement. De même

∥ u_{j}(t)π^{∗}de′_{j} ∥_{L^{p′}(G)}^{p′}
≤ const. ∫_{−∞}^{0} |u_{j}(t)|^{p′}(e^{νt}∥ d_{+}e′_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′} + ∥ d_{0}e_{j} ∥_{L^{p′}(H)}^{p′}) dt

tend vers 0 exponentiellement car ∥ d_{0}e′_{j} ∥_{L^{p′}} et ∥ u_{j} ∥_{L^{∞}} tendent vers 0 exponentiellement.

Enfin

∫_{G} ω ∧ ω′_{j} = ∫_{−∞}^{0} au_{j} ∫_{H} e ∧ e′_{j}

ne tend pas vers 0. On conclut avec le lemme 81 que ω est non nulle dans H^{k,p}(G). q.e.d.

Corollaire 100 Soit M l’espace hyperbolique réel ou complexe de dimension n. Pour 2 ≤ k ≤ \frac{n}{2} + 1, soit p le plus grand exposant critique en degré k − 1 (p = \frac{n−1}{k−1} pour l’espace hyperbolique réel et p = \frac{n}{k−1} pour l’espace hyperbolique complexe). Alors H^{k,p}(M) ≠ 0. Si de plus k ≤ \frac{n}{2}, alors T^{k,p}(M) ≠ 0.

Preuve. Cas hyperbolique réel. On suppose seulement que k ≥ 2. Soit e une k − 1-forme fermée à support compact sur R^{n−1}, non nulle. Cela existe dès que k ≥ 2. Soit e′_{j} = e′ une n − k-forme sur R^{n−1} telle que ∫ e ∧ e′ ≠ 0. Comme Λ^{k−1} = Λ_{0}^{k−1}, Λ^{n−k} = Λ_{0}^{n−k} et Λ^{n−k+1} = Λ_{+}^{n−k+1}, les conditions e_{−} = 0, e′_{−} = 0 et d_{−}e′ = 0 sont automatiquement satisfaites. De plus, d_{+}e′ = 0, donc la proposition 99 s’applique, et H^{k,p}(M) ≠ 0. L’exposant conjugué p′ est inférieur ou égal aux exposants critiques en degrés n − k − 1 et n − k, donc H^{n−k,p′}(M) = 0 d’après 53.

Cas hyperbolique complexe. Ici n = 2m+2, H est le groupe d’Heisenberg de dimension 2m + 1. On suppose que k ≤ m + 1 et on utilise les formes fermées invariantes à gauche θ et θ′ construites en 91. On pose e = b(ρ) dρ ∧ θ et e′_{j} = e′ = b(ρ)hθ′ où b est à support

compact et h la fonction telle que dρ ∧ θ ∧ θ′ = h vol. Alors ∫_{H} e ∧ e′ ≠ 0.

Pour p = n/k − 1, Λ_{−(p′)}^{k−1} = 0 donc la condition e_{−} = 0 est automatiquement satisfaite. On vérifie que

Λ_{0(p′)}^{n−k} = Λ^{n−k−1}N_{1}^{∗} ⊗ N_{2}^{∗} et Λ_{+(p′)}^{n−k+1} = Λ^{n−k}N_{1}^{∗} ⊗ N_{2}^{∗}.

Comme θ′ est fermée et divisible par la forme de contact τ, e′ ∈ Λ_{0}^{n−k}, et sa différentielle est encore divisible par τ, donc dans Λ_{+(p′)}^{n−k+1}. On a donc automatiquement e′_{−} = d_{−}e′ = 0 et de plus d_{0}e′ = 0. De nouveau, la proposition 99 s’applique, et H^{k,p}(M) ≠ 0.

Dans les deux cas, l’exposant conjugué p′ est inférieur ou égal à tous les exposants critiques en degrés n − k − 1 et n − k, donc H^{n−k,p′}(M) = 0 d’après 53. La dualité de Poincaré donne que R^{k,p}(M) = 0 donc c’est bien la torsion qui est non nulle. q.e.d.

Remarque. La restriction k ≤ \frac{n}{2} est nécessaire dans le cas hyperbolique complexe. Par exemple, pour n = 4 et k = 3, p = 2 or la cohomologie L^{2} du plan hyperbolique complexe est réduite en tout degré, voir [Bo], [G1].

15 Quelques exemples détaillés

On fait la synthèse des conséquences des résultats généraux pour quelques exemples.

15.1 Le plan hyperbolique

Soit M le plan hyperbolique. On peut voir M comme le groupe R×_{α} R où α est l’identité, e^{tα} est la dilatation par e^{t}. Le théorème H donne que T^{1,p}(M) = 0 et R^{1,p}(M) = 0 pour tout p > 1. En fait R^{1,p}(M) = B^{1,p} est un espace de fonctions (modulo les constantes) sur R. Le corollaire 30 permet d’identifier cet espace. La fonction κ du corollaire 30 satisfait κ(e^{t}s) = τ^{−2}κ(s) donc κ(s) ∼ s^{−2}. Soit u une fonction sur R. D’après le corollaire 30, du ∈ B^{1,p} si et seulement si

∫_{R×R} |u(s) − u(s′)|^{p}|s − s′|^{−2} ds ds′ < +∞.

Autrement dit, étant donnée une fonction u dans L^{p}(R), sa différentielle du est dans B^{1,p} si et seulement si u ∈ B_{p,p}^{1/p}(R), voir [T] page 6. En quelque sorte, B^{1,p} est la version

invariante par P SL(2, R) de l’espace B_{p,p}^{\frac{1}{p} −1}(R). Lorsque p = 2, espaces de Besov et de Sobolev coïncident.

15.2 L’espace hyperbolique

Ici, G = R ×_{α} R^{n−1} où α est l’identité.

Comme on l’a vu au paragraphe 8.2, la cohomologie L^{p} est séparée pour tout exposant non critique, et non nulle dans un intervalle en chaque degré k. Si p ≤ n − 1/k ou p > n − 1/k − 1, H^{k,p}(G) = 0. Si n − 1/k < p < n − 1/k − 1, H^{k,p}(G) = B^{k,p} est non nul, c’est en gros l’espace des k-formes fermées sur R^{n−1} dont les coefficients sont dans

l’espace de Besov B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (R^{n−1}) (précisément, c’est l’espace des k-formes exactes sur la sphère S^{n−1} dont les coefficients sont dans l’espace de Besov B_{p,p}^{−k+ \frac{n−1}{p}} (S^{n−1}), ramené sur R^{n−1} par projection stéréographique).

Si p = n − 1/k − 1, R^{k,p}(M) = 0 par dualité de Poincaré, et T^{k,p}(M) ≠ 0 d’après le corollaire 100.

15.3 Produits semi-directs de R par R^{2}

Soit G = R ×_{α} R^{2} où α = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Ici, h = 1 + λ.

Cas où λ ∈] − 1, 1]. Dans ce cas, le groupe G est ouvert à l’infini.

En degré 1, le théorème H donne la réponse complète si p > 1.

• Si λ ≤ 0, alors H^{1,p}(G) = 0 pour tout p > 1.

• Si 0 < λ ≤ 1, alors H^{1,p}(G) = 0 pour p ≤ 1 + 1/λ et H^{1,p}(G) = R^{1,p}(G) ≠ 0 pour p > 1 + 1/λ.

En degré 3, comme tr (α) ≠ 0, la proposition 51 s’applique et H^{3,p}(G) = 0 pour tout p > 1.

On se place désormais en degré 2. Si λ ≤ 0, il n’y a aucun exposant critique en degré 1. Si λ = 1, il y en a un, c’est p = 2. Si 0 < λ < 1, il y en a deux, p = 1 + λ et p = 1 + 1/λ.

La proposition 32 s’applique directement lorsque 0 < λ ≤ 1 et p > 1 + 1/λ. En effet, Ω_{−}^{1} = 0 et Ω_{−}^{2} = 0 donc B^{2,p} = 0 et H^{2,p}(G) = 0.

Si 0 < λ ≤ 1 et p < 1 + λ, B^{1,p} = 0 donc H^{2,p}(G) est séparé et T^{2,p}(G) = 0. Par dualité de Poincaré, R^{2,p}(G) est non nul.

Supposons désormais que λ ≤ 0 ou que 0 < λ < 1 et 1+λ < p < 1+1/λ. Par dualité de Poincaré, R^{2,p}(G) = 0. D’après le lemme 97, H^{2,p}(G) ≠ 0 et donc T^{2,p}(G) ≠ 0. Dans des cas particuliers, on le sait par d’autres moyens. Lorsque λ = 0, cela résulte de la formule de Künneth. Pour p = 2, d’après J. Lott [Lt], pour un espace homogène riemannien, l’un au moins des espaces de cohomologie L^{2} est non nul (théorème “zéro dans le spectre”). Comme la cohomologie L^{2} est nulle en degrés 0, 1 et 3, nécessairement L^{2}H^{2}(G) ≠ 0.

Cas où λ = −1. Dans ce cas, le groupe G est unimodulaire.

En degré 1, le théorème H donne que R^{1,p}(G) = 0 et T^{1,p}(G) ≠ 0. Par dualité de Poincaré, on en déduit que R^{3,p}(G) = 0 et T^{3,p}(G) ≠ 0 pour tout p > 1.

En degré 2. Aucun exposant n’est critique en degré 1. Comme Ω_{+}^{0} = Ω_{+}^{0} = 0, B^{1,p} ⊂ Ω_{−}^{1} ∩ Ω_{+}^{1} est nul, donc la cohomologie du complexe B^{∗,p} en degré 2 est séparée, c’est l’espace de Besov ordinaire B_{p,p}^{2/p}(R^{2}). Comme p est critique en degré 0, le théorème 2 donne seulement une surjection H^{2}(B^{∗,p}) → H^{2,p}(G). V. Goldshtein et M. Troyanov ont montré que H^{2,p}(G) est non nul pour tout p > 1, [GT]. Comme d’après le théorème 83, la cohomologie réduite est nulle, nécessairement T^{2,p}(G) ≠ 0.

15.4 Le plan hyperbolique complexe

Soit M le plan hyperbolique complexe. On peut le voir comme une métrique invariante à gauche sur le produit semi-direct R ×_{α} N où N est le groupe de Heisenberg, N a une base (X, Y, Z) telle que [X, Y] = Z et Z est central, et α(X) = X, α(Y) = Y, α(Z) = 2Z. Notons (dx, dy, τ) la base duale de N^{∗}. Les 1-formes invariantes à gauche dx et dy sont fermées, mais dτ = −dx ∧ dy.

En degré 1, le théorème H (plus précisément, la proposition 79) donne que H^{1,p}(M) = 0 pour p ≤ 4 et H^{1,p}(M) = R^{1,p}(M) ≠ 0 pour p > 4.

Pour p > 4, l’espace B^{1,p} ∩ ker d est un espace de fonctions (modulo les constantes) sur la sphère S^{3}. C’est une sorte d’espace de Besov anisotrope. Il contient les différentielles de fonctions de classe C^{1} à support compact sur N comme sous-espace dense.

En degré 4, la proposition 51 donne que H^{4,p}(M) = 0.

Degré 2. Comme h = 4, il y a 2 exposants critiques en degré 1, p = 2 et p = 4.

Pour 1 < p ≤ 4/3, Ω_{+}^{2} = 0 et Ω_{+}^{1} = 0 donc B^{2,p} = 0 et H^{2,p}(M) = 0.

Pour 4/3 < p < 2, B^{1,p} = 0 donc H^{2,p}(M) = B^{2,p} ∩ ker d est séparé. Comme Ω_{+}^{1} = 0 et Ω_{+}^{2} est engendré par les formes dx ∧ τ et dy ∧ τ, les éléments de B^{2,p} s’annulent sur X ∧ Y. Il y a de nombreuses formes fermées qui satisfont cette condition. En fait, pour toute 1-forme ϕ sur N, ψ = dϕ + d((dϕ)(X, Y)τ) convient. Si ϕ est de classe C^{1} à support compact, alors ψ ∈ B^{2,p} ∩ ker d. Par conséquent, H^{2,p}(M) est séparé et non nul.

L’exposant p = 2 est critique en degré 1. Par conséquent, le théorème 2 ne donne rien. On peut modifier la méthode pour traiter ce cas, voir [P3] page 193. Il est connu (voir [Bo], [G1]) que L^{2}H^{2}(M) est non nul et séparé.

Pour 2 < p < 4, l’opérateur d : B^{1,p} → B^{2,p} est d’image fermée. En effet, une de ses composantes D : a ∧ τ ↦ a ∧ dτ est un isomorphisme de B^{1,p} sur le sous-espace fermé ker ι_{Z} ⊂ B^{2,p}. Par conséquent H^{2,p}(M) est séparé, il est isomorphe (non canoniquement) au sous-espace E ⊂ B^{2,p} des formes s’annulant sur X ∧ Y.

L’exposant p = 4 est critique en degré 1. Par conséquent, le théorème 2 ne donne rien. Néanmoins, par dualité de Poincaré, la cohomologie réduite est nulle, et d’après le corollaire 100, T^{2,4}(M) est non nul.

Pour p > 4, Ω_{−}^{2} = 0 et Ω_{−}^{1} = 0 donc B^{2,p} = 0 et H^{2,p}(M) = 0.

Degré 3. Il y a 2 exposants critiques en degré 2, p = 4/3 et p = 2.

Pour 1 < p < 4/3, B^{2,p} = 0 donc T^{3,p}(M) = 0, H^{3,p}(M) = R^{3,p}(M) = B^{3,p} est séparé. Toute 3-forme continue à support compact sur N est dans B^{3,p}.

Pour p = 4/3, la dualité de Poincaré donne R^{3,4/3}(M) = 0 et T^{2,4} ≠ 0.

Pour 4/3 < p < 2, le théorème 2 donne H^{3,p}(M) = B^{3,p}/dB^{2,p}. Comme R^{1,p} = T^{2,p} = 0, la dualité de Poincaré donne que R^{3,p} = T^{3,p} = 0. C’est compatible avec un résultat de N. Lohoué, [L2] (voir aussi [CL]), qui entraîne que H^{3,p}(M) = 0 pour p assez proche de 2.

Pour p = 2, on sait, [G1] ou [DF], que L^{2}H^{3}(M) = 0.

Pour p ≥ 2, le théorème A donne H^{3,p}(M) = 0.

Pour résumer, pour le plan hyperbolique complexe,

• la cohomologie réduite est non nulle pour un intervalle ouvert de valeurs de p en chaque degré, cet intervalle est vide en degré 0, ]4, +∞[ en degré 1, ]4/3, 4[ en degré 2, ]1, 4/3[ en degré 3, vide en degré 4 ;

• la torsion est non nulle exactement pour les deux valeurs exceptionnelles de p, en degré 2 pour p = 4 et en degré 3 pour p = 4/3.

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Laboratoire de Mathématique d’Orsay UMR 8628 du C.N.R.S. Université de Paris-Sud XI Bâtiment 425 91405 Orsay France

Pierre.Pansu@math.u-psud.fr
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