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\title{Flexibilité des groupes de surfaces dans les groupes de Lie semi-simples }
\author{I. Kim, P. Pansu}
\date{\today}

\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lem]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lem]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lem]{Définition}
\newtheorem{rem}[lem]{Remarque}
\newtheorem{nota}[lem]{Notation}
\newtheorem{ques}[lem]{Question}
\newtheorem{prob}[lem]{Problème}
\newtheorem{sol}[lem]{Solution}
\newtheorem{conc}[lem]{Conclusion}
\newtheorem{ex}[lem]{Exemple}
\newtheorem{exs}[lem]{Exemples}
\newtheorem{res}[lem]{Resultats}
\newtheorem{plan}[lem]{Plan de l'exposé}
\newtheorem{scheme}[lem]{Schéma de la preuve}

\def\proof{\par\medskip\noindent {\bf Preuve}}
\def\qed{~q.e.d.}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\H{\mathbb{H}}
\def\O{\mathbb{O}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\n#1{{|\hskip-1pt | #1 |\hskip-1pt |}}
\def\sp{{\rm sp}\,}
\def\dim{{\rm dim}}
\def\ker{{\rm ker}}
\def\tr{{\rm tr}}
\def\texorpdfstring#1#2{#1}

\mode<presentation>{\usetheme{boxes}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Plan}

\begin{defi}
Soit $G$ le groupe des points réels d'un groupe algebrique. Soit $\Gamma$ groupe de type fini. On dit qu'un homomorphisme non Zariski dense $\rho:\Gamma\to G$ est {\em flexible} si c'est une limite d'homomorphismes Zariski denses, {\em localement rigide} sinon.
\end{defi}

\begin{prob}
Determiner quels homomorphismes de groupes de surfaces dans des groupes de Lie simples sont localement rigides.
\end{prob}%\pause

\begin{plan}
On donne un survol des resultats de rigidité (globale) concernant les groupes de surfaces dans les groupes de Lie semisimples.

\medskip

On complète avec des résultats nouveaux de flexibilité.
\end{plan}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Invariants de Toledo}

Soit $X$ un espace symétrique hermitien, de forme de K\"ahler $\Omega$ (la métrique est normalisée de sorte que la courbure sectionnelle minimale soit $-1$). Soit $\Sigma$ une surface fermée de caractéristique d'Euler négative, soit $\rho:\Gamma=\pi_1 (\Sigma)\to Isom(X)$ une action isométrique sur $X$. On choisit une application équivariante $\tilde{f}:\tilde{\Sigma}\to X$.

\begin{defi}
L'invariant de Toledo de l'action $\rho:\Gamma\to Isom(X)$ est
\begin{eqnarray*}
T_{\rho}=\frac{1}{2\pi}\int_{\Sigma}\tilde{f}^{*}\Omega.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

Alors 
\begin{enumerate}
  \item $T_{\rho}$ dépend continument de $\rho$.
  \item Il existe $\ell_X \in\Q$ tel que $T_{\rho}\in\ell_X \Z$.
  \item $|T_{\rho}|\leq|\chi(\Sigma)||\mathrm{rank}(X)|$.
\end{enumerate}


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Rigidité en rang 1}

\begin{ex}
Quand $X=H^1_{\C}$ est une droite, l'inégalité $|T_{\rho}|\leq|\chi(\Sigma)|$ est due à J. Milnor (1958). De plus, $\ell_X =1$, $T$ prend toutes les valeurs entières entre $-|\chi(\Sigma)|$ et $|\chi(\Sigma)|$. 
\end{ex}%\pause

\begin{thm}
{\em (W. Goldman, 1980).} Soit $X=H^1_{\C}$. Les ensembles de niveau de $T$ coïncident avec les composantes connexes de la variété des caractères $\chi(\Gamma,PU(1,1))$. De plus, $|T_{\rho}|=|\chi(\Sigma)|$ si et seulement si $\rho(\Gamma)$ est discret et cocompact dans $PU(1,1)=Isom(H^1_{\C})$.
\end{thm}

Noter que toutes les composantes de $\chi(\Gamma,PU(1,1))$ ont la même dimension $3|\chi(\Sigma)|$.%\pause

\begin{thm}
{\em (D. Toledo, 1979, 1989).} Soit $X=H^n_{\C}$ un espace symétrique hermitien de rang 1. Alors $|T_{\rho}|\leq|\chi(\Sigma)|$. De plus, $|T_{\rho}|=|\chi(\Sigma)|$ si et seulement si $\rho(\Gamma)$ stabilise une droite complexe $H^1_{\C}$ in $X$ et agit de façon cocompacte dessus.
\end{thm}

Par conséquent, lorsque $n\geq 2$, des composantes différentes de $\chi(\Gamma,PU(n,1))$ peuvent avoir des dimensions différentes.

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Rang supérieur}

\begin{defi}
Les actions $\rho$ telles que $|T_{\rho}|=|\chi(\Sigma)|\mathrm{rank}(X)$ sont appelées {\em représentations maximales}.
\end{defi}

\begin{ex}
On choisit des actions cocompactes $\rho_1 ,\ldots,\rho_r$ de $\Gamma$ sur $H^1_{\C}$. La représentation somme directe sur le polydisque $(H^1_{\C})^r$ est maximale. Quand le polydisque est plongé dans un autre espace symétrique de même rang $r$, elle reste maximale. Par conséquent, tout  espace symétrique hermitien possède des représentations maximales.
\end{ex}%\pause

\begin{prop}
{\em (Toledo, 1987).} Lorsque $X$ est le demi-espace de Siegel (i.e. $Isom(X)=Sp(n,\R)$), ces actions possèdent des déformations Zariski denses.
\end{prop}
En fait, le méthode du pliage (\texttt{bending}) s'applique (Burger, Iozzi, Wienhard, 2005).%\pause

Cependant, il arrive que ça ne marche pas, pour d'espaces symétriques hermitiens.

\begin{thm}
{\em (L. Hern\`andez Lamoneda, 1991, S. Bradlow, O. Garc\'{\i}a-Prada, P. Gothen, 2003).} Les représentations maximales réductives de $\Gamma$ dans $PU(p,q)$, $p\leq q$, tombent dans $P(U(p,p)\times U(q-p))$, à conjugaison près.
\end{thm}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Type tube}

\begin{defi}
Un espace symétrique hermitien est de {\em type tube} si on peut le réaliser comme domaine de $\C^n$ de la forme $\R^n +iC$ où $C\subset\R^n$ est un cone ouvert propre.
\end{defi}

\begin{ex}
Le demi-espace de Siegel, la grassmannienne de groupe d'isométries $PO(2,q)$ est de type tube.

The grassmannienne $\mathcal{D}_{p,q}$, $p\leq q$, de groupe d'isométries $PU(p,q)$ est de type tube ssi $p=q$.

La grassmannienne de groupe d'isométries $SO^* (2n)$ est de type tube ssi $n$ est pair.

L'espace symétrique hermitien exceptionnel de dimension 27 est de type tube, l'autre (de dimension 16) ne l'est pas.

Un produit d'espaces de type tube est de type tube, donc les polydisques sont de type tube.
\end{ex}%\pause

\begin{lem}
Les sous-espaces symétriques hermitiens de type tube maximaux dans un espace symétrique hermitien sont conjugués. 
\end{lem}

\begin{ex}
Le sous-espace symétrique hermitien de type tube maximal dans $\mathcal{D}_{p,q}$ est $\mathcal{D}_{p,p}$.
\end{ex}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Rigidité et type tube}

\begin{thm}
{\em (Burger, Iozzi, Wienhard, 2003).} Soit $\Gamma$ un groupe de surface et $X$ un espace symétrique hermitien. Toute représentation maximale $\Gamma\to Isom(X)$ stabilise un sous-espace symétrique hermitien de type tube $Y$ et est Zariski dense dans $Isom(Y)$.
\end{thm}

En particulier, les représentations maximales de groupes de surfaces dans des  espaces symétriques hermitiens non de type tube sont globalement rigides. %\pause

\begin{ex}
Lorsque $X$ est la boule $\mathcal{D}_{1,n}$ (resp. $\mathcal{D}_{p,q}$), on retrouve le résultat de Toledo (resp. Barlow et al.).
\end{ex}

\begin{prob}
Réciproquement, caractériser les actions localement rigides de groupes de surfaces sur des espaces symétriques (non nécessairement hermitiens).
\end{prob}%\pause

Jusqu'à présent, les exemples connus de flexibilité s'obtenaient tous par pliage.

\begin{ex}
{\em (Burger, Iozzi, Wienhard).} Dans un espace symétrique hermitien de type tube, un groupe de surface stabilisant un polydisque maximal et agissant  diagonalement dessus est flexible.
\end{ex}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Flexibilité}

\begin{thm}
Les représentations moyennables de groupes de surfaces dans des groupes de Lie semi-simples sont flexibles, dès que le genre est suffisamment grand, et à condition de les restreindre à des sous-groupes d'indice fini. 
\end{thm}%\pause

\begin{thm}
Soit $G$ un groupe de Lie simple. Soit $H\subset G$ un sous-groupe semi-simple. Soit $\Gamma$ le groupe fondamental d'une surface de genre $\geq \mathrm{dim}(G)^2$. Soit $\rho:\Gamma\to H$ un homomorphisme Zariski dense. 
\begin{enumerate}
  \item Soit $\mathfrak{s}$ un facteur de Levi semi-simple du centralisateur de $H$. Alors $\rho$ est flexible dans le groupe semi-simple $G'=H\exp(\mathfrak{s})$, i.e., est une limite d'homomorphismes Zariski denses $\rho':\Gamma\to G'$. 
  \item Si un tel $\rho'$ est localement rigide dans $G$, alors l'espace symétrique de type non compact associé à $G'$ est hermitien de type tube, et la représentation $\rho':\Gamma\to G'$ est maximale.
  \item Si le centralisateur $\mathfrak{z}$ de $G'$ dans $G$ est de dimension 1, alors $\rho'$ est localement rigide dans $G$ si et seulement si $G'$ est hermitien de type tube et la représentation symplectique sur $\mathfrak{g}/(\mathfrak{z}\oplus\mathfrak{g}')$ est maximale.
\end{enumerate}
\end{thm}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Commentaires}

1. Lorsque $G$ est de type hermitien et l'adhérence de Zariski de l'homomorphisme est semi-simple, on obtient l'exacte réciproque du résultat de Burger et al, à la restriction sur le genre près.%\pause

\begin{ex}
Si $G=SU(p,q)$, $H=SU(p,p)$, alors $G'=S(U(p,p)\times U(q-p))$ a un centralisateur de dimension 1. Si le genre est $\geq (p+q)^2$, les représentations Zariski denses dans $SU(p,p)$ sont localement rigides dans $SU(p,q)$ si et seulement si elles sont maximales.
\end{ex}%\pause

\smallskip

2. Le sens ``rigidité'' du dernier énoncé n'est pas satisfaisant. En effet, $\rho'$ peut être flexible bien que $\rho$ soit localement rigide.

\smallskip

3. Travail en cours : combiner les deux théorèmes en un seul résultat sans hypothèses sur les représentations.%\pause

\smallskip

4. Clause sur le genre : elle n'est probablement pas nécessaire, ce n'est qu'une commodité technique.

\smallskip

5. Non constructif : les déformations dont on affirme l'existence ne sont pas données par des formules explicites ni par des constructions géométriques.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Outils}

\begin{thm}
{\em (W. Goldman, 1985)}. Si $\Gamma$ est un groupe de surface et $\rho$ est réductif, $Hom(\Gamma,G)/G$ est, au voisinage de la classe de conjugaison de $\rho$, analytiquement équivalent à 
\begin{eqnarray*}
\{u\in H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{ad\circ\rho})\,|\,[u,u]=0\}/Z_{G}(\rho(\Gamma)),
\end{eqnarray*}
\end{thm}
où le crochet désigne le cup-produit $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{ad\circ\rho})\to H^2 (\Gamma,\mathfrak{g}_{ad\circ\rho})$.%\pause

\begin{rem}
Cela permet de prouver la flexibilité sans expliciter de déformations.
\end{rem}%\pause

\bigskip

La dimension de $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{ad\circ\rho})$ se calcule au moyen de la caractéristique d'Euler et de la dualité de Poincar\'e : $H^2 (\Gamma,\mathfrak{g})=(H^0 (\Gamma,\mathfrak{g}^*))^*$. %\pause

\medskip

Le cup-produit se calcule au moyen du

\begin{thm}
{\em (W. Meyer, 1972).} Soit $(E,\Omega)$ un fibré vectoriel symplectique sur $\Sigma$. La forme quadratique
$Q(a)=\int_{\Sigma}\Omega(a\smile a)$ sur $H^{1}(\Sigma,E)$ est
nondégénérée de signature $4c_1 (E,\Omega)$.
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Flexibilité : généralités}

\begin{nota}
$\chi(\Gamma,G)=Hom(\Gamma,G)/G$.
\end{nota}

\begin{rem}
\begin{itemize}
  \item La dimension de $\chi(\Gamma,G)$ aux points dont le centralisateur est trivial est $|\chi(\Sigma)|\dim(G)$.%\pause
  \item Si le genre de $\Sigma$ est assez grand, les homomorphismes non Zariski denses forment un sous-ensemble de $\chi(\Gamma,G)$ de dimension inférieure à $|\chi(\Sigma)|\dim(G)$.%\pause
\item Par conséquent, il suffit de prouver la densité des points lisses au voisinage des homomorphismes de centralisateurs non triviaux.%\pause
\end{itemize}
\end{rem}

\begin{rem}
On traite les centralisateurs semi-simples $\mathfrak{z}$ en écrivant des classes de cohomologie $u$ explicites telles que $[u,u]=0$, $[\cdot,\cdot]$ est une submersion en $u$ et $u$ a un stabilisateur trivial dans $\mathfrak{z}$.
\end{rem}
En effet, $\Gamma$ agit trivialement sur $\mathfrak{z}$. On choisit judicieusement un $u\in H^1 (\Gamma)\otimes\mathfrak{z}=H^1 (\Gamma,\mathfrak{z})\subset H^1 (\Gamma,\mathfrak{g})$.

\medskip

Cela permet de grimper de $H$ à $G'=H\exp(\mathfrak{s})$, dont le centralisateur est un tore.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Tores centralisateurs}

Si le centralisateur $\mathfrak{z}$ est un tore, $\mathfrak{g}\otimes\C$ se décompose sous $\mathfrak{z}$ en espaces de racines $G'$-invariants $\mathfrak{g}_{\lambda}$. $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g})\otimes\C$ se décompose aussi.

\begin{lem}
$[\cdot,\cdot]$ s'annule sur chaque $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{\lambda})$.

$H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{\lambda})$ et $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{\mu})$ sont orthogonaux par rapport à $[\cdot,\cdot]$ sauf si $\lambda+\mu=0$.
\end{lem}%\pause

\smallskip

Sur chaque $\mathfrak{g}_{\lambda,\R}=\mathfrak{g}\cap(\mathfrak{g}_{\lambda}\oplus\mathfrak{g}_{-\lambda})$, tous les $ad_Z$, $Z\in\mathfrak{z}$ sont proportionnels. Par conséquent, les formes alternées $(X,Y)\to Z\cdot[X,Y]$ sont proportionnelles à une seule forme symplectique $G'$-invariante $\Omega_{\lambda}$. Sur $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{\lambda,\R})$, tous les $Z\cdot[\cdot,\cdot]$ sont proportionnels à la forme quadratique $Q_{\lambda}(u,u)=\int_{\Sigma}\Omega_{\lambda}(u\smile u)$. %\pause 
Soit $\rho_{\lambda}:\Gamma\to Sp(\mathfrak{g}_{\lambda,\R},\Omega_{\lambda})$ la représentation linéaire symplectique correspondante, et $E_{\lambda}$ le fibré vectoriel symplectique associé sur $\Sigma$. La formule de Meyer donne

\begin{lem}
Si $\lambda\not=0$, $Q_{\lambda}$ est non dégénérée et son indice est égal à $4c_1 (E_{\lambda})$. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
4|c_1 (E_{\lambda})|\leq \dim(H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{\lambda}))=-\chi(\Sigma)\mathrm{rank}(E_{\lambda}).
\end{eqnarray*}
En particulier, $Q_{\lambda}$ est définie si et seulement si $\rho_{\lambda}$ est une représentation maximale.
\end{lem}%\pause

\smallskip

Si toutes les inégalités sont strictes, on peut choisir dans chaque $H^1 (\Gamma,\mathfrak{g}_{\lambda})$, $\lambda\not=0$, un vecteur non nul $u_{\lambda}$ tel que $Q_{\lambda}(u_{\lambda})=0$. Alors $u=\sum u_{\lambda}$ satisfait $[u,u]=0$, $[\cdot,\cdot]$ est une submersion en $u$, $u$ a un stabilisateur trivial dans $\mathfrak{z}$. Par conséquent, $u$ représente un point lisse de $\chi(\Gamma,G)$ proche de $\rho'$. 

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Centralisateurs de dimension 1}

Si $\dim(\mathfrak{z})=1$, alors la forme quadratique scalaire $[\cdot,\cdot]=\sum_{\lambda>0}\lambda Q_{\lambda}$ est définie si et seulement si
\begin{eqnarray*}
4|\sum_{\lambda>0}c_1 (E_{\lambda})|=-\chi(\Sigma)\sum_{\lambda>0}\mathrm{rank}(E_{\lambda})=-\chi(\Sigma)\dim(\mathfrak{g}/(\mathfrak{z}\oplus\mathfrak{g}')),
\end{eqnarray*}
i.e. si et seulement si la représentation symplectique sur $\mathfrak{g}/(\mathfrak{z}\oplus\mathfrak{g}')$ est maximale.%\pause

\begin{rem}
$\mathfrak{g}/(\mathfrak{z}\oplus\mathfrak{g}')$ est l'espace tangent de l'orbite adjointe de $\mathfrak{z}$, équipée de la structure symplectique de Kirillov-Kostant-Souriau.
\end{rem}

\medskip

Le fait que $G'$ est hermitien de type tube résulte du théorème suivant. 

\begin{thm}
{\em (Burger, Iozzi, Wienhard, 2007)}. Soit $S$ un groupe de Lie semi-simple dont l'espace symétrique est hermitien. Soit $\rho:\Gamma\to S$ une représentation maximale d'un groupe de surface. Alors $\rho$ est tendue. Son adhérence de Zariski $G'$ est réductive de type hermitien. Le plongement $G'\hookrightarrow S$ est tendu. Si $S$ est de type tube, il en est de même de $G'$.
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Représentations moyennables}

Dans un groupe de Lie $G=KAN$, les sous-groupes moyennables maximaux sont, à conjugaison près, de la forme $G'=K'A'N'$ où $A'\subset A$, $N'\subset N$, le centralisateur de $A$ s'écrit $MA$, et $K'=K\cap M$. De plus, $\mathfrak{a}'$ est engendré par son intersection avec la chambre de Weyl $\mathfrak{a}^+$ de $\mathfrak{a}$. 

\medskip

Quand on le conjugue par un groupe à un paramètre de $\exp(\mathfrak{a}^+)$, un homomorphisme $\rho:\Gamma\to G'$ converge vers un homomorphisme $\rho':\Gamma\to K'A'$. Donc la densité des  homomorphismes Zariski denses dans un voisinage de $\rho'$ implique la même propriété pour $\rho$.%\pause

\medskip

A indice fini près, on peut déformer $\rho'$ de sorte que son adhérence de  Zariski contienne $K'$. En effet, il n'y a pas de rigidité dans les groupes de Lie compacts connexes semi-simples. On écrit $K'_{0}$ comme extension centrale d'un groupe semi-simple. Comme ces extensions centrales sont classifiées par des $H^2$ qui sont discrets, les petites déformations se relèvent de la base à l'extension, donc il y a des déformations Zariski denses dans $K'_{0}$ aussi. C'est pour passer de $K'$ à $K'_{0}$ qu'on peut avoir besoin de restreindre à un sous-groupe d'indice fini.

\medskip

Ceci fait, le centralisateur de $\rho'$ est $A'$, qui est un tore. Comme on peut utiliser, pour définir les fibrés $E_{\lambda}$, des applications équivariantes qui factorisent à travers des plats, leurs premières classes de Chern s'annulent, il n'y a pas de représentations maximales, et la flexibilité en résulte.
\end{frame}

\end{document}


