\documentclass[8pt]{beamer}
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\title{Produits en cohomologie $L^p$ et pincement de la courbure}
\author{P. Pansu}
\date{\today}

\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lem]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lem]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lem]{Définition}
\newtheorem{rem}[lem]{Remarque}
\newtheorem{nota}[lem]{Notation}
\newtheorem{ques}[lem]{Question}
\newtheorem{prob}[lem]{Problème}
\newtheorem{sol}[lem]{Solution}
\newtheorem{conc}[lem]{Conclusion}
\newtheorem{ex}[lem]{Exemple}
\newtheorem{exs}[lem]{Exemples}
\newtheorem{res}[lem]{Resultats}
\newtheorem{plan}[lem]{Plan de l'exposé}
\newtheorem{scheme}[lem]{Schema de preuve}

\def\proof{\par\medskip\noindent {\bf Preuve}}
\def\qed{~q.e.d.}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\H{\mathbb{H}}
\def\O{\mathbb{O}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\n#1{{|\hskip-1pt | #1 |\hskip-1pt |}}

\mode<presentation>{\usetheme{boxes}}

\begin{document}


\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Pincement de la courbure}
\section{Curvature pinching}

\begin{rem}
Les espaces symétriques de rang un non compacts sont les espaces
hyperboliques réels $H^{n}_{\R}$, complexes $H^{m}_{\C}$, quaternionniens
$H^{m}_{\H}$, et le plan hyperbolique sur les octonions $H^{2}_{\O}$.

L'espace hyperbolique réel à une courbure sectionnelle constante $-1$. Les
autres espaces symétriques de rang un sont $-\frac{1}{4}$-{\em pincés},
i.e. leur courbure sectionnelle varie entre $-1$ et $-\frac{1}{4}$. \pause
\end{rem}

\begin{defi}
Le {\em pincement optimal} $\delta(M)$ d'une variété riemannienne $M$ est
le plus petit $\delta\geq-1$ tel que $M$ possède une métrique riemannienne
équivalente à courbure sectionnelle $\delta$-pincée. \pause 
\end{defi}

\begin{ques}
Est-il vrai que le pincement optimal de $H^{m}_{\C}$, $H^{m}_{\H}$ ($m\geq 2$) et $H^{2}_{\O}$ vaut $-\frac{1}{4}$ ?\pause
\end{ques}

\begin{theo}
Le pincement optimal de $H^{2}_{\C}$ vaut $-\frac{1}{4}$.
\end{theo}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Cohomologie \texorpdfstring{$L^p$}{} : qu'est-ce ?}
\section{Cohomologie \texorpdfstring{$L^p$}{}
 : qu'est-ce ?}


\begin{defi}
Soit $M$ une variété riemannienne. Soit $p>1$. La {\em cohomologie $L^p$}
de $M$ est la cohomologie du complexe des formes différentielles $L^p$ sur
$M$ dont la différentielle est à nouveau $L^p$,
\begin{eqnarray*}
H^{k,p}&=&k\textrm{-formes fermées } L^p /d((k-1) \textrm{-formes }L^p ),\\ \pause
R^{k,p} & = &k\textrm{-formes fermées } L^p/\textrm{adhérence de }d((k-1) \textrm{-formes }L^p )
,\\ 
T^{k,p}
& = & \textrm{adhérence de }d((k-1) \textrm{-formes }L^p )/ d((k-1) \textrm{-formes }L^p ).
\end{eqnarray*}
$R^{k,p}$ s'appelle la {\em cohomologie réduite}. $T^{k,p}$
s'appelle la {\em torsion}.\pause
\end{defi}

\begin{prop}
{\em (Gromov).} La cohomologie $L^p$ est un invariant de quasiisométrie des variétés riemanniennes à géométrie bornée et uniformément acycliques.\pause
\end{prop}

\begin{prop}
Le produit extérieur des formes différentielles définit un cup-produit $\smile : H^{k,q}(M)\times H^{\ell,r}(M)\to
H^{k+\ell,p}(M)$ dès que $\frac{1}{p}=\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$. C'est aussi un invariant de quasiisométrie des variétés riemanniennes à géométrie bornée et uniformément acycliques.
\end{prop}

\end{frame}

\begin{frame}


\frametitle{Example : la droite réelle \texorpdfstring{$\R$}{}}
\section{Example : the real line \texorpdfstring{$\R$}{}
}

$H^{0,p}=0$. \pause

\bigskip

$R^{1,p}= 0$, \pause 

car toute fonction $L^p (\R)$ peut être approchée dans $L^p$ par la dérivée
d'une fonction à support compact. Donc $H^{1,p}$ est entièrement de torsion. \pause

\bigskip

$T^{1,p}$  {\em est non nul et donc de dimension infinie}. \pause 

En effet, la $1$-forme $\frac{dt}{t}$ tronquée près de l'origine) est $L^p$
pour tout $p>1$ mais ce n'estpas la différentielle d'une fonction $L^p$.


\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Exemple : le plan hyperbolique réel \texorpdfstring{$H^2_{\R}$}{}}
\section{Example : the real hyperbolic plane \texorpdfstring{$H^2_{\R}$}{}}

Ici, $H^{0,p} = 0 = H^{2,p}$ pour tout $p>1$. \pause 

Si $p=2$, comme le laplacien est borné inférieurement sur les fonctions $L^2$, $T^{1,2} = 0$. 
\begin{eqnarray*}
H^{1,2} &=& R^{1,2}\\ \pause
&=&
\{1\textrm{-formes harmoniques }L^{2}\} \\ \pause
&=& \{\textrm{fonctions harmoniques } h
\textrm{ sur } H^2_{\R}\textrm{ telles que } \nabla h\in L^2\}/\R \,.
\end{eqnarray*}
\pause
Par invariance conforme, on remplace la métrique hyperbolique par la
métrique euclidienne qur le disque $D$.
\begin{eqnarray*} 
H^{1,2} & = & \{ \textrm{fonctions harmoniques }h\textrm{ sur } D \textrm{
telles que } \nabla h\in L^2\}/\R\\ \pause
& = & \{ \textrm{séries de Fourier } \Sigma
a_n e^{in\theta } \textrm{ telles que }
  a_0 = 0, \Sigma \vert n\vert \, \vert a_n\vert ^2 < +\infty \},\pause
\end{eqnarray*} 
c'est l'espace de Sobolev $H^{1/2}(\R/2\pi\Z)$ mod constantes.
\vfill\pause
Plus généralement, pour $p>1$, $T^{1,p} = 0$ et $H^{1,p}$ est égal à
l'espace de Besov $B^{1/p}_{p,p}(\R/2\pi\Z)$ mod constantes.


\end{frame}


\begin{frame}

\frametitle{Cohomologie \texorpdfstring{$L^p$}{}
 des espaces hyperboliques réels}
\section{\texorpdfstring{$L^p$}{}
-cohomology of real hyperbolic spaces}

\begin{center}
\includegraphics[width=2.5in]{rhn.pdf}
\end{center}

\end{frame}
\begin{frame}

\frametitle{Torsion \texorpdfstring{$L^p$}{}
 et pincement}
\section{\texorpdfstring{$L^p$}{}
-torsion and pinching}

\begin{theo}
Si $M^{n}$ est simplement connexe et $\delta$-pincée, $\delta\in[-1,0)$, alors
\begin{eqnarray*}
p<1+\frac{n-k}{k-1}\sqrt{-\delta} \quad\Rightarrow\quad T^{k,p}(M)=0.\pause
\end{eqnarray*}
\end{theo}
C'est optimal. En effet, le produit semi-direct $G=\R^3 \rtimes_{\alpha}\R$ où $\alpha=diag(1,1,2)$,
\begin{itemize}
  \item admet une métrique riemannienne invariante à gauche
    $-\frac{1}{4}$-pincée, donc $\delta(G)\leq -\frac{1}{4}$.
  \item satisfait $T^{2,p}(G)\not=0$ pour $2<p\leq 4$, donc $\delta(G)=-\frac{1}{4}$.\pause
\end{itemize} 

\begin{rem}
Le plan hyperbolique complexe $H^{2}_{\C}$ est isométrique à $G'=Heis^3
\rtimes_{\alpha}\R$ où $\alpha=diag(1,1,2)$ et $Heis$ est le groupe
d'Heisenberg. Il a l'air très proche de $G$.\pause
\end{rem}

\begin{theo}
$T^{2,p}(H^{2}_{\C})=0$ pour $2<p< 4$.
\end{theo}


\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Preuve du théorème de comparaison pour la torsion}
\section{Proof of torsion comparison theorem}

\hbox{\vbox{\hsize=5cm \textcolor{blue}{1ère étape}. {\em Lorsque $p$ est
      assez grand, les formes fermées $L^p$ possèdent des valeurs au bord. \pause
}\vglue.5pt On utilise le champ de vecteurs radial
$\xi=\frac{\partial}{\partial r}$ en coordonnées polaires et son flot
$\phi_t$, dont la différentielle est contrôlée par la courbure sectionnelle. \vglue.1cm 
Puis la formule d'homotopie de Poincaré : 

Si $\alpha$ est une $k$-forme $L^p$, \break\vglue.1cm
$\displaystyle \phi_{t}^{*}\alpha=\alpha+d\left(\int_{0}^{t}\phi_{s}^{*}\iota_{\xi}\alpha\,ds\right)
$ \break\vglue.1cm
a une limite lorsque $t\to+\infty$ sous les hypothèses du théorème.}
\vtop{\includegraphics[width=2.2in]{polar.pdf}}} \pause

\bigskip

\textcolor{blue}{2ème étape}. {\em La valeur au bord détermine la classe de
cohomologie}. \pause

\noindent L'application valeur au bord injecte $H^{k,p}$ dans un espace
fonctionnel de formes différentielles fermées sur la bord à l'infini, cela
prouve que $H^{k,p}$ est séparé.

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Annulation de la torsion pour \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}
\section{Proof of torsion vanishing for \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}

On change de point de vue, on utilise les coordonnées horosphériques. 
\vglue1.05cm 

\hskip5cm\includegraphics[width=2.2in]{horosphere.pdf}
\vglue 6cm

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Annulation de la torsion pour \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}
\section{Proof of torsion vanishing for \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}

On change de point de vue, on utilise les coordonnées horosphériques. On
voit $H^{2}_{\C}$ comme un produit $Heis\times\R$. On prouve une formule de Künneth.
\vglue.8cm 

\hskip5cm\includegraphics[width=2.2in]{horosphere.pdf}
\vglue 6cm

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Annulation de la torsion pour \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}
\section{Proof of torsion vanishing for \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}

On change de point de vue, on utilise les coordonnées horosphériques. On
voit $H^{2}_{\C}$ comme un produit $Heis\times\R$. On prouve une formule de Künneth.\vglue.5pt 
\hbox{\vbox{\hsize=5cm 
\textcolor{blue}{1ère étape}. Pour $p\notin\{4/3,2,4\}$, les formes
différentielles $\alpha$ sur $H^{2}_{\C}$ se décomposent en composantes
$\alpha_{+}$ et $\alpha_{+}$ qui sont contractées (resp. dilatées) par $\phi_{t}$. Alors
$$
h_t :\alpha\mapsto\int_{0}^{t}\phi_{s}^{*}\iota_{\xi}\alpha_{+}\,ds-\int_{-t}^{0}\phi_{s}^{*}\iota_{\xi}\alpha_{-}\,ds
$$
converge lorsque $t\to +\infty$ vers un opérateur borné $h$ sur
$L^p$. $P=1-dh-hd$ est une rétraction du complexe de de Rham $L^p$ sur un
complexe $\mathcal{B}$ de formes différentielles sur $Heis^3$ dont
certaines composantes sont nulles. 
}
\vtop{\includegraphics[width=2.2in]{horosphere.pdf}}} \pause


\medskip

\textcolor{blue}{2ème étape}. Si $2<p<4$, ce complexe est non nul en degrés 1 et 2.

Soit $\tau$ la forme de contact invariante sur $Heis^3$. Alors
$\mathcal{B}^1$ est fait de $1$-formes proportionnelles à $\tau$. Comme
\begin{eqnarray*}
d(f\tau)=df\wedge\tau+f\,d\tau,
\end{eqnarray*}
$d(f\tau)$ determine $f$, donc $d:\mathcal{B}^1 \to \mathcal{B}^2$ a une
image fermée.

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Cohomologie \texorpdfstring{$L^p$}{}
 de \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}
\section{\texorpdfstring{$L^p$}{}
-cohomology of \texorpdfstring{$H^{2}_{\C}$}{}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=2.5in]{table0.pdf}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}

\frametitle{Théorème de la sous-algèbre}
\section{Subalgebra theorem}

\begin{defi}
{\em (Bourdon-Pajot 2004)}. L'{\em algèbre de Royden} $\mathcal{R}_p (M)$
d'une variété riemannienne à courbure négative $M$ est l'espace des
fonctions bornées $u$ sur $M$ telles que $du\in L^p$, modulo les fonctions $L^p  \cap L^{\infty}$.
\end{defi}

\medskip

Clairement, $u\in \mathcal{R}_p (M)$ entraîne $[du]\in H^{1,p}(M)$. \pause

\begin{theo}
On suppose $M^{n}$ simplement connexe et $\delta$-pincée,
$\delta\in(-1,0)$. On suppose 
\begin{eqnarray*}
p<1+\frac{n-k}{k-1}\sqrt{-\delta},\quad r<1+\frac{n-k+1}{k-2}\sqrt{-\delta}\quad \textrm{et}\quad \frac{1}{p}=\frac{1}{q}+\frac{1}{r}.
\end{eqnarray*}
Etant donnée $\kappa\in H^{k-1,r}(M)$, l'ensemble des $u\in\mathcal{R}_q
(M)$ telles que $[du]\smile\kappa=0$ dans $H^{k,p}(M)$ est une sous-algèbre.
\end{theo}

\begin{ex}
$n=4$, $k=2$, $q=r=2p$. Si $\delta<-\frac{1}{4}$, le théorème s'applique
pour des $p>2$ et produit une sous-algèbre $\mathcal{R}_{2p}(M)$.
\end{ex}

\end{frame}


\begin{frame}

\frametitle{Pourquoi le théorème de la sous-algèbre est faux pour \texorpdfstring{$H^2_{\C}$}{}
}
\section{Failure of subalgebra theorem for \texorpdfstring{$H^2_{\C}$}{}
}

\begin{prop}
Soit $2<p<4$. Il existe un ouvert cônique $U\subset H^2_{\C}$, une classe
$\kappa\in H^{1,2p}(U)$ et une fonction $u\in\mathcal{R}_{2p} (U)$ tels que $[du]\smile\kappa=0$ in $H^{2,p}(U)$ mais $[d(u^2)]\smile\kappa\not=0$ dans $H^{2,p}(U)$. Donc $u^2 \notin\mathcal{R}_{2p} (U)$.
\end{prop} \pause

\proof

Soit $\alpha\in\mathcal{B}^2$ une $2$-forme, alors $\alpha\in
d\mathcal{B}^1$ implique qu'il existe une fonction $f$ telle que
$\alpha=df\wedge\tau+f\,d\tau$. Alors $\displaystyle
f=\frac{\tau\wedge\alpha}{\tau\wedge d\tau}$. Donc $\alpha$ satisfait une
équation différentielle linéaire
\begin{eqnarray*}
\alpha=d(\frac{\tau\wedge\alpha}{\tau\wedge d\tau}\tau).
\end{eqnarray*}
Si $du\wedge\beta$ est une solution, $d(u^2)\wedge\beta$ ne l'est pas, sauf
si $\beta$ est proportionnelle à $du$. \pause

\begin{ex}
En coordonnées, si $\tau=dz-x\,dy$, on peut prendre $u=x$, $\beta=dy$.\pause
\end{ex}

\begin{cor}
Le pincement optimal pour $H^2_{\C}$ est $-\frac{1}{4}$.
\end{cor} 



\end{frame}

\end{document}

\begin{frame}

\frametitle{Non-vanishing of torsion}
\section{Non-vanishing of torsion}

Use Poincaré duality. Let $p'=p/p-1$ denote the conjugate exponent. In order to prove that a closed $k$-form $\alpha$ is nonzero in cohomology, it suffices to construct a sequence $\psi_{j}$ of $(n-k)$-forms such that $\n{d\psi_j}_{L^{p'}}$ tends to zero but $\int\alpha\wedge\psi_{j}$ does not tend to zero.\pause

\bigskip

In conclusion, we have used
\begin{itemize}
  \item Poincaré duality.
  \item A deformation retraction of space onto a subspace, with controlled effect on the $L^p$-norms of forms. For certain ranges of $p$, this provides a boundary value.\pause
\end{itemize}

\bigskip

\begin{ques}
\begin{itemize}
  \item For rank 1 symmetric spaces, $T^{k,p}=0$ except for at most 1 value of $p$ in each degree.
  \item For higher rank symmetric spaces, $H^{k,p}=0$ for $k<rank$, $T^{k,p}=0$ for $k=rank$.
  \item For $k=rank$, $R^{k,p}\not=0$ for $p$ large, and $R^{k,p}$ is a function space on the maximal boundary.
  \item For each $p>1$, there exists $k$ such that $H^{k,p}\not=0$.
\end{itemize}
\end{ques}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Functoriality}
\section{Functoriality}

\begin{eqnarray*}
\textrm{cohomology}&\to&\textrm{continuous maps}\\\pause
L^p \textrm{-cohomology}&\to&\textrm{uniform maps}.\pause
\end{eqnarray*}

\begin{defi}
A map $f:X\to Y$ between metric spaces is {\em uniform} if $d(f(x),f(x'))$ is bounded from above in terms of $d(x,x')$ only. \pause
\end{defi}

\begin{ex}
The obvious map $\Z\to \R$ is uniform. Any homomorphism between groups (with left invariant metrics) is uniform. The parametrization of a cusp by a punctured disk is not uniform.\pause
\end{ex}

\begin{center}
\includegraphics[width=2in]{cusp.pdf}
\end{center}

\begin{prop}
Among contractible Riemannian manifolds admitting a cocompact isometric group action, $L^p$-cohomology is natural under uniform maps.
\end{prop}


\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{$L^p$
-cohomology of $G$}
\section{$L^p$-cohomology of $G$}

\begin{center}
\includegraphics[width=3in]{table1.pdf}
\end{center}

\end{frame}


\begin{center}
espace topologique $\to$ cohomologie

variété $\to$ cohomologie de de Rham\pause

espace métrique  $\to$ cohomologie avec condition de décroissance

variété riemannienne $\to$ cohomologie de de Rham avec condition de décroissance\pause
\end{center}


