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J'étudie des espaces géométriques de nature combinatoire et leurs groupes d'isométrie.

Voici des mots-clés qui correspondent à mon domaine :

géométrie des groupes, groupes hyperboliques au sens de Gromov ;
 espaces de Hadamard ou espaces à courbure ≤ 0 généralisée ;
 groupes de Coxeter, immeubles de Tits ;
 espaces (variétés) avec hyperplans, complexes cubiques CAT(0), espaces métriques médians ;
  sous-groupes séparables, groupes résiduellement finis.



En théorie géométrique des groupes on essaie de déduire des propriétés algébriques d'un groupe G à partir des propriétés géométriques des espaces géodésiques sur lesquels le groupe G agit discrètement avec quotient compact. Il y a en fait peu de résultats généraux de ce type, la plupart sont dus à M. Gromov dans ses travaux sur les groupes à croissance polynomiale, ou dans ses travaux fondateurs sur les groupes hyperboliques. Même lorsque G agit sur un espace géométrique aussi familier que l'espace hyperbolique de dimension 3, on ne sait pas répondre à des questions algébriques aussi simples à formuler que : G possède t-il un sous-groupe isomorphe à un groupe de surface ? G se surjecte t-il virtuellement sur les entiers ?

Parfois cependant, lorsqu'on suppose que le groupe G agit assez simplement sur des géométries combinatoires très particulières, les complexes cubiques CAT(0), on peut déduire beaucoup de propriétés algébriques pour G. C'est la théorie des groupes cubiques spéciaux que nous avons développée avec Dani Wise. Remarquablement, de nombreux groupes "de petite complexité" (du point de vue d'une présentation) sont (virtuellement) cubiques spéciaux, et la classe des groupes fondamentaux des variétés hyperboliques réelles compactes contient des exemples de groupes cubiques spéciaux en toute dimension. En s'appuyant sur les derniers travaux de Wise, Ian Agol a démontré en 2012 que toute 3-variété compacte hyperbolique a un groupe fondamental virtuellement spécial. Ceci établit en particulier les conjectures "virtuellement Haken" et "virtuellement fibrée".

Les complexes cubiques CAT(0) semblent au premier abord constituer une classe extrêmement restreinte  d'espaces géométriques. Mentionnons cependant que tout groupe hyperbolique est quasi-isométrique à un complexe cubique CAT(0). Et tout groupe à petite simplification C'(1/6) agit librement cocompactement sur un complexe cubique CAT(0). Ainsi être cubique est plus fréquent qu'on ne pourrait croire. En fait le résultat précité d'Agol est que tout groupe hyperbolique qui agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) est virtuellement spécial (en particulier résiduellement fini, linéaire sur les entiers, séparable sur ses sous-groupes quasi-convexes...).

Prépublications

  1. Aspects combinatoires de la théorie géométrique des groupes. Mémoire HDR (habilitation à diriger des recherches).  Fichier pdf (taille 427 KB).
  2. Isometries of CAT(0) cube complexes are semi-simple.  Dans ce travail je démontre que tout automorphisme d'un complexe cubique CAT(0) est combinatoirement semi-simple, autrement dit possède un point fixe ou préserve un axe géodésique combinatoire (quitte à passer à la première subdivision  cubique). Corollaire : les groupes de Baumslag-Solitar ou d'Heisenberg n'ont pas d'action propre sur un complexe cubique CAT(0). Fichier pdf sur Hal, voir ici .
  3. Complexes simpliciaux hyperboliques de grande dimension. Prépublication d'Orsay, novembre 2003. Fichier pdf (taille 273 KB).


Publications

  1. On some convex cocompact groups in real hyperbolic space. Avec Marc Desgroseilliers. Geometry & Topology (2013) 17 (4): 2431–2484.
  2. A combination theorem for special cube complexes. Avec Dani Wise. Ann. of Math (2012) 176 (3): 1427-1482.
  3. Hyperplane sections in arithmetic hyperbolic manifolds. Avec Nicolas Bergeron et Dani Wise. J. London Math. Soc. (2011) 83 (2): 431-448.
  4. Kazhdan and Haagerup properties from the median viewpoint. Avec I. Chatterji et C. Drutu. Advances in Mathematics  225 (2010),  no. 2,  882--921.
  5. Coxeter groups are special. Avec Dani Wise. Advances in Mathematics  224 (2010),  no.  5,  1890--1903
  6. On geometric flats in the CAT(0) realization of Coxeter groups  and Tits buildings. Avec P.E. Caprace. Canad. J. Math. 61 (2009), 740--761.
  7. Finite index subgroups of  graph products. Geom. Dedicata  135 (2008), 167--209.
  8. Separating quasi-convex subgroups in 7-systolic groups. Avec Jacek Swiatkowski. Groups Geom. Dyn.  2  (2008),  no. 2, 223--244.
  9. Special cube complexes. Avec Dani Wise. Geom. Funct. Anal.  17 (2008),  no. 5, 1551--1620.
  10. Commensurability and separability of quasiconvex subgroups. Algebr. Geom. Topol. (électronique), 6: 949--1024, 2006. Voir http://www.msp.warwick.ac.uk/agt/2006/06/agt-2006-06-036s.pdf .
  11. Constructions arborescentes d'immeubles. Avec F. Paulin. Math. Ann., 325(1): 137--164, 2003.
  12. Existence, unicité et homogénéité de certains immeubles hyperboliques. Math. Z., 242 (1), 97-148, 2002.
  13. Simplicité de groupes d'automorphismes d'espaces à courbure négative. Avec F. Paulin. In The Epstein birthday schrift, pages 181--248 (électronique). Geom. Topol., Coventry, 1998. Voir http://www.arxiv.org/pdf/math/9812167 .
  14.  Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48(3): 649--666, 1998.
  15.  Les polyèdres de Gromov. C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, 313(9): 603--606, 1991.


Etudiants en thèse

  1. Guillaume Dufour a soutenu en mars 2012. Dans sa thèse il a donné un critère pour obtenir une action géométrique sur un complexe cubique CAT(0) à partir d'une action  géométrique sur une variété (ou plus généralement un espace) hyperbolique avec suffisamment d'hyperplans quasi-convexes. Il a ensuite exploité ce critère pour démontrer que toute 3-variété hyperbolique compacte fibrant sur le cercle a un groupe fondamental cubique CAT(0) (son travail a commencé avant la parution du théorème de Kahn-Markovic, et est indépendant du papier de Nicolas Bergeron et Dani Wise contenant le même critère de cubulation).
  2. Anne Giralt commence sa thèse à la rentrée 2012. Elle sera encadrée par Nicolas Bergeron et moi. Elle aussi va travailler sur des questions de cubulation.


Groupe de travail

Je suis responsable du groupe de travail de théorie géométrique des groupes d'Orsay. Le groupe de travail se réunit les vendredi de 10h30 à 12h00 (approximativement), en salle 225-227 du bâtiment 425.

En 2012 une séance sur trois a été consacrée à un sous-groupe de travail, sur les travaux d'Agol et Wise concernant la conjecture virtuellement Haken. Voir ici .

Conférence de l'ANR GGAA

Les 26-27 novembre 2013  se tiendront à Orsay deux journées de conférence "Groupes agissant sur les espaces médians et apparentés" (financée par l'ANR GGAA). Voir la page de ces rencontres.