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\title{Développement limité de l'holonomie}
\author{Erlend Grong (Bergen, Supélec) et Pierre Pansu (Paris-Sud)}
\date{17 novembre 2017}


\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Le problème}

\subsection{Holonomie}

\begin{frame}

Une \emph{connexion} sur un $G$-fibré principal $P\to M$, c'est un champ de plans $G$-invariant, transverse aux fibres. Tout lacet $\gamma$ dans $M$ se relève en un chemin horizontal reliant deux points $p$ et $pg$, $g\in G$, de la même fibre. $g=Hol_p(\gamma)$ est l'\emph{holonomie} de la connexion le long de $\gamma$ lue en $p$.

\bigskip

\textbf{Classique}. Si, dans une carte, $\gamma_\epsilon$ est le parallélogramme formé sur deux vecteurs $\epsilon v,\epsilon w$, alors
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1} Hol_p(\gamma_\epsilon)=\Omega_p(v,w)\epsilon^2 + O(\epsilon^3),
\end{eqnarray*}
où $\Omega_p\in\bigwedge^2 T_p^*M\otimes \mathfrak{g}$ est la courbure lue dans le repère $p$.\pause

\bigskip

\textbf{Classique}. Si $G$ est abélien, $\Omega$ est une 2-forme scalaire, 
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1} Hol(\gamma)&=&\int_{\mathrm{disque}}\Omega,\\
\exp^{-1} Hol(\gamma_\epsilon)&=&\Omega(v,w)\epsilon^2 + \frac{1}{6}\nabla_{v+w}\Omega(v,w)\epsilon^3+\cdots.
\end{eqnarray*}

\begin{ques}
Quels sont les termes suivants du développement limité de l'holonomie ? Sont-ils linéaires en la courbure ?
\end{ques}

\end{frame}

\subsection{Résultat riemannien}

\begin{frame}

\begin{thm}[Grong-Pansu]
Dans une carte, on utilise la jauge radiale et on remplit les lacets par des cônes. Soit $m=3+k$ si $\Omega$ et ses dérivées covariantes jusqu'à l'ordre $k$ s'annulent en $p$, $m=2$ sinon. Alors
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1}Hol_p(\gamma)&=&\int_{\mathrm{cone}(\gamma)}\Omega+O(longueur(\gamma)^{2m})\\
&=&\int_{\mathrm{cone}(\gamma)}Taylor(\Omega,2m)+O(longueur(\gamma)^{2m}).
\end{eqnarray*}
\end{thm}\pause

\bigskip

\textbf{Remarque}.
Comme $m\geq 2$, les termes quadratique et cubique du développement sont toujours linéaires en $p$. Si $\Omega_p\not=0$, le terme suivant est quadratique en $\Omega$.\pause

\bigskip

\begin{ques}
Variante sous-riemannienne : quel développement lorsqu'on se limite aux lacets horizontaux, i.e. tangents à un champ de plans ?
\end{ques}

\end{frame}

\section{Résultats sous-riemanniens}

\subsection{Variétés de contact}

\begin{frame}

\begin{thm}[Pansu 1993, Grong-Pansu 2017]
Soit $M^{\textcolor{red}{3}}$ une variété de contact munie d'une connexion. Il existe une connexion modifiée ayant même holonomie le long des lacets horizontaux et dont la courbure $\tilde\Omega$ s'annule sur le plan de contact. Pour les lacets legendriens, on a le développement cubique
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1}Hol_p(\gamma)=\int_{\mathrm{cone}(\gamma)}\tilde\Omega+O(longueur(\gamma)^{\textcolor{red}{6}}).
\end{eqnarray*}
\end{thm}\pause

\bigskip

Un groupe de Carnot possède des dilatations $\delta_s$ en tout point, d'où un ordre d'annulation pour les formes différentielles : $\alpha$ d'ordre $\geq m$ si $|\delta_s^*\alpha|=o(s^m)$.

\smallskip

\textbf{Exemple}. $\theta$ forme de contact sur le groupe d'Heisenberg. $\alpha=a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge\theta+c\,\theta\wedge dx$ est d'ordre $\geq 3$ en $e$ $\iff$ $a(e)=0$.\pause

\medskip

\begin{thm}[Grong-Pansu 2017]
Soit $N$ un groupe de Carnot muni d'une connexion. Soit $m$ l'ordre d'annulation de la courbure. Pour les lacets horizontaux, on a le développement 
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1}Hol_p(\gamma)=\int_{\mathrm{cone}(\gamma)}\tilde\Omega+O(longueur(\gamma)^{2m}).
\end{eqnarray*}
\end{thm}

\end{frame}

\subsection{Groupes de Carnot}

\begin{frame}

\begin{thm}[Chitour-Grong-Jean-Kokkonen]
Soit $N$ un groupe de Carnot muni d'une connexion. Il existe une connexion modifiée ayant même holonomie le long des lacets horizontaux et dont la courbure $\tilde\Omega$ a un ordre $m\geq w_{min}(\mathfrak{n})$, où  
\begin{eqnarray*}
w_{min}(\mathfrak{n})=\min\{w\,;\;H^{2,w}(\mathfrak{n})\not=0\}.
\end{eqnarray*}
La courbure modifiée $\tilde\Omega$ dépend linéairement de la courbure initiale $\Omega$.
\end{thm}

\bigskip

\textbf{Exemple}. Soit $F_{s,n}$ le groupe de Lie nilpotent libre de classe $s$ à $n$ générateurs. La connexion modifiée est d'ordre $\geq s+1$.\pause

\begin{cor}
Etant donnée une connexion sur $F_{s,n}$, le développement à l'ordre $2s+2$ de l'holonomie pour les lacets horizontaux est linéaire en la courbure. Il commence à l'ordre $s+1$.
\end{cor}

\end{frame}


\section{Retour vers le riemannien}

\subsection{Groupes de Lie nilpotents libres}

\begin{frame}

\begin{cor}
Etant donnée une connexion sur $\R^n$, le développement à l'ordre $2s+2$ de l'holonomie pour les lacets dont le relèvement à $F_{s,n}$ est un lacet est linéaire en la courbure.
\end{cor}\pause

\textbf{Notation}. Si $\gamma$ est un lacet basé en $0$ dans $\R^n$, on note $End(\gamma)\in[F_{s,n},F_{s,n}]$ l'extrémité de son relèvement $\tilde\gamma$ horizontal d'origine $e$ dans $F_{s,n}$.

\begin{cor}
Etant donnée une connexion $\nabla$ sur $\R^n\times G$, il existe des applications $H_{\Omega}:[F_{s,n},F_{s,n}]\to G$ et $I_\Omega: [F_{s,n},F_{s,n}]\to \mathfrak{g}$, ne dépendant que de la courbure $\Omega$ de $\nabla$, telles que pour tout lacet $\gamma$ de $\R^n$,
\begin{eqnarray*}
\exp^{-1}\left((H_{\Omega}\circ End(\gamma))^{-1}Hol(\gamma)\right)-I_\Omega(End(\gamma))=\int_{\mathrm{cone}(\tilde\gamma)}\tilde\Omega+O(longueur(\gamma)^{2s+2}).
\end{eqnarray*}
Ce développement démarre à l'ordre $s+1$.
\end{cor}\pause

\textbf{Interprétation}. Caractère universel de la fibration principale avec connexion $F_{s,n}\to\R^n$ : son holonomie détermine de façon approchée l'holonomie de toute connexion.

\end{frame}

\subsection{Le groupe de Lie libre}

\begin{frame}

Soit $E=\R^n$. Dans l'algèbre tensorielle $T=\bigoplus_{s\in\mathbb{N}} E^{\otimes s}$, soit $L$ le sous-espace engendré par $L^1=E,\ldots,L^{s+1}=[E,L^s],\ldots$. Alors $L$ est isomorphe à l'algèbre de Lie libre, et le sous-groupe $G=\exp(L)\subset T$ est une sorte de groupe de Lie libre : en quotientant par les éléments de degré $>s$, on trouve $F_{s,n}$.\pause

\bigskip

Chaque courbe rectifiable $t\mapsto x(t)$, $[a,b]\to E$ a une \emph{signature} $S(x)\in G$, c'est la suite des intégrales itérées
\begin{eqnarray*}
\int_{a<u_1<\cdots<u_n<b}x(u_1)\otimes\cdots\otimes x(u_n)\,du_1\cdots  du_n.
\end{eqnarray*}
L'ensemble des courbes rectifiables, à reparamétrage près, est un pseudo-groupe pour la concaténation. La signature est un homomorphisme de pseudo-groupes, dont le noyau est l'ensemble des lacets qui factorisent par un arbre, i.e. le long desquels toute connexion a une holonomie triviale. \pause

\bigskip

\textbf{Question}. Etant donnée une connexion sur $\R^n$, les termes du développement limité en $s$ de l'holonomie de $\delta_s \gamma$ sont-ils des fonctions sur $G$ ?

\textbf{Question}. La procédure de Chitour-Grong-Jean-Kokkonen produit-elle une connexion plate sur $G$ ?


\end{frame}

\subsection{Démonstration}

\begin{frame}

Dans la jauge radiale, le long du cône sur $\gamma$, $(s,t)\mapsto\delta_s\gamma(t)$, la matrice de connexion s'écrit $A=A(s,t)dt$, donc la courbure s'écrit $\Omega=dA+[A,A]=dA$, d'où
\begin{eqnarray*}
\int_{\mathrm{cone}(\gamma)}\Omega=\int_{\mathrm{cone}(\gamma)}dA=\int_{\gamma}A.
\end{eqnarray*}\pause
Aussi, $\Omega(s,t)=\frac{\partial A(s,t)}{\partial s}$ et $A(0,t)=0$ donc $\|A\|_\infty=O(\|\Omega\|_{\infty})$.\pause

\begin{lem}
Si $\|A\|_{\infty}$ est suffisamment petit, $\exp^{-1}Hol(\gamma)=\int_{\gamma}A+O(\|A\|_{\infty}^2)$.
\end{lem}
L'holonomie est $a(1)$ où $a(0)=1$ et $a'(t)=A(t)a(t)$. Alors $Q(t)=\exp^{-1}a(t)$ satisfait
\begin{eqnarray*}
\mathcal{F}(Q)(t):=\int_{0}^{t}g(ad\,Q(\tau))A(\tau)\,d\tau=Q(t),\quad\textrm{ où }\quad g(z)=\frac{z}{1-e^{-z}}.
\end{eqnarray*}
Sur $C^0([0,1])$, $\mathcal{F}$ est $\lambda$-lipschizienne, $\lambda=\|g'\|_{\infty}\|A\|_{\infty}$, donc $Q=\lim_{k\to\infty}\mathcal{F}^k(0)$ existe, et
\begin{eqnarray*}
|Q(1)-\int_{\gamma}A|\leq\|Q-\mathcal{F}(0)\|_{\infty}\leq \frac{\lambda}{1-\lambda}\|\mathcal{F}(0)\|_\infty\leq\frac{\|g'\|_{\infty}\|A\|_{\infty}^2}{1-\|g'\|_{\infty}\|A\|_{\infty}}.
\end{eqnarray*}

\end{frame}


\begin{frame}

Pour une variété sous-riemannienne équirégulière, les $k$-formes différentielles sont filtrées par le \emph{poids} : $\Omega^{k,\geq w}=$ formes annulées par tous les multivecteurs $X_1\wedge\cdots\wedge X_s$, $X_i=$ crochet $w_i$-uple de champs horizontaux, $\sum w_i=w$.

\bigskip

\textbf{Exemple}. $\theta$ forme de contact. 
\begin{eqnarray*}
\Omega^k=\Omega^{k,\geq k} \supset\Omega^{k,\geq k+1}=\theta\wedge\Omega^{k-1}\supset\{0\}.
\end{eqnarray*}

\bigskip

Une fonction s'annule à l'\emph{ordre} $s$ en $m$ si $f(m')=O(d_{cc}(m,m')^s)$. Une forme est d'ordre $\geq m$ si c'est le cas dans des coordonnées \emph{privilégiées} $(z_1,\ldots,z_n)$, i.e. où $z_j$ est d'ordre $\geq m_j$.


\begin{thm}[Chitour-Grong-Jean-Kokkonen]
$M$ variété sous-riemannienne équirégulière munie d'une connexion. Il existe une connexion modifiée ayant même holonomie le long des lacets horizontaux et dont la courbure $\tilde\Omega$ a un poids $m\geq w_{min}(\mathfrak{n})$, où $\mathfrak{n}$ est l'algèbre de Lie graduée tangente et 
\begin{eqnarray*}
w_{min}(\mathfrak{n})=\min\{w\,;\;H^{2,w}(\mathfrak{n})\not=0\}.
\end{eqnarray*}
\end{thm}


\end{frame}




\end{document}
