\documentclass[10pt]{article}\usepackage[francais]{babel}
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\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{theo}[lemme]{Théorème}
\newtheorem{ex}[lemme]{Exemple}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\newtheorem{defi}[lemme]{Définition}
\def\preuve{\par\medskip \textbf{Preuve}.~}
\def\n#1{\parallel #1\parallel_{2}}
\def\f{\mathbb{F}_p}
\def\Z{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\section{Objectif}

On note $G=Sl_2 (\f)$, $\pi:Sl_2 (\Z)\to G$.

\begin{theo}
\label{1}
{\em (Bourgain-Gamburd, à paraître à {\em Annals of Math.})}. Soit $S$ un sous-ensemble fini, symétrique, de $Sl_2 (\Z)$, qui engendre un sous-groupe libre, non cyclique. Alors, pour $p$ assez grand, $\pi(S)$ engendre $G$, et les graphes de Cayley $\mathrm{Cay}(G,\pi(S))$ constituent un expanseur.
\end{theo}

\section{Schéma de la preuve}

Il s'agit d'une réduction au théorème d'Helfgott.

\begin{enumerate}
  \item Il suffit de majorer la norme $\ell^2$ de la marche en temps logarithmique.
  \item Un argument très court dû à Margulis permet de minorer le tour de taille du sous-groupe engendré par $\pi(S)$. Combiné avec la classification des sous-groupes propres de $G$ (ils ont automatiquement des relations courtes), cela entraîne que $\pi(S)$ engendre $G$. On donne ensuite une version quantitative de ces deux énoncés : la marche aléatoire visite modérément chaque sommet, et même, visite peu un sous-groupe propre. 
  \item La combinatoire additive montre qu'une mesure de norme $\ell^\infty$ trop petite et de norme $\ell^2$ trop grande est concentrée sur un translaté d'un ensemble de faible triplement.
  \item Le théorème d'Helfgott affirme qu'un tel ensemble est contenu dans un sous-groupe propre, contradiction.
\end{enumerate}

\section{Rôle de la norme $\ell^2$ de la marche}

On note $2k=|S|$, $\mu=\frac{1}{2k}\sum_{s\in S}\delta_{\pi(s)}$, $\mu^{(\ell)}=\mu\star\mu\star\cdots\star\mu$ $\ell$ fois.

\begin{lemme}
Pour prouver le théorème \ref{1}, il suffit de trouver des constantes $\sigma>0$ et $C<+\infty$ telles que, pour $p$ assez grand et pour $\ell=C\log_{2k}p$, $\n{\mu^{(\ell)}}<p^{-1-\sigma}$.
\end{lemme}

\preuve
Soit $A$ la matrice d'incidence du graphe de Cayley $\mathrm{Cay}(G,\pi(S))$, $2k=\lambda_0 >\lambda_1 \geq\cdots$ ses valeurs propres. Alors les colonnes de la matrice $(\frac{1}{2k}A)^{\ell}$ sont des permutations du vecteur $\mu^{(\ell)}$, d'où
\begin{eqnarray*}
\mathrm{mult}(\lambda_1)\lambda_1^{2\ell}\leq \mathrm{trace}(A^{2\ell})=|G|(2k)^{2\ell}\n{\mu^{(\ell)}}^2 .
\end{eqnarray*}
D'après Frobenius, $\mathrm{mult}(\lambda_1)\geq \frac{p-1}{2}$. Il vient
\begin{eqnarray*}
\lambda_1 &\leq& 2k(\frac{2(p^{3}-p)}{p-1}\n{\mu^{(\ell)}}^2)^{1/2\ell}\\
&<& 2k\,3^{1/2\ell}p^{-\sigma/2C\log p}=2k(2k)^{-\sigma/2C}3^{1/2\ell}<2k,
\end{eqnarray*}
pour $p$ assez grand.

\textbf{Remarque}. Remarquer le rôle joué par le théorème de Frobenius. Il permet de gagner un facteur $1/2$. Sans cela, il faudrait montrer que $\n{\mu^{(\ell)}}<p^{-3/2}$. Or on arrive, dans la suite, à majorer $\n{\mu^{(\ell)}}$ par $p^{-\theta}$ pour tout $\theta<3/2$, mais pas mieux.


\section{Tour de taille}

On appelle {\em rayon d'injectivité} le plus grand entier $n$ tel que deux points du graphe à distance $<n$ soient reliés par un unique chemin minimisant (le tour de taille vaut alors $2n$ ou $2n+1$). 

\begin{lemme}
{\em (Margulis)}. On utilise la norme d'opérateur sur les matrices. Soit $\alpha=\max\{\parallel s\parallel\,|\,s\in S\}$. Le rayon d'injectivité du graphe de Cayley $\mathrm{Cay}(\pi(\langle S\rangle),\pi(S))$ est au moins égal à $i=\lfloor\log_{\alpha}(p/2)\rfloor$.
\end{lemme}

\preuve
Si $n$ est le rayon d'injectivité, alors il existe deux mots réduits distincts $w$ et $w'$, de même longueur $n$, tels que $\pi(w)=\pi(w')$. Alors $w\not= w'$ dans le groupe libre $\langle S\rangle$, donc dans $Sl_2 (\Z)$. Chaque coefficient de $w-w'$ est divisible par $p$, et l'un d'entre eux est non nul, donc $\parallel w-w'\parallel^{2}\geq p^2$. L'un des deux, soit $w$, satisfait $\parallel w\parallel\geq p/2$. Or $w=s_1 s_2 \cdots s_n$ entraîne $\parallel w\parallel\leq \alpha^n$, soit $n\geq\log_{\alpha}(p/2)$. 

\section{Génération}

\begin{lemme}
{\em (Gamburd)}. Pour $p$ assez grand, $\pi(S)$ engendre $G$.
\end{lemme}

\preuve
Sinon, $\pi(S)$ engendre un sous-groupe propre $G_0$. D'après Dickson, les sous-groupes de $Sl_2(\f)$ sont ou bien de 60-torsion, ou bien métabéliens. La 60-torsion entraîne $i\leq 30$, contredisant le lemme précédent. Sinon, si $a$, $b$, $c$, $d$ sont 4 éléments de $\langle S\rangle$ engendrant un sous-groupe libre, la relation
\begin{eqnarray*}
1=[[a,b],[c,d]]=aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1}bab^{-1}a^{-1}dcd^{-1}c^{-1}
\end{eqnarray*}
entraîne $i\leq 8\max\{|a|,\,|b|,\,|c|,\,|d|\}$.

\section{Norme $\ell^\infty$ de la marche}

Voici une conséquence quantitative de la minoration du rayon d'injectivité.

\begin{lemme}
Il existe une constante $\gamma>0$ telle que, pour tout $g\in G$, pour $\ell\geq i$, $\mu^{(\ell)}(g)<p^{-\gamma}$.
\end{lemme}

\preuve
On écrit $\mu^{(\ell)}=\mu^{(i)}\star\mu^{(\ell-i)}$, d'où
\begin{eqnarray*}
\parallel \mu^{(\ell)}\parallel_{\infty}\leq \parallel \mu^{(i)}\parallel_{\infty}\parallel \mu^{(\ell-i)}\parallel_{1}=\parallel \mu^{(i)}\parallel_{\infty}.
\end{eqnarray*}
$\mu^{(i)}(g)$ est la probabilité d'arriver en $g$ en partant de 1 en $i$ pas. Or dans la boule de centre 1 et de rayon $i$, le graphe est un arbre régulier de valence $2k$, donc on peut utiliser des résultats classiques (Kesten 1959),
\begin{eqnarray*}
\mu^{(i)}(g)\leq \sqrt{\mu^{(2i)}(1)}\leq (\frac{\sqrt{2k-1}}{k})^{i}=(\frac{p}{2})^{\log_{\alpha}(\sqrt{2k-1}/k)}.
\end{eqnarray*}

\section{La marche visite peu les sous-groupes de $G$}

En affinant l'argument qui prouve que $\pi(S)$ engendre $G$, on montre que la marche, non seulement n'est pas contenue dans un sous-groupe propre, mais en plus charge peu les sous-groupes propres de $G$.

\begin{lemme}
Il existe une constante $\delta>0$ telle que, pour tout sous-groupe propre $G_0 \subset G$, pour tout $\ell\geq i$, $\mu^{(\ell)}(G_0)<p^{-\delta}$.
\end{lemme}

\preuve
On se ramène au cas où $\ell=2\ell_0 =i/16$. 
\begin{eqnarray*}
\mu^{(\ell)}(G_0)&=&\sum_{y\in G}\mu^{(\ell-\ell_0)}(y)\mu^{(\ell_0)}(y^{-1}G_0)\\
&\leq& \max_{y\in G}\mu^{(\ell_0)}(y^{-1}G_0)\\
&=&\mu^{(\ell_0)}(b^{-1}G_0)\mu^{(\ell_0)}(G_0 b).
\end{eqnarray*}
Or
\begin{eqnarray*}
\mu^{(2\ell_0)}(G_0)&=&\sum_{y\in G}\mu^{(\ell_0)}(y)\mu^{(\ell_0)}(y^{-1}G_0)\\
&\geq&\sum_{y\in G_0 b}\mu^{(\ell_0)}(y)\mu^{(\ell_0)}(y^{-1}G_0)\\
&=&\mu^{(\ell_0)}(bG_0)^2 ,
\end{eqnarray*}
car $y\in G_0 b \Rightarrow y^{-1}G_0 =b^{-1}G_0$. Par conséquent, $\mu^{(\ell)}(G_0)\leq \sqrt{\mu^{(2\ell_0)}(G_0)}$, et il suffit donc de majorer $\mu^{(i/16)}(G_0)$.

Pour les sous-groupes d'ordre $\leq 60$, l'inégalité $\mu^{(i/16)}(G_0)<p^{-\delta}$ résulte de la majoration de la norme $\ell^\infty$. Supposons donc $G_0$ métabélien. Soit 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{G}_0 =\{a\in\langle S\rangle \,|\,|a|\leq \frac{i}{16},\,\pi(a)\in G_0\}.
\end{eqnarray*}
Si $a$, $b\in\langle S\rangle$ sont de longueurs $\leq i/16$, et si $\pi(a)$ et $\pi(b)\in[G_0 ,G_0]$, alors $\pi(a)$ et $\pi(b)$ commutent, donc $a$ et $b$ commutent, et appartiennent à un même sous-groupe cyclique $Z$ du groupe libre $\langle S\rangle$. Considérons l'application
\begin{eqnarray*}
\mathrm{comm}:(a,b)\mapsto [a,b],\quad \mathcal{G}_0 \times \mathcal{G}_0  \to\{c\in Z\,|\,|c|\leq \frac{i}{4}\}.
\end{eqnarray*}
Soit $c\in Z$, $|c|\leq i/4$ (il n'y a que $Ci$ choix pour $c$, où $C$ est une constante absolue). Soient $a$, $b$, $b'\in\langle S\rangle$, de longueurs $\leq i/16$, tels que $[a,b]=[a,b']=c$. Alors $ba^{-1}b^{-1}=b'a^{-1}b'^{-1}$, donc $b'b^{-1}$ commute avec $a$, donc $b'b^{-1}$ et $a$ appartiennent à un même sous-groupe cyclique. Autrement dit, étant donnés $a$ et $c$, il n'y a que $Ci$ choix pour un $b$ tel que $\mathrm{comm}(a,b)=c$. Cela donne $|\mathrm{comm}^{-1}(c)|\leq Ci|\mathcal{G}_0 |$, d'où $|\mathcal{G}_0 |^{2}\leq |\mathcal{G}_0 |C^2 i^2$, soit $|\mathcal{G}_0 |\leq C^2 i^2$. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
\mu^{(i/16)}(G_0)
&=&\tilde{\mu}^{(i/16)}(\mathcal{G}_0)\\
&\leq&|\mathcal{G}_0 |\parallel \tilde{\mu}^{(i/16)}\parallel_{\infty}\\
&\leq&C^2 i^2 (\frac{\sqrt{2k-1}}{k})^{i/16}\\
&<& p^{-\delta}.
\end{eqnarray*}
(On a noté $\tilde{\mu}$ la marche sur le groupe libre $\langle S\rangle$).

\section{Réduction à une propriété de la convolution}

Il nous faut un mécanisme qui, étant donnée une mesure $\nu$ sur $G$ qui satisfait $\parallel \nu \parallel_{\infty}<p^{-\gamma}$ et pour tout sous-groupe propre $G_0 \subset G$, $\nu^{(2)}(G_0)<p^{-\delta}$, garantisse qu'une puissance $\nu^{m}$ de $\nu$, $m$ borné, satisfait $\n{\nu^{m}}<p^{-1-\sigma}$. L'exposant $m$ est nécessaire. Par exemple, pour $\ell\leq i/2$, grâce à la borne sur la rayon d'injectivité, on connaît exactement
\begin{eqnarray*}
\n{\mu^{\ell}} =\sqrt{\mu^{2\ell}(1)}=\sqrt{\tilde{\mu}^{2\ell}(1)}\sim (\frac{\sqrt{2k-1}}{k})^{\ell}\ell^{-3/2},
\end{eqnarray*}
qui est majoré par une puissance négative de $p$, mais sans doute pas par $p^{-1}$. C'est ce qui motive le lemme suivant.

\begin{lemme}
\label{mesures}
Pour tous $\gamma>0$, $\delta>0$ et $\sigma<1/2$, il existe $\epsilon(\gamma,\delta,\sigma)>0$ tel que, pour toute mesure de probabilité $\nu$ sur $G$, si
\begin{itemize}
  \item $\parallel \nu \parallel_{\infty}<p^{-\gamma}$,
  \item pour tout sous-groupe propre $G_0 \subset G$, $\nu^{(2)}(G_0)<p^{-\delta}$,
  \item $\n{\nu}>p^{-1-\sigma}$,
\end{itemize}
alors $\n{\nu\star\nu}<p^{-\epsilon}\n{\nu}$.
\end{lemme}

Cela fait notre affaire. En effet, si $\mu^{(i)}$ ne satisfait pas aux hypothèses du lemme \ref{mesures}, on a gagné. Sinon, 
\begin{eqnarray*}
\n{\mu^{(i)}}\leq \parallel \mu^{(i)}_{\infty} \parallel |G|^{1/2}<p^{\frac{3}{2}-\gamma}.
\end{eqnarray*}
On lui applique le lemme \ref{mesures}. On trouve que $\n{\mu^{(2i)}}$
a diminué d'un facteur $p^{-\epsilon}$. On recommence tant que $\mu^{(2^{r}i)}$ satisfait aux hypothèses du lemme \ref{mesures}. Au bout d'au plus $n=\frac{5}{2\epsilon}$ étapes, on trouve $\ell=2^{n}i$ pour lequel la mesure $\mu^{(\ell)}$ satisfait $\n{\mu^{(\ell)}}<p^{-1-\sigma}$.

\section{Intervention de la combinatoire additive}

On explique la preuve du lemme \ref{mesures} dans le cas où $\nu=\frac{1}{|A|}\chi_{A}$ pour un sous-ensemble $A\subset G$. Dans ce cas, $\n{\nu}^2 =\frac{1}{|A|}$ et
\begin{eqnarray*}
\n{\nu\star\nu}^2=\frac{1}{|A|^4}E(A,A),
\end{eqnarray*}
où $E$ est l'énergie définie comme suit.

\begin{defi}
{\em (Tao)}. Soient $A$, $B\subset G$. L'{\em énergie multiplicative} de $A$ et $B$ est
\begin{eqnarray*}
E(A,B)&=&\n{\chi_{A}\star\chi_{B}}^{2}\\
&=&|\{(a,b,c,d)\in A\times B\times A\times B\,|\,ab=cd\}|.
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{rem}
\label{maj}
Pour tous $A$, $B$, 
\begin{eqnarray*}
E(A,B)\leq |A||B|\min\{|A|,|B|\}\leq |A|^{3/2}|B|^{3/2}. 
\end{eqnarray*}
Lorsque $G$ est commutatif et $A=B$, l'égalité a lieu si et seulement si $A$ est un translaté d'un sous-groupe. 
\end{rem}
En effet, 
\begin{eqnarray*}
\parallel \chi_{A}\star\chi_{B} \parallel_1 &=&\parallel \chi_{A}\parallel_1 \parallel \chi_{B} \parallel_1 =|A||B|,\\
\parallel \chi_{A}\star\chi_{B} \parallel_\infty&\leq& \min\{|A|,|B|\}\leq \sqrt{|A||B|},
\end{eqnarray*}
d'où $\n{\chi_{A}\star\chi_{B}}^2 \leq |A||B|\min\{|A|,|B|\}\leq(|A||B|)^{3/2}$. 

L'égalité $E(A,A)= |A|^{3}$ entraîne que pour tout $g\in A\cdot A$, le nombre de paires $(a,a')\in A\times A$ telles que $aa'=g$ est égal à $|A|$. Autrement dit, pour tout $a\in A$, $a^{-1}g\in A$. Dans le cas commutatif, on peut translater $A$ (cela ne change pas l'énergie), supposer que $A$ contient l'élément neutre, et alors $A$ est un (translaté à gauche de) sous-groupe.

\medskip

Autrement dit, au moins dans le cas commutatif, l'inégalité $\n{\nu\star\nu}>p^{-\epsilon}\n{\nu}$, pour $\nu=\frac{1}{|A|}\chi_{A}$, soit $E(A,A)>p^{-2\epsilon}|A|^3$, exprime que $A$ est proche d'être une classe à gauche d'un sous-groupe. Cet énoncé un peu vague peut être rendu précis et quantitatif. Dans le cas commutatif, c'est un théorème de Balog-Szemerédi-Gowers. Il est remarquable que ce théorème s'étende au cas général.

\begin{defi}
Soit $G$ un groupe. Soit $K>1$. Un sous-ensemble $H\subset G$ est appelé {\em $K$-sous-groupe approché} s'il est symétrique ($H=H^{-1}$) et s'il existe un ensemble symétrique $X\subset H\cdot H$ tel que $|X|\leq K$ et $H\cdot H\subset X\cdot H$.
\end{defi}

\begin{theo}
{\em (Tao, à paraître à {\em Combinatorica}, Theorem 5.4)}. Il existe une constante $C$ telle que, pour tout $K>1$, pour tout groupe $G$, si $E(A,B)\geq\frac{1}{K}|A|^{3/2}|B|^{3/2}$, alors il existe un $CK^{C}$-sous-groupe approché $H\subset G$ tel que $|H|\leq K^{C}|A|^{1/2}|B|^{1/2}$ et des éléments $g$ et $g'\in G$ tels que $|A\cap(gH)|\geq \frac{1}{K^{C}}|A|$ et $|B\cap(g'H)|\geq \frac{1}{K^{C}}|B|$.
\end{theo}

La combinatoire additive ne s'arrête pas là, elle joue un rôle important dans le théorème d'Helfgott.

\section{Intervention du triplement}

Un $K$-sous-groupe approché satisfait à la condition de triplement
\begin{eqnarray*}
|H\cdot H\cdot H|\leq K^2 |H|.
\end{eqnarray*}
En effet, $H\cdot H\cdot H\subset X\cdot X \cdot H$.

\begin{theo}
{\em (Helfgott, à paraître à {\em Annals of Math.})}. Pour tout $\eta>0$, il existe $c=c(\eta)$ et $\kappa=\kappa(\eta)>0$ tels que si $p$ est assez grand et si $H\subset G=Sl_2 (\f)$ satisfait $|H|<p^{3-\eta}$ et
\begin{eqnarray*}
|H\cdot H\cdot H|<c|H|^{1+\kappa},
\end{eqnarray*}
alors $H$ est contenu dans un sous-groupe propre de $G$.
\end{theo}

On peut terminer la preuve du lemme \ref{mesures} dans le cas simple. Supposons que $\nu=\frac{1}{|A|}\chi_{A}$ satisfasse aux hypothèses du lemme \ref{mesures}. Alors 
\begin{itemize}
  \item $\frac{1}{|A|}<p^{-\gamma}$, i.e. $|A|>p^{\gamma}$.
  \item pour tout sous-groupe propre $G_0$, $\frac{1}{|A|}|A\cap G_0|<p^{-\delta}$.
  \item $\frac{1}{\sqrt{|A|}}>p^{-1-\sigma}$, i.e. $|A|<p^{3-\eta}$, avec $\eta=1-2\sigma$.
\end{itemize}
On raisonne par l'absurde. On suppose de plus que $E(A,A)>p^{-2\epsilon}|A|^3$. Le théorème de Tao fournit un $Cp^{C\epsilon}$-sous-groupe approché $H\subset G$ tel que $|H|\leq p^{C\epsilon}|A|$ et un élément $g\in G$ tel que $|A\cap(gH)|\geq p^{-C\epsilon}|A|$. $H$ satisfait $|H\cdot H\cdot H|\leq C^2 p^{2C\epsilon} |H|$. Si $\epsilon<\kappa\gamma/(\kappa+2C\kappa+4C)$, alors $|H\cdot H\cdot H|\leq c|H|^{1+\kappa}$. D'après le théorème d'Helfgott, $H$ est contenu dans un sous-groupe propre $G_0$ de $G$. En particulier, 
\begin{eqnarray*}
\nu(gG_0)\geq \nu(gH)=\frac{1}{|A|}|A\cap gH|> p^{-C\epsilon},
\end{eqnarray*}
ce qui entraîne que $\nu^{(2)}(G_0)> p^{-2C\epsilon}$. Si $\epsilon<\delta/2C$, cela contredit l'hypothèse.

\section{Extraction d'ensembles de grande énergie}

Parmi les ensembles de niveau de $\nu$, on va en sélectionner deux, notés $A$ et $B$, tels que $E(A,B)>p^{-\epsilon}|A|^{3/2}|B|^{3/2}$. Dans les deux versions du texte de Bourgain et Gamburd, ce point comporte des erreurs de détails.

\begin{lemme}
\label{bou}
Soit $G$ un groupe. Soit $\nu$ une mesure de probabilité sur $G$ telle que $\n{\nu\star\nu}>\frac{1}{K}\n{\nu}$. On pose $J=\lceil\log_{2}(4K|G|)\rceil$. Il existe $A$ et $B\subset G$ tels que
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle E(A,B)>\frac{1}{2^{4}K^2 J^{4}}|A|^{3/2}|B|^{3/2}$.
  \item $\displaystyle |A|< 2^{5}K^2 J^4 \n{\nu}^{-2}$.
  \item pour tout $A'\subset A$, $\displaystyle \nu(A')>\frac{|A'|}{4K J^2 |A|}$.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\preuve
On se débarrasse d'abord des très petites valeurs de la fonction $\nu$. On pose $A_- = \{g\in G\,|\,\nu(g) < 2^{-J}\}$ et $\nu_- =\chi_{A_-}\nu$, $\nu_+ =\nu-\nu_-$. On majore 
\begin{eqnarray*}
\parallel \nu_- \parallel_1 \leq |G|2^{-J} \leq\frac{1}{4K},
\end{eqnarray*}
puis
\begin{eqnarray*}
\n{\nu\star\nu_-}\leq\n{\nu}\parallel \nu_- \parallel_1 \leq\frac{1}{4K}\n{\nu},
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\n{\nu_+ \star\nu_-}\leq\n{\nu_+}\parallel \nu_- \parallel_1 \leq\frac{1}{4K}\n{\nu},
\end{eqnarray*}
d'où, comme
\begin{eqnarray*}
\nu\star\nu=\nu_+ \star\nu_+ +\nu_+ \star\nu_- +\nu_- \star\nu,
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\n{\nu\star\nu}\leq\n{\nu_+ \star\nu_+}+\frac{1}{2K}\n{\nu}.
\end{eqnarray*}
L'hypothèse $\n{\nu\star\nu}>\frac{1}{K}\n{\nu}$ entraîne donc que $\n{\nu_+ \star\nu_+}>\frac{1}{2K}\n{\nu}\geq\frac{1}{2K}\n{\nu_+}$.

Pour simplifier encore la mesure, on pose $\tilde{\nu}=\sum_{j=1}^{J}2^{-j}\chi_{A_j}$ où, pour $j=1,\ldots,J$, $A_j =\{g\in G\,|\,2^{-j}\leq \nu(g) < 2^{-j+1}\}$. Alors $\tilde{\nu}\leq\nu_+ \leq 2\tilde{\nu}$, donc $\n{\tilde{\nu}\star\tilde{\nu}}>\frac{1}{4K}\n{\tilde{\nu}}$.

On écrit
\begin{eqnarray*}
\n{\tilde{\nu}\star\tilde{\nu}}&=&\n{\sum_{1\leq j_1 ,j_2 \leq J}2^{-j_1 -j_2}\chi_{A_{j_1}}\star\chi_{A_{j_2}}}\\
&\leq&\sum_{1\leq j_1 ,j_2 \leq J}2^{-j_1 -j_2}\n{\chi_{A_{j_1}}\star\chi_{A_{j_2}}}.
\end{eqnarray*}
Il existe $1\leq j_1 , \, j_2 \leq J$ tels que
\begin{eqnarray}\label{J}
J^2 2^{-j_1 -j_2}\n{\chi_{A_{j_1}}\star\chi_{A_{j_2}}}\geq \n{\tilde{\nu}\star\tilde{\nu}}.
\end{eqnarray}
On pose $A=A_{j_1}$, $B=A_{j_2}$, $\alpha=j_1$ et $\beta=j_2$.

\medskip
\textbf{1. Estimation d'énergie}. On minore
\begin{eqnarray*}
\n{\tilde{\nu}}^2 &=&\sum_{j=1}^{J}2^{-2j}|A_j|\\
&\geq&2^{-2\alpha}|A|+2^{-2\beta}|B|\\
&\geq&2^{-\alpha -\beta}|A|^{1/2}|B|^{1/2}.
\end{eqnarray*}
Comme $\n{\tilde{\nu}\star\tilde{\nu}}>\frac{1}{2^{2}K}\n{\tilde{\nu}}$, il vient
\begin{eqnarray}\label{energie}
2^{-\alpha -\beta}|A|^{1/2}|B|^{1/2}\leq 2^{4}K^2 J^4 2^{-2\alpha -2\beta}\n{\chi_{A}\star\chi_{B}}^2.
\end{eqnarray}
Comme $\tilde{\nu}\leq\nu$ qui est une mesure de probabilités, $|A_j|\leq 2^{j}$. Cela donne
\begin{eqnarray*}
|A|^{3/2}|B|^{3/2}\leq 2^{4}K^2 J^4 E(A,B).
\end{eqnarray*}

\medskip
\textbf{2. Majoration de la taille}. D'après la remarque \ref{maj},
\begin{eqnarray*}
E(A,B)&\leq&|B|^{2}|A|\\
&\leq&2^{\alpha +2\beta}. 
\end{eqnarray*}
En injectant l'inégalité (\ref{J}),
\begin{eqnarray*}
J^4 2^{-2\alpha -2\beta}E(A,B)\geq \n{\tilde{\nu}\star\tilde{\nu}}^2 ,
\end{eqnarray*}
on trouve
\begin{eqnarray*}
|A|\leq 2^{\alpha}\leq J^4 \n{\tilde{\nu}\star\tilde{\nu}}^{-2}< 2^{4}J^4 K^2 \n{\tilde{\nu}}^{-2}\leq 2^{4}J^4 K^2 \n{\nu_+}^{-2}.
\end{eqnarray*}
Reste à minorer $\n{\nu_+}$ en fonction de $\n{\nu}$. Comme $\nu<2^{-J}$ sur $A_-$,
\begin{eqnarray*}
\n{\nu_-}^{2}\leq \parallel \nu_- \parallel_{\infty}\parallel \nu_- \parallel_{1}<2^{-2J}|G|\leq \frac{1}{2^{4}K^2}\n{\nu}^{2},
\end{eqnarray*}
d'où $\n{\nu_{+}}^{2}>\frac{1}{2}\n{\nu}^{2}$, et enfin $|A|<2^{5}J^4 K^2 \n{\nu_+}^{-2}$.

\medskip
\textbf{3. Minoration de la taille}. On reprend l'inégalité (\ref{energie}),
\begin{eqnarray*}
|A|^{1/2}|B|^{1/2}\leq 2^{4}K^2 J^4 2^{-\alpha -\beta} E(A,B).
\end{eqnarray*}
D'après la remarque \ref{maj},
\begin{eqnarray*}
E(A,B)\leq |A|^{3/2} |B|^{3/2}.
\end{eqnarray*}
On trouve
\begin{eqnarray*}
1\leq 2^{4}K^2 J^4 2^{-\alpha -\beta}|A||B|=2^{4}K^2 J^4 \tilde{\nu}(A)\tilde{\nu}(B),
\end{eqnarray*}
soit
\begin{eqnarray*}
\tilde{\nu}(A)\tilde{\nu}(B)\geq\frac{1}{2^{4}K^2 J^4}.
\end{eqnarray*}
Quitte à échanger $A$ et $B$, on peut supposer que $\tilde{\nu}(A)\geq\tilde{\nu}(B)$. Dans ce cas, $\tilde{\nu}(A)\geq 1/4K J^2$. Si $A'\subset A$, comme $\tilde{\nu}$ est constante sur $A$,
\begin{eqnarray*}
\nu(A')\geq\tilde{\nu}(A')=\frac{|A'|}{|A|}\tilde{\nu}(A)\geq\frac{|A'|}{4K J^2|A|}.
\end{eqnarray*}

\section{Preuve du lemme \ref{mesures}}

Supposons, par l'absurde, que $\n{\nu\star\nu}>p^{-\epsilon}\n{\nu}$.
Le lemme \ref{bou} fournit deux ensembles $A$ et $B$ tels que $E(A,B)\geq p^{-2\epsilon}|A|^{3/2}|B|^{3/2}$ (à un terme inoffensif en $\log p$ près). Le théorème de Tao fournit un $Cp^{2C\epsilon}$-sous-groupe approché $H\subset G$ tel que $|H|\leq p^{C\epsilon}|A|^{1/2}|B|^{1/2}$ et des éléments $g$ et $g'\in G$ tels que $|A\cap(gH)|\geq p^{-C\epsilon}|A|$ et $|B\cap(g'H)|\geq p^{-C\epsilon}|B|$. 

Noter que $|H|\leq p^{2C\epsilon}|A|\leq p^{4C\epsilon}\n{\nu}^{-2}$. Avec l'hypothèse $\n{\nu}>p^{-1-\sigma}$,
\begin{eqnarray*}
|H|\leq p^{2+2\sigma+2C\epsilon}.
\end{eqnarray*}
Comme on suppose $\sigma<1/2$, l'exposant est $<3$ si $\epsilon$ est assez petit. 

D'après le lemme \ref{bou}-3, $\nu(A)\geq p^{-\epsilon}/10(\log p)^2$. Il vient, à des termes logarithmiques près,
\begin{eqnarray*}
p^{-\epsilon}\leq \nu(A)\leq \parallel \nu \parallel_{\infty}|A|,
\end{eqnarray*}
d'où $|A|\geq p^{\gamma-\epsilon}$, puis
\begin{eqnarray*}
|H|\geq p^{-2C\epsilon}|A|\geq p^{\gamma-\epsilon-2C\epsilon}.
\end{eqnarray*}
Noter que $p^{4C\epsilon}<|H|^{\kappa}$ dès que $\epsilon<\kappa\gamma/(\kappa+2C\kappa+4C)$. C'est pourquoi $H$ satisfait $|H\cdot H\cdot H|\leq C^2 p^{4C\epsilon} |H|< c|H|^{1+\kappa}$ pour $p$ assez grand. D'après le théorème d'Helfgott, $H$ est contenu dans un sous-groupe propre $G_0$ de $G$. En particulier, 
\begin{eqnarray*}
\nu(gG_0)\geq \nu(gH)\geq \nu(A\cap gH)\geq\frac{|A\cap gH|}{4\,p^{\epsilon}|A|}> p^{-(C+1)\epsilon},
\end{eqnarray*}
ce qui entraîne que $\nu^{(2)}(G_0)> p^{-2(C+1)\epsilon}$. Si $\epsilon<\delta/(2C+2)$, cela contredit l'hypothèse.

\section{Triplement et sous-groupes approchés}

Comme le montre le théorème d'Helfgott, le faible triplement est une hypothèse très forte. En fait, le triplement caractérise les sous-groupes approchés. Il s'agit du corollaire 3.10 de l'article de Tao à paraître à {\em Combinatorica}. Dans les groupes commutatifs, le doublement caractérise déjà les sous-groupes approchés, mais ce n'est pas le cas en général.

\begin{theo}
{\em (Tao)}. Il existe une constante $C$ qui a l'effet suivant. Soit $K>1$. Soit $G$ un groupe, $A\subset G$ un sous-ensemble qui satisfait à la condition de petit triplement $|A\cdot A\cdot A|\leq K|A|$. Posons $H_0 =A\cup \{1\}\cup A^{-1}$. Alors $H=H_0 \cdot H_0 \cdot H_0$ est un $CK^C$-sous-groupe approché qui contient $A$ et tel que $|H|\leq CK^C |A|$. En particulier, si $A$ est symétrique et contient 1, alors $A\cdot A\cdot A$ est un sous-groupe approché.
\end{theo}

\preuve (schématique).
Par récurrence sur $n$, on montre que $|A^{\pm}\cdot A^{\pm}\cdots A^{\pm}|\leq K^{C(n)}|A|$. Pour cela, il est commode d'utiliser l'inégalité triangulaire satisfaite par la {\em distance de Ruzsa}
\begin{eqnarray*}
d(A,B)=\log\frac{|A\cdot B^{-1}|}{|A|^{1/2}|B|^{1/2}}.
\end{eqnarray*}
Par exemple, le triplement pour $A$ entraîne que $d(A\cdot A,A^{-1})\leq \log K$. De même, $|A\cdot A|\leq |A\cdot A\cdot A|\leq K|A|$ entraîne que $d(A,A^{-1})\leq\log K$. Par l'inégalité triangulaire, $d(A\cdot A,A)\leq 2\log K$, ce qui signifie que $|A\cdot A\cdot A^{-1}|\leq K^2 |A|$. Et ainsi de suite...

Cela entraîne que $|H|\leq CK^{C}|A|$ et $|H_0 \cdot H\cdot H|\leq CK^C |A|$.

Ensuite (lemme de recouvrement de Ruzsa), on construit un $Y\subset H\cdot H$ tel que $H\cdot H\subset H_{0}^{-1}\cdot H_0 \cdot Y\subset H\cdot Y$, avec $|Y|\leq CK^C$. 
Pour cela, il suffit de choisir $Y$ maximal parmi les sous-ensembles de $H\cdot H$ tels que les $H_0 y$, $y\in Y$, soient deux à deux disjoints.

Enfin, on pose $X=Y\cup Y^{-1}$ et on vérifie que $H\cdot H\subset H\cdot X$.

\end{document}