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\title{Géométrie conforme à grande échelle}
\author{Pierre Pansu}
\date{8 février 2018}


\mode<presentation>{\usetheme{Warsaw}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\section{Géométrie conforme infinitésimale}

\subsection{Cartographie conforme}

\begin{frame}

\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=2in]{Gerard_Mercator.jpg}
\end{minipage}\hskip1cm
\begin{minipage}{4cm}
1569 : Gerard de Kremer (dit \emph{Mercator}) invente le planisphère qui porte son nom. \pause

\vskip.5cm

La carte de Mercator est \emph{conforme} :  les angles entre courbes sont préservés.

\vskip.5cm

Elle introduit une distorsion métrique qui tend vers l'infini aux pôles.
\end{minipage}

\end{frame}

\subsection{Fonctions holomorphes}

\begin{frame}

\begin{thm}[Lemme de Schwarz]
Soit $D\subset\C$ le disque unité. Soit $f:D\to D$ une fonction holomorphe telle que $f(0)=0$. Alors $|f'(0)|\leq 1$.
\end{thm}\pause

\begin{cor}[Lemme de Schwarz-Pick]
Soit $f:D\to D$ une fonction holomorphe. Alors $f$ est 1-lipschitzienne pour la métrique hyperbolique.
\end{cor}\pause

\begin{cor}[Liouville]
Soit $f:\C\to D$ une fonction holomorphe. Alors $f$ est constante.
\end{cor}\pause

\begin{cor}[Picard]
Soit $f:\C\to \C\setminus\{a,b\}$ une fonction holomorphe. Alors $f$ est constante.
\end{cor}


\end{frame}

\subsection{Difféomorphismes conformes}

\begin{frame}

En dimensions supérieures, 

\begin{defi}
Un difféomorphisme entre variétés riemanniennes est \emph{conforme} si sa différentielle envoie sphères (infinitésimales) sur sphères.
\end{defi}\pause

\textbf{Exemples}
\begin{enumerate}
  \item L'espace euclidien est conforme à la sphère privée d'un point.
  \item L'espace hyperbolique est conforme à une boule de l'espace euclidien.
  \item Une boule de l'espace euclidien n'est pas conforme à l'espace euclidien.
\end{enumerate}\pause

\bigskip

\textbf{Décevant} : rareté des difféomorphismes conformes. 

En dimension $n\geq 3$ tout difféomorphisme conforme entre ouverts de $\R^n$ est la restriction d'un difféomorphisme conforme global de la sphère $S^n$, i.e. un élément du groupe de Möbius $O(n+1,1)$.

\end{frame}

\subsection{Homéomorphismes quasi-conformes}

\begin{frame}

\begin{defi}
Un difféomorphisme entre variétés riemanniennes est \emph{quasi-conforme} si sa différentielle envoie sphères (infinitésimales) sur ellipsoïdes d'excentricité bornée.
\end{defi}

\begin{ex}
$\displaystyle z\mapsto z|z|^{K-1}$ est quasi-conforme $\C\to\C$.
\end{ex}\pause

\begin{thm}[H. Grötsch 1928]
Une boule de l'espace euclidien n'est pas quasi-conforme à l'espace euclidien.
\end{thm}\pause

\textbf{Preuve} : quasi-Lemme de Schwartz. Un difféomorphisme quasi-conforme $f$ de la boule satisfait
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{L}d(x,x')-C\leq d(f(x),f(x'))\leq Ld(x,x')+C
\end{eqnarray*}
pour la distance hyperbolique. C'est une \emph{quasi-isométrie}, i.e. lipschitzienne à grande échelle.

\end{frame}

\section{Géométrie conforme microscopique}

\subsection{Quasi-symétrie}

\begin{frame}

\emph{Quasi-symétrique} : homéomorphisme entre espaces métriques tel que
\begin{eqnarray*}
\forall x,\,\forall x',\,\forall x'',\quad\frac{d(f(x),f(x'))}{d(f(x),f(x''))}\leq \eta(\frac{d(x,x')}{d(x,x'')}),
\end{eqnarray*}
où $\eta\in Homeo(\R_+)$.

\begin{center}
\includegraphics[width=1.5in]{qs.pdf}
\end{center}\pause


\begin{thm}[H. Grötsch 1928]
Un homéomorphisme quasi-conforme de l'espace euclidien est quasi-symétrique.
\end{thm}

\end{frame}



\subsection{Bords de groupes hyperboliques}

\begin{frame}

Un groupe \emph{hyperbolique} a un bord à l'infini $\partial G$, espace compact muni d'une famille de \emph{distances visuelles}. 

\begin{center}
\includegraphics[width=2in]{visual.pdf}
\end{center}

\begin{eqnarray*}
\textrm{quasi-isométries de }G\quad\Leftrightarrow\quad\textrm{homéomorphismes quasi-symétriques de }\partial G
\end{eqnarray*}

De plus, les distances visuelles sont Ahlfors-régulières.

\smallskip

\emph{Espace métrique $p$-Ahlfors-régulier} : s'il existe une mesure de probabilité $\mu$ telle que $\mu(B(x,R))\simeq R^p$ pour $R<R_0$.\pause

\smallskip
D'où la notion de \emph{jauge quasi-symétrique} : classe d'équivalence des distances Ahlfors-régulières sur $\partial G$ quasi-symétriques à une distance visuelle.

\smallskip

Cette ``structure conforme microscopique'' détermine la géométrie à grande échelle de $G$.

\end{frame}


\section{Géométrie conforme mésoscopique}

\subsection{Le théorème de Koebe}

\begin{frame}

\emph{Empilement de boules} : collections de boules d'intérieurs disjoints.

\smallskip

\emph{Graphe d'incidence} : un sommet par boule, une arête lorsque 2 boules se touchent.

\begin{center}
\includegraphics[width=1in]{packing.pdf}
\end{center}

\begin{defi}
Un graphe est \emph{empilable dans $\R^d$} si c'est le graphe d'incidence d'un empilement de boules de $\R^d$.
\end{defi}\pause

\begin{thm}[Koebe 1931]
Un graphe est empilable dans $\R^2$ si et seulement si il est planaire (i.e. plongeable dans $\R^2$).
\end{thm}

\end{frame}

\subsection{Un théorème de Benjamini et Schramm}

\begin{frame}


\textbf{Interprétation} : version mésoscopique du théorème de représentation conforme. 

\medskip

D'ailleurs, 
\begin{itemize}
  \item Il y a des algorithmes rapides de calcul de l'empilement de Koebe. 
  \item Lorsqu'on applique le théorème au graphe d'incidence de l'empilement de disques de même rayon contenu dans un domaine plan, ça converge vers la représentation conforme de ce domaine quand le rayon tend vers 0.
  \item C'est un bon procédé algorithmique pour calculer une approximation de la représentation conforme.
\end{itemize}\pause

\begin{thm}[Benjamini-Schramm 2013]
La grille de $\R^n$ n'est pas empilable dans $\R^d$ si $n>d$. Le graphe de Cayley d'un réseau cocompact de l'espace hyperbolique de dimension $n>d$ n'est pas empilable dans $\R^d$.
\end{thm}

Dans la suite, on s'inspire de ce théorème (et sa preuve) pour introduire une notion de plongement conforme à grande échelle.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{L'argument de Benjamini-Schramm.} Soient $M,N$ des variétés riemanniennes de dimension $n$, soit $f:M\to N$ quasiconforme.

\begin{enumerate}
  \item $f$ transporte les fonctions de $n$-énergie finie.
  \item Si $L^n \bar{H}^1(M)=0$, alors pour toute fonction $u$ de $n$-énergie finie, il existe une constante vers laquelle $u$ tend le long de presque toute courbe tendant vers l'infini.
  \item Cas où $N=\R^n$. On compose avec la projection stéréographique, d'où $f:M\to S^n$. Les fonctions de $n$-énergie finie séparent les points de la sphère $S^n$, donc $f$ a une limite $y\in S^n$.
  \item Cas où $N=H^n$. On compose avec le modèle de Poincaré, d'où $f:M\to D^n$. Les fonctions de $n$-énergie finie séparent les points de la boule $D^n$, donc $f$ a une limite $y\in \partial D^n$.
  \item Dans les deux cas, il existe une fonction $v$ de $n$-énergie finie sur $N$ qui tend vers $+\infty$ en $y$. Alors $v\circ f$ tend vers $+\infty$, contradiction.
\end{enumerate}

\end{frame}

\section{Géométrie conforme à grande échelle}

\subsection{Empilements}

\begin{frame}

\emph{$(N,\ell,R,S)$-empilement} : dans un espace métrique, c'est une collection de boules $B_j$ de rayons $R\leq r_j\leq S$ telle que les $\ell B_j$ forment un recouvrement de multiplicité $< N$.

\begin{defi}
Une application $f$ entre espaces métriques (doublée d'une correspondance $B\mapsto B'$ entre boules telle que $f(B)\subset B'$) est \emph{conforme à grande échelle} si, pour tous $R\leq S$, $N\geq 1$ et $\ell'>1$, il existe $N'\geq 1$ et $\ell\geq 1$ tels que $f$ envoie $(N,\ell,R,S)$-empilements sur $(N',\ell',0,\infty)$-empilements.
\end{defi}\pause

Inclut les plongements quasiisométriques. Classe stable par composition. Ne distingue pas un espace et un groupe qui agit dessus avec quotient compact.\pause

\bigskip

\textbf{Exemples}

\begin{itemize}
  \item Tout groupe nilpotent se plonge c.g.e. dans un $\R^N$ (Assouad). 
  \item Tout groupe hyperbolique se plonge c.g.e. dans un $H^N$ (Bonk-Schramm).
  \item $z\mapsto z|z|^{K-1}$ est c.g.e si $K\geq 1$.
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Questions}

\begin{frame}

Quel est le $N$ optimal tel que
\begin{itemize}
  \item le groupe d'Heisenberg se plonge c.g.e. dans $\R^N$ ?
  \item l'espace hyperbolique complexe $H^n_\C$ se plonge c.g.e. dans $H^N$ ?
\end{itemize}\pause

\medskip

\textbf{Réponse partielle}. Il est nécessaire qu'une sorte de dimension augmente. "Non-squeezing theorem".

\bigskip

Pour un groupe hyperbolique $G$, on définit
\begin{enumerate}
  \item la \emph{dimension cohomologique} $d_1(G)$ comme la borne inférieure des $p$ tels que $L^pH^1(G)\not=0$.
  \item la \emph{dimension conforme} $d_2(G)$ comme la borne inférieure des dimensions de Hausdorff des métriques Ahlfors-régulières dans la jauge quasi-symétrique du bord $\partial G$.
\end{enumerate}

Pour les groupes nilpotents, il s'agit de l'exposant de croissance (polynômiale) du volume, $d_1(G)=d_2(G)$.

\end{frame}

\subsection{Résultats}

\begin{frame}

\begin{thm}
Soient $G$, $G'$ des groupes de Lie ou de type fini, nilpotents ou hyperboliques. On suppose qu'il existe un plongement conforme à grande échelle de $G$ dans $G'$. Alors
\begin{eqnarray*}
d_1(G)\leq d_2(G').
\end{eqnarray*}
\end{thm}

Par exemple, pas de plongement conforme à grande échelle 
\begin{itemize}
  \item du groupe d'Heisenberg $\mathbb{H}^{2m-1}$ dans $\R^n$ pour $n<2m$.
  \item de $H^m_\C$ dans $H^n_\R$ pour $n\leq 2m$.
\end{itemize}\pause

\begin{cor}
En particulier, s'il existe un plongement uniforme de $G$ dans $G'$, alors
$d_1(G)\leq d_2(G')$.
\end{cor}

Les immeubles de Bourdon ont des dimensions $d_1=d_2$ qui forment un sous-ensemble dense de $[1,+\infty[$. Il y a des plongements quasiisométriques bizarres des uns dans les autres. Hume-McKay-Tessera utilisent la $p$-séparation pour prouver le même résultat.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Isomorphismes dans la catégorie c.g.e.}

\medskip

Une variété riemannienne a une dimension isopérimétrique $\geq d$ si pour tout domaine borné $\Delta$, $vol(\partial\Delta)\geq C\, (vol(\Delta))^{d-1/d}$.

\medskip

Le Lemme de Schwarz entraîne que les homéomorphismes quasiconformes de $H^n$ sont des isométries. Classiquement, cela se (quasi-) généralise aux variétés de dimension $n$ et de dimension isopérimétrique $>n$.

\begin{thm}
Soient $M,N$ des variétés à géométrie bornée. On suppose que leurs dimensions isopérimétriques sont $>1$. Alors tout homéomorphisme $f:M\to N$ tel que $f$ et $f^{-1}$ sont conformes à grande échelle est une quasiisométrie.
\end{thm}


\end{frame}

\subsection{Energie}

\begin{frame}

\emph{$p$-énergie} : si $u$ est une application vers un espace métrique, 

$$E_{p,\ell,R,S}(u)=\sup_{(1,\ell,R,S)-empilements \,\{B_j\}} \sum_{j}osc(u_{|B_j})^p.$$

\medskip

\textbf{Exemple} : sur un espace métrique $d$-Ahlfors-régulier, les applications lipschitziennes ont une $d$-énergie finie. \pause

\bigskip


\textbf{Questions}

\medskip

\begin{enumerate}
  \item Un arbre a-t-il un plongement conforme à grande échelle dans le plan hyperbolique ?
  \item Quels sont les espaces métriques qui possèdent un plongement conforme à grande échelle dans un arbre ?
 \item Y a-t-il un analogue à grande échelle du théorème de représentation conforme ?
 \item Y a-t-il une théorie des submersions conformes à grande échelle ?
\end{enumerate}

\end{frame}


\end{document}