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\title{Le théorème des tranches rectifiables [d'après R. L. Jerrard]}
\author{Pierre Pansu}
\date{13 janvier 2022}

\usepackage[T1]{fontenc}

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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Tranches}

\begin{frame}

Objectif d'Antoine : définir les courants entiers sur certains groupes de Carnot, en s'inspirant du théorème suivant.

\begin{thm}[B. White 1999]
Soit $T$ un courant normal (i.e. les masses $M(T),M(\partial T)<+\infty$) de dimension $k$ dans $\R^n$. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
  \item $T$ est un courant rectifiable à densité entière.
  \item Pour toute projection $P$ de $\R^n$ sur un sous-espace $E$ de dimension $k$, la tranche $\langle T,P,y\rangle$ est un courant rectifiable à densité entière de dimension $0$ pour presque tout $y\in E$. 
\end{enumerate}
\end{thm}\pause

La tranche $\langle T,P,y\rangle$ est un courant normal de dimension $0$ sur $\R^n$, dont le support est contenu dans $P^{-1}(y)$. Elle est caractérisée par la formule
\begin{align*}
T(\omega P^*vol_E)=\int_{E}\langle T,P,y \rangle(\omega)\,dy,
\end{align*}
pour toute fonction lisse à support compact $\omega$ sur $\R^n$.

Son existence résulte du théorème de différentiation de Lebesgue. Si $T$ est rectifiable à densité entière, il en est de même des tranches, qui sont donc des combinaisons finies de points avec multiplicités entières.\pause

\medskip

Aujourd'hui, je donne la démonstration du théorème due à Robert Jerrard,\\
\emph{A new proof of the rectifiable slices theorem}.
Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) \textbf{1} (2002), no. 4, 905--924. 

\end{frame}

\subsection{Méthode}

\begin{frame}

C'est $2\implies 1$ qui nous intéresse.

\medskip

L'idée est que l'application
\begin{align*}
E\to \mathbf{F}^0(\mathrm{Ker}\,P),\quad y\mapsto \langle T,P,y \rangle
\end{align*}
est à variation bornée. Ici, $\mathbf{F}^0(\mathrm{Ker}\,P)$ est l'espace des courants de dimension $0$ muni de la norme flat.\pause

\medskip

On dilate alors $T$ au voisinage d'un point typique $x_0$, et on montre la convergence des dilatés vers un multiple entier $\theta(x_0)$ du courant d'intégration sur un sous-espace affine $A(x_0)$ de dimension $k$.\pause

\medskip

La convergence des dilatés des tranches repose sur une estimation a priori fournie par la variation totale de l'application ci-dessus. Une étape intermédiaire est une inégalité de Poincaré due à L. Ambrosio.

\end{frame}

\section{Réduction à une fonction à variation bornée}

\subsection{Choix d'une projection}

\begin{frame}

On utilise la représentation de Riesz de $T$ : Une mesure positive $|T|$ et un champ mesurable de $k$-vecteurs unitaires $\vec T$, de sorte que pour toute $k$-forme lisse $\omega$,
\begin{align*}
T(\omega)=\int_{\R^n}\langle \omega,\vec{T} \rangle d|T|.
\end{align*}
On se place en un point (qui sera l'origine désormais)
\begin{itemize}
  \item de densité de $|T|$,
  \item de continuité approximative de $\vec T$,
  \item où $|\partial T|$ a une densité par rapport à $|T|$.
\end{itemize}
On choisit le $k$-vecteur \emph{simple} unitaire $\xi$ qui maximize le produit scalaire $\vec T(0)\cdot \xi$, et désormais on se concentre sur la projection sur le $k$-plan engendré par $\xi$ (qui sera le plan des coordonnées $(x_1,\ldots,x_k)$ désormais).\pause

\medskip

Les tranches sont vues comme une famille de mesures signées sur $\R^{n-k}$. On note $T_{\lambda}$ le courant $T$ dilaté d'un facteur $\lambda$ et $T^{\lambda}(y)$ la tranche de $T_{\lambda}$ en $y\in\R^k$ (c'est une mesure signée sur $\R^{n-k}$). On voit cette famille comme une application à valeurs dans le dual de l'espace des fonctions $C^1$ sur une boule ouverte $B(R)\subset\R^{n-k}$ (c'est en gros ça, $\mathbf{F}^0$),
\begin{align*}
y\mapsto T^{\lambda}(y)\in C^1_c(B(R))^*.
\end{align*}
Remarquer que pour tout ouvert $W\subset\R^{n-k}$, $T^{\lambda}(W)\in\Z$ est un entier relatif.

\end{frame}

\subsection{Variation totale}

\begin{frame}

\begin{center}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.5300129459534233,-1.090281416357864) rectangle (1.6062082573288219,1.106226448440904);
\draw [rotate around={14.219101717873997:(1.558307108180949,2.090027383975223)},line width=1.6pt,color=ffqqqq] (1.558307108180949,2.090027383975223) ellipse (4.192648575203902cm and 1.8763324176903358cm);
\draw [rotate around={-13.273269714143034:(0.7689156191068576,1.8597881996619454)},line width=1.6pt,color=qqqqff] (0.7689156191068576,1.8597881996619454) ellipse (3.6576693704446304cm and 1.588088895292772cm);
\draw [rotate around={5.440332031005502:(1.3774048919348003,-1.4293430048134372)},line width=1.6pt,color=qqqqff] (1.3774048919348003,-1.4293430048134372) ellipse (4.355710472689081cm and 1.281078617933697cm);
\draw (0.,-1.090281416357864) -- (0.,1.106226448440904);
\draw [domain=-1.5300129459534233:1.6062082573288219] plot(\x,{(-0.-0.*\x)/-2.});
\draw [color=ffqqqq](-0.5,0.4) node[anchor=north west] {$+$};
\draw [color=qqqqff](-0.5,0.9) node[anchor=north west] {$-$};
\draw [color=qqqqff](-0.5,-0.0) node[anchor=north west] {$-$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ffqqqq] (0.,0.) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (0.,0.4201780602229153) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (0.,-0.32928656556144204) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On veut montrer que $T^\lambda$ est approximativement constante. Il faut contrôler sa dérivée.

\begin{dfi}[Variation totale]
$Var(T^{\lambda})$
$:=\sum_{i=1}^{k}\sup\{\int \frac{\partial\phi}{\partial y_i}(y,z)T^{\lambda}(dz)\,dy\,;\,\phi\in C^1_c(B(R)),\,\sup_{y\in B(R)}\|\phi(y,\cdot)\|_{C^1_c(B(R))}\leq 1\}$.
\end{dfi}\pause

On va montrer qu'elle est petite :

\begin{pro}[Contrôle de la variation totale]
Pour tout $R>0$, $Var(T^{\lambda})=o(\lambda^{-k}|T|(B(\lambda R)))$ quand $\lambda$ tend vers $0$.
\end{pro}
Par conséquent, en raison du choix de l'origine, la variation totale tend vers $0$ quand $\lambda$ tend vers $0$.


\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Intégration par parties}. Si $\psi\in C^1(\R^n)$, $\sup_{y\in B(R)}\|\psi(y,\cdot)\|_{C^1_c(B(R))}\leq 1$ est une fonction test,
$$
d(\psi\,dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k)=\frac{\partial \psi}{\partial y_1}dy_1\wedge\cdots\wedge dy_k+\sum_{j=k+1}^{n}\frac{\partial \psi}{\partial z_j}dz_j\wedge dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k,
$$
d'où
\begin{align*}
\int \frac{\partial \psi}{\partial y_1}T^\lambda(dz)dy&=T_\lambda(\frac{\partial \psi}{\partial y_1}dy)=\sum_{j=k+1}^{n} T_\lambda(\frac{\partial \psi}{\partial z_j}dz_j\wedge dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k)\\
&- \partial T_\lambda(\psi dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k).
\end{align*}\pause
Par le choix de la direction de projection (qui maximise le produit scalaire avec $\vec T(0)$), $\vec T(0)(dz_j\wedge dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k)=0$ pour tout $j=k+1,\ldots,n$, d'où
\begin{align*}
&T_\lambda(\frac{\partial \psi}{\partial z_j}dz_j\wedge dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k)\\
&=\lambda^{-k}\int \frac{\partial \psi}{\partial z_j}(x/\lambda)\langle dz_j\wedge dy_2\wedge\cdots\wedge dy_k,\vec T(x)-\vec T(0)\rangle d|T|(x)\\
&=o(\lambda^{-k}|T|(B(\lambda R))).
\end{align*}\pause
Le second terme est majoré par $\lambda^{-k+1}|\partial T|(B(R))=\lambda O(\lambda^{-k}|T|(B(\lambda R)))$.

\end{frame}

\section{Réduction à des mesures positives}

\subsection{Inégalité de Poincaré}

\begin{frame}

La variation donne un contrôle sur la dérivée de la famille de mesures $y\mapsto T^\lambda(y)$. Il faut passer à une majoration de la moyenne des écarts.

\begin{pro}[Inégalité de Poincaré, L. Ambrosio]
L'écart à la valeur moyenne sur la boule $B(R)\subset \R^{k}$ est majoré par
\begin{align*}
\int_{B(R)}\|T^{\lambda}(y)-(T^{\lambda})_{B(R)}\|_{C^1_c(B(R))^*}\leq C_R Var(T^{\lambda}).
\end{align*}
\end{pro}
C'est un fait général pour les applications à valeurs dans un dual séparable $X$. Ça se démontre par approximation par des applications $C^1:\R^k\to X$, pour lesquelles on intègre la dérivée le long de segments, comme en dimension finie. Voir

\smallskip

L. Ambrosio, \emph{Metric space valued functions of bounded variation}, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) \textbf{17} (1990), 439--478.\pause

\medskip

\textbf{Conséquence}. Dans la boule $B(R)\subset \R^{k}$ l'ensemble des $y$ tels que 
\begin{align*}
\|T^{\lambda}(y)-(T^{\lambda})_{B(R)}\|_{C^1_c(B(R))^*}\leq o(\lambda^{-k}|T|(B(\lambda R)))
\end{align*}
est asymptotiquement de mesure pleine lorsque $\lambda$ tend vers $0$.

\end{frame}

\subsection{Coût des multiplicités négatives}

\begin{frame}

\begin{minipage}{5cm}

Le prochain objectif est de se débarrasser des multiplicités négatives, i.e. des branches bleues dans la figure ci-contre.

\end{minipage}\begin{minipage}{5cm}

\begin{center}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.5300129459534233,-1.090281416357864) rectangle (1.6062082573288219,1.106226448440904);
\draw [rotate around={14.219101717873997:(1.558307108180949,2.090027383975223)},line width=1.6pt,color=ffqqqq] (1.558307108180949,2.090027383975223) ellipse (4.192648575203902cm and 1.8763324176903358cm);
\draw [rotate around={-13.273269714143034:(0.7689156191068576,1.8597881996619454)},line width=1.6pt,color=qqqqff] (0.7689156191068576,1.8597881996619454) ellipse (3.6576693704446304cm and 1.588088895292772cm);
\draw [rotate around={5.440332031005502:(1.3774048919348003,-1.4293430048134372)},line width=1.6pt,color=qqqqff] (1.3774048919348003,-1.4293430048134372) ellipse (4.355710472689081cm and 1.281078617933697cm);
\draw (0.,-1.090281416357864) -- (0.,1.106226448440904);
\draw [domain=-1.5300129459534233:1.6062082573288219] plot(\x,{(-0.-0.*\x)/-2.});
\draw [color=ffqqqq](-0.5,0.4) node[anchor=north west] {$+$};
\draw [color=qqqqff](-0.5,0.9) node[anchor=north west] {$-$};
\draw [color=qqqqff](-0.5,-0.0) node[anchor=north west] {$-$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ffqqqq] (0.,0.) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (0.,0.4201780602229153) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (0.,-0.32928656556144204) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{minipage}\pause

Notons $|T^\lambda(y)|-T^\lambda(y)$ la partie négative de la mesure $T^\lambda(y)$. Comme les multiplicités sont entières, lorsqu'elle est non nulle, $(|T^\lambda(y)|-T^\lambda(y))(B(R))\geq 2$.\pause

\medskip

Par définition, $\int_{B(R)}T^\lambda(y)(B(R))\,dy=T_\lambda(\mathbf{1}_{B(R)}dy)=\lambda^{-k}\int_{B(R)}\langle dy,\vec T(x) \rangle d|T|(x)$.

De même, $\int_{B(R)}|T^\lambda(y)|(B(R))\,dy=\lambda^{-k}\int_{B(R)}|\langle dy,\vec T(x) \rangle| d|T|(x)$.

Or, comme le choix de la projection implique que $\langle dy,\vec T(0) \rangle>0$, 
$$
|\langle dy,\vec T(x) \rangle|-\langle dy,\vec T(x) \rangle \leq 2|\langle dy,\vec T(0)-\vec T(x) \rangle|\leq 2|\vec T(0)-\vec T(x)|, 
$$
donc la mesure des $y$ tels que $T^\lambda(y)$ ait des multiplicités négatives est majorée par $\lambda^{-k}\int_{B(R)} |\vec T(0)-\vec T(x)|\,dx$, qui tend vers $0$ par continuité approximative.\pause

On dira qu'un point $y$ est \emph{typique} si $T^\lambda(y)\geq0$ et $\|T^{\lambda}(y)-(T^{\lambda})_{B(R)}\|_{C^1_c(B(R))^*}$ est petite. L'ensemble des points typiques est asymptotiquement plein.

\end{frame}

\section{Éclatement}

\subsection{Convergence vers une masse de Dirac}

\begin{frame}

Il s'agit de montrer que $T^\lambda(y)$ est bien approchée (en moyenne) par un multiple entier de la masse de Dirac en $0$, $\delta_0$. I.e. l'existence d'un entier $\theta$ tel que
\begin{align*}
\lim_{\lambda\to 0}\int_{B(R)}\|T^\lambda(y)-\theta\delta_0\|_{C^1_c(B(R))^*}\,dy =0.
\end{align*}\pause

À chaque échelle $\lambda$, on prend un $y$ typique et on note $T_*^\lambda$ la mesure qui lui correspond. On constate que la mesure $T_*^{\lambda/2}$ est voisine (pour la norme de $C^1_c(B(R))^*$) de $T_*^{\lambda}$ dilatée deux fois.\pause

\medskip

On montre que, pour $\lambda$ assez petit, la masse totale de la mesure positive $T_*^{2^{-j}}$ satisfait 
$$
T_*^{2^{-j-1}}(B(R))\leq T_*^{2^{-j}}(B(R))+o(1).
$$
En effet, si $\phi\in C_c^1(B(2R))$ et $\phi=1$ sur $B(R)$, alors
$$
T_*^{2^{-j-1}}(B(R))\leq T_*^{2^{-j-1}}(\phi(z))\leq T_*^{2^{-j}}(\phi(2z))+o(1)\leq T_*^{2^{-j}}(B(R))+o(1).
$$\pause

Comme ces nombres sont des entiers positifs, cela entraîne que 
$$
T_*^{2^{-j}}(B(R))\leq T_*^{2^{-j+1}}(B(R))
$$
pour $j$ assez grand. La suite des masses converge donc vers un entier $\theta$. 

\end{frame}

\subsection{Convergence vers un $k$-vecteur simple}

\begin{frame}


Le même travail avec une autre valeur de $R$ montre que $\theta$ ne dépend pas de $R$ pour $R$ assez petit. Par conséquent, toute limite de suite extraite de $T_*^{2^{-j}}$ est à support dans $\{0\}$, c'est $\theta\delta_0$. \pause

\medskip


$\theta\not=0$ car sinon, cela contredirait le choix de projection qui garantit que $\langle dy,\vec T(0) \rangle>0$. \pause

\medskip

Par compacité flat de l'espace des courants normaux de masse bornée, cela démontre la convergence de la famille $T_*^{\lambda}$ vers $\theta\delta_0$.\pause

\medskip

Cela suffit à montrer que les courants $T_\lambda$ sur $\R^n$ convergent vers le courant $T_0$ de densité vectorielle $\theta\vec T(0)$ par rapport à la mesure de Lebesgue sur le sous-espace affine $\R^k\subset \R^n$. Il reste à montrer que $\vec T (0)$ est le $k$-vecteur $\xi_0$ simple unitaire tangent à ce sous-espace. Or $\xi_0$ est le seul $k$-vecteur qui rende $T_0$ fermé.



\end{frame}


\end{document}

