Séminaire "Variétés rationnelles"
Responsables : J.-L. Colliot-Thélène, P. Gille, D. Harari
2004 - 2005
Lieu
: E.N.S., D.M.A., 45 rue d'Ulm, 75005 Paris
Salle W, sous les toits
Séminaires et Groupes de travail au DMA
Vendredi 17 juin 2005
16h00-17h30
Jason Starr (Massachusetts Institute of Technology)
Rational 1-connectedness and rational points of varieties
over function fields
Résumé : In the same way that rational
connectedness is an analogue of path-connectedness, rational
1-connectedness is an analogue of simple-connectedness. For a
rationally 1-connected variety defined over the function field of a
complex surface, the Brauer obstruction should be the only obstruction
to existence of a rational point. I will discuss a joint theorem
with A. J. de Jong proving this under additional hypotheses.
Time-permitting, I will also discuss an application to the analogue of
weak approximation for varieties defined over the function field of a
curve.
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Vendredi 27 mai 2005
16h00-17h00
David Harari (C.N.R.S., Ecole Normale
Supérieure)
Quelques propriétés d'approximation faible
pour les corps d'invariants
Résumé : On discute la validité de
l'approximation faible et de l'approximation très faible
pour des variétés sur un corps de nombres, dont le
corps des fonctions est un corps d'invariants pour l'action d'un
groupe algébrique fini. On obtient notamment des
résultats pour des actions linéaires et des actions
multiplicatives.
17h30-18h30
Motivic decomposition and Rost nilpotence
Résumé : Denote M(Q) the Chow motive of a (projective)
quadric Q over a field k. Some years ago Rost proved that for any
field extension F/k the kernel of the natural map from End(M(Q))
to End (M(Q_F)) consists of nilpotent endomorphisms. This result,
called "Rost nilpotence", was generalized in a joint work with
Chernousov and Merkurjev to projective homogenous varieties of
semisimple algebraic groups. Another proof of this generalization
and even a further generalization has been given recently by
Brosnan. All these proofs rely on a decomposition of the motive
which generalizes Grothendieck's calculation of the motive of
projective space.
Vendredi 8 avril et Samedi 9 avril 2005
Vendredi 8 avril
16h00-17h00 et 17h30-18h30Vendredi 18 mars et Samedi 19 mars 2005
Vendredi 18 mars
16h00-17h00 et 17h30-18h30
Endre Szab'o (Institut Rényi, Budapest)
Severi-Brauer varieties
Severi-Brauer varieties are varieties over a field which are, over
the algebraic closure, isomorphic to a projective space. The most basic
example is a circle with radius -1 over the real numbers. The first
important result of the subject is Châtelet's theorem: a
Severi-Brauer variety is the projective space itself if and only if it
has a point. There is a strong connection between Severi-Brauer
varieties and central simple algebras. The traditional approach to
study these varieties is algebraic, but it might be interesting to
rethink the story in classical geometric terms.
Samedi 19 mars
9h30-10h30 et 11h-12h
Uwe Jannsen (Universität Regensburg)
Hasse principles for higher-dimensional fields
We prove a conjecture of K. Kato (Crelle's Journal 366 (1986)) on a
Hasse principle for the Galois cohomology of function
fields over number fields. This was announced some years
ago. It has finally been written down in a preprint. The results on the
cokernel heavily rely on methods of Gillet and Soulé on
motivic ``weight complexes". The same method reduces Kato's conjecture
over finite fields to resolution of singularities.
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Descente sur certaines courbes de Shimura
Ceci est un travail en commun avec Alexei Skorobogatov et Victor
Rotger. Dans cet exposé on va montrer comment
appliquer la descente à certains revêtements non
ramifiés de
courbes de Shimura et de leurs quotients d'Atkin-Lehner afin de
construire des contre-exemples au principe de Hasse expliqués
par l'obstruction
de Brauer-Manin.
16h-17h et 17h30-18h30
Laurent Moret-Bailly (Universit\'e de Rennes-I)
Courbes elliptiques et indécidabilité des corps
de fonctions
Si A est un anneau, le ``10e problème de
Hilbert pour A" est celui de l'existence d'un algorithme
décidant de l'existence d'un
zéro pour un polynôme dans A[X_1,...,X_n].
Pour A=Z un tel algorithme n'existe pas (Matijasevich, 1970). Pour A= Q
la question est ouverte.
On s'intéresse ici à l'indécidabilité (au
sens ci-dessus) d'un corps de fonctions K d'une variable (ou plus) sur
un corps k de caractéristique nulle. Lorsque K=k(t), elle a
été
prouvée par Denef (1978) si k est réel et par Kim et
Roush (1995) si k est un sous-corps d'un corps p-adique (p>2).
On montre ici que la méthode de Denef peut s'étendre aux
corps de
fonctions non transcendants purs (mais toujours transcendants):
- lorsque K est réel;
- lorsque k est un sous-corps d'un corps p-adique (p>2).
Par rapport à l'argument originel, l'ingrédient nouveau
est un théorème de R. Noot sur la variation du rang de
Hom(A_x,
B_x) o\`u A et B sont deux schémas abéliens sur un ouvert
U de
P^1 et où x parcourt les points rationnels de U.
Référence: preprint IRMAR 04-42, disponible en ligne sur
la page Oueb de l'auteur.
G. Berhuy (Université de Nottingham)
La dimension canonique des groupes algébriques
linéaires
On définit un invariant numérique des actions de
groupes algébriques appelé dimension canonique. Une
application de cette théorie est l'estimation du nombre
minimal de paramètres nécessaires pour définir l'
hypersurface générique de degré d.
17h30-18h30
Nikita Karpenko (Université de Lens)
Dimension canonique des groupes orthogonaux
On démontre que n(n+1)/2 est la dimension canonique des
groupes SO(2n+1) et SO(2n+2).
Samedi 15 janvier 2005
9h30-10h30
Kirill Zainoulline (Saint Pétersbourg et Bielefeld)
On the Norm Principle for Quadratic Forms
Dans ce travail en collaboration avec M. Ojanguren et I. Panin, on
généralise le principe de norme de Knebush sur le groupe
engendré par les valeurs d'une forme quadratique au cas d'un
espace quadratique défini sur un anneau semi-local. Ceci permet
d'établir pour les groupes spinoriels la conjecture de
Grothendieck sur la trivialité locale des torseurs.
11h-12h
Philippe GILLE (CNRS, Orsay)
Les espaces quadratiques rationnellement isotropes sont localement
isotropes (d'après I. Panin)
Some
remarks on the Brauer groups of K3-surfaces
We
discuss the geometry of the genus one fibrations associated to an
elliptic fibration on a K3 surface. We show that the two-torsion
subgroup of the Brauer group of a general elliptic fibration is
naturally isomorphic to the two-torsion of the Jacobian of a curve
associated to the fibration. We remark that this is related to
Recillas' trigonal construction. Finally we discuss the two-torsion in
the Brauer group of a general K3 surface with a polarisation of degree
two.
17h30
Ekaterina Amerik (Université Paris-Sud)
Un
pinceau de surfaces d'Enriques d'indice un sans section,
d'après
Jason Starr
En
utilisant des arguments de monodromie, et de déformation et
spécialisation, J. Starr montre
l'existence d'une surface d'Enriques sur le corps C(t),
sans point rationnel, mais possédant un
zéro-cycle de degré un.