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\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{pro}[lem]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lem]{Corollaire}
\newtheorem{dfi}[lem]{D\'efinition}
\newtheorem{rem}[lem]{Remarque}
\newtheorem{ntn}[lem]{Notation}
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\newtheorem{pbm}[lem]{Probl\`eme}
\newtheorem{sol}[lem]{Solution}
\newtheorem{con}[lem]{Conclusion}
\newtheorem{coj}[lem]{Conjecture}
\newtheorem{exa}[lem]{Exemple}
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\newtheorem{res}[lem]{Resultats}
\newtheorem{fac}[lem]{Fait}
\newtheorem{pla}[lem]{Plan de l'expos\'e}
\newtheorem{sch}[lem]{Schéma de démonstration}
\def\R{\mathbb{R}}
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\def\maprl#1#2{\stackrel{#1,#2}{\rightleftharpoons}}
\def\n#1{{|\hskip-1pt | #1 |\hskip-1pt |}}



\title{Distance entre complexes de chaînes normés}
\author{Pierre Pansu, Universit\'e Paris-Saclay}
\date{5 octobre 2023}


\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Complexes de chaînes normés}

\begin{frame}

\begin{multicols}{2}

Un complexe simplicial est formé de simplexes de différentes dimensions. Les \emph{chaînes simpliciales}, ce sont les combinaisons linéaires de simplexes. Le \emph{bord} d'un simplexe est une chaîne, d'où un opérateur $\partial$ et son adjoint $d$, qui satisfont $\partial\circ\partial=0$ et $d\circ d=0$. 


\begin{center}

\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.4cm,y=0.4cm]
\clip(-2.799791737748933,-5.803887506765698) rectangle (8.054341237019841,2.1887013201094807);
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (3.317992302575285,0.6099183419612999) -- (4.403405600052162,-1.3964516927686834) -- (5.598266370781756,0.5467288138167195) -- cycle;
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.7195786510397301,-0.6399515157393454) -- (-0.3329433343923935,1.0703967105878536) -- (-1.2878873549933432,-0.6962881800015994) -- cycle;
\fill[color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (4.403405600052162,-1.3964516927686834) -- (6.738688755229687,-1.297777756634422) -- (5.598266370781756,0.5467288138167195) -- cycle;
\fill[color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (4.403405600052162,-1.3964516927686834) -- (5.598266370781756,0.5467288138167195) -- (6.146645138424117,-1.8898213734399907) -- cycle;
\fill[color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (5.598266370781756,0.5467288138167195) -- (6.146645138424117,-1.8898213734399907) -- (6.738688755229687,-1.297777756634422) -- cycle;
\fill[color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (4.403405600052162,-1.3964516927686834) -- (6.738688755229687,-1.297777756634422) -- (6.146645138424117,-1.8898213734399907) -- cycle;
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (1.0484917714872686,-4.586908961109804) -- (3.6140141109780695,-5.014496017691604) -- (2.701554194561922,-2.578894969425186) -- cycle;
\draw [color=ffqqqq] (3.317992302575285,0.6099183419612999)-- (0.7195786510397301,-0.6399515157393454);
\draw [color=zzttqq] (3.317992302575285,0.6099183419612999)-- (4.403405600052162,-1.3964516927686834);
\draw [color=zzttqq] (4.403405600052162,-1.3964516927686834)-- (5.598266370781756,0.5467288138167195);
\draw [color=zzttqq] (5.598266370781756,0.5467288138167195)-- (3.317992302575285,0.6099183419612999);
\draw [color=zzttqq] (0.7195786510397301,-0.6399515157393454)-- (-0.3329433343923935,1.0703967105878536);
\draw [color=zzttqq] (-0.3329433343923935,1.0703967105878536)-- (-1.2878873549933432,-0.6962881800015994);
\draw [color=zzttqq] (-1.2878873549933432,-0.6962881800015994)-- (0.7195786510397301,-0.6399515157393454);
\draw [color=qqqqff] (4.403405600052162,-1.3964516927686834)-- (6.738688755229687,-1.297777756634422);
\draw [color=qqqqff] (6.738688755229687,-1.297777756634422)-- (5.598266370781756,0.5467288138167195);
\draw [color=qqqqff] (5.598266370781756,0.5467288138167195)-- (4.403405600052162,-1.3964516927686834);
\draw [color=qqqqff] (4.403405600052162,-1.3964516927686834)-- (5.598266370781756,0.5467288138167195);
\draw [color=qqqqff] (5.598266370781756,0.5467288138167195)-- (6.146645138424117,-1.8898213734399907);
\draw [color=qqqqff] (6.146645138424117,-1.8898213734399907)-- (4.403405600052162,-1.3964516927686834);
\draw [color=qqqqff] (5.598266370781756,0.5467288138167195)-- (6.146645138424117,-1.8898213734399907);
\draw [color=qqqqff] (6.146645138424117,-1.8898213734399907)-- (6.738688755229687,-1.297777756634422);
\draw [color=qqqqff] (6.738688755229687,-1.297777756634422)-- (5.598266370781756,0.5467288138167195);
\draw [color=qqqqff] (4.403405600052162,-1.3964516927686834)-- (6.738688755229687,-1.297777756634422);
\draw [color=qqqqff] (6.738688755229687,-1.297777756634422)-- (6.146645138424117,-1.8898213734399907);
\draw [color=qqqqff] (6.146645138424117,-1.8898213734399907)-- (4.403405600052162,-1.3964516927686834);
\draw [color=ffqqqq] (-1.2878873549933432,-0.6962881800015994)-- (-0.9907695752874707,-2.9094520468273593);
\draw [color=ffqqqq] (-0.9907695752874707,-2.9094520468273593)-- (1.0484917714872686,-4.586908961109804);
\draw [color=zzttqq] (1.0484917714872686,-4.586908961109804)-- (3.6140141109780695,-5.014496017691604);
\draw [color=zzttqq] (3.6140141109780695,-5.014496017691604)-- (2.701554194561922,-2.578894969425186);
\draw [color=zzttqq] (2.701554194561922,-2.578894969425186)-- (1.0484917714872686,-4.586908961109804);
\draw [color=ffqqqq] (2.701554194561922,-2.578894969425186)-- (4.403405600052162,-1.3964516927686834);
\draw [color=ffqqqq] (6.146645138424117,-1.8898213734399907)-- (3.6140141109780695,-5.014496017691604);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (3.317992302575285,0.6099183419612999) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (0.7195786510397301,-0.6399515157393454) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (4.403405600052162,-1.3964516927686834) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (5.598266370781756,0.5467288138167195) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (-0.3329433343923935,1.0703967105878536) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (-1.2878873549933432,-0.6962881800015994) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (6.738688755229687,-1.297777756634422) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (6.146645138424117,-1.8898213734399907) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (-0.9907695752874707,-2.9094520468273593) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (1.0484917714872686,-4.586908961109804) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (3.6140141109780695,-5.014496017691604) circle (2.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (2.701554194561922,-2.578894969425186) circle (2.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}

\end{center}\pause

\end{multicols}

L'homologie (resp. la cohomologie) du complexe simplicial, c'est $\mathrm{Ker}(\partial)/\mathrm{Im}(\partial)$ (resp. $\mathrm{Ker}(d)/\mathrm{Im}(d)$.\pause

\medskip

On peut munir les chaînes (cochaînes) simpliciales de normes $\ell^p$.\pause

\medskip

En général, un \emph{complexe de chaînes normé} est un espace vectoriel normé $B$ muni d'un endomorphisme $d$ tel que $d\circ d=0$.\pause
 
\medskip

Ce qui garantit la robustesse du calcul de l'homologie, c'est le \emph{conditionnement} 
$$
\kappa=|\bar d||\bar d^{-1}|,
$$
où
$\bar d:B/\mathrm{Ker}(d)\to\mathrm{Im}(d)$.

\end{frame}

\subsection{Exemple}

\begin{frame}

Rappel : on munit les chaînes (cochaînes) d'un graphe des normes $\ell^p$.

\textbf{Exemple}. Le graphe rectiligne de longueur $n$ satisfait $H^1=0$. La $1$-cocha{\^\i}ne $g$ égale à $\bar 1$ sur l'arête centrale et $0$ ailleurs s'écrit $df$ où
\begin{align*}
\|g\|_p=1,\quad \|f\|_p\sim n^{1/p}.
\end{align*}

\begin{center}
\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0.,0.6,0.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.3cm,y=0.3cm]
\clip(-2.1578568610390616,3.1283691165789764) rectangle (33.81224865175817,9.076181839167461);
\draw (0.,6.)-- (14.,6.);
\draw [color=ffqqqq](0.39120573435601774,7.498190708684802) node[anchor=north west] {$0$};
\draw [color=ffqqqq](2.4547325972948912,7.457729397646785) node[anchor=north west] {$0$};
\draw [color=ffqqqq](4.3564142160816965,7.417268086608768) node[anchor=north west] {$0$};
\draw [color=ffqqqq](6.41994107902057,7.417268086608768) node[anchor=north west] {$1$};
\draw [color=ffqqqq](8.483467941959445,7.417268086608768) node[anchor=north west] {$0$};
\draw [color=ffqqqq](10.425610871784265,7.376806775570751) node[anchor=north west] {$0$};
\draw [color=ffqqqq](12.408215112647104,7.376806775570751) node[anchor=north west] {$0$};
\draw [color=qqzzqq] (18.,7.)-- (20.,7.);
\draw [color=qqzzqq] (20.,7.)-- (22.,7.);
\draw [color=qqzzqq] (22.,7.)-- (24.,7.);
\draw [color=qqzzqq] (24.,7.)-- (26.,8.);
\draw [color=qqzzqq] (26.,8.)-- (28.,8.);
\draw [color=qqzzqq] (28.,8.)-- (30.,8.);
\draw [color=qqzzqq] (30.,8.)-- (32.,8.);
\draw [color=ffqqqq] (6.,8.)-- (8.,8.);
\draw [color=ffqqqq](6.703170256286691,5.596509089898007) node[anchor=north west] {$g$};
\draw [color=qqzzqq](24.667992357166295,5.596509089898007) node[anchor=north west] {$f$};
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black] (0.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (14.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (2.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (4.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (6.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (8.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (10.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (12.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (18.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (20.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (22.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (24.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (26.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (28.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (30.,6.) circle (2.5pt);
\draw [fill=black] (32.,6.) circle (2.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}\pause

Quand $n$ est grand, résoudre $df=g$ est instable. Le calcul de l'homologie est mal conditionné.

\begin{dfi}
Le \textbf{conditionnement} d'un graphe $X$ est $\kappa(X,p,\k)=|\bar d||\bar d^{-1}|$ où $\bar d : C(X,\k)/\mathrm{Ker}(d)\to dC(X,\k)$. (Il dépend de $p$ et du corps $\k$).
\end{dfi}

\end{frame}

\subsection{Isoperimétrie}

\begin{frame}[label=chee]

\begin{multicols}{2}

Isopérimétrie = art de couper l'espace en deux.

\vskip.5cm

$|A|=5$, $|\partial A|=15$.

\begin{center}
\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0.,0.6,0.}
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.07cm,y=0.07cm]
\clip(-5.76000982177678,-18.30258608377214) rectangle (29.20345488179657,6.629028446151257);
\draw (-2.997139610017456,4.32663660301849)-- (-3.918096347270564,0.4125704696927845);
\draw (-3.918096347270564,0.4125704696927845)-- (1.377404891934806,0.5112444058270478);
\draw (1.377404891934806,0.5112444058270478)-- (-2.997139610017456,4.32663660301849);
\draw (-2.997139610017456,4.32663660301849)-- (2.758839997814468,2.9780928091835848);
\draw (2.758839997814468,2.9780928091835848)-- (1.377404891934806,0.5112444058270478);
\draw (1.377404891934806,0.5112444058270478)-- (5.094123152991991,0.6099183419613093);
\draw (2.758839997814468,2.9780928091835848)-- (5.094123152991991,0.6099183419613093);
\draw (-3.918096347270564,0.4125704696927845)-- (-4.740379148389411,-4.751365521333566);
\draw (-4.740379148389411,-4.751365521333566)-- (1.377404891934806,0.5112444058270478);
\draw [color=qqzzqq] (1.377404891934806,0.5112444058270478)-- (0.5222307787712068,-6.231474563347488);
\draw [color=qqzzqq] (0.5222307787712068,-6.231474563347488)-- (-4.740379148389411,-4.751365521333566);
\draw [color=qqzzqq] (0.5222307787712068,-6.231474563347488)-- (5.094123152991991,0.6099183419613093);
\draw (5.094123152991991,0.6099183419613093)-- (6.047971202289853,-2.2845171179770274);
\draw [color=qqzzqq] (6.047971202289853,-2.2845171179770274)-- (0.5222307787712068,-6.231474563347488);
\draw (2.758839997814468,2.9780928091835848)-- (5.192797089126253,5.116028092092583);
\draw (5.192797089126253,5.116028092092583)-- (5.094123152991991,0.6099183419613093);
\draw (5.094123152991991,0.6099183419613093)-- (9.567341591078517,2.747853624870308);
\draw (9.567341591078517,2.747853624870308)-- (5.192797089126253,5.116028092092583);
\draw (9.567341591078517,2.747853624870308)-- (6.047971202289853,-2.2845171179770274);
\draw (6.047971202289853,-2.2845171179770274)-- (11.507929001718995,-4.488235024975535);
\draw (11.507929001718995,-4.488235024975535)-- (9.567341591078517,2.747853624870308);
\draw (9.567341591078517,2.747853624870308)-- (16.079821375939783,5.839636957077166);
\draw (16.079821375939783,5.839636957077166)-- (11.507929001718995,-4.488235024975535);
\draw (11.507929001718995,-4.488235024975535)-- (21.210866054921386,1.4979837671696608);
\draw (16.079821375939783,5.839636957077166)-- (21.210866054921386,1.4979837671696608);
\draw (21.210866054921386,1.4979837671696608)-- (21.441105239234663,-5.376300450183889);
\draw (21.441105239234663,-5.376300450183889)-- (11.507929001718995,-4.488235024975535);
\draw (11.507929001718995,-4.488235024975535)-- (15.520669071178967,-9.882410200315162);
\draw (15.520669071178967,-9.882410200315162)-- (21.441105239234663,-5.376300450183889);
\draw [color=qqzzqq] (15.520669071178967,-9.882410200315162)-- (6.34399301069264,-7.349779172869118);
\draw [color=qqzzqq] (6.34399301069264,-7.349779172869118)-- (11.507929001718995,-4.488235024975535);
\draw [color=qqzzqq] (6.047971202289853,-2.2845171179770274)-- (6.34399301069264,-7.349779172869118);
\draw (6.34399301069264,-7.349779172869118)-- (0.5222307787712068,-6.231474563347488);
\draw [color=qqzzqq] (0.5222307787712068,-6.231474563347488)-- (-3.4247266665992564,-10.441562505075977);
\draw (-3.4247266665992564,-10.441562505075977)-- (-4.740379148389411,-4.751365521333566);
\draw [color=qqzzqq] (-3.4247266665992564,-10.441562505075977)-- (6.34399301069264,-7.349779172869118);
\draw (6.34399301069264,-7.349779172869118)-- (13.612972972583243,-13.105758780701038);
\draw [color=qqzzqq] (13.612972972583243,-13.105758780701038)-- (15.520669071178967,-9.882410200315162);
\draw (26.539258606171508,-12.217693355492685)-- (21.441105239234663,-5.376300450183889);
\draw (21.210866054921386,1.4979837671696608)-- (25.68408449300791,2.682071000780798);
\draw (25.68408449300791,2.682071000780798)-- (26.539258606171508,-12.217693355492685);
\draw (-3.4247266665992564,-10.441562505075977)-- (-4.773270460434165,-16.263324736997404);
\draw [color=qqzzqq] (-4.773270460434165,-16.263324736997404)-- (3.8771446073361004,-12.678171724119238);
\draw [color=qqzzqq] (3.8771446073361004,-12.678171724119238)-- (-3.4247266665992564,-10.441562505075977);
\draw (6.34399301069264,-7.349779172869118)-- (3.8771446073361004,-12.678171724119238);
\draw (3.8771446073361004,-12.678171724119238)-- (8.942406662228194,-14.256954702267421);
\draw (8.942406662228194,-14.256954702267421)-- (6.34399301069264,-7.349779172869118);
\draw (8.942406662228194,-14.256954702267421)-- (13.612972972583243,-13.105758780701038);
\draw [color=qqzzqq] (13.612972972583243,-13.105758780701038)-- (17.79016960226698,-17.217172786295265);
\draw (26.539258606171508,-12.217693355492685)-- (26.243236797768724,-17.151390162205757);
\draw (26.243236797768724,-17.151390162205757)-- (17.79016960226698,-17.217172786295265);
\draw (17.79016960226698,-17.217172786295265)-- (11.080341945137196,-17.381629346519034);
\draw [color=qqzzqq] (11.080341945137196,-17.381629346519034)-- (8.942406662228194,-14.256954702267421);
\draw (11.080341945137196,-17.381629346519034)-- (2.3312529412326692,-17.34873803447428);
\draw [color=qqzzqq] (2.3312529412326692,-17.34873803447428)-- (3.8771446073361004,-12.678171724119238);
\draw (2.3312529412326692,-17.34873803447428)-- (-4.773270460434165,-16.263324736997404);
\draw (21.441105239234663,-5.376300450183889)-- (17.79016960226698,-17.217172786295265);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (-2.997139610017456,4.32663660301849) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (-3.918096347270564,0.4125704696927845) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (1.377404891934806,0.5112444058270478) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (2.758839997814468,2.9780928091835848) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (5.094123152991991,0.6099183419613093) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (-4.740379148389411,-4.751365521333566) circle (1.0pt);
\draw [fill=ffqqqq] (0.5222307787712068,-6.231474563347488) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (6.047971202289853,-2.2845171179770274) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (5.192797089126253,5.116028092092583) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (9.567341591078517,2.747853624870308) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (11.507929001718995,-4.488235024975535) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (16.079821375939783,5.839636957077166) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (21.210866054921386,1.4979837671696608) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (21.441105239234663,-5.376300450183889) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (15.520669071178967,-9.882410200315162) circle (1.0pt);
\draw [fill=ffqqqq] (6.34399301069264,-7.349779172869118) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (-3.4247266665992564,-10.441562505075977) circle (1.0pt);
\draw [fill=ffqqqq] (13.612972972583243,-13.105758780701038) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (26.539258606171508,-12.217693355492685) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (25.68408449300791,2.682071000780798) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (-4.773270460434165,-16.263324736997404) circle (1.0pt);
\draw [fill=ffqqqq] (3.8771446073361004,-12.678171724119238) circle (1.0pt);
\draw [fill=ffqqqq] (8.942406662228194,-14.256954702267421) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (17.79016960226698,-17.217172786295265) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (26.243236797768724,-17.151390162205757) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (11.080341945137196,-17.381629346519034) circle (1.0pt);
\draw [fill=qqqqff] (2.3312529412326692,-17.34873803447428) circle (1.0pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}\pause

\end{multicols}

\begin{dfi}
La \textbf{constante de Cheeger} $h(X)$ d'un graphe $X$ est le plus grand $h$ tel que pour tout ensemble $A$ de sommets tel que $|A|\le \frac{1}{2}|X|$,
\begin{align*}
|\partial A|\ge h\,|A|.
\end{align*}
Ici, $\partial A$ est l'ensemble des arêtes reliant $A$ à son complémentaire. 
\end{dfi}
\pause

\begin{pro}
$$
h(X)=\frac{2}{\kappa(X,1,\F)}=2(\|\bar d\|_{1\to 1}\|\bar d^{-1}\|_{1\to 1})^{-1}\text{ sur }\F.%\qquad\hyperlink{hnc<1>}{\beamergotobutton{Démonstration}}
$$ 
\end{pro}

\end{frame}


\subsection{Laplacien}

\begin{frame}[label=Laplacian]

\begin{pro}
Soit $\Delta$ l'opérateur auto-adjoint correspondant à la forme quadratique $f\mapsto \|df\|_2^2=\langle f,\Delta f \rangle$. Soient $\lambda_1\le \lambda_2\le\cdots$ ses valeurs propres. Si $X$ est connexe, alors $\lambda_1=0$ et
\begin{align*}
\lambda_2=(\|\bar d^{-1}\|_{2\to 2})^{-2}.%\qquad\qquad\hyperlink{lambda2<1>}{\beamergotobutton{Démonstration}}
\end{align*}
\end{pro}
\pause

En particulier, 
$$
2\lambda_{2}^{-1}\le\kappa_0(X,2,\R)^2\leq 4\lambda_{2}^{-1}.
$$\pause

On appelle $\lambda_2$ le \emph{trou spectral} du graphe.

Il contrôle la vitesse à laquelle une marche au hasard sur le graphe est mélangeante. En particulier, la facilité de tirer un sommet au hasard.\pause

\medskip

\textbf{Moralité}. Le complexe de chaînes normé contient des informations intéressantes, au-delà de sa seule homologie. 

\end{frame}

\section{Distances}

\subsection{La distance de Banach-Mazur}

\begin{frame}

\textbf{Question}. Peut-on interpréter le conditionnement $\kappa=|\bar d||\bar d^{-1}|$ comme la distance entre certains complexes de cha{\^\i}nes normés ?\pause

\bigskip

Pour définir une distance entre complexes de chaines normés, la première idée est de mesurer les conditionnements des isomorphismes.

\begin{dfi}
\label{defBMdist}
Soient $B_1\stackrel{d_1}{\to}B_1$ et $B_2\stackrel{d_2}{\to}B_2$ deux complexes de chaînes normés. La \textbf{distance de Banach-Mazur} $\mathrm{BMDist}(B_1,B_2)$ est l'inf des $\log(|F||F^{-1}|)$ sur tous les isomorphismes $F:B_1\to B_2$ tels que $Fd_1=d_2 F$.
\end{dfi}\pause

C'est trop restrictif : cela impose que $\mathrm{dim}(B_1)=\mathrm{dim}(B_2)$.

\end{frame}

\subsection{La distance homotopique}

\begin{frame}

La seconde idée est de mesurer la taille des homotopies.

\begin{dfi}
\label{defhomdist}
Soient $B_1\stackrel{d_1}{\to}B_1$ et $B_2\stackrel{d_2}{\to}B_2$ deux complexes de chaînes normés. On considère toutes les homotopies bornées, i.e. 
\begin{itemize}
  \item des morphismes bornés $F_1:B_1\to B_2$ et $F_2:B_2\to B_1$ tels que 
  $$
  d_2F_1=F_1d_1,\quad d_1F_2=F_2d_2,
  $$
  \item des opérateurs bornés $Q_1:B_1\to B_1$ and $Q_2:B_2\to B_2$ tels que
  $$
1-F_2F_1=d_1Q_1+Q_1d_1, \quad 1-F_1F_2=d_2Q_2+Q_2d_2.
  $$
\end{itemize}
On note $\displaystyle
q=\max\{|Q_1|,|Q_2|\}$, $f=\max\{1,|F_1||F_2|\}$. La \textbf{distance homotopique} $\mathrm{HomDist}(B_1,B_2)$ est l'inf sur toutes les homotopies de $\displaystyle \min\{\frac{q}{f}+\log f,\frac{f}{q}+\log q\}$.
\end{dfi}\pause

L'expression bizarre est là pour garantir l'inégalité triangulaire. %\hyperlink{trihomdist<1>}{\beamergotobutton{Détails}}

\end{frame}

\subsection{Compacité}


\begin{frame}

Analogie entre complexes de chaînes normés et espaces métriques.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Espace métrique  & Complexe de chaînes normé  \\
\hline
\hline
Borné & Homotope à un complexe nul   \\
\hline
Précompact & Dans l'adhérence des complexes de dim. finie     \\
\hline
Distance de Hausdorff-Gromov & Distance homotopique\\
\hline
Critère de compacité (Gromov) & ? \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\pause

\begin{dfi}
Soit $(B,d)$ un complexe de cha{\^\i}nes normé. Son \textbf{profil} est la plus petite fonction $\pi=(\pi_d,\pi_c):(0,+\infty)\to(0,+\infty)^2$ ayant la propriété suivante. Pour tout $\epsilon>0$, il existe un complexe de dimension finie $(B',d')$ tel que
$$
HomDist(B,B')<\epsilon, \quad \mathrm{dim}(B')\le \pi_d(\epsilon),\quad \kappa(B',d')\le \pi_c(\epsilon).
$$
\end{dfi}\pause

\begin{thm}
Une famille de complexes de chaînes normés non nuls est précompacte si et seulement si les profils sont uniformément majorés.
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{exa}
\label{exdiffforms}
Soit $M$ une variété riemannienne compacte lisse. Soit $E$ le complexe des formes différentielles lisses sur $M$ muni de la norme $L^2$. Alors le profil $\pi$ de $(E,d)$ est majoré par l'asymptotique des valeurs propres du laplacien de Hodge-Beltrami,
$$
\pi_d(\epsilon)\leq \mathrm{Card}\{\lambda\in\mathrm{spectre}(\Delta)\,;\,\lambda < \frac{1}{\epsilon^2}\},\quad \pi_c(\epsilon)\le \frac{1}{\epsilon\sqrt{\lambda_2}}.
$$
\end{exa}
Cela donne une estimée du type $\pi_d(\epsilon)\le C\,\epsilon^{-N}$, où $N=\mathrm{dim}(M)$.\pause

\medskip

\begin{coj}
Pour des nuages de points répartis sur une variété compacte lisse, les complexes de cochaînes $\ell^2$ forment une famille précompacte.
\end{coj}

\end{frame}

\section{Géométrie des complexes de chaînes}

\subsection{Distance aux complexes nuls}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Espace métrique  & Complexe de chaînes normé  \\
\hline
\hline
{\color{red} Borné} & {\color{red} Homotope à un complexe nul}   \\
\hline
Précompact & Dans l'adhérence des complexes de dim. finie     \\
\hline
Distance de Hausdorff-Gromov & Distance homotopique\\
\hline
Critère de compacité (Gromov) & ? \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\pause

\begin{dfi}
Un complexe de chaînes est \textbf{nul} si $d=0$. Soit $Null$ l'ensemble des complexes de chaînes normés nuls. Pour un complexe de chaînes normé $B$, on note
\begin{align*}
\mathrm{ND}(B)&=\mathrm{HomDist}(B,Null),\\
\mathrm{NH}(B)&=|\bar d^{-1}|.
\end{align*}
\end{dfi}\pause

\medskip

\textbf{Question}. Est-ce que $B$ est ``borné'', i.e. $\mathrm{ND}(B)<\infty$, si et seulement si $\mathrm{NH}(B)<\infty$ ? \pause

\medskip

\textbf{Réponse}. Oui lorsque $B$ est hilbertien, non en général.

\medskip

\textbf{Exemple}. Soit $(B,d)$ un complexe où $B$ est un Banach. Alors $\mathrm{NH}(B)<\infty$ si et seulement si $\mathrm{Im}(d)$ est fermé. En revanche, s'il n'existe pas de rétraction linéaire bornée de $\mathrm{Ker}(d)$ sur $\mathrm{Im}(d)$, alors $\mathrm{ND}(B)=+\infty$.

\end{frame}

\subsection{Approximation par des complexes de dimension finie}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Espace métrique  & Complexe de chaînes normé  \\
\hline
\hline
Borné & Homotope à un complexe nul   \\
\hline
{\color{red} Précompact} & {\color{red} Dans l'adhérence des complexes de dim. finie}     \\
\hline
Distance de Hausdorff-Gromov & Distance homotopique\\
\hline
Critère de compacité (Gromov) & ? \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\pause

\begin{dfi}
Soit $B$ un complexe de chaînes borné. On note $\bar B=B/\mathrm{Ker}(d)$ et $\bar d:\bar B\to \mathrm{Im}(d)$.

Les \textbf{valeurs singulières} de $B$ sont les nombres
\begin{align*}
\sigma_j=&\inf\{s\ge 0\,;\,\exists L\subset \bar B\text{ sous-space vectoriel tel que}\\
&\mathrm{dim}(L)\ge j \text{ and }\forall \bar x\in L,\,|\bar d\bar x| \le s|\bar x|\}. 
\end{align*}
\end{dfi}
\pause

\medskip

\textbf{Question}. Est-ce que $B$ appartient à l'adhérence des complexes de chaînes de dimension finie si et seulement si ses valeurs singulières forment une suite tendant vers $+\infty$ ?\pause

\medskip

\textbf{Réponse}. Oui lorsque $B$ est hilbertien, peut-être que non en général.


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{dfi}
Soit $B$ un complexe de chaînes borné. $B$ \textbf{admet une homotopie compacte} s'il existe des opérateurs compacts $T,S:B\to B$ tels que $1-S=dT+Td$. 
\end{dfi}\pause

\medskip

\textbf{Exemple}. Le complexe $L^p$, $1\le p\le \infty$, d'une variété riemannienne compacte admet une homotopie compacte.

\begin{pro}
Si $B$ admet une homotopie compacte, alors ses valeurs singulières forment une suite tendant vers $+\infty$.
\end{pro}\pause

\textbf{Remarque}. Pour approcher $B$ par des complexes de chaînes de dimension finie, il ne suffit pas d'approcher $S$ par un opérateur de rang fini, il faut aussi que $|T|$ soit petit.

\begin{dfi}
Soit $B$ un complexe de chaînes borné. $B$ \textbf{admet de petites homotopies} si $\forall \epsilon>0$, il existe des opérateurs compacts $T,S:B\to B$ tels que $1-S=dT+Td$ et $|T|<\epsilon$. 
\end{dfi}\pause

\medskip

\begin{thm}
 Le complexe $L^p$, $1\le p\le \infty$, d'une variété riemannienne compacte admet de petites homotopies.
\end{thm}

\end{frame}

\begin{frame}

%\begin{coj}
%Le complexe $L^p$, $1\le p\le \infty$, d'une variété riemannienne compacte est dans l'adhérence des complexes de chaînes normés de dimension finie.
%\end{coj}\pause

%\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Espace métrique  & Complexe de chaînes normé  \\
\hline
\hline
Borné & Homotope à un complexe nul   \\
\hline
Précompact & Dans l'adhérence des complexes de dim. finie     \\
\hline
{\color{red} Localement compact} & {\color{red} ????}     \\
\hline
Distance de Hausdorff-Gromov & Distance homotopique\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}\pause

\medskip

\textbf{Question}. Qu'est-ce qui correspond à la compacité locale ? à la topologie de Hausdorff-Gromov pointée ?\pause

\medskip

\textbf{Exemple}. Complexes de chaînes filtrés ? Filtrer le complexe des formes $L^2$ sur $\R$ par les sous-complexes des formes à support dans de grand intervalles ?\pause

\bigskip

\textbf{Moralité}. La géométrie dérivée des espaces normés (i.e. géométrie des complexes de chaînes normés) est une variante de la géométrie des Banach, qui reste à développer.

\end{frame}


\end{document}