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\title{Inégalité de Poincaré pour les formes différentielles}
\author{Pierre Pansu, avec A. Baldi, B. Franchi et M. Rumin}
\date{9 février 2018}

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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Motivation}

\begin{frame}

\begin{defi}
$X$ complexe simplicial. Est-ce que tout cocycle $\ell^p$ est le cobord d'une cochaîne $\ell^q$ ? 
\begin{eqnarray*}
\ell^{q,p}H^k(X)=\{k\text{-cocycles } \ell^p\}/d\{k-1\text{-cochaînes }\ell^q\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}
Si $X$ est fini, c'est un invariant topologique. Si $X$ est infini, c'est un invariant de quasiisométrie. Donne lieu à des invariants numériques des groupes discrets.\pause

\bigskip 

\textbf{Exemple}. $X=$ droite pavée en intervalles égaux. Alors $\ell^{q,p}H^0(X)=0$ sauf $\ell^{q,\infty}H^0(X)=\R$, $\ell^{\infty,1}H^1(X)=0$, tous les autres $\ell^{q,p}H^1(X)\not=0$.\pause

\bigskip

\textbf{Exemple}. $X=$ plan pavé en triangles. Alors $\ell^{q,p}H^1(X)=0$ si
$\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\geq \frac{1}{2}$.
En effet, l'inégalité de Sobolev s'applique aux cocycles à support fini : pour une fonction $u$ à support compact sur le plan, si $p<2$,
\begin{eqnarray*}
\|u\|_q \leq C\,\|du\|_p.
\end{eqnarray*}

\textbf{Questions}. Quid des cocycles à support infini (Sobolev $\to$ Poincaré) ? Comment passer du discret au continu et inversement ? 

\end{frame}

\subsection{L'inégalité de Poincar\'e euclidienne}

\begin{frame}

\begin{defi}
$X$ variété riemannienne.
\begin{eqnarray*}
L^{q,p}H^k(X)=\{k\text{-formes fermées }L^p \}/d\{k-1\text{-formes }L^q\omega\text{ telles que }d\omega\in L^p\}.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\textbf{Questions}. Calculer des exemples. Si $X$ is triangulée, est-ce que $L^{q,p}H^k(X)=\ell^{q,p}H^k(X)$? \pause

\bigskip

\textbf{Exemple}. $X=\R^n$. Alors $L^{q,p}H^k(X)=0$ si $1< p\leq q<\infty$ et $\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}= \frac{1}{n}$.

\smallskip

\textbf{Démonstration}. Soit $\Delta=d^*d+dd^*$. Alors $\Delta$ a un inverse pseudodifferentiel qui commute avec $d$. $T=d^*\Delta^{-1}$ a un noyau homogène de degré $1-n$, donc est borné $L^p\to L^q$ dès que $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}= \frac{1}{n}$ (\textcolor{red}{Calderon-Zygmund 1952}). Enfin, $1=dT+Td$.\pause

\bigskip

\textbf{Exemple}. $X=$ boule de $\R^n$. Alors $L^{q,p}H^k(X)=0$ si $1< p\leq q<\infty$ et $\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\leq \frac{1}{n}$.

\smallskip

\textbf{Démonstration} \textcolor{red}{(Iwaniec-Lutoborsky 1993)}. La formule d'homotopie de Cartan fournit une homotopie $T$, $1=dT+Td$, qui a un noyau homogène de degré $1-n$. Les formes n'ont pas besoin d'être définies globalement. Hölder $\implies$ $q$ peut diminuer. Marche pour les convexes.

\end{frame}

\subsection{Les recouvrements acycliques de Leray}

\begin{frame}

\begin{thm}[\textcolor{red}{Leray, circa 1946}]
L'annulation de $L^{q,p}H^\cdot$ pour chaque simplexe entraîne que $L^{q,p}H^\cdot=\ell^{q,p}H^\cdot$ pour les variétés triangulées à géométrie bornée.
\end{thm}
Par conséquent, Iwaniec-Lutoborsky $\implies$ $\ell^{q,p}H^\cdot=L^{q,p}H^\cdot$ si $\displaystyle\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\leq \frac{1}{n}$.
\pause

%\medskip

%\textbf{Example}. $(U_i)$ covering by stars of vertices. $\omega$ closed 1 form on $X$. $\omega_{|U_i}=du_i$, $u_i-u_j=\kappa_{ij}$ is constant on simplex $U_i\cap U_j$, it is a 1-cocycle of the triangulation. Conversely, pick partition of unity $\chi_i$. Given cocycle $\kappa$, set $u_i=\sum_j \chi_j\kappa_{ij}$. Then $du_i-du_j=0$ on $U_i\cap U_j$, hence defines a closed 1-form.\pause

\medskip

\begin{prop}[Rumin]
La Proposition persiste sous la forme $\ell^{q,p}H^\cdot=L_\infty^{q,p}H^\cdot$, où $L_\infty^p=\{\text{formes dont toutes les dérivées sont }L^p\}$.
\end{prop}
"On peut perdre de la régularité". Utile car ne met aucune restriction sur l'exposant $q$.\pause

\medskip

\begin{prop}[Pansu]
La Proposition persiste sous une hypothèse plus faible : toute forme fermée sur une boule de rayon 2 a une primitive sur la boule unité avec normes contrôlées.
\end{prop}
"On peut perdre sur le domaine". Clé de l'invariance par quasiisométrie.

\end{frame}

\section{Cas des groupes de Carnot}

\subsection{Groupes de Carnot}

\begin{frame}

Un \emph{groupe de Carnot}, c'est un groupe de Lie $G$ avec un groupe à 1 paramètre d'automorphismes $\delta_t$ tel que $\mathfrak{g}_1=\{v\in\mathfrak{g}\,;\,\delta_t v =t v\}$ engendre $\mathfrak{g}$. 

\medskip

\textbf{Exemple}. Le groupe d'Heisenberg : $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2$, où $[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}_1\to\mathfrak{g}_2=\R$ est symplectique.
\pause

\bigskip

\textbf{Le laplacien de Kohn}. Pour une fonction $u$, soit $d_R u=du_{|\mathfrak{g}_1}$ et soit $\Delta u=d_R^* d_R$. Il est homogène de degré $2$ sous $\delta_t$. \pause

\bigskip

En général, il n'existe pas de laplacien différentiel homogène sur les formes, car les formes invariantes à gauche se décomposent sous $\delta_t$ en plusieurs poids. 

\medskip

\textbf{Exemple}. Sur le groupe d'Heisenberg, deux poids sur les $k$-formes, $k$ et $k+1$, car $\Lambda^k\mathfrak{g}^*=\Lambda^k\mathfrak{g}_1^*\oplus\Lambda^{k-1}\mathfrak{g}_1^*\otimes\mathfrak{g}_2^*$.

\end{frame}

\subsection{Rôle du calcul pseudodifférentiel anisotrope}

\begin{frame}

\textbf{Un laplacien homogène mais pseudodifférentiel}. On pose $|\nabla|=\Delta^{1/2}$. Soit $|\nabla|^N$ l'opérateur agissant composante par composante qui vaut $|\nabla|^w$ sur les formes de poids $w$. Alors $d^\nabla:=|\nabla|^{-N} d |\nabla|^N$ est pseudodifferentiel d'ordre $0$, son laplacien $\Delta^\nabla=(d^\nabla)^*d^\nabla+d^\nabla(d^\nabla)^*$ aussi. Ils sont homogènes.\pause

\bigskip

$\Delta^\nabla$ a un inverse pseudodifferentiel (\textcolor{red}{Helffer-Nourrigat 1979}, \textcolor{red}{Christ-Geller-Glowacki- Polin 1992}), donc $d^\nabla$ a une homotopie $K^\nabla:=(d^\nabla)^*(\Delta^\nabla)^{-1}$, $1=d^\nabla K^\nabla+K^\nabla d^\nabla$, d'où une homotopie homogène $K:=|\nabla|^{N} K^\nabla |\nabla|^{-N}$ pour $d$.\pause

\bigskip

$K^\nabla$ a un noyau homogène donc est borné sur $L^p$ (\textcolor{red}{Folland 1975}), $K$ est borné sur
$$L^{N,p}:=\{\alpha\,;\,|\nabla|^{-N}\alpha\in L^p\},$$
et sur $L^{N-m,p}$ pour toute constante $m$.

\end{frame}

\begin{frame}

Sur les fonctions, 
$$L_\infty^p=\bigcap_{m=0}^\infty L^{N-m,p}.$$ 
Sur l'espace des formes de poids compris entre $a$ et $b$, $\Omega_{a}^{b}$,
$$\Omega_{a}^{b}\cap\bigcap_{m=a}^{\infty}L^{N-m,p}\subset \Omega_{a}^{b}\cap L_\infty^{p}\subset \bigcap_{m=b}^{\infty}L^{N-m,p}.$$\pause

\medskip

$|\nabla|^{-\mu}$ est borné de $L^p$ dans $L^q$ si $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{\mu}{Q}$, $Q=\sum i\, \mathrm{dim}(\mathfrak{g}_i)$ (\textcolor{red}{Folland 1975}). D'où l'inégalité de Poincaré graduée
$$L^{N-m,p}\subset L^{N-m+\mu,q}.$$\pause

Supposons que $K(\Omega_{a}^{b})\subset \Omega_{a'}^{b'}$. Si $\mu=b-a'$, alors 
$$K(L_\infty^{p}\cap\Omega_{a}^{b})\subset \Omega_{a'}^{b'}\cap\bigcap_{m=b}^{\infty}L^{N-m,p}
\subset\Omega_{a'}^{b'}\cap\bigcap_{m=b}^{\infty}L^{N-m+\mu,q}=\Omega_{a'}^{b'}\cap\bigcap_{m=a'}^{\infty}L^{N-m,q}\subset L_\infty^{q},$$

\end{frame}

\subsection{Le complexe de Rumin}

\begin{frame}

\begin{prop}
$\ell^{q,p}H^k(G)=0$ si $1<p,q<\infty$, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\geq\frac{b-a'}{Q}$, où $b$ poids maximal en degré $k$, $a'$ poids minimal en degré $k-1$.
\end{prop}

\textbf{Exemple}. Pour le groupe d'Heisenberg, $b=k+1$, $a'=k-1$, $b-a'=2$. Non optimal.\pause

\bigskip

\textbf{Stratégie}. Remplacer $d$ par un sous-complexe utilisant moins de poids : le complexe de Rumin (1994, 1999).

\medskip

Soit $d_0$ la composante de poids 0 de $d$ (opérateur algébrique). On choisit des supplémentaires de $\mathrm{ker}(d_0)$ et $\mathrm{im}(d_0)$, on définit $d_0^{-1}$. Les puissances de $1-d_0^{-1}d-dd_0^{-1}$ se stabilisent en un projecteur $\Pi_E$ sur un sous-complexe $E$. $\Pi_0 =1-d_0^{-1}d_0-d_0d_0^{-1}$ est le projecteur sur un sous-espace $E_R$ de formes comportant moins de poids : la fibre de $E_R$ est la cohomologie de $\mathfrak{g}$. On pose
\begin{eqnarray*}
d_R=\Pi_0 \circ d\circ \Pi_E.
\end{eqnarray*}
Le \textcolor{red}{complexe de Rumin} $(E_R,d_R)$ est homotope au complexe de de Rham. 

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemple}. Pour le groupe d'Heisenberg de dimension $3$, 

\begin{itemize}
  \item $E_R^1=\{1\text{-formes horizontales}\}$ , $d_R:E_R^0\to E_R^1$ est le gradient horizontal $du_{|\mathfrak{g}_1}$.

  \item $E_R^2=\{2\text{-formes verticales}\}$. $\Pi_E$ prolonge une $1$-forme horizontale $\alpha$ de sorte que $d\Pi_E\alpha$ soit verticale (choix unique). $d_R\alpha=d\Pi_E\alpha$ dérive $2$ fois $\alpha$.
\end{itemize}

En général, pour le groupe d'Heisenberg de dimension $2m+1$, $E_R$ comporte un seul poids par degré, $w=k$ si $k\leq m$, $w=k+1$ si $k\geq m+1$, et $d_R:E_R^m\to E_R^{m+1}$ est d'ordre $2$.\pause

\begin{thm}[Pansu-Rumin]
\begin{enumerate}
  \item $\ell^{q,p}H^k(G)=0$  si $1<p,q<\infty$, $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\geq\frac{b-a'}{Q}$, où $b$ poids maximal en degré $k$, $a'$ poids minimal en degré $k-1$ de la cohomologie de $\mathfrak{g}$.
  \item $\ell^{q,p}H^k(G)\not=0$  si $1\leq p,q\leq\infty$,  $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}<\frac{\max\{1,b'-a\}}{Q}$, où $b$ poids minimal en degré $k$, $a'$ poids maximal en degré $k-1$ de la cohomologie de $\mathfrak{g}$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\textbf{Exemple}. Pour le groupe d'Heisenberg, $b-a'=b'-a=1$, sauf en degré moitié où $b-a'=b'-a=2$.

\medskip

\textbf{Exemple}. Pour tout groupe de Carnot, $b-a'=b'-a=1$ en degrés $1$ et $n=\mathrm{dim}(G)$.

\end{frame}

\subsection{Inégalité de Poincaré locale}

\begin{frame}

\begin{thm}[Baldi-Franchi-Pansu]
Soit $G$ le groupe d'Heisenberg. Les formes fermées $L^p$ définies sur la boule de rayon 2 possèdent des $d_R$-primitives sur la boule unité qui sont dans $L^q$, dès que $1<p,q<\infty$ et $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\leq\frac{1}{Q}$ (resp. $\frac{2}{Q}$ en degré $m+1$).
\end{thm}\pause

\textbf{Démonstration}.
Pas d'analogue sous-riemannien de la formule d'homotopie de Cartan.

\smallskip

À la place, on utilise l'homotopie $\Pi_E$ de Rumin puis celle d'Iwaniec-Lutoborsky euclidienne. Comme $\Pi_E$ is différentielle, il faut au préalable appliquer une homotopie régularisante. \pause

\medskip

On fixe une métrique pour définir les adjoints. $\Delta_R:=d_R^*d_R+d_Rd_R^*$ est remplacé par $\Delta_R:=(d_R^*d_R)^2+d_Rd_R^*$ ou $d_R^*d_R+(d_Rd_R^*)^2$ en degrés $m$ et $m+1$. Alors $\Delta_R$ est hypoelliptique maximal, donc $T_R=d_R^{*}\Delta_R^{-1}$ a un noyau lisse et homogène.\pause

\medskip

Soit $K_R$ le noyau de $T_R$. On décompose $K_R=K^1+K^2$ où $K_1$ a un petit support et $K_2$ est lisse. Alors $T_R=T^1+T^2$,
\begin{eqnarray*}
1=d_R T^1+T^1d_R+S
\end{eqnarray*}
où $S$ est régularisant. $T^1$ et donc $S$ envoie des formes définies sur la boule de rayon 2 sur des formes définies sur la boule unité. $T^1$ envoie $L^p$ dans $L^q$ comme $T_R$. $S$ regagne les dérivées perdues par $\Pi_E$.


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{cor}[Baldi-Franchi-Pansu]
Supposons que $1<p,q<\infty$ et $\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\leq\frac{1}{2m+2}$ (resp. $\frac{2}{2m+2}$ en degré $m+1$). Alors $d_R$ calcule la cohomologie $\ell^{q,p}$ : pour toute variété de contact sous-riemannienne à géométrie bornée de dimension $2m+1$, $\ell^{q,p}H^\cdot=L^{q,p}H^\cdot(d_c)$. Aussi, il existe une homotopie du complexe $(E_R,d_R)$ qui régularise les formes.
\end{cor}

\end{frame}

\end{document}

\section{Cas où \texorpdfstring{$p=1$}{} ou \texorpdfstring{$q=\infty$}{}}

\subsection{Inégalité de Poincaré locale \texorpdfstring{$L^1$}{}}

\begin{frame}

L'inégalité de Sobolev $\|u\|_\infty\leq C\,\|du\|_n$ sur $\R^n$ n'est pas vraie (invariance conforme). \pause

\medskip

Par dualité, l'inégalité de Poincaré $L^1$ sur les $n$-formes sur $\R^n$ n'est pas vraie : trouver une primitive $L^{n/n-1}$ pour une $n$-forme $L^1$ d'intégrale nulle n'est pas toujours possible. Autrement dit $L^{n/n-1,1}H^n(\R^n)\not=0$.\pause

\medskip

En revanche, l'inégalité de Sobolev $\|u\|_{n/n-1}\leq C\,\|du\|_1$ est vraie. Quid des autres degrés ?

\begin{thm}[\textcolor{red}{Bourgain-Brezis 2003, 2006}]
Dans $\R^n$, si $1\leq k\leq n-1$, $d^*\Delta^{-1}$ est borné des $k$-formes \textbf{fermées} $L^1$ vers $L^{n/n-1}$. En particulier $L^{n/n-1,1}H^k(\R^n)=0$.
\end{thm}\pause

\begin{thm}[Baldi-Franchi-Pansu]
L'inégalité de Poincaré locale pour $d_R$, lorsque $p=1$ et $q=Q/Q-1$ (resp. $q=Q/Q-2$ en degré $m+1$) est vraie en tout degré $<2m+1$ pour le groupe d'Heisenberg.
\end{thm}

Repose sur un procédé initié par \textcolor{red}{Lanzani-Stein 2005} dans $\R^n$, une alternative à Bourgain-Brezis due à \textcolor{red}{Van Schaftingen 2004} et son extension aux groupes de Carnot due à \textcolor{red}{Chanillo-Van Schaftingen 2009}.

\end{frame}

\subsection{Inégalité de Poincaré globale \texorpdfstring{$L^1$}{}}

\begin{frame}

\begin{thm}[Baldi-Franchi-Pansu]
On suppose que $k<n$, $q=Q/Q-1$ (resp. $q=Q/Q-2$ en degré $m+1$). Pour une variété de contact à géométrie bornée de dimension $n=2m+1$, $\ell^{q,1}H^k=L^{q,1}H^k$ calculé avec $d_R$. Pour le groupe d'Heisenberg, $\ell^{q,1}H^k$ est de dimension finie.
\end{thm}
En fait, probablement de dimension $0$.

\end{frame}


\end{document}