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\title{Du groupe d'Heisenberg vers les espaces $L^p$}
\author{P. Pansu, Université Paris-Saclay}
\date{26-27 janvier 2023}

\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{pro}[lem]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lem]{Corollaire}
\newtheorem{dfi}[lem]{Définition}
\newtheorem{rem}[lem]{Remarque}
\newtheorem{ntn}[lem]{Notation}
\newtheorem{que}[lem]{Question}
\newtheorem{rap}[lem]{Rappel}
\newtheorem{pb}[lem]{Problème}
\newtheorem{sol}[lem]{Solution}
\newtheorem{cln}[lem]{Conclusion}
\newtheorem{coj}[lem]{Conjecture}
\newtheorem{ex}[lem]{Exemple}
\newtheorem{exs}[lem]{Exemples}
\newtheorem{res}[lem]{Resultats}
\newtheorem{pla}[lem]{Plan du cours}
\newtheorem{sch}[lem]{Sch\'ema de la démonstration}

\def\proof{\par\medskip\noindent {\bf Démonstration}}
\def\qed{~q.e.d.}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\H{\mathbb{H}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\n#1{{|\hskip-1pt | #1 |\hskip-1pt |}}
\def\sp{{\rm sp}\,}
\def\dim{{\rm dim}}
\def\ker{{\rm ker}}
\def\tr{{\rm tr}}
\def\h#1{\mathfrak{h}^{#1}}

\def\texorpdfstring#1#2{#1}
\def\pause{}

%\mode<presentation>{\usetheme{boxes}}
\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}

Le groupe d'Heisenberg $\H$ est le sous-groupe de $Gl(3,\Z)$ formé des matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}
1 & x& t \\
0  & 1 &y \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \quad x,y,t\in\Z.
$$\pause
Les matrices
$$
a=\begin{pmatrix}
1 & 1& 0 \\
0  & 1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad b=\begin{pmatrix}
1 & 0& 0 \\
0  & 1 &1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
et leurs inverses engendrent ce groupe. Par exemple, $c=\begin{pmatrix}
1 & 0& 1 \\
0  & 1 &0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$ s'écrit $c=aba^{-1}b^{-1}$.\pause

\bigskip

On forme un graphe, le \emph{graphe de Cayley} de $\H$, dont les sommets sont les éléments de $\H$, et une arête relie $g\in\H$ à $gs$ pour tout $s\in S:=\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}$. Cela produit une distance invariante à gauche sur $\H$. 

\bigskip

On s'intéresse aujourd'hui à $\H$ comme espace métrique.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{minipage}{4cm}

Plus généralement, le groupe d'Heisenberg $\H^{2n+1}$ est le sous-groupe de $Gl(n+2,\Z)$ formé des matrices de la forme

\vskip1cm

et il y a $2n$ générateurs naturels.

\end{minipage}\hskip.5cm\begin{minipage}{6cm}

$$
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & \cdots & \cdots &x_n & t \\
0  & 1 & 0 & \cdots & 0 & y_1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & & \ddots &\ddots& 0 & \vdots \\
\vdots &  &  & \ddots& \ddots & y_n \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}, x_i,y_i,t\in\Z.
$$

\end{minipage}
\pause

On s'intéresse (on verra plus loin pourquoi) aux plongements de $\H^{2n+1}$ dans $L^p$, et à leur compression.

\begin{dfi}
Soit $f:X\to Y$ un plongement lipschitzien entre espaces métriques. Sa \textbf{compression} est la plus grande fonction croissante $\omega:\R_+\to\R_+$ telle que pour tous $x,x'\in X$,
$$
d(f(x),f(x'))\ge \omega(d(x,x')).
$$
La \textbf{compression $L^p$} $\mathrm{Comp}_p(X)$ est la plus grande compression d'un plongement lipschitzien de $X$ dans $L^p$.
\end{dfi}

La compression est toujours au plus linéaire. Plus elle est basse, plus l'espace est sauvage.

\end{frame}

\begin{frame}

En géométrie des Banach, on préfère la terminologie suivante, pour des espaces métriques typiquement finis.

\begin{dfi}
Soit $X$ un espace métrique. Sa \textbf{distorsion} $L^p$ $c_p(X)$ est la borne inférieure des réels $D$ tels qu'il existe un plongement $f$ de $X$ dans $L^p$ tel que pour tous $x,x'\in X$,
$$
d(x,x')\le d(f(x),f(x'))\le D\,d(x,x').
$$
\end{dfi}\pause

La distorsion des boules de rayon $r$ de $X$ et la compression de $X$ sont reliées par
$$
\mathrm{Comp}_p(X)(r)\le\frac{r}{c_p(B(r))},
$$
et dans les exemples que nous allons étudier, il y a égalité.\pause

\bigskip

L'objet du cours est d'expliquer pourquoi et comment on détermine les compressions $L^p$ des groupes d'Heisenberg. Les motivations et techniques relèvent de mathématiques très variées : complexité algorithmique, théorie des modèles, analyse fonctionnelle, analyse de Fourier, théorie géométrique de la mesure. On jongle souvent entre fini et infini discret et entre discret et continu.\pause

\bigskip

Voici les résultats, c'est surtout le second qui sera expliqué en détail.

\end{frame}

\begin{frame}[label=LeeNaor]

\begin{thm}[T. Austin - A. Naor - R. Tessera, 2013]
La compression $L^p$ du groupe d'Heisenberg $\H^{2n+1}$ satisfait, à des termes en $\log\log t$ près,
\begin{enumerate}
  \item si $1<p\le 2$, $\displaystyle \mathrm{Comp}_p(\H^{2n+1})(t)\sim \frac{t}{\log(t)^{1/2}}$,
  \item si $p\ge 2$, $\displaystyle\mathrm{Comp}_p(\H^{2n+1})(t)\sim \frac{t}{\log(t)^{1/p}}$,
\end{enumerate}
\end{thm}\pause

\begin{thm}[A. Naor - R. Young, 2018]
La compression $L^1$ du groupe d'Heisenberg $\H^{5}$ satisfait, à des termes en $\log\log t$ près,
$$
\mathrm{Comp}_1(\H^{5})(t)\sim \frac{t}{\log(t)^{1/2}}. \hskip2cm \hyperlink{reduction<4>}{\beamerreturnbutton{Retour}}
$$
\end{thm}\pause

\begin{thm}[A. Naor - R. Young, 2022]
La compression $L^1$ du groupe d'Heisenberg $\H^{3}$ satisfait, à des termes en $\log\log t$ près,
$$
\mathrm{Comp}_1(\H^{3})(t)\sim \frac{t}{\log(t)^{1/4}}.
$$
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{pla}

\begin{enumerate}
  \item Motivation provenant de l'informatique théorique
  \begin{itemize}
  \item Approche par la programmation linéaire
  \item Approche par la programmation semi-définie
  \item Majoration de $\rho(n)$
\end{itemize}
  \item Pourquoi le groupe d'Heisenberg ? 
  \begin{itemize}
  \item Autosimilarité
  \item Différentiation
  \item Non-plongeabilité dans $L^1$
  \item Réduction du non-plongement des boules au non-plongement de $\H$
\end{itemize}
  \item Inégalités fonctionnelles
  \begin{itemize}
  \item Existence de plongements de grande compression
  \item Réduction à une inégalité fonctionnelle
  \item Passage au continu
  \item L'inégalité $(VH_{2,2,\R})$
\end{itemize}
  \item Théorie géométrique de la mesure
  \begin{itemize}
  \item Réduction à la comparaison des périmètres
  \item Graphes intrinsèques lipschitziens
  \item Coronisations
  \item Périmètres en dimension $3$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{pla}

\end{frame}

\section{Motivation provenant de l'informatique théorique}

\begin{frame}

Un plongement d'un espace métrique fini dans l'espace euclidien ou/et dans $L^1$ intervient souvent dans les algorithmes de base de l'informatique théorique. On va le voir pour le problème \texttt{Sparsest Cut}.

\medskip

Le meilleur algorithme connu pour une résolution approchée de \texttt{Sparsest Cut} donne, dans le pire des cas, pour un graphe à $n$ sommets, une réponse qui diffère de l'optimum d'un facteur au plus égal à la constante $\rho(n)$ définie comme suit.\pause

\begin{ntn}
On considère tous les espaces métriques à $n$ points $(X,d)$ tels que $(X,d^{1/2})$ se plonge isométriquement dans l'espace euclidien. Soit $\rho(n)$ le plus petit $\lambda$ tel que tous ces espaces admettent un plongement $\lambda$-lipschitzien et qui augmente les distances dans $L^1$.\pause
\end{ntn}

M.X. Goemans (en 1997) et N. Linial (en 2002) ont demandé si $\rho(n)$ est borné indépendamment de $n$ (c'est le cas si on se restreint aux sous-ensembles d'un espace de Banach).\pause

\medskip

En 2005, S. Khot et N. Vishnoi ont donné un contre-exemple. 

\medskip

Les boules du graphe de Cayley du groupe de Heisenberg fournissent d'autres contre-exemples, plus riches, qui conduisent à des bornes optimales sur $\rho(n)$.

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{pb}
\texttt{Sparsest Cut} consiste à calculer la constante de Cheeger d'un graphe fini.
\end{pb}
Une {\em coupure} dans un graphe $G$ est une partition des sommets en $G^0 =S\cup \bar{S}$.
\begin{eqnarray*}
\Phi(S)=\frac{\#\partial S}{\# S\,\#\bar{S}}.
\end{eqnarray*}
La {\em constante de Cheeger} de $G$ est $\displaystyle \Phi^* (G)=\min_{\emptyset\subsetneq S\subsetneq G^0}\Phi(S)$.

\medskip

Le calcul exact de $\Phi^*$ est NP-difficile. Mais une coupure (presque) optimale est fréquemment utilisée dans des algorithmes.\pause

\medskip

\textbf{Version pondérée}. Plus généralement, on se donne deux matrices $C$ (les capacités) et $D$ (les demandes), à coefficients positifs ou nuls, et on note, pour une coupure $S$,
$$
\Phi(S)=\frac{\sum_{u\in S}\sum_{v\in\bar S}C_{u,v}}{\sum_{u\in S}\sum_{v\in\bar S}D_{u,v}}.
$$
Il s'agit de calculer (approximativement) 
$$ 
\Phi^* (G)=\min_{\emptyset\subsetneq S\subsetneq G^0}\Phi(S).
$$

\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Arithmétisation}
\begin{eqnarray*}
\Phi(S)=\frac{\sum_{u,v}C_{uv}|1_S (u)-1_S (v)|}{\sum_{u,v}D_{uv}|1_S (u)-1_S (v)|}.
\end{eqnarray*}\pause
Soit $d(u,v)=|1_S (u)-1_S (v)|$. C'est une semi-distance sur $G^0$, induite par une application vers l'espace métrique à 2 points $\{0,1\}$. L'enveloppe convexe de ces semi-distances est exactement l'ensemble des semi-distances plongeables dans $\ell^1$. \pause
Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
\Phi^* &=&\min_{d\,\textrm{plongeable dans}\,\ell^1}\frac{\sum_{u,v}C_{uv}d(u,v)}{\sum_{u,v}D_{uv}d(u,v)}\\
&=&\min\{\sum_{u,v}C_{uv}d(u,v)\,|\,d\,\textrm{plongeable dans}\,\ell^{1},\,\sum_{u,v}D_{uv}d(u,v)=1\}.
\end{eqnarray*}\pause

\medskip

Malheureusement, le problème de décider si un espace métrique fini est plongeable ou non dans $\ell^1$ est NP-complet.

\end{frame}

\subsection{Approche par la programmation linéaire}

\begin{frame}

\textbf{Relaxation de Linial-London-Rabinovich}. Oublions la condition de plongeabilité dans $\ell^1$. Cela ramène à un problème de programmation linéaire, noté \texttt{LP}, pour lequel il existe des algorithmes polynômiaux. Soit $\Phi^{LP}$ le minimum de ce problème.\pause

\begin{thm}[J. Bourgain, 1985] 
Tout espace métrique à $n$ points se plonge dans $L^2$ (et donc dans $L^1$) avec distorsion au plus $O(\log(n))$. C'est optimal.
\end{thm}\pause

\begin{cor}
$$\Phi^{LP}\leq\Phi^{*}\leq C\,\log(n)\Phi^{LP},$$
ce qui montre que \texttt{LP} fournit une approximation de $\Phi^*$ à un facteur multiplicatif $\log(n)$ près.
\end{cor}\pause
\proof. La métrique $d'$ plongeable dans $\ell^1$ qui est $O(\log(n))$-proche de la solution $d$ de \texttt{LP} satisfait 
$$\Phi^{*}\leq\Phi(d')\leq C\,\log(n)\Phi^{*} = C\,\log(n)\Phi^{LP}.$$

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Procédure d'arrondi}

\begin{thm}[N. Linial - E. London - Y. Rabinovich, 1995]
Le plongement de Bourgain est calculable en temps polynômial, on peut en tirer en temps polynômial une coupure $S$ qui réalise approximativement $\Phi^{LP}$.
\end{thm}

 
\end{frame}

\subsection{Approche par la programmation semi-définie}

\begin{frame}

\textbf{Arithmétisation}. On peut aussi écrire
\begin{eqnarray*}
\Phi(S)=\frac{\sum_{u,v}C_{uv}|1_S (u)-1_S (v)|^2}{\sum_{u,v}D_{uv}|1_S (u)-1_S (v)|^2}.
\end{eqnarray*}\pause

\textbf{Relaxation de Goemans et Linial}. On autorise des fonctions $x:G^0 \to L^2$ et non seulement à valeurs dans $\{0,1\}$, en gardant la contrainte
$$\forall u,\,v,\,w\in G^0 ,\quad |x(u)-x(v)|^2 \leq |x(u)-x(w)|^2 + |x(w)-x(v)|^2 ,$$
satisfaite par les fonctions indicatrices. Cela ramène à un problème de programmation semi-définie, noté \texttt{SDP}, pour lequel il existe des algorithmes polynômiaux. Soit $\Phi^{SDP}=\Phi(x)$ son minimum.\pause

\medskip

Soit $d(u,v)=|x(u)-x(v)|^2$. C'est une semi-distance sur $G^0$, et $d^{1/2}$ est induite par un plongement dans l'espace euclidien. Par conséquent,
\begin{align*}
\Phi^{SDP}=\min&\{\sum_{u,v}C_{uv}d(u,v)\,|\\
&d\,\textrm{semi-distance},\,\sqrt{d}\,\textrm{plongeable dans}\,L^{2},\,\sum_{u,v}D_{uv}d(u,v)=1\}.
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}

Notons
\begin{align*}
GoLi(n)=\sup_{C,D\in M_n(\R_+)}\frac{\Phi^{*}}{\Phi^{SDP}}
\end{align*}
le \emph{saut d'intégralité} de la relaxation de Goemans-Linial.

On a montré que 

\begin{eqnarray*}
GoLi(n)\le \rho(n),
\end{eqnarray*}
où $\rho(n)$ est la plus petite constante $\lambda$ telle que tout espace semi-métrique à $n$ points $(X,d)$ tel que $(X,\sqrt{d})$ est plongeable isométriquement dans $L^2$ admette un plongement $\lambda$-lipschitzien, augmentant les distances, dans $L^1$.\pause

\medskip

Modulo une procédure d'arrondi adéquate, ceci montrerait que $\Phi^*$ est calculable en temps polynômial à un facteur multiplicatif $\rho(n)$ près.\pause

\medskip

\begin{que}
Quel est l'ordre de grandeur de $\rho(n)$ ?
\end{que}\pause

\begin{rem}
On peut montrer que $GoLi(n)=\rho(n)$. En revanche, pour le problème isopérimétrique initial où les demandes sont égales à $1$ et les capacités à valeurs dans $\{0,1\}$, le saut d'intégralité est strictement inférieur à $\rho(n)$.
\end{rem}

\end{frame}

\subsection{Majoration de \texorpdfstring{$\rho(n)$}{}}

\begin{frame}

\begin{thm}
{\em (S. Arora, J. Lee, A. Naor, 2005)}. Soit $(X,d)$ un espace métrique à $n$ points. On suppose que $(X,d^{1/2})$ se plonge isométriquement dans $L^2$. Alors $(X,d)$ se plonge aussi dans $L^2$ avec distorsion $O(\sqrt{\log(n)}\log(\log(n)))$. Un tel plongement est calculable en temps polynômial.
\end{thm}\pause

\begin{rem}
C'est presque optimal, puisque l'ensemble des sommets du $n$-cube $\ell^1$ ne se plonge pas dans $L^2$ avec distorsion $<\sqrt{n}$ {\em (Enflo, 1969)}.
\end{rem}\pause

\begin{cor}
$\rho(n) = O(\sqrt{\log(n)}\log(\log(n)))$.
\end{cor}
En effet, $L^2$ se plonge isométriquement dans $L^1$.\pause


\begin{cln}
L'approche SDP donne actuellement la meilleure solution connue du problème \texttt{Sparsest Cut} général. %Dans le cas particulier où les demandes $D_{uv}$ sont tous égales, {\em S. Arora, E. Hazan, S. Kale (2004)} donnent un algorithme polynômial différent qui calcule $\Phi^*$ à un facteur $O(\sqrt{\log(n)})$ près.
\end{cln}

\end{frame}

\section{Pourquoi le groupe d'Heisenberg ?}

\begin{frame}[label=pourquoi]

On s'intéresse désormais à la minoration de $\rho(n)$. Il s'agit de trouver des espaces métriques finis $(X_n,d_n)$ qui se plongent mal dans $L^1$, mais tels que $(X_n,\sqrt{d_n})$ se plonge isométriquement dans $L^2$.\pause

\bigskip

Le groupe d'Heisenberg est \emph{asymptotiquement autosimilaire}. Cela a trois conséquences :
\begin{enumerate}
  \item Doublement : il existe $M$ tel que pour tout $r$ assez grand, toute boule de rayon $2r$ est recouverte par $M$ boules de rayon $r$. Cela entraîne que $(\H,\sqrt{d})$ a un plongement bilipschitzien dans $L^2$. C'est un signe encourageant pour un plongement isométrique dans $L^2$.\pause
  \item Passage du discret au continu : un plongement bilipschitzien de $\H$ dans $L^p$ induit des plongements bilipschitziens d'un groupe de Lie $\H_\R$ dans $L^p$. Etudier ces plongements devient un problème d'analyse réelle.\pause
  \item Différentiation : $\H_\R$ est exactement autosimilaire, d'où une notion de différentiabilité adhoc.
\end{enumerate}\pause

\bigskip

On détaille maintenant comment chacune de ces trois propriétés nous rapproche de la minoration de $\rho(n)$.

\end{frame}

\begin{frame}
Le théorème de Bourgain est optimal : il y a des espaces métriques finis $(X_n,d_n)$ à $n$ points dont tout plongement dans $L^1$ a une distorsion d'au moins $\log(n)$ : il s'agit de graphes expanseurs. Or l'expansion contrôle la compression $L^2$, ces exemples, même élevés à la puissance $\frac{1}{2}$, se plongent mal dans $L^2$.\pause

\medskip

En revanche, tout espace métrique doublant, une fois élevé à la puissance $\frac{1}{2}$, a un plongement bilipschitzien dans $L^2$.

\begin{thm}[P. Assouad, 1983]
Soit $(X,d)$ un espace métrique doublant, i.e. il existe $M$ tel que pour tout $r>0$, toute boule de rayon $2r$ est recouverte par $M$ boules de rayon $r$. Pour tout $a<1$, $(X,d^a)$ possède un plongement bilipschitzien dans un espace euclidien de dimension finie.
\end{thm}\pause

\medskip

En théorie géométrique des groupes, on sait que les groupes de type fini qui sont doublants sont les groupes virtuellement nilpotents (M. Gromov 1981), d'où l'idée (de J. R. Lee et A. Naor) de chercher du côté du groupe d'Heisenberg. 

\medskip

\begin{thm}[J. E. Lee - A. Naor, 2006]
Il existe une distance invariante à gauche quasigéodésique $d$ sur le groupe d'Heisenberg telle que $(\H^{2n+1},d^{1/2})$ se plonge isométriquement dans $L^2$. 
\end{thm}


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{thm}[S. Semmes, 1996]
$\H$ n'a pas de plongement bilipschitzien dans un espace de Banach de dimension finie.\pause
\end{thm}

\begin{thm}[S. Pauls, 2001]
$\H$ n'a pas de plongement bilipschitzien dans un espace de Hilbert, ni, plus généralement, dans un espace $CAT(0)$.\pause
\end{thm}

\proof. 

1. Un plongement bilipschitzien de $\H$ dans $L^2$ donne des plongements bilipschitziens entre cônes asymptotiques. Or cone$(\H)=\H_\R$ est un groupe de Lie muni d'une métrique sous-finslérienne, et cone$(L^2)$ est un espace de Hilbert $\R^{\aleph_1}$.\pause

\medskip

2. Une application lipschitzienne $f:\H\to\R^{\aleph_1}$ est différentiable presque partout, la différentielle est un homomorphisme de groupes $Df:\H\to\R^{\aleph_1}$.\pause

\medskip

3. Tout homomorphisme de groupe $\H\to\R^{\aleph_1}$ a un noyau, le sous-groupe des commutateurs de $\H_\R$.\pause

\medskip

4. Si $f$ est bilipschitzienne, $Df$ l'est aussi, contradiction.

\end{frame}

\subsection{Autosimilarité}

\begin{frame}

\begin{ntn}
Le groupe d'Heisenberg $\H_\R$ est le sous-groupe de $Gl(3,\R)$ formé des matrices de la forme
$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & x_1 & t \\
0  & 1 & y_1 \\
0 &  0 & 1
\end{pmatrix}$, où $x_1,y_1,t\in\R$.
\end{ntn}
\pause

\medskip

$\H_\R$ possède un groupe à un paramètre d'automorphismes $\delta_\epsilon:x_1\mapsto \epsilon x_1$, $y_1\mapsto \epsilon y_1$, $t\mapsto \epsilon^2 t$. \pause Il existe des métriques géodésiques et invariantes à gauche sur $H_\R$ que $\delta_\epsilon$ multiplie exactement par $\epsilon$ : les distances de Carnot.\pause

\medskip

\begin{minipage}{5cm}

Les champs de vecteurs invariants à gauche $\xi$, $\eta$ qui valent $\frac{\partial}{\partial x_1}$ et $\frac{\partial}{\partial y_1}$ à l'origine engendrent le champ de plans \emph{horizontal}. %La {\em distance de Carnot} $d(p,p')$ est l'$\inf$ des longueurs des courbes horizontales joignant $x$ à $x'$. La finitude de la distance de Carnot résulte de la figure ci-contre.

\end{minipage}\hskip.5cm\begin{minipage}{5cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=1.7in]{contact_std1.png}
\end{center}

\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{ntn}
Le groupe d'Heisenberg $\H_\R$ est le sous-groupe de $Gl(3,\R)$ formé des matrices de la forme
$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & x_1 & t \\
0  & 1 & y_1 \\
0 &  0 & 1
\end{pmatrix}$, où $x_1,y_1,t\in\R$.
\end{ntn}
%\pause

\medskip

$\H_\R$ possède un groupe à un paramètre d'automorphismes $\delta_\epsilon:x_1\mapsto \epsilon x_1$, $y_1\mapsto \epsilon y_1$, $t\mapsto \epsilon^2 t$. Il existe des métriques géodésiques et invariantes à gauche sur $H_\R$ que $\delta_\epsilon$ multiplie exactement par $\epsilon$ : les distances de Carnot.%\pause

\medskip

\begin{minipage}{5cm}

Les champs de vecteurs invariants à gauche $\xi$, $\eta$ qui valent $\frac{\partial}{\partial x_1}$ et $\frac{\partial}{\partial y_1}$ à l'origine engendrent le champ de plans \emph{horizontal}. La {\em distance de Carnot} $d(p,p')$ est l'$\inf$ des longueurs des courbes horizontales joignant $x$ à $x'$. La finitude de la distance de Carnot résulte de la figure ci-contre.

$\zeta=[\xi,\eta]=\frac{\partial}{\partial t}$.

\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}


\begin{center}
\includegraphics[width=1.5in]{carnot.pdf}
\end{center}

\end{minipage}

\end{frame}


\begin{frame}

\begin{ntn}
Le groupe d'Heisenberg $\H_\R$ est le sous-groupe de $Gl(3,\R)$ formé des matrices de la forme
$\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & x_1 & t \\
0  & 1 & y_1 \\
0 &  0 & 1
\end{pmatrix}$, où $x_1,y_1,t\in\R$.
\end{ntn}

\medskip

$\H_\R$ possède un groupe à un paramètre d'automorphismes $\delta_\epsilon:x_1\mapsto \epsilon x_1$, $y_1\mapsto \epsilon y_1$, $t\mapsto \epsilon^2 t$. Il existe des métriques géodésiques et invariantes à gauche sur $H_\R$ que $\delta_\epsilon$ multiplie exactement par $\epsilon$ : les distances de Carnot.

\medskip

\begin{minipage}{5cm}

Les champs de vecteurs invariants à gauche $\xi$, $\eta$ qui valent $\frac{\partial}{\partial x_1}$ et $\frac{\partial}{\partial y_1}$ à l'origine engendrent le champ de plans \emph{horizontal}. La {\em distance de Carnot} $d(p,p')$ est l'$\inf$ des longueurs des courbes horizontales joignant $x$ à $x'$. 

\vskip.3cm

Ci-contre, une boule de cette distance.

\end{minipage}\hskip.5cm\begin{minipage}{5cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=1.7in]{BouleHeis2-eps-converted-to.pdf}
\end{center}

\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Passage au cône asymptotique}.

\smallskip

$\H\subset\H_\R$ ressemble à $\Z^3\subset\R^3$. La métrique du graphe de Cayley est la restriction d'une distance de Carnot sur $\H_\R$. Appliquer une homothétie $\delta_\epsilon$ revient à regarder $\H$ de plus en plus loin, il devient de plus en plus dense dans $\H_\R$, il se confond avec $\H_\R$, c'est l'idée de \emph{cône asymptotique}. \pause

\medskip

Grâce à Arzela-Ascoli, quitte à extraire, un plongement bilipschitzien $\H\to\R^N$ converge vers un plongement bilipschitzien $\H_\R\to\R^N$. \pause

\medskip

Ça marche aussi si $N=\infty$.

\bigskip

\textbf{Différentiation}

\begin{dfi}
Soit $Y$ un espace de Banach. Une application $f:\H_\R\to Y$ est différentiable à l'origine s'il existe un homomorphisme de groupes $Df:\H_\R\to Y$ tel que
$$
\forall z\in H_\R,~ \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}(f(\delta_\epsilon(z))-f(0))=Df(z).
$$
\end{dfi}

Je ne détaille pas la démonstration, juste l'argument qui suffit pour la non-plongeabilité dans les espaces de Banach possèdant la Propriété de Radon-Nikodym.

\end{frame}

\subsection{Différentiation}

\begin{frame}

\begin{enumerate}
\item {\em Un application lipschitzienne possède des dérivées partielles horizontales presque partout}.

\smallskip

Cela s'appelle la \emph{propriété de Radon-Nikodym} de $L^2$. \pause
\item {\em Ces dérivées sont approximativement continues presque partout}.

\smallskip

C'est général pour les espaces doublants.\pause
\item {\em En un tel point $x$, $d(f(x),f(x'))=o(d(x,x'))$ si $x'$ est sur la droite verticale passant par $x$}.\pause
\end{enumerate}

\smallskip

\hbox{\vbox{\hsize=7cm Soit $x'=x\exp(\epsilon^2 \zeta)$, de sorte que $d(x,x')\sim \epsilon$. On joint $x$ à $x'$ par des courbes intégrales de $\xi$, $\eta$, $-\xi$, $-\eta$, d'extrémités $x=x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4 =x'$. Alors 
$$f(x_1)-f(x)\sim \epsilon\xi f(x),\quad f(x_3)-f(x_2)\sim -\epsilon\xi f(x),$$ 
d'où
$$f(x_1)-f(x)+f(x_3)-f(x_2)=o(\epsilon).$$ 
De même $f(x_2)-f(x_1)+f(x')-f(x_3)=o(\epsilon)$. En additionnant, $f(x')-f(x)=o(\epsilon)$.}\vtop{\includegraphics[width=1.5in]{carnot.pdf}}}

\end{frame}

\subsection{Non-plongeabilité dans $L^1$}

\begin{frame}

L'argument précédent s'applique à
\begin{itemize}
  \item $Y=L^p$ pour $p>1$ ;
  \item $Y=\ell^1$,
\end{itemize}
qui possèdent la propriété de Radon-Nikodym.\pause

\begin{rem}
$L^1$ n'a pas la propriété de Radon-Nikodym. 
\end{rem}
En effet, $t\mapsto 1_{[0,t]}$, $\R_+ \to L^1(\R_+ )$, est isométrique, mais nulle part différentiable.\pause

\medskip

\begin{rem}
On ne peut pas se contenter de rejeter les plongements bilipschitziens de $\H_\R$ dans $\ell^1$, car les cônes asymptotiques de $\ell^1$ sont des $L^1$.
\end{rem}\pause

Heureusement,

\begin{thm}[J. Cheeger - B. Kleiner, 2006]
$\H$ n'a pas de plongement bilipschitzien dans $L^1$.
\end{thm}


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{sch}[de Cheeger-Kleiner]
\end{sch}
\begin{enumerate}
  \item A une application $f:X\to L^1 (Y,\nu)$, on associe une mesure canonique sur les partitions $S,\bar S\subset X$, généralisant les ensembles de niveau.%\pause
  \item $f$ est à variation bornée si et seulement si presque tout $S$ est de périmètre fini.%\pause
  \item {\em (Franchi, Serapioni, Serra-Cassano, 2001)}. Si $S\subset \H$ est de périmètre fini, alors, en presque tout point, les dilatés par $\delta_t$ de $S$ convergent vers des demi-espaces verticaux. %\pause
  \item Au voisinage des bons points, à petite échelle, $f$ factorise approximativement par $\H/[\H,\H]$, ce qui l'empêche d'être bilipschitzienne. 
\end{enumerate}\pause

\begin{rem}
C'est dans la direction du centre que la distorsion se manifeste.
\end{rem}

\end{frame}

\subsection{Réduction du non-plongement des boules au non-plongement de $\H$}

\begin{frame}[label=reduction]

\begin{pro}
L'inexistence de plongements bilipschitziens du groupe d'Heisenberg dans $L^1$ entraîne que $\rho(n)$ tend vers $+\infty$.
\end{pro}\pause

\proof

\begin{lem}[Kakutani, 1939]
L'ensemble des semi-distances plongeables dans $L^1$ est fermé. De plus, un espace semi-métrique $X$ se plonge isométriquement dans $L^1$ si et seulement si tout sous-ensemble fini de $X$ se plonge isométriquement dans $L^1$.
\end{lem}\pause

Supposons que la boule de rayon $n$ de $(\H,d)$ admette un plongement $\lambda$-bilipschitzien dans $L^1$. Comme les distances induites $d_n$ sont bornées, on peut supposer qu'elles convergent simplement vers une distance $d'$. Alors $d'$ se plonge dans $L^1$, elle est $\lambda$-équivalente à $d$. Donc $(\H,d)$ admet un plongement $\lambda$-bilipschitzien dans $L^1$. \pause

\begin{rem}
Cet argument ne donne aucune borne inférieure effective sur $\rho(n)$, on est encore loin des \hyperlink{LeeNaor<3>}{\beamergotobutton{Résultats}}.
\end{rem}

\end{frame}

\section{Inégalités fonctionnelles}

\subsection{Existence de plongements de grande compression}

\begin{frame}

En 2006, R. Tessera a découvert que la compression des plongements dans $L^p$ était contrôlée par l'\emph{isopérimétrie dans les boules}. Il s'agit de la fonction $J_p$ telle que, pour toute fonction $\phi$ à support dans une boule de rayon $r$,
$$
\|\phi\|_p \le J_p(r)\|\tilde\nabla\phi\|_p \quad\text{(gradient à droite)}.
$$

\begin{thm}[R. Tessera, 2011]
Soit $p>1$. Soit $G$ un groupe localement compact, compactement engendré, d'isopérimétrie dans les boules $J_p$. Soit $\omega$ une fonction croissante telle que
\begin{align*}
\int_1^\infty (\frac{\omega(t)}{J_p(t)})^p \,\frac{dt}{t}<+\infty. 
\end{align*}
Alors $G$ admet un plongement (équivariant) dans $L^p$ de compression au moins un multiple de $\omega$. 
\end{thm}


\end{frame}


\begin{frame}

\frametitle{Démonstration}

Soit $\phi_r$ une fonction à support dans $B(r)$ telle que $\|\tilde\nabla\phi_r\|_p=1$ et $\|\phi_r\|_p\ge 2^{-1/p}J_p(r)$. Posons $\Phi=\bigoplus_{k\in\N}\frac{\omega(2^k)}{J_p(2^k)}\phi_{2^k}$. Alors $\tilde\nabla\Phi\in \bigoplus_{k\in\N}L^p(G)$. Par conséquent, il y a une action affine isométrique de $G$ sur un espace affine modelé sur $\bigoplus^{\ell^p}_{k\in\N}L^p(G)$, dont une orbite donne un plongement lipschitzien $\Psi$. \pause

\medskip

Si $g\in G$ et $|g|>2r$, $g\phi_r$ et $\phi_r$ ont des supports disjoints, $\|g\phi_r -\phi_r\|_p=2^{1/p}\|\phi_r\|_p\ge J_p(r)$, donc $\|\Psi(g)-\Psi(1)\|\ge \omega(r)$. La compression de $\Psi$ est donc $\ge \omega$.\pause

\bigskip

Par autosimilarité asymptotique, $J_p(t)\sim t$ pour $\H^{2n+1}$. Par conséquent,

\begin{cor}
Soit $p\ge1$. Soit $\omega:\R_+\to\R_+$ une fonction croissante telle que
\begin{align}\label{Tessera}
\int_1^\infty \frac{\omega(t)^p}{t^{p+1}} \,dt<+\infty. 
\end{align}
Alors $\H^{2n+1}$ admet un plongement dans $L^p$ de compression au moins un multiple de $\omega$. 
\end{cor}

\end{frame}

\subsection{Réduction à une inégalité fonctionnelle}

\begin{frame}

Au milieu des années 2000, Assaf Naor a conjecturé une famille d'inégalités fonctionnelles qui contraignent la compression des plongements des groupes d'Heisenberg $\H^{2n+1}$ dans les $L^p$.\pause

\bigskip

Dans $G=\H^{2n+1}$, soit $S$ le système générateur formé des matrices $a_i=I_{n+2}+E_{1,1+i}$, $b_i=I_{n+2}+E_{1+i,1}$ et leurs inverses. Soit $c$ la matrice $I_{n+2}+E_{n+2,n+2}$. Alors pour tout $i=1,\ldots,n$, $c=a_i b_i a_{i}^{-1}b_{i}^{-1}$, et $c$ engendre le centre de $G$.\pause

\begin{ntn}
Soit $f:G\to X$ une application de $G$ vers un espace de Banach. On appelle \textbf{gradient horizontal} de $f$, noté $\nabla_\H f$, l'application $G\to \ell^p(S,X)$, $h\mapsto (s\mapsto f(hs)-f(h))$. On appelle \textbf{gradient vertical} de $f$ les applications $G\to X$, $h\mapsto f(hc^t)-f(h)$, notées $\nabla^t_v f$.
\end{ntn}\pause

\begin{coj}[A. Naor]
Soit $q\ge 2$ et $1\le p\le q$. Notons $G=\H^{2n+1}$ et $S$ le système générateur ci-dessus. Il existe une constante $C=C_{p,q}(G,S)$ telle que toute fonction à support fini $f:G\to\R$ satisfait l'inégalité $(VH_{p,q})$ 
\begin{align*}
\left(\sum_{t=1}^{\infty}\frac{1}{t^{1+q/2}}\|\nabla^t_v f\|_p^{q}\right)^{1/q}\le C\|\nabla_\H f\|_p.
\end{align*}
\end{coj}


\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Pourquoi ces inégalités ?}

1. On démontre aisément l'inégalité 
$\|\nabla_v^{r^2} f\|_{L^1(B(r))}\le 4r\|\nabla_\H f\|_{L^1(B(5r))}$. Elle s'étend immédiatement aux plongements $f:B(5r)\to L^1$. Toutefois, lorsque $f$ est lipschitzienne, cette inégalité n'est pas assez forte pour impliquer de la compression le long du centre. \pause 
Il en est de même pour $\|\nabla_v^{r^2} f\|_{L^q(B(r))}^q\le (4r)^q\|\nabla_\H f\|_{L^1(B(5r))}$.

\bigskip

2. D'où l'idée de chercher à contrôler une expression de la forme 
$$
\int w_t \frac{\|\nabla_v^{t} f\|_q^q}{t^{q/2}}\,dt.
$$
On verra en démontrant $(VH_{2,2})$ que le bon choix est $w_t=\frac{1}{t}$.\pause

\bigskip

3. Dans $\H$, la relation $\zeta=[\xi,\eta]$ indique que la dérivée verticale compte pour deux dérivées horizontales. À gauche, on reconnaît la norme de Besov $\dot{\mathcal{B}}^{1/2}_{p,q}$ de l'application $\Z\to \ell^p(G,X)$, $t\mapsto (h\mapsto f(hc^t))$. Autrement dit, une demie-dérivée verticale, c'est naturel de la comparer à la dérivée horizontale.

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Conséquences de $(VH_{p,q})$}

Les inégalités $(VH_{p,q})$ entraînent une majoration optimale de la compression $L^p$ des groupes d'Heisenberg et de leurs boules.

\begin{pro}
Soient $q\ge p\ge 1$. L'inégalité $(VH_{p,q})$ entraîne l'existence d'une constante $C$ telle que si une fonction croissante $\omega:\R_+\to\R_+$ telle que $\omega(s)\le s$ est la compression d'un plongement $1$-lipschitzien de la boule de rayon $r$ de $G$ dans $L^p$, alors 
$$
\int_{1}^{2r}\frac{\omega(t)^q}{t^{1+q}}\,dt \le C.
$$
\end{pro}\pause

La construction de Tessera montre que cette conséquence de la conjecture serait optimale lorsque $q=p$ si $p\ge 2$, $q=2$ sinon.\pause

\bigskip

D'autre part, la compression des boules minore la fonction $\rho$ de Goemans-Williamson, donc la conjecture pour $p=1$  et $q=2$ donnerait une minoration optimale (à un terme en $\log\log n$ près) de $\rho$.

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Démonstration de la proposition}

\textbf{Première étape}. $(VH_{p,q})$ pour les fonctions à valeurs dans $\R$ implique $(VH_{p,q})$ pour les plongements dans $L^p$ (cela utilise que $p\le q$).

\bigskip

\textbf{Deuxième étape}. Localisation de $(VH_{p,q})$ dans la boule $B(r)$ de rayon $r$. \pause

\medskip

Si $f:B(21r)\to\R$, soit $\phi=\chi f$ où $\chi$ est une troncature à support dans $B(7r)$, égale à $1$ sur $B(6r)$, telle que $|\nabla \chi|\le \frac{1}{r}$. Alors $|\nabla_\H\phi|\le \frac{1}{r}|f|+|\nabla_\H f|$. L'inégalité de Poincar\'e locale
$$
\|f-\oint f\|_{L^p(B(7r)}\le Cr\|\nabla_\H f\|_{L^p(B(21r))}
$$
donne $\|\nabla_\H\phi\|_p\le 2C\|\nabla_\H f\|_p$. Comme $\phi=f$ sur $B(6r)$ et $d(hc^t,h)\le r$ tant que $t\le r^2$, 
\begin{align*}
\left(\sum_{t=1}^{r^2}\frac{1}{t^{1+q/2}}\|\nabla^t_v f\|_p^{q}\right)^{1/q}
&\le \left(\sum_{t=1}^{r^2}\frac{1}{t^{1+q/2}}\|\nabla^t_v \phi\|_p^{q}\right)^{1/q}\\
& \le C\|\nabla_\H\phi\|_p\\
&\le C\|\nabla_\H f\|_{L^p(B(21r))}.
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Troisième étape}. Contrôle de la compression.

\medskip

Soit $f:B(r)\to L^p$ un plongement $1$-lipschitzien de compression $\omega$. Alors $|\nabla_\H f|\le 1$ et pour tous $h\in G$, $t\in\N$, $|f(hc^t)-f(h)|\ge \omega(\sqrt{t})$, d'où
\begin{align*}
|B(21r)|^{q/p}
&\ge\|\nabla f\|_{L^p(B(21r))}^q\\
&\ge\sum_{t=1}^{r^2}\frac{1}{t^{1+q/2}}\|\omega(\sqrt{t})\|_{L^{p}(B(r))}^{q}\\
&\ge\sum_{t=1}^{r^2}\frac{1}{t^{1+q/2}}\omega(\sqrt{t})^q|B(r)|^{q/p}\\
&\ge |B(r)|^{q/p}\int_{1}^{r^2}\frac{1}{t^{1+q/2}}\omega(\sqrt{t})^q\,dt\\
&=|B(r)|^{q/p}\int_{1}^{s}\frac{\omega(s)^q}{s^{1+q}}\,ds.
\end{align*}
On conclut car $|B(r)|\sim r^{2n+2}\sim|B(21r)|$.
\end{frame}

\subsection{Passage au continu}

\begin{frame}

Sur le groupe de Lie $\H_\R^{2n+1}$, notons $\xi_i,\eta_i$ les champs de vecteurs invariants à gauche tels que $\exp(\xi_i)=a_i$, $\exp(\eta_j)=b_j$ et $\zeta=[\xi_i,\eta_i]$ celui tel que $\exp\zeta=c$. 

\begin{ntn}
Soit $f$ une fonction lisse sur $G$. On appelle \textbf{gradient horizontal} de $f$ et on note $\nabla_\H f$ le vecteur de composantes $\xi_i f$, $\eta_j f$. On appelle \textbf{gradient vertical} et on note $\nabla^t_v f$ la famille des fonctions $f(\cdot\exp(t\zeta))-f(\cdot)$.
\end{ntn}

\begin{pro}[V. Lafforgue - A. Naor]
L'inégalité $(VH_{p,q})$ sur $\H^{2n+1}$ équivaut à l'inégalité $(VH_{p,q,\R})$ suivante : pour toute fonction lisse à support compact sur $\H_\R^{2n+1}$,
$$
\left(\int_{1}^{\infty}\|\nabla^t_v f\|_p^q \,\frac{dt}{t^{1+q/2}}\right)^{1/q}\le C\|\nabla_\H f\|_p.
$$
\end{pro}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Démonstration}

On montre seulement que $(VH_{p,q,\R})\implies(VH_{p,q})$ pour $\H$.

\medskip

Soit $\chi$ une fonction lisse positive sur $\H_\R$ tel que pour tout $h\in \H_\R$, $\sum_{g\in\H}\chi(g^{-1}h)=1$. Étant donné $f:\H\to\R$ à support fini, on pose
$$
\phi(h)=\sum_{g\in\H^{2n+1}}\chi(g^{-1}h)f(g).
$$\pause
On vérifie aisément que $\|\nabla_\H\phi\|_p\le C\|\nabla_\H f\|_p$.\pause

\medskip

Inversement, on montre que pour tout $t\in\N$ et tout $s\in[t,t+1]$,
\begin{align*}
\|\nabla^t_v f\|_p \le C(\|\nabla^s_v \phi\|_p+\|\nabla_\H f\|_p).
\end{align*}
En effet, si $U$ est un domaine fondamental pour $\H$ dans $\H_\R$, $h\in\H_\R$, $t>0$, $x\in\H$ tel que $h\in xU$ et $k\in\N$ tel que $t\in[k,k+1[$, on écrit
$$
\phi(h\exp(t\zeta))-f(xc^k)=\sum_{w\in\H}\chi(w^{-1}h\exp(t\zeta))(f(w)-f(xc^k))
$$
et on majore
$$
|\phi(h\exp(t\zeta))-f(xc^k)|^p\le C\sum_{w\in\H\cap B(r)}|f(xc^k w)-f(xc^k)|^p,
$$
où $r$ dépend du support de $\chi$. On intègre.

\end{frame}

\subsection{L'inégalité $(VH_{2,2,\R})$}

\begin{frame}

\begin{thm}[V. Lafforgue - A. Naor (2014)]
L'inégalité $(VH_{p,q,\R})$ est vraie pour tout $q\geq 2$ et $1<p\le q$.
\end{thm}

\begin{cor}
Soit $p>1$ et $q=\max\{p,2\}$. Soit $\omega:\R_+\to\R_+$ une fonction croissante et majorée par $t$. La condition de Tessera
$$
\int_{1}^{\infty}\frac{\omega(t)^q}{t^{q+1}}\,dt <\infty
$$
est nécessaire et suffisante pour qu'un multiple de $\omega$ soit la compression d'un plongement lipschitzien de $\H^{2n+1}$ dans $L^p$.
\end{cor}\pause

J'explique seulement le cas particulier $p=q=2$, obtenu par une méthode bien plus simple.

\begin{thm}[T. Austin - A. Naor - R. Tessera (2013)]
La version locale de l'inégalité $(VH_{2,2,\R})$ est vraie, i.e. il existe une constante $C$ telle que pour toute application $\phi:\H\to\mathcal{H}$ à valeurs dans un espace de Hilbert, et tout $r$,
$$
\int_{1}^{r^2}\|\nabla^t_v \phi\|_{L^2(B(r))}^2\,\frac{dt}{t^2}\le C\|\nabla_\H \phi\|_{L^2(B(21r))}^2.
$$
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Démonstration de $(VH_{2,2,\R})$}

On fait une transformation de Fourier en $y$ et en $z$. On note
$$
\hat f_\nu(x,\mu)=\int_{\R^2}e^{-2\pi i(\mu y+\nu z)}f(x,y,z)\,dy\,dz.
$$
Comme $\widehat{(\nabla^t_v f)}_\nu=(e^{2\pi \nu it}-1)\hat f_\nu$,
$$
\|\nabla^t_v f\|_{L^2(\H)}^2=\int_{\R}|e^{2\pi i\nu t}-1|^2\|\hat f_\nu\|^2_{L^2(\R^2)}\,d\nu.
$$
On majore l'intégrale
$$
\int_{1}^{\infty}|e^{2\pi i\nu t}-1|^2\frac{dt}{t^2}=4\int_{1}^{\infty}\sin(\pi\nu t)^2\frac{dt}{t^2}=4|\nu|\int_{|\nu|}^{\infty}\sin(\pi t)^2\frac{dt}{t^2}\leq 4\pi^2|\nu|.
$$
Il vient
\begin{align*}
\int_{1}^{\infty}\|\nabla^t_v f\|_{L^2(\H)}^2\frac{dt}{t^2}&=\int_{\R}(\int_{1}^{\infty}\sin(\pi\nu t)^2\frac{dt}{t^2})\|\hat f_\nu\|^2_{L^2(\R^2)}\,d\nu\\
&\le 4\pi^2\int_{\R}|\nu|\|\hat f_\nu\|^2_{L^2(\R^2)}\,d\nu.
\end{align*}

\end{frame}


\begin{frame}

Les champs de vecteurs invariants à gauche sont $\xi=\frac{\partial}{\partial x}$ et $\eta=\frac{\partial}{\partial y}+x\frac{\partial}{\partial z}$, donc
\begin{align*}
\|\xi f\|_{L^2(\H)}^2 &= \int_{\R}\|\frac{\partial \hat f_\nu}{\partial x}\|_{L^2(\R^2)}^2\,d\nu,\\
\|\eta f\|_{L^2(\H)}^2 &= \int_{\R}\|(2\pi i\mu+2\pi i\nu x)\hat f_\nu\|_{L^2(\R^2)}^2\,d\nu\\
&=4\pi^2 \int_{\R}\nu^2 \|(x+\frac{\mu}{\nu})\hat f_\nu\|_{L^2(\R^2)}^2\,d\nu,
\end{align*}
d'où
$$
|\nabla_\H f|_{L^2(\H)}^2=\int_{\R}(\|\frac{\partial \hat f_\nu}{\partial x}\|_{L^2(\R^2)}^2+4\pi^2\nu^2 \|(x+\frac{\mu}{\nu})\hat f_\nu\|_{L^2(\R^2)}^2)\,d\nu.
$$
Il s'agit de l'hamiltonien de l'oscillateur harmonique quantique (décentré). Le spectre de cet opérateur sur $L^2(\R)$ est borné inférieurement par $c|\nu|$, d'où l'inégalité
$$
\int_{1}^{\infty}\|\nabla_v^t f\|^2\,\frac{dt}{t^2}\le  \frac{1}{c}\|\nabla_\H f\|^2.
$$\pause

On a vu plus haut comment déduire la version locale de $(V_{2,2,\R})$ de la version globale.

\end{frame}

\section{Théorie géométrique de la mesure}

\subsection{Réduction à la comparaison des périmètres}

\begin{frame}

On s'attaque enfin à l'inégalité $(VH_{1,2,\R})$.

\begin{dfi}
Soit $E\subset\H_\R^{2n+1}$ un ensemble lisse par morceaux. Notons $E^r$ son $r$-voisinage tubulaire.

Le \textbf{périmètre horizontal} de $E$ est
$$
\mathrm{Per}(E)=\lim_{r\to 0}\frac{mes(E^r\setminus E)}{r}.
$$
 
On introduit la fonction $\bar v(E):\R\to\R$,
$$
\bar v(E)(s):=2^{-s}mes(E\Delta c^{2^{2s}}E). 
$$
Le \textbf{périmètre vertical} de $E$ est la norme $L^2$ de cette fonction sur $\R$. 
\end{dfi}\pause

\begin{pro}
L'inégalité $(VH_{1,2,\R})$ équivaut à l'énoncé $(PVPH_n)$ suivant : il existe une constante $C_n$ telle que, pour tout ensemble lisse par morceaux $E\subset \H_\R^{2n+1}$,
$$
\|\bar v(E)\|_{L^2(\R)}\le C_n\,\mathrm{Per}(E).
$$
\end{pro}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Démonstration}

Moralement, si $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction indicatrice de $E$,
$$
\mathrm{Per}(E)=\|\nabla\mathbf{1}_E\|_1 \quad \text{et}\quad \|\bar v(E)\|_{L^2(\R)}=\left(\int_{1}^{\infty}\|\nabla_v^t \mathbf{1}_E\|_1^2 \frac{dt}{t^{2}}\right)^{1/2}.
$$

1. Dans un sens, il suffit d'appliquer $(VH_{1,2,\R})$ à des fonctions affines par morceaux de la distance à $E$.\pause

\medskip

2. Dans l'autre, on écrit une fonction $\phi$ comme l'intégrale des fonctions indicatrices de ses ensembles de sur-niveaux. Lorsque $\phi\ge 0$,
$$
\phi(x)=\int_{0}^{\infty}\mathbf{1}_{\{\phi>u\}}\,du.
$$
La formule de la coaire (intégration le long des hypersurfaces de niveau) donne
$$
\|\nabla_\H \phi\|_1=\int_{0}^{\infty}\mathrm{Per}(\{\phi>u\})\,du.
$$
Alors que la convexité de la norme à la Besov donne
$$
\left(\int_{1}^{\infty}\|\nabla^t_v \phi\|_1^2 \,\frac{dt}{t^{2}}\right)^{1/2}\le \int_{0}^{\infty}\|\bar v(\{\phi>u\})\|_{L^2(\R)}\,du.
$$

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{thm}[A. Naor - R. Young (2020)]
L'inégalité $(PVPH_n)$ est vraie dès que $n\geq 2$. Autrement dit, pour les ensembles lisses par morceaux $E$ de $\H^5,\H^7$,...
$$
\|\bar v(E)\|_{L^2(\R)}\le C_n\,\mathrm{Per}(E).
$$
\end{thm}

Cela suffit à garantir que la constante de Goemans-Linial $\rho(n)$ croît au moins comme $\sqrt{\log n}$.

En revanche, l'inégalité $(PVPH_1)$ est fausse, i.e. pour le groupe d'Heisenberg de dimension 3, la comparaison entre les deux périmètres est différente.

\end{frame}

\subsection{Graphes intrinsèques lipschitziens}

\begin{frame}

Dans l'espace euclidien, la notion qui traduit de façon quantitative l'existence de plans tangents est la rectifiabilité uniforme, introduite par G. David et S. Semmes en 1993. Elle consiste à approximer un ensemble par des graphes lipschitziens. Soit $\lambda\in]0,1[$. Un sous-ensemble $E$ de $\R^{n}$ est un graphe $\lambda$-lipschitzien sur un hyperplan $V$ si 
\begin{enumerate}
  \item il existe une fonction $f:V\to V^{\bot}$ telle que $E=\{x+f(x)\,;\,x\in H\}$ ;
  \item pour tous $a,b\in E$, $|p_{V^{\bot}}(a-b)|\le\lambda |a-b|$.
\end{enumerate}
Alors $f$ est $\frac{\lambda}{\sqrt{1-\lambda^2}}$-lipschitzienne.\pause
 
\bigskip

Dans $\H^{2n+1}$, voici ce qui se rapproche le plus d'un graphe lipschitzien.

\begin{dfi}[B. Franchi - S. Serapioni - F. Serra-Cassano (2006)]
Un sous-ensemble $E\subset \H^{2n+1}$ est un graphe intrinsèque s'il existe un hyperplan vertical $V$, orthogonal à une droite horizontale $W$, et une fonction $f:V\to W$ telle que 
$$
E:=\Gamma_f=\{uf(u)\,;\,u\in V\}.
$$  

Soit $\lambda\in]0,1[$. $E$ est un \textbf{graphe intrinsèque $\lambda$-lipschitzien} si pour tous points $g,h\in E$, 
$$
|p_W(g^{-1}h)|\le\lambda d(g,h).
$$
\end{dfi}

\end{frame}

\begin{frame}

La régularité des graphes lipschitziens intrinsèques est un problème difficile. En général, $\Gamma_f$ graphe lipschitzien intrinsèque n'entraîne pas que $f$ est lipschitzienne. Le seul point où l'hypothèse $n>1$ intervient, c'est ici :

\begin{lem}
Soit $V\subset H^{2n+1}$, $n>1$, un sous-groupe vertical de dimension $2n$. Soit $\Gamma_f$ un graphe intrinsèque $\lambda$-lipschitzien, $\lambda\in]0,1[$. Soit $\H< V$ un sous-groupe isomorphe à $\H^3$ qui commute avec $W$, soit $v\in V$. Alors la restriction de $f$ à $v\H$ est lipschitzienne.
\end{lem}\pause

En appliquant la version locale de $(V_{2,2,\R})$ aux restrictions de $f$ aux classes à gauche de $\H$, on en déduit

\begin{pro}
Soit $n>1$. Soit $E$ un graphe intrinsèque $\lambda$-lipschitzien. Alors, dans toute boule $B(h,r)$ de $\H^{2n+1}$, 
$$
\bar v_{B(h,r)}(E)\le C\,\frac{r^{2n+1}}{1-\lambda}.
$$
\end{pro}
Noter que $r^{2n+1}=\mathrm{Per}(E\cap B(h,21r))$.

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Démonstration du Lemme}

Pour tout $g\in\H^{2n+1}$, il existe $v\in V$ et $w\in W$ uniques tels que $g=vw$. Par définition, $w=p_W(g)$. En particulier, si $g=vf(v)\in\Gamma_f$, $p_W(g)=f(v)$.\pause

\medskip

Comme $\H$ et $W$ commutent, si $g=vf(v)$ et $h=v'f(v')\in\Gamma_f$ avec $u,u'\in\H$, 
$$
g^{-1}h=f(v)^{-1}v^{-1}v'f(v')=v^{-1}v'f(v)^{-1}f(v'),
$$
donc 
$$
|f(v)^{-1}f(v')|=|p_W(g^{-1}h)|\le\lambda d(vf(v),v'f(v'))\le\lambda(|f(v)^{-1}f(v')|+d(v,v'))
$$
d'où, en notant additivement dans $W$,
$$
|f(v)-f(v')|\le\frac{\lambda}{1-\lambda}d(v,v').
$$\pause

Comme la notion de graphe intrinsèque $\lambda$-lipschitzien est invariante à gauche, cela démontre le lemme.\pause

\medskip

La distance utilisée sur $\H$ est celle induite par $\H^{2n+1}$. La distance intrinsèque sur $\H$ lui est équivalente.

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Démonstration de la proposition}

Soit $E$ un domaine bordé par un graphe $\Gamma_f$, i.e. $E:\{vw\,;\,v\in V,\,w\in W,\,\ge f(v)\}$.

Soit $g\in V$. On applique à $f_g:u\mapsto f(gu)$, $\H\to W$, la version locale de $(VH_{2,2,\R})$ :
$$
\int_{0}^{r^2}\int_{B(r)\cap\H}|f_g(u)-f_g(uc^{t})|^2\,\frac{dt}{t^2}\le C\|\nabla_\H f_g\|_{L^2(B(21r)\cap\H)}^2\le C\,r^4\frac{\lambda^2}{(1-\lambda)^2}.
$$
Or
\begin{align*}
|f_g(u)-f_g(uc^t)|&=\int_{\R}|\mathbf{1}_{\{w\ge f(gu)\}}-\mathbf{1}_{\{w\ge f(guc^t)\}}|\,dw\\
&=\int_{\R}|\mathbf{1}_{E}-\mathbf{1}_{Ec^{-t}}|\,dw\\
&=\int_{\R}\mathbf{1}_{g^{-1}E\,\Delta \,g^{-1}Ec^{-t}}\,dw,
\end{align*}
donc, avec Fubini, l'inégalité triangulaire pour rester dans les bonnes boules, Cauchy-Schwartz, et en intégrant sur un supplémentaire $V'$ de $\H$ dans $V$,
$$
\int_{0}^{r^2}\bar v_{B(r)}(E)(t)^2\frac{dt}{t^2}\le\int_{V'} \,dg\int_{0}^{r^2}\int_{B(r)\cap\H}|f_g(u)-f_g(uc^{t})|^2\,\frac{dt}{t^2}\le C\,r^{2n+1}\frac{\lambda^2}{(1-\lambda)^2}.
$$

\end{frame}

\subsection{Coronisations}

\begin{frame}

L'étape suivante est d'approximer certains sous-ensembles de $\H^{2n+1}$ par des graphes lipschitziens intrinsèques. L'idée remonte à G. David et C. Christ vers 1990 dans l'espace euclidien. Elle s'adapte sans difficulté aux groupes d'Heisenberg.

\begin{dfi}
Un espace métrique $E$ de dimension $s$ est $(C,r)$-Ahlfors-régulier si la mesure de Hausdorff de toutes les boules de rayon $r'<r$ est encadrée entre $\frac{1}{C}r'^s$ et $C\,r'^s$.
\end{dfi}\pause

\begin{pro}
Tout ensemble Ahlfors-régulier $E\subset\H^{2n+1}$ de dimension de Hausdorff $2n+1$ possède une coronisation. En gros, il s'agit d'un recouvrement fini par des cubes, triés en bons et mauvais, tel que
\begin{itemize}
  \item les cubes empiètent modérément les uns sur les autres ;
  \item les mauvais cubes sont peu nombreux ;
  \item dans les bons cubes, $E$ est Hausdorff-proche d'un graphe lipschitzien intrinsèque.
\end{itemize}
\end{pro}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Monotonie}

Pour Christ et David, ce qui permet d'approcher un ensemble par des graphes lipschitziens, c'est une hypothèse de rectifiabilité uniforme.\pause

Dans les groupes d'Heisenberg, la notion de rectifiabilité n'est pas claire. On la remplace par la \emph{monotonie} globale, définie ci-dessous, et sa variante locale.

\begin{dfi}[J. Cheeger - B. Kleiner - A. Naor (2011)]
Un ensemble $E\subset \H^{2n+1}$ est \textbf{monotone} si son intersection avec toute droite horizontale est une demie-droite. Sinon, la \textbf{non-monotonie} de $E$ est la quantité
$$
NM(E)=\int_{\mathcal{L}}\inf_{D\in\mathcal{D}(L)}|D\Delta(E\cap L)|\,dL.
$$
Ici, $\mathcal{L}$ est l'espace des droites horizontales, muni de sa mesure naturelle, et $\mathcal{D}(L)$ désigne l'ensemble des demi-droites contenues dans une droite $L$.
\end{dfi}\pause

\begin{lem}
Soit $E\subset \H^{2n+1}$ un ensemble mesurable. Si $NM(E)=0$, alors $E$ est vide, plein, ou un demi-espace vertical (à mesure nulle près). Pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que si $NM(E)<\delta$, alors il existe un demi-espace vertical $P$ tel que $mes(P\Delta E)<\epsilon$.
\end{lem}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Construction de la coronisation}

On suit la méthode de temps d'arrêt de G. David, qui ne dépend que de l'Ahlfors-régularité. On obtient une partition en cubes.\pause

\medskip

La somme des non-monotonies dans les cubes de la partition est contrôlée par le périmètre, donc $NM$ est petite dans la plupart des cubes.\pause

\medskip

Le lemme garantit que dans ces bons cubes, $E$ est proche d'un demi-espace. On trie les cubes suivant la direction du demi-espace. Sur la réunion des cubes de directions voisines, on construit, au moyen d'une partition de l'unité, un graphe lipschitzien intrinsèque. \pause

\medskip

Si, au voisinage d'un point, les directions des demi-espaces varient beaucoup, cela crée de la non-monotonie. Ces points sont donc rares, comme les mauvais cubes.\pause


\begin{pro}
L'existence de coronisations et l'estimation du périmètre vertical des graphes lipschitziens intrinsèques
$$
\bar v_{B(p,r)}(E)\le C\,\frac{r^{2n+1}}{1-\lambda}.
$$
entraînent une estimée similaire pour tous les ensembles Ahlfors-réguliers de dimension de Hausdorff $2n+1$.
\end{pro}




\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Approximation par des ensembles Ahlfors-réguliers}

On travaille avec des réunions finies de cubes, qui sont Ahlfors-régulières à petite échelle. Il s'agit d'aller vers des échelles plus grandes.
 
\begin{lem}
Etant donné $E$, il existe une suite de cubes $B_i$ de diamètres $s_i$ et des sous-ensembles décroissants $E_i$, tels que $E_i \Delta E_{i+1}\subset B_i$ et
\begin{enumerate}
  \item $E_i$ est $(C,s_i)$-Ahlfors régulier ;
  \item $\sum_i s_i^{2n+1}\le \mathrm{Per}(E)$ ;
  \item $\|\bar v(E)\|_{L^2(\R)} \le C\,\mathrm{Per}(E)+\sum_{i}\|\bar v_{B_i}(E_i)\|_{L^2(\R)}$.
\end{enumerate}
\end{lem}\pause

La démonstration est gloutonne : quand on rencontre un cube maximal dans lequel $E$ n'est pas Ahlfors-régulier, on l'ajoute ou on le retire à $E$.\pause

\bigskip

L'estimation du périmètre vertical obtenue précédemment s'applique aux $E_i$ : $\|\bar v_{B_i}(E_i)\|_2\le C\,s_i^{2n+1}$. Avec les estimations (3) et (2), cela donne la comparaison des deux périmètres en général, et conclut la démonstration de $(VH_{1,2,\R})$.

\end{frame}

\subsection{Périmètres en dimension $3$}

\begin{frame}

\begin{thm}[A. Naor - R. Young (2022)]
En dimension $3$, dans $\H$, l'inégalité $(VH_{1,4})$ est vraie.
\end{thm}

En revanche, $(VH_{1,q})$ n'est pas vraie pour $q<4$. \pause

\medskip

Le théorème entraîne une borne supérieure sur la compression. Cette borne est optimale.

\begin{thm}[A. Naor - R. Young (2022)]
La compression $L^1$ de $\H$ est de l'ordre de $\frac{t}{\log(t)^{1/4}}$.
\end{thm}

Autrement dit, il existe un plongement de $\H$ dans $L^1$ de compression $\frac{t}{\log(t)^{1/4}}$. \pause 

\medskip

Ce plongement a un mérite supplémentaire, il permet de construire un espace métrique qui possède des plongements bilipschitziens dans $L^1$ et dans $L^4$, mais pas dans $L^q$ pour $1<q<4$.\pause

C'est surprenant, car ce phénomène ne se produit pas pour les plongements linéaires entre espaces de Banach (M.I. Kadec - A. Pe\l cy\'nski 1962).

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=3in, angle=270]{lipgraph.pdf}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Discussion}

\textbf{Question} (G. Lancien). Sait-on dans quels espaces de Banach le groupe d'Heisenberg possède des plongement bi-lipschitziens ?

\medskip

Gilles a trouvé lui-même la réponse dans la journée : ce sont les espaces de Banach qui n'ont pas de cotype. En effet,
\begin{itemize}
  \item d'une part, d'après Pisier, un espace de cotype $q$ peut être renormé pour devenir $q$-convexe. Alors Austin-Naor-Tessera ou Lafforgue-Tessera montrent que $\H$ n'a pas de plongement bilipschiztien dans un tel espace.
  \item d'autre part, un espace qui n'a pas de cotype contient des copies de $\ell_\infty^n$ dans lesquelles on peut plonger toute partie finie. Une construction due à F. Baudier and G. Lancien fournit alors un plongement bi-lipschitzien global.
\end{itemize}

\medskip

F. Baudier and G. Lancien, \emph{Embeddings of locally finite metric spaces into Banach spaces}, Proc. Amer. Math. Soc. \textbf{136} (2008), no. 3, 1029--1033.

\end{frame}

\end{document}

\begin{frame}

\end{frame}


