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\def\n#1{{|\hskip-1pt | #1 |\hskip-1pt |}}



\title{Cohomologie $L^p$ et géométrie conforme à grande échelle}
\author{Pierre Pansu}
\date{19 décembre 2013}


\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Géométrie conforme}
\subsection{Notions classiques}

\begin{frame}

\emph{Conforme} : difféomorphisme entre variétés riemanniennes dont la différentielle envoie sphères (infinitésimales) sur sphères.\pause

\begin{exs}
L'espace euclidien est conforme à la sphère privée d'un point.

L'espace hyperbolique est conforme à une boule de l'espace euclidien.

Une boule de l'espace euclidien n'est pas conforme à l'espace euclidien.
\end{exs}\pause

\medskip

\emph{Quasi-symétrique} : homéomorphisme entre espaces métriques tel que
\begin{eqnarray*}
\forall x,\,\forall x',\,\forall x'',\quad\frac{d(f(x),f(x'))}{d(f(x),f(x''))}\leq \eta(\frac{d(x,x')}{d(x,x'')}),
\end{eqnarray*}
où $\eta\in Homeo(\R_+)$.\pause

\begin{exs}
L'espace euclidien est quasi-symétrique à la sphère privée d'un point.

L'espace hyperbolique n'est pas quasi-symétrique à l'espace euclidien.
\end{exs}

\end{frame}

\subsection{A grande échelle ?}

\begin{frame}

\emph{Plongement uniforme}. Application entre espaces métriques telle que
\begin{eqnarray*}
\forall R,\,\exists T, \,\forall x,\,\forall x',\quad d(x,x') \leq R \Rightarrow d(f(x),f(x'))\leq T.
\end{eqnarray*}

\smallskip

\emph{Quasi-isométrie}. Paire de plongements uniformes entre espaces métriques telle que
\begin{eqnarray*}
\exists S,\,\forall x,\,\forall y,\quad d(x,g\circ f(x))\leq S,~d(y,f\circ g(y))\leq S.
\end{eqnarray*}\pause

\medskip

\emph{Conforme à grande échelle ?} On cherche une classe d'applications entre espaces métriques
\begin{enumerate}
  \item qui a les mêmes propriétés qualitatives que \emph{conforme} ou \emph{quasi-symétrique},
  \item stable par composition,
  \item contient les quasi-isométries.
\end{enumerate}\pause

\medskip
Elément de réponse dans un article de Itai Benjamini et Oded Schramm.

\end{frame}

\section{Empilements}

\subsection{Le théorème de Koebe}

\begin{frame}

\emph{Empilement de boules} : collections de boules d'intérieurs disjoints.

\emph{Graphe d'incidence} : un sommet par boule, une arête lorsque 2 boules se touchent.

\begin{defi}
Un graphe est \emph{empilable dans $\R^d$} si c'est le graphe d'incidence d'un empilement de boules de $\R^d$.
\end{defi}\pause

\begin{thm}[Koebe 1931]
Un graphe est empilable dans $\R^2$ si et seulement si il est planaire (i.e. plongeable dans $\R^2$).
\end{thm}

Interprétation : version mésoscopique du théorème de représentation conforme. \pause
D'ailleurs, 
\begin{itemize}
  \item Il y a des algorithmes rapides de calcul de l'empilement de Koebe. 
  \item Lorsqu'on applique le théorème au graphe d'incidence de l'empilement de disques de même rayon contenu dans un domaine plan, ça converge vers la représentation conforme de ce domaine quand le rayon tend vers 0.
  \item C'est un bon procédé algorithmique pour calculer une approximation de la représentation conforme.
\end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Cohomologie $L^p$ des graphes}

\begin{frame}

\emph{1-cocycle} : fonction $\kappa$ sur les couples de sommets telle que $\kappa(x,x')+\kappa(x',x'')=\kappa(x,x'')$. Exemple : $\kappa=du$ où $u$ est une fonction sur les sommets.

\emph{Norme $L^p$} : $\displaystyle \n{\kappa}_p=\left(\sum_{aretes\,xx'}|\kappa(x,x')|^p\right)^{1/p}$.

\begin{defi}
La cohomologie $L^p$ d'un graphe, c'est 
$\displaystyle L^p H^1=\{\textrm{1-cocycles }L^p\}/d\{\textrm{fonctions }L^p\}$. La cohomologie $L^p$ réduite, c'est 
$\displaystyle L^p \bar{H}^1=\{\textrm{1-cocycles }L^p\}/\overline{d\{\textrm{fonctions }L^p\}}$.
\end{defi}

\begin{exs}
\begin{itemize}
  \item Grille de $\R^d$. $L^p H^1\not=0$, $L^p \bar{H}^1=0$ pour tout $p>1$.
  \item Graphe de Cayley d'un réseau uniforme de l'espace hyperbolique $H^d$ : $L^p H^1=0 \Leftrightarrow L^p \bar{H}^1=0 \Leftrightarrow p\leq d-1$.
\end{itemize}
\end{exs}

\begin{rem}
Invariant par quasi-isométrie.
\end{rem}

\end{frame}

\subsection{Parabolicité}

\begin{frame}

\emph{$p$-volume}. Une métrique sur un graphe, c'est une fonction positive $m$ sur les arêtes. Son $p$-volume, c'est $\sum_{aretes\,e}m(e)^p$.

\smallskip

\emph{$p$-module d'une famille de courbes $\Gamma$}. C'est la borne inférieure des $p$-volumes du graphe sur toutes les métriques qui donnent un $1$-volume $\geq 1$ à toutes les courbes $\gamma\in\Gamma$.\pause

\begin{defi}
Un graphe est \emph{$p$-parabolique} si le $p$-module de la famille des courbes non bornées qui partent de l'origine est nul.
\end{defi}

\begin{rem}
Invariant par quasi-isométrie.
\end{rem}\pause

\begin{prop}[Troyanov]
Le graphe de Cayley d'un groupe de type fini est $p$-parabolique si et seulement si la croissance du volume est polynômiale de degré $\leq p$.
\end{prop}\pause

\emph{Démonstration}. D'après Coulhon et Saloff-Coste, croissance du volume $> R^p$ $\Rightarrow$ isopérimétrie meilleure que celle de $\R^p$ $\Rightarrow$ (Ahlfors) non $p$-parabolique.
\medskip

D'après Gromov, parabolique implique que le groupe est virtuellement nilpotent. Rare.

\end{frame}



\subsection{Benjamini-Schramm}

\begin{frame}

\begin{thm}[Benjamini-Schramm 2012]
Soit $G$ un graphe empilable dans $\R^d$. Alors
\begin{enumerate}
  \item ou bien $G$ est $d$-parabolique,
  \item ou bien $L^d \bar{H}^1(G)\not=0$.
\end{enumerate}
\end{thm}\pause

\begin{exs}
La grille de $\R^{d+1}$ n'est pas empilable dans $\R^d$.
\end{exs}\pause

$L^p \bar{H}^1$ est moins bien compris que la parabolicité, mais rare aussi. Par exemple,
\begin{thm}[Pansu]
Pour un groupe de Lie $G$, $L^p \bar{H}^1(G)\not=0$ $\Leftrightarrow$ $G$ est commensurable à $R\times_\alpha N$ où $\alpha$ est une dérivation à valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ positives, et
$\displaystyle p>\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}{\lambda_1}$.
\end{thm}

\begin{ex}[Yu, Bourdon-Pajot]
Pour tout groupe hyperbolique non élémentaire, $L^p \bar{H}^1\not=0$ pour $p$ assez grand.
\end{ex}

\end{frame}

\section{Plongements conformes à grande échelle}

\subsection{Empilements}

\begin{frame}

\emph{$(N,\ell,R,S)$-empilement} : dans un espace métrique, c'est une collection de boules $B_j$ de rayons $R\leq r_j\leq S$ telle que les $\ell B_j$ forment un recouvrement de multiplicité $< N$.

\begin{defi}
Une application $f$ entre espaces métriques (doublée d'une correspondance $B\mapsto B'$ entre boules telle que $f(B)\subset B'$) est conforme à grande échelle si, pour tous $R\leq S$, $N\geq 1$ et $\ell'>1$, il existe $N'\geq 1$ et $\ell\geq 1$ tels que $f$ envoie $(N,\ell,R,S)$-empilements sur $(N',\ell',0,\infty)$-empilements.
\end{defi}

\begin{exs}
La composition d'un plongement uniforme et d'un homéomorphisme quasi-symétrique est conforme à grande échelle.

Le modèle de Poincaré de l'espace hyperbolique est (presque) une application conforme à grande échelle de $H^d$ dans $R^d$.
\end{exs}

\end{frame}

\subsection{Energies et normes sur les espaces métriques}

\begin{frame}

\emph{Espace métrique $p$-Ahlfors-régulier} : s'il existe une mesure de probabilité $\mu$ telle que $\mu(B(x,R))\simeq R^p$ pour $R<R_0$.\pause

\smallskip

\emph{$p$-énergie} : si $u$ est une application vers un espace métrique, $E_{p,N,\ell,R,S}(u)$ est le sup des sommes $\sum_{j}\mathrm{diam}(u(B_j))^p$ sur les $(N,\ell,R,S)$-empilements. 
Exemple : sur un espace métrique $d$-Ahlfors-régulier, les applications lipschitziennes ont une $d$-énergie finie. \pause

\smallskip

\emph{$p$-module} d'une famille de courbes $\Gamma$ : c'est l'inf des $p$-énergies des applications $u$ vers des espaces métriques telles que $\mathrm{long}(u\circ\gamma)\geq 1$ pour toute courbe $\gamma\in \Gamma$.\pause

\smallskip

\emph{$p$-parabolicité} : c'est lorsque le $p$-module de la famille des courbes non bornées issues d'un compact vaut 0.\pause

\smallskip

\emph{Norme $L^p$ d'une cochaîne} : c'est le sup des sommes $(\sum_{j}\sup|\kappa_{|B_j}|^p)^{1/p}$ sur les $(N,\ell,R,S)$-empilements (on fixe $N,\ell,R,S$). \pause

\begin{defi}
La cohomologie $L^p$ d'un espace métrique, c'est 
$\displaystyle L^p H^k=\{k\textrm{-cocycles }L^p\}/d\{(k-1)\textrm{-cochaînes }L^p\}$. La cohomologie $L^p$ réduite, c'est 
$\displaystyle L^p \bar{H}^k=\{k\textrm{-cocycles }L^p\}/\overline{d\{(k-1)\textrm{-cochaînes }L^p\}}$.
\end{defi}
\end{frame}

\subsection{Parabolicité et cohomologie}

\begin{frame}

\begin{thm}
Soit $Y$ un espace métrique compact, $d$-Ahlfors-régulier. S'il existe une application continue, conforme à grande échelle, de $X$ dans $Y$, alors
\begin{enumerate}
  \item ou bien $X$ est $d$-parabolique,
  \item ou bien $L^d \bar{H}^1(X)\not=0$.
\end{enumerate}
\end{thm}\pause

\emph{Démonstration}.

\begin{enumerate}
\item Naturalité : la composition avec une application $f$ conforme à grande échelle préserve les fonctions d'énergie finie. En particulier, si $Y$ est $d$-Ahlfors-régulier, $E_d(f)<\infty$.\pause

\item Si $L^d H^1(X)=0$, toute application d'énergie finie vers un espace métrique complet possède une limite. Donc $f$ possède une limite $y$.\pause

\item Sur $Y\setminus\{y\}$, il existe une fonction $v_y$ d'énergie finie qui tend vers $+\infty$ en $y$. Alors $v_y\circ f$ est d'énergie finie mais tend vers $+\infty$, contradiction.\pause

\item Une application d'énergie finie possède une limite le long de presque toute courbe. En particulier, $f$ possède une limite le long de presque toute courbe.\pause

\item Si $L^d \bar{H}^1(X)=0$, cette limite est $p$-presque toujours la même, $y$. \pause

\item Alors $v_y\circ f$ est d'énergie finie mais tend vers $+\infty$ le long de presque toute courbe. Donc presque toute courbe = aucune courbe, c'est la $p$-parabolicité.
\end{enumerate}

\end{frame}

\subsection{Exemples}

\begin{frame}

\begin{ex}[Shchur, généralisation du modèle de Poincaré]
Si $G$ est un groupe hyperbolique, alors $G$ se plonge (presque) conformément à grande échelle dans $\R\times\partial G$.
\end{ex}

\begin{cor}
Soient $X=\R\times_{\alpha}N$ et $Y=\R\times_{\alpha'}N'$ deux groupes de Lie hyperboliques. S'il existe une application continue, conforme à grande échelle, de $X$ vers $Y$, alors 
\begin{eqnarray*}
\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}{\lambda_1}\leq \max\{\frac{\lambda'_1+\cdots+\lambda'_{n'}}{\lambda'_1},n'+1\}.
\end{eqnarray*}
\end{cor}

Remarquer que $\frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}{\lambda_1}$ est dimension conforme du bord à l'infini de $X$.

\begin{ex}
Si $N < N'$ est un sous-groupe $\alpha'$-invariant et $\alpha=\alpha'_{|\mathfrak{n}}$, le plongement évident de $X$ dans $Y$ est uniforme et donc conforme à grande échelle. 
\end{ex}

\end{frame}


\end{document}