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Séminaire "Variétés rationnelles"

Responsables : J.-L. Colliot-Thélène, P. Gille, D. Harari



2004 - 2005

Lieu :  E.N.S., D.M.A.,  45 rue d'Ulm, 75005 Paris
Salle W, sous les toits

Séminaires et Groupes de travail au DMA


Vendredi 17 juin 2005

16h00-17h30

Jason Starr (Massachusetts Institute of Technology)

Rational 1-connectedness and rational points of varieties over function fields

Résumé :  In the same way that rational connectedness is an analogue of path-connectedness, rational 1-connectedness is an analogue of simple-connectedness.  For a rationally 1-connected variety defined over the function field of a complex surface, the Brauer obstruction should be the only obstruction to existence of a rational point.  I will discuss a joint theorem with A. J. de Jong proving this under additional hypotheses. Time-permitting, I will also discuss an application to the analogue of weak approximation for varieties defined over the function field of a curve.

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Vendredi 27 mai 2005

16h00-17h00

David Harari (C.N.R.S.,  Ecole Normale Supérieure)

Quelques propriétés d'approximation faible pour les  corps d'invariants

Résumé : On discute la validité de l'approximation faible et de  l'approximation très faible pour des variétés sur un corps de nombres,  dont le corps des fonctions est un corps d'invariants pour l'action  d'un groupe algébrique fini. On obtient notamment des résultats pour des actions linéaires et des actions multiplicatives.


17h30-18h30

<> Stefan Gille (Mathematisches Institut der Universität München)

Motivic decomposition and Rost nilpotence

Résumé : Denote M(Q) the Chow motive of a (projective) quadric Q over a field  k. Some years ago Rost proved that for any field extension F/k the  kernel of the natural map from End(M(Q)) to End (M(Q_F)) consists of  nilpotent endomorphisms. This result, called "Rost nilpotence", was generalized in a joint work with Chernousov and Merkurjev to projective  homogenous varieties of semisimple algebraic groups. Another proof of this  generalization and even a further generalization has been given recently  by Brosnan. All these proofs rely on a decomposition of the motive which  generalizes Grothendieck's calculation of the motive of projective  space.

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Vendredi  8 avril  et Samedi 9 avril 2005

Vendredi 8 avril

16h00-17h00 et 17h30-18h30

Brendan Hassett (Rice University et Université Paris-Sud)

Weak approximation for rationally connected varieties over function fields
(joint with Yuri Tschinkel)

Let B be a smooth complex curve and X a variety smooth and proper over the function field C(B). Graber, Harris and Starr have shown that if X is geometrically rationally connected then the set X(C(B)) of rational points  is nonempty.  Building on work of Koll'ar, Miyaoka and Mori, we show that X satisfies weak approximation  at places of good reduction.
 

Samedi 9 avril

9h30-10h30 et 11h-12h

Antoine Ducros (Université de Rennes I)

Triangulations et cohomologie étale sur une courbe analytique

Soit k un corps ultramétrique complet et soit X une k-courbe
analytique au sens de Berkovich. On note X le site étale
correspondant, |X| l'espace topologique sous-jacent et \pi : X\to |X|
la flèche canonique. On va tout d'abord définir ce qu'est une 
triangulation de X, puis montrer comment utiliser cette notion pour
fabriquer un complexe (analogue à celui de Bloch-Ogus) qui calcule la
cohomologie des Rq\pi_{*}F lorsque  F est un
faisceau étale ``raisonnable". Ceci permettra d'établir un théorème de
comparaison entre ces groupes et leur version schématique lorsque X
est l'analytifiée d'une courbe algébrique ainsi que,  lorsque la
cohomologie de k admet elle-même un module dualisant, des
résultats de dualité qui mettent en jeu l'arithmétique des courbes
sur  \tilde{k}.


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Vendredi 18 mars  et Samedi 19 mars 2005

Vendredi 18 mars 

16h00-17h00 et 17h30-18h30

Endre Szab'o (Institut Rényi, Budapest)

Severi-Brauer varieties

Severi-Brauer varieties are varieties over a field which are, over the algebraic closure, isomorphic to a projective space. The most basic example is a circle with radius -1 over the real numbers. The first important result of the subject is Châtelet's theorem: a Severi-Brauer variety is the projective space itself if and only if it has a point. There is a strong connection between Severi-Brauer varieties and central simple algebras. The traditional approach to study these varieties is algebraic, but it might be interesting to rethink the story in classical geometric terms.

Samedi 19 mars

9h30-10h30 et 11h-12h

Uwe Jannsen  (Universität Regensburg)

Hasse principles for higher-dimensional fields

We prove a conjecture of K. Kato (Crelle's Journal 366 (1986)) on a Hasse  principle  for the Galois cohomology of function fields over number fields. This was announced   some years ago. It has finally been written down in a preprint. The results on the cokernel  heavily rely on methods of Gillet and Soulé on motivic ``weight complexes". The same method reduces Kato's conjecture over finite fields to resolution of singularities.


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Vendredi 11 février 2005

14h30-15h30

Andrei  Yafaev (University College London et Université Paris-Sud)

Descente sur certaines courbes de Shimura

Ceci est un travail en commun avec Alexei Skorobogatov et Victor Rotger. Dans cet exposé on va montrer comment appliquer la descente à certains revêtements non ramifiés de courbes de Shimura et de leurs quotients d'Atkin-Lehner afin de construire des contre-exemples au principe de Hasse expliqués par l'obstruction de Brauer-Manin.


16h-17h et 17h30-18h30

Laurent Moret-Bailly (Universit\'e de Rennes-I)

Courbes elliptiques et indécidabilité des corps de fonctions


Si  A  est un anneau, le ``10e problème de Hilbert pour  A" est celui de l'existence d'un algorithme décidant de l'existence d'un zéro pour un polynôme dans A[X_1,...,X_n].

Pour A=Z un tel algorithme n'existe pas (Matijasevich, 1970). Pour A= Q la question est ouverte.

On s'intéresse ici à l'indécidabilité (au sens ci-dessus) d'un corps de fonctions K d'une variable (ou plus) sur un corps k de caractéristique nulle. Lorsque K=k(t), elle a été prouvée par Denef (1978) si k est réel et par Kim et Roush (1995) si k est un sous-corps d'un corps p-adique (p>2).

On montre ici que la méthode de Denef peut s'étendre aux corps de
fonctions non transcendants purs (mais toujours transcendants):

- lorsque K est réel;

- lorsque k est un sous-corps d'un corps p-adique (p>2).

Par rapport à l'argument originel, l'ingrédient nouveau est un théorème de R. Noot sur la variation du rang de Hom(A_x, B_x) o\`u A et B sont deux schémas abéliens sur un ouvert U de  P^1 et où x parcourt les points rationnels de U.



Référence: preprint IRMAR 04-42, disponible en ligne sur la page Oueb de l'auteur.


16h-17h

G. Berhuy (Université de Nottingham)

La dimension canonique des groupes algébriques linéaires

On définit un invariant numérique des actions de groupes algébriques appelé dimension canonique. Une application de cette théorie est l'estimation  du nombre minimal de paramètres nécessaires pour définir l' hypersurface générique de degré d.

17h30-18h30

Nikita Karpenko (Université de Lens)

Dimension canonique des groupes orthogonaux

On démontre que n(n+1)/2 est la dimension canonique  des groupes SO(2n+1) et SO(2n+2).


Samedi 15 janvier 2005

9h30-10h30

Kirill Zainoulline (Saint Pétersbourg et Bielefeld)

On the Norm Principle for Quadratic Forms

Dans ce travail en collaboration avec M. Ojanguren et I. Panin, on généralise le principe de norme de Knebush sur le groupe
engendré par les valeurs d'une forme quadratique au cas d'un espace quadratique défini sur un anneau semi-local. Ceci permet d'établir pour les groupes spinoriels la conjecture de Grothendieck sur la trivialité locale des torseurs.

11h-12h

Philippe GILLE (CNRS, Orsay)

Les espaces quadratiques rationnellement isotropes sont localement isotropes (d'après I. Panin)

Soit R un anneau local régulier géométrique de corps des fractions K. Soit q une R--forme quadratique.
Si  q_K est une forme isotrope, on montre que q est isotrope.


Dates des séminaires suivants : vendredi 11 février (exposés de A. Yafaev et de L. Moret-Bailly)
puis vendredi 18 et samedi 19 mars (exposés de E. Szab'o et de U. Jannsen)



EXCEPTIONNELLEMENT (le 10 décembre) Institut Henri Poincaré, amphithéâtre Hermite


Vendredi 10 décembre 2004

14h30-15h30

B. Poonen (UC Berkeley et IHP)

The Brauer-Manin obstruction for curves

Scharashkin proved (roughly) that for a curve C over a number field k embedded in its Jacobian, the Brauer set C(Ak) Br equals the intersection C(Ak) \cap \overline{J(k)} where \overline{J(k)} is the closure of J(k) in J(Ak). I will present a proof of his result, and explain how he, Flynn, and Stoll have used it to determine C(k) explicitly for some specific curves.

16h-17h

A. N. Skorobogatov (Imperial College, London)

2-descente sur les courbes elliptiques et points rationnels sur certaines surfaces de Kummer (I)

17h30-18h30

Sir Peter Swinnerton-Dyer (Cambridge)

2-descent on elliptic curves and rational points on certain Kummer surfaces (II)

Résumé pour ces deux exposés :

On donne des conditions suffisantes pour que certaines surfaces de Kummer sur un corps des nombres satisfassent le principe de Hasse. Il s'agit de surfaces définies par une équation z2=f(x) g(y), où f et g sont des polynômes séparables de degré 4. Le but du premier exposé est de présenter le 2-groupe de Selmer d'une courbe elliptique comme le noyau d'une forme bilinéaire alternée, et de décrire la réduction du résultat principal à la 2-descente simultanée sur les tordues quadratiques z2=af(x) et u2=ag(y). Le deuxième exposé est consacré à la partie la plus délicate du preuve : s'assurer que les rangs des 2-groupes de Selmer des jacobiennes de ces deux courbes peuvent être réduits à 3.

Vendredi 19 novembre 2004

16h15

Yuri Tschinkel (Universität Göttingen)

Weak approximation over function fields (joint work with Brendan Hassett)

I will discuss the notion of weak approximation in the context of rationally connected varieties over function fields of curves.

17h30

Olivier Wittenberg (Université Paris-Sud)

Un analogue potentiel de l'hypothèse de Schinzel pour des polynômes à coefficients dans  Fq(t) (travail commun avec Andreas O. Bender)

Soient f1,..., fn des polynômes à coefficients dans Fp[t], en une variable, et satisfaisant quelques hypothèses techniques.  Nous établissons l'existence, pour tout s assez grand, d'éléments a et b de Fps tels que fi(at+b) soit un polynôme irréductible de Fps[t] pour tout i.



Vendredi 15 octobre 2004

16h15

Bert van Geemen (Université de Milan)

Some remarks on the Brauer groups of K3-surfaces


We discuss the geometry of the genus one fibrations associated to an elliptic fibration on a K3 surface. We show that the two-torsion subgroup of the Brauer group of a general elliptic fibration is naturally isomorphic to the two-torsion of the Jacobian of a curve associated to the fibration. We remark that this is related to Recillas' trigonal construction. Finally we discuss the two-torsion in the Brauer group of a general K3 surface with a polarisation of degree two.

17h30

Ekaterina Amerik (Université Paris-Sud)

Un pinceau de surfaces d'Enriques d'indice un sans section, d'après
Jason Starr


En utilisant des arguments de monodromie, et de déformation et spécialisation, J. Starr montre l'existence d'une surface d'Enriques sur le corps C(t), sans point rationnel, mais possédant un zéro-cycle de degré un. 



Vendredi 24 septembre 2004

16h

Boris Kunyavskii (Université Bar-Ilan et Université Paris-Sud)

Application de la géométrie arithmétique à la caractérisation des groupes finis résolubles

Le résultat principal caractérise les groupes résolubles finis en termes des identités en deux variables (comme les groupes nilpotents finis sont caractérisés par les identités d'Engel). La démonstration est un peu surprenante : on utilise non seulement les méthodes de la théorie des groupes finis mais aussi celles de la géométrie arithmétique, en particulier, les estimations de Weil pour les courbes singulières (Aubry-Perret) et leurs analogues en dimension arbitraire (Ghorpade-Lachaud) ; les estimations de Deligne des valeurs propres de Frobenius ; la formule des traces de Lefschetz conjecturée par Deligne et démontrée par Zink-Pink-Fujiwara ; les estimations des nombres de Betti $\ell$-adiques (Adolphson-Sperber, N. Katz). La plupart des calculs ont été effectués à l'aide des logiciels SINGULAR et MAGMA.
C'est un travail commun avec T. Bandman, G.-M. Greuel, F. Grunewald, G. Pfister et E. Plotkin.

17h30

Mathieu Florence (Université Paris-Sud)

Points rationnels sur les espaces homogènes et leurs compactifications

Soit k un corps de caractéristique nulle et G un groupe algébrique linéaire défini sur k. Soit X un G-espace homogène. Nous démontrons que si une compactification lisse de X possède un point k-rationnel alors il en est de même de X.