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\def\Z{\mathbb{Z}}
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\title{Continuïté du profil isopérimétrique}
\author{Pierre Pansu, Univ. Paris-Sud. Avec S. Nardulli, Rio de Janeiro}
\date{6 novembre 2017}


\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Le problème}

\subsection{Résultats positifs}

\begin{frame}

\begin{defi}
$M$ variété riemannienne. Le profil isopérimétrique de $M$ est défini sur $]0,vol(M)[$ par
\begin{eqnarray*}
I(v)=\inf\{vol(\partial\Omega)\,;\,\Omega \textrm{ compact à bord lisse, }vol(\Omega)=v\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{ques}
$I$ est-elle continue sur $]0,vol(M)[$ ?
\end{ques}\pause

\bigskip

\textbf{Résultats positifs connus}

\begin{itemize}
  \item $M$ est compacte (Bavard-Pansu 1986, Gallot 1988).
  \item $vol(M)<\infty$ (Nardulli-Russo 2015).
  \item $M$ est homogène (Hsiang 1992).
  \item $M$ est à géométrie bornée (Flores-Nardulli 2016).
  \item $M$ possède une fonction d'exhaustion strictement convexe (Ritoré 2015).
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Conditions suffisantes de semi-continuité}

\begin{frame}

\begin{rem}
Le profil est toujours semi-continu supérieurement.
\end{rem}
On peut toujours, par réunion disjointe avec ou soustraction d'une famille de boules concentriques, augmenter ou diminuer le volume en contrôlant l'augmentation de l'aire.
\pause

\medskip

\begin{rem}
Si les quasi-minimiseurs pour $v<v_0$ voisin de $v_0$ intersectent tous substantiellement une partie de $M$ à géométrie bornée, $I$ est semi-continue inférieurement.
\end{rem}
Chaque quasi-minimiseur intersecte substantiellement une boule de même volume. On le modifie dans cette boule pour ramener son volume à $v_0$ sans augmenter trop l'aire.
\pause

\medskip

\begin{rem}
La semi-continuité inférieure à gauche est facile.
\end{rem}
S'il existe une boule peu intersectée par tous les quasi-minimiseurs, on obtient par réunion disjointe $I(v)\geq I(v_0)-f(v-v_0)$ pour $v<v_0$ proche de $v_0$.

\end{frame}

\section{Le résultat}

\subsection{Principe de la construction}

\begin{frame}

\begin{thm}[Nardulli-Pansu]
On construit un exemple de variété riemannienne connexe complète de dimension 3 dont le profil isopérimétrique $I$ est discontinu.
\end{thm}\pause

Dans l'exemple construit, 
\begin{eqnarray*}
\liminf_{v\to 1,\,v>1}I<I(1).
\end{eqnarray*}
$I(1)$ n'est pas atteint et la courbure de Ricci n'est pas bornée inférieurement.

Les domaines $\Omega_j$ tels que $vol(\Omega_j)>1$, $vol(\Omega_j)\to 1$ et $vol(\partial\Omega_j)\to I(1)-\epsilon$ partent à l'infini.\pause

\medskip

\textbf{Principe de la construction}. Soit $N=\coprod M_n$ où $vol(M_n)=1+\tau_n$, $\tau_n\to 0$, et $I_{M_n}(1)=I_{M_n}(\tau_n)=1$. Alors $I_N(1+\tau_n)=0$. Il est vraisemblable que $I_N(1)\geq 1$. En connectant les $M_n$ par des tubes très fins, on rend $N$ connexe sans modifier sensiblement le profil. 

En réalité, on suppose que $I_{M_n}(v)\geq c\,v^{\alpha}$, $\alpha<1$. Par concavité, on montre que $I_N(1)>0$, ce qui suffit. 
\end{frame}

\subsection{Les pièces du puzzle}

\begin{frame}

$M_n$ est une nilvariété $N_{t,\epsilon}=(\Gamma_t\setminus \mathbb{H},g_\epsilon)$ où $\mathbb{H}$ est le groupe d'Heisenberg, 
\begin{eqnarray*}
\mathbb{H}=\{\begin{pmatrix}
1&x& z   \\
0 &1&y  \\
0&0&1
\end{pmatrix}\,;\,x,\,y,\,z\in\R\},\quad \Gamma_t=\{\begin{pmatrix}
1&x&z    \\
0 &1&y  \\
0&0&1
\end{pmatrix}\,;\,\frac{x}{t},\,\frac{y}{t},\,\frac{z}{t^2}\in\Z\},
\end{eqnarray*}
$g_\epsilon=dx^2+dy^2+\frac{1}{\epsilon^2}(dz-ydx)^2$, pour $\epsilon=\tau_n^3$, $t=\tau_n^{3/4}(1+\tau_n)^{3/4}$, $\tau_n=\frac{1}{n}$.

Noter que diamètre$(M_n)\to 0$. \pause


\begin{thm}[Pansu 1982]
Pour le revêtement universel $\mathbb{H}$, il existe $c$ tel que
\begin{eqnarray*}
I_{(\mathbb{H},g_\epsilon)}(v)\geq c\epsilon^{-1/4}\,v^{3/4}.
\end{eqnarray*}
\end{thm}

Relevées dans $\mathbb{H}=\widetilde{M_n}$, les métriques $g_\epsilon$ sont 2 à 2 homothétiques. Comme $\frac{3}{4}\not=\frac{2}{3}$, en jouant sur $\epsilon$, on peut ajuster l'isopérimétrie du revêtement universel : $I_{(\widetilde{M_n},g_\epsilon)}(\tau_n)=1$. Quotienter par $\Gamma_t$ permet d'ajuster le volume à $1+\tau_n$. Reste à montrer que le passage au quotient ne détruit pas l'isopérimétrie.

\end{frame}


\section{Isopérimétrie dans les nilvariétés}

\subsection{Isopérimétrie Carnot-Carathéodory}

\begin{frame}

Dans le cas des tores plats $\Z^3\setminus\R^3$, on sait que le profil commence comme le profil euclidien (Hauswirth-Perez-Romon-Ros 2004). Ici, on n'obtient qu'une version approchée.

\begin{lem}
$\forall\lambda<1$, $\exists c$ tel que $\forall M=N_{t,\epsilon}$, si $v<c\,vol(M)$,
$\displaystyle I_M(v)\geq\lambda I_{\tilde M}(v)$.
\end{lem}\pause

Pour avoir l'uniformité en $\epsilon$, on se ramène à l'énoncé analogue pour la \emph{métrique de Carnot-Carathéodory} 
\begin{eqnarray*}
(M,d_{cc})=Hausdorff-Gromov-\lim_{\epsilon\to 0}(M,g_\epsilon).
\end{eqnarray*}
Elle induit un élément de volume $V_{cc}$ et une aire $P_{cc}$ sur les surfaces,
\begin{eqnarray*}
V_{g_\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}V_{cc},\quad P_{g_\epsilon}\geq\frac{1}{\epsilon}P_{cc}.
\end{eqnarray*}
Comme les $(N_t,d_{cc})$ sont homothétiques, le lemme se ramène à l'étude d'une seule nilvariété sous-riemannienne, d'où l'uniformité en $t$.

\end{frame}

\subsection{Découpages}

\begin{frame}

\textbf{Bérard-Meyer 1982} : pour toute variété riemannienne $M$, $I_M\sim I_{\R^n}$ au voisinage de $0$. \pause

\bigskip

Démonstration dans le cas du tore plat $T=\Z^3\setminus\R^3$. Couper par une famille de plans parallèles à distance 1. Coaire $\implies$ l'aire des découpes est linéaire en le volume. En 3 découpes, les morceaux, contenus dans des cubes, se relèvent, d'où
\begin{eqnarray*}
I_T(v)\geq I_{\R^3}(v)-Cv\sim I_{\R^3}(v).
\end{eqnarray*}\pause

\bigskip

Dans la nilvariété. La méthode s'applique aux plans verticaux. Les morceaux sont des piliers, qu'on coupe ensuite selon des plans horizontaux.

\medskip

Pour avoir $I(v)\geq c\,v^{3/4}$ pour tout $v\leq \frac{1}{2}V_{cc}(M)$, on démontre la semi-continuïté du profil Carnot-Carathéodory : compacité d'ensembles de périmètre fini et semi-continuité du périmètre (Garofalo-Nhieu 1996).

\end{frame}

\subsection{Question}

\begin{frame}

\begin{ques}
Existe-t-il un exemple en dimension 2 ?
\end{ques}

\end{frame}



\end{document}
