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\def\n#1{{|\hskip-1pt | #1 |\hskip-1pt |}}



\title{Cohomologie $L^1$ des groupes d'Heisenberg}
\author{Pierre Pansu, avec A. Baldi, B. Franchi et F. Tripaldi}
\date{14 juin 2018}

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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Motivation}

\subsection{Sobolev et cohomologie $\ell^{q,p}$}


\begin{frame}

\textbf{Inégalité de Sobolev euclidienne}

Soit $1\leq p<n$, $\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}= \frac{1}{n}$. Si $u$ fonction lisse à support compact sur $\R^n$, alors
$$
\|u\|_q\leq C(n,p,q)\|du\|_p.\hskip2cm (Sobol_{p,q})
$$\pause

\bigskip

La plus importante des $(Sobol_{p,q})$, c'est celle pour $p=1$,
\begin{itemize}
  \item Elle entraîne toutes les autres.
  \item Elle équivaut à l'inégalité isopérimétrique.
\end{itemize}\pause

\bigskip

$(Sobol_{p,q})$ a une version discrète sur $\Z^n$, $n\geq 2$ : tout $1$-cocycle $c$ à support fini possède une primitive $u$ telle que 
$$
\|u\|_q\leq C'(n,p,q)\|c\|_p.
$$\pause

\bigskip

On étudie une généralisation, à tendance topologique, aux dimensions supérieures.
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{defi}
$X$ complexe simplicial. Est-ce que tout cocycle $\ell^p$ est le cobord d'une cochaîne $\ell^q$ ? 
\begin{eqnarray*}
\ell^{q,p}H^k(X)=\{k\text{-cocycles } \ell^p\}/d\{k-1\text{-cochaînes }\ell^q\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}
Si $X$ est fini, c'est un invariant topologique. Si $X$ est infini, c'est un invariant de quasiisométrie. Donne lieu à des invariants numériques des groupes discrets.\pause

\bigskip 

\textbf{Exemple}. $X=$ droite pavée en intervalles égaux. Alors $\ell^{q,p}H^0(X)=0$ sauf $\ell^{q,\infty}H^0(X)=\R$, $\ell^{\infty,1}H^1(X)=0$, tous les autres $\ell^{q,p}H^1(X)\not=0$.\pause

\bigskip

\textbf{Exemple}. $X=$ plan pavé en triangles. Alors $\ell^{q,p}H^1(X)=0$ si
$\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\geq \frac{1}{2}$.
Pour les $1$-cocycles à support fini, c'est l'inégalité de Sobolev discrète. En général, 
\begin{itemize}
  \item passage du discret au continu,
  \item argument d'analyse dans le continu.
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Version continue}

\begin{frame}

\begin{defi}
$X$ variété riemannienne.
\begin{eqnarray*}
L^{q,p}H^k(X)=\{k\text{-formes fermées }L^p \}/d\{k-1\text{-formes }L^q\,\omega\text{ telles que }d\omega\in L^p\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\textbf{Propriété}. Si $X$ est triangulée à géométrie bornée, $L^{q,p}H^k(X)=\ell^{q,p}H^k(X)$.\pause

\bigskip

\textbf{Exemple}. $X=\R^n$. Alors $L^{q,p}H^k(X)=0$ si $1< p\leq q<\infty$ et $\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}= \frac{1}{n}$.

\smallskip

\textbf{Démonstration}. Soit $\Delta=d^*d+dd^*$. Alors $\Delta$ a un inverse pseudodifferentiel qui commute avec $d$. $T=d^*\Delta^{-1}$ a un noyau homogène de degré $1-n$, donc est borné $L^p\to L^q$ dès que $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}= \frac{1}{n}$ (\textcolor{red}{Calderon-Zygmund 1952}). Enfin, $1=dT+Td$.\pause

\bigskip

\textbf{Cas $p=1$}. Sur les $n$-formes, $d^*\Delta^{-1}$ n'est pas borné de $L^1$ dans $L^{n/(n-1)}$.

Sinon, par dualité, l'inégalité de Sobolev $(Sobol_{\infty,n})$ serait vraie. Or c'est faux : si $n\geq 2$, $\R^n$ est $n$-parabolique.

\end{frame}

\section{Analyse $L^1$}

\subsection{Degré $n-1$}

\begin{frame}

\begin{thm}[\textcolor{red}{Bourgain-Brezis-Mironescu 2004}]
Soit $\omega$ une $n-1$-forme \textbf{fermée} à support compact sur $\R^n$. Alors pour toute $1$-forme $\alpha$ sur $\R^n$ telle que $\nabla\alpha\in L^n$,
$$
|\int_{\R^n} \alpha\wedge \omega|\leq C\,\|\omega\|_1\|\nabla\alpha\|_n.
$$
\end{thm}\pause

\begin{cor}
Si $\phi$ à support compact satisfait $d^*\phi=0$ et $d\phi=\omega$, alors $\|\phi\|_{n/(n-1)}\leq C\,\|\omega\|_1$.
\end{cor}\pause

Les \emph{moyennes} d'une $k$-forme $L^1$ $\omega$, ce sont les $\int_{\R^n}\beta\wedge\omega$, $\beta$ à coefficients constants.

\begin{cor}
$d^*\Delta^{-1}:L^1\to L^{n/(n-1)}$ est borné sur les $n-1$-formes \textbf{fermées de moyennes nulles}.
\end{cor}

\end{frame}

\subsection{Moyennes}

\begin{frame}

\begin{prop}
Soit $\omega$ une $n-1$-forme fermée $L^1$ sur $\R^n$. Alors $\omega$ est de moyennes nulles, i.e. pour toute $1$-forme $\beta$ à coefficients constants,
$\int_{\R^n}\beta\wedge\omega=0$.
\end{prop}

En effet, $\beta=d\gamma$ où $\gamma$ est un polynôme de degré $1$.
\begin{align*}
\int\chi_r\beta\wedge\omega&=-\int\gamma d\chi_r\wedge\omega+\int d(\chi_r \gamma\omega)\\
&=-\int_{B(2r)\setminus B(r)}\gamma d\chi_r\wedge\omega\\
&\leq C\,\int_{B(2r)\setminus B(r)}|\omega|
\end{align*}
tend vers $0$. Donc $\int\beta\wedge\omega=0$.\pause

\begin{cor}[\textcolor{red}{Bourgain-Brezis 2007}]
$L^{n/(n-1),1}H^{n-1}(\R^n)=0$.
\end{cor}

\end{frame}

\subsection{Autres degrés}

\begin{frame}

\begin{prop}[\textcolor{red}{Lanzani-Stein 2005}]
L'inégalité de Bourgain-Brezis-Mironescu pour les formes fermées $\omega$ à support compact
$$
|\int_{\R^n} \alpha\wedge \omega|\leq C\,\|\omega\|_1\|\nabla\alpha\|_n.
$$
est vraie en tout degré $k\leq n-1$ (mais pas en degré $n$).
\end{prop}\pause

En effet, chaque composante de $\omega$ est une composante d'une $n-1$-forme fermée à support compact $\omega\wedge dx_{i_1}\wedge\cdots \wedge dx_{i_{n-1-h}}$.\pause

\begin{cor}
$L^{n/(n-1),1}H^{k}(\R^n)=0$ pour tout $k=0,\ldots,n-1$. En revanche,
$L^{n/(n-1),1}H^{n}(\R^n)$ n'est pas séparé.
\end{cor}

\end{frame}


\begin{frame}

\textbf{Démonstration de l'inégalité BBM} (d'après \textcolor{red}{van Schaftingen}). \pause 

\medskip

On peut approximer $\omega$ par des formes Poincar\'e-duales à des courbes fermées $\gamma$, cela ramène à
$$
|\int_{\gamma} \alpha|\leq C\,\ell(\gamma)\|\nabla\alpha\|_n,
$$
pour $\alpha=u\,dx_1$. \pause 

\medskip

On projette le long des hyperplans parallèles $\Pi=\{x_1=t\}$. Comme $u\in C^{(n-1)/n}(\Pi)$ et $\gamma\cap\Pi=\sum_{i=1}^{m} x_i-y_i$,
$$
|u(x_i)-u(y_i)|\leq C\,\|\nabla\alpha\|_{L^n(\Pi)}|x_i-y_i|^{1/n}.
$$\pause
Par H\"older,
$$
\sum_{i=1}^{m}|u(x_i)-u(y_i)|\leq  C\,\|\nabla\alpha\|_{L^n(\Pi)}\ell(\gamma)^{1/n}m^{(n-1)/n}.
$$\pause
On intègre en $x_1$, puis H\"older, on obtient une majoration de $\int_{\gamma} \alpha$ par $\|\nabla\alpha\|_n$ et $\int_\R m(x_1)\,dx_1\leq \ell(\gamma)$. 

\end{frame}



\section{Cas du groupe d'Heisenberg}
\subsection{Résultat}
\begin{frame}

Le \emph{groupe d'Heisenberg} $\HH^n$ a pour algèbre de Lie $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2$, où $\mathfrak{g}_1=\R^{2n}$ et $[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_2=\R$ est symplectique. Il possède des automorphismes $\delta_\epsilon:=\epsilon^i$ sur $\mathfrak{g}_i$ qui le rendent \emph{autosimilaire}.\pause

\bigskip

\begin{thm}[Baldi-Franchi-Pansu-Tripaldi]
Soit $Q=2n+2$. Alors $\ell^{q,p}H^k(\HH^n)=0$ dans les cas suivants :
\begin{itemize}
  \item Si $k\not=n$, $1\leq p<Q$, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\geq\frac{1}{Q}$.
  \item Si $k=n+1$, $1\leq p<\frac{Q}{2}$, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\geq\frac{2}{Q}$.
\end{itemize}
avec l'exception du cas où $k=2n+1$ et $p=1$.
\end{thm}

\bigskip

\textbf{Remarque} (Pansu-Rumin). La réciproque est vraie : $\ell^{q,p}H^k(\HH^n)\not=0$ dans tous les autres cas.

\end{frame}

\subsection{Démonstration}

\begin{frame}

\begin{enumerate}

  \item Le laplacien sur les formes $dd^*+d^*d$ n'est pas homogène sous les $\delta_\epsilon$. En \textcolor{red}{1994, Rumin} a introduit un complexe homotope au complexe des formes différentielles et homogène sous les $\delta_\epsilon$. Le laplacien correspondant est d'ordre $2$ en degrés $k\not=n$, $n+1$ et d'ordre 4 en degrés $k=n$ et $n+1$.
  
  \item Pour $p>1$, la théorie des intégrales singulières s'étend aux groupes homogènes, \textcolor{red}{Folland 1975}.

\item La généralisation aux groupes homogènes du théorème de Bourgain-Brezis-Mironescu est due à \textcolor{red}{Chanillo-Van Schaftingen 2008}.

\item Les moyennes d'une forme $L^1$ $d_R$-fermée $\omega$ sont les intégrales $\int_{\HH^n}\beta\wedge\omega$, $\beta$ forme de Rumin invariante à gauche.

Les moyennes passent au quotient $L^{Q/(Q-1),1}H^k(\HH^n)\to\R$ (resp. $L^{Q/(Q-2),1}H^k(\HH^n)\to\R$ en degré $k=n+1$). 

On montre que les moyennes de toutes les formes $L^1$ $d_R$-fermées de degrés $<2n+1$ sont nulles.

\end{enumerate}

\end{frame}



\end{document}

\begin{align}
|\int_{\gamma} \alpha|&\leq C\,\ell(\Gamma)^{1/n}\int_\R\|\nabla u_{x_1}\|_n r(x_1)^{(n-1)/n}\,dx_1\\
&\leq C\,\ell(\Gamma)^{1/n}(\int_\R\|\nabla u_{x_1}\|_n^n \,dx_1)^{1/n} (\int_{\R}r(x_1)\,dx_1)^{(n-1)/n}\\
&\leq C\, \ell(\gamma)\|\nabla \alpha\|_n.
\end{align}
