Séminaire
2000-01 - Séminaire 2001-02 -
Séminaire 2002-03
Séminaire "Variétés
rationnelles"
Responsables : J.-L. Colliot-Thélène,
P. Gille, D. Harari
2003 - 2004
Lieu : E.N.S., D.M.A., 45 rue d'Ulm, 75005
Paris
Salle W, sous les toits
Séminaires
et Groupes de travail au DMA
Vendredi 11 juin 2004
14h30
David Harari (C.N.R.S.-E.N.S.)
Sur l'arithmétique des variétés semi-abéliennes
Soit G une variété semi-abélienne sur un corps de nombres k.
On décrit l'adhérence de l'ensemble G(k) des points rationnels
de G dans le produit (sur tous les complétés kv
de k) des G(kv) à l'aide de l'ensemble
de Brauer-Manin de G.
16h
Régis de la Bretèche (Université de Paris-Sud-E.N.S.)
Nombre de points rationnels sur la cubique de Segre
Nous indiquerons quelques étapes de la preuve de la conjecture de
Manin concernant la densité des points rationnels dans le cas particulier de
la cubique de Segre.
17h30
Per Salberger (Universit é de Göteborg)
Counting rational points on hypersurfaces
We give estimates for the number of rational points of bounded height on various
classes of hypersurfaces. The proofs are based on Heath-Brown's determinant method
and arguments from algebraic geometry. The motivation for these estimates comes from
classical problems in analytic number theory like Waring's problem.
Vendredi 7 mai 2004
17h30-18h30
Fabien Morel (Institut de Mathématiques, Jussieu)
Complexes motiviques modulo 2 et invariants des formes quadratiques
Soit k un corps premier de caractéristique différente de 2. On se propose
de définir par récurrence sur n le n-ième invariant des formes quadratiques sur
les corps F extensions de k. Soient Lk
la catégorie des k-variétés lisses et Abk
la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur Lk
pour la topologie de Zariski. Outre une propriété géométrique élémentaire de
"rationalité" des complexes motiviques modulo 2, et une propriété non-triviale de ces
mêmes complexes, impliquée par les résultats de Voevodsky, notre construction n'utilise
que de l'algèbre homologique élémentaire dans Abk,
impliquant des faisceaux comme
la K-théorie de Milnor modulo 2 non ramifiée, ou les groupes de
Witt non ramifiés.
16h-17h
M. S. Raghunathan (TIFR, Mumbai)
The finite field case of the Grothendieck-Serre conjecture
on principal homogeneous spaces
In this talk I will outline a proof of the following
Theorem. Let k be a finite field and G a connected smooth algebraic
group over k. Let P be a principal G-bundle on Spec A
where A is a smooth geometric local algebra over k. Let K be
the field of quotients of A. Then P is trivial over Spec A
if and only if it is trivial over Spec K.
Let E be the algebraic closure of k and for a prime p, let
E(p) the subfield fixed by all Sylow subgroups of the Galois group
J of E over k other than the p-Sylow subgroup. Let
J(p) be the Galois group of E(p) over k -
it is a pro-p-group. Let B (resp. B(p)) be the
tensor product of A with E (resp. E(p)) over k.
By the results of Colliot-Thélène and Ojanguren P becomes trivial under the
base-change from k to E(p). Thus P corresponds to an
element u in the Galois cohomology set H1(J,
G(B)). In fact u belongs to the image of H1
(J(p),G(B(p))) for every prime p.
When G is unipotent, the theorem is trivial. Using the considerations
above one concludes that the theorem holds for tori. Using these facts one
reduces the problem to the case when G is connected, absolutely almost
simple and simply connected. For such G one has the following stronger
result: H1(J(2),G(B(2)) is trivial.
This is proved by an induction on dim G using the fact that G is
necessarily quasi-split.
14h30-15h30
J.-L. Colliot-Thélène (CNRS, Paris-Sud)
Résolutions flasques pour les groupes réductifs connexes
Soit k un corps. Tout k-groupe réductif connexe
G peut s'écrire comme un quotient G=H/S, où H
est un k-groupe extension d'un tore quasitrivial par un groupe semisimple
simplement connexe, et où S est un k-tore flasque, central dans H.
Ceci étend le cas bien connu où G est un k-tore (Sansuc et l'orateur,
Voskresenskii). De telles "résolutions" de G, qui remplacent
avantageusement les z-extensions, ont des propriétés d'unicité. Elles sont liées
aux torseurs universels sur les compactifications lisses de G. Elles
permettent d'éliminer le recours à l'hypercohomologie de complexes
de tores dans certains travaux de Borovoi.
Vendredi 9 avril 2004
17h30-18h30
François Loeser (Ecole Normale Supérieure, Paris)
Seuil log canonique, espaces de jets et applications
(d'après Mustata et de Fernex/Ein/Mustata)
L'interprétation du seuil log canonique, espaces de jets et applications
permet de démontrer aisément son caractère semi-continu et d'obtenir des bornes
intéressantes dans certains cas,comme celui des cônes
(travaux de Mustata et de de Fernex/Ein/Mustata).
On terminera l'exposé en expliquant brièvement comment de telles bornes permettent
à de Fernex, Ein et Mustata de démontrer la rigidité birationnelle des
hypersurfaces lisses de dimension d-1 et de degré d pour d compris entre 4 et 12.
16h-17h
Andrew Kresch (Warwick)
Arithmetic of del Pezzo surfaces of degree 2
This talk will focus on the Brauer-Manin obstruction for degree 2 del Pezzo surfaces
over the rational numbers given by an equation in a specific diagonal form.
Explicit group cohomology computations are used to describe all possible Brauer
groups for such surfaces. We will describe this computation and give some examples
where there is a Brauer-Manin obstruction to the Hasse principle.
Samedi 6 mars 2004
11h-12h
Etienne Fouvry (Université Paris-Sud, Orsay)
Egalité de sommes de trois puissances d-ièmes, d'après Browning et Heath-Brown
On présentera certaines des idées qui ont conduit Browning et
Heath-Brown à prouver que l'équation en nombres entiers positifs
x1d+x2d+x3d
=x4d+x5d+x6d
a, lorsque l'exposant d est suffisamment grand (d >25),
moins de solutions non triviales que de solutions triviales
(c'est-à-dire diagonales).
Ces idées viennent de la théorie des variétés rationnelles et de
la théorie analytique des nombres.
9h30-10h30
Joerg Bruedern (Universitaet Stuttgart)
Systems of diagonal forms
In this talk we shall describe recentprogress in the analytic theory of systemsof additive
equations. The Hardy-Littlewoodmethod provides a tool to establish a local-to-global
principle as well as weak approximation.
The new results mainly concern the number of
variables required for large systems of diagonal equations. Another direction that we have
investigated only recently is results for form "on average", say over the coefficients. It
transpires that interesting results can be obtained even for an additive form of degree k
in 4k variables.
Vendredi 5 mars 2004
17h30-18h30
Philippe Gille (CNRS Orsay et Institut Rényi, Budapest)
Extensions abéliennes et groupes algébriques linéaires
Dans un travail en collaboration avec V. Chernousov et Z. Reichstein, nous montrons qu'une forme
forte du 13-ième problème de Hilbert implique que la clôture abélienne d'un corps K
(contenant un corps algébriquement clos) est de dimension cohomologique < 1.
16h-17h
Jan van Geel (Université de Gand)
The Hasse principle for similarity of skew-hermitian forms
(joint work with T. Unger et D. Lewis)
The Hasse principle for similarity is considered for
skew-hermitian forms over quaternon division algebras over global fields with canonical
involution. There are counterexamples to show that the Hasse principle cannot hold for such
forms in general. These examples can be understood by considering an invariant introduced by
Bartels. Using this one can show that the Hasse principle holds for certain restricted classes
of skew-hermitian forms.
Samedi 7 février 2004
9h30-10h30
Mathieu Florence
Un exemple d'espace homogène sans point
rationnel mais possédant un 0-cycle de degré 1
Soit k un corps de caractéristique nulle. On expose une méthode de construction d'espaces homogènes
X/k sous un groupe linéaire réductif G/k possédant un 0-cycle de degré 1 mais pas de point rationnel.
Nous produisons en particulier un tel exemple X sur un corps de nombres ou un corps local, tel que X
soit une variété rationnelle. Ce travail répond négativement à une question récemment posée par B. Totaro.
11h-12h
Jean-Claude Douai
Obstruction de Brauer-Manin des gerbes
Nous montrons comment associer à une gerbe G définie sur un corps de nombres k, localement neutre
pour la topologie étale, et liée par un k-groupe algébrique H, une
obstruction de Brauer-Manin mH(G), mesurant comme dans le cas des k-variétés
le défaut de validité du principe de Hasse pour G. Lorsque H est fini, G peut être vue comme un champ
quotient [V/SLn], où V est un k-espace homogène de SLn avec
isotropie H (sur la clôture algébrique de k). Nous prouvons ensuite que l'obstruction de Brauer-Manin
est indépendante de la présentation V choisie. Si H est abélien ou connexe,
mH(G) est la seule obstruction au principe de Hasse, pour G comme pour V.
Mais dans le cas où H est fini non-abélien, nous montrons que mH(G)=mH(V)
n'est plus la seule obstruction, pour G comme pour V. Nos résultats sont étroitement liés à ceux
de M. Borovoi.
Vendredi 6 février 2004
16h-17h
Jean-Louis Colliot-Thélène
Groupe de Chow des zéro-cycles sur un groupe linéaire p-adique
Soit X une compactification lisse d'un groupe algébrique linéaire connexe sur
un corps k. Le groupe de Chow des zéro-cycles de degré zéro est un groupe de torsion, d'exposant fini.
Si k est un corps p-adique, on montre que la partie première à p de
ce groupe est finie.
17h30-18h30
Joost Van Hamel
Arithmétique et homologie pseudo-motivique des groupes linéaires et de leurs torseurs (travaux en cours avec
Mikhail BOROVOI)
Dans le calcul de l'homologie pseudo-motivique d'un groupe linéaire G (sur un corps de caractéristique zéro
quelconque) on retrouve le complexe de tores utilisé pour définir la cohomologie galoisienne abélianisée de G.
Ceci donne un nouveau point de vue sur les résultats de Sansuc sur l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse
et à l'approximation faible pour les compactifications des torseurs sous les groupes linéaires sur les corps de nombres.
On obtient aussi une construction facile de l'homomorphisme des points rationnels de G modulo R-équivalence
dans la cohomologie galoisienne en degré un du tore de Néron-Severi d'une compactification.
Vendredi 12 décembre 2003
17h30
David Bourqui (Grenoble)
Constante de Peyre des variétés toriques en caractéristique positive
Nous étudions la fonction zêta des hauteurs anticanonique d'une variété torique définie sur un corps global de caractéristique non
nulle, nous inspirant de la méthode de Batyrev et Tschinkel en caractéristique zéro, basée notamment sur des techniques d'analyse
harmonique. Nous expliquons en particulier pourquoi la comparaison entre le terme principal de cette fonction zêta et son interprétation
conjoncturale donnée par Peyre est rendue plus délicate dans notre situation.
16h
Marc Hindry (Paris 7)
Fibrations et conjecture de Tate pour les diviseurs
Il s'agit d'un travail en commun avec A. Pacheco puis avec R. Wazir. Nous décrivons le comportement du rang du groupe de
Mordell-Weil de la variété de Picard de la fibre générique d'une fibration en termes de contributions locales données par des
moyennes de traces de Frobenius agissant sur les fibres. Les énoncés fournissent une réinterprétation de la conjecture
de Tate (pour les diviseurs) et généralisent des résultats antérieurs de Nagao, Rosen-Silverman et des auteurs.
samedi 22 novembre 2003
11h-12h
David MADORE (Université Paris-Sud)
Approximation faible aux places de bonne réduction sur les
surfaces cubiques sur les corps de fonctions
Soit K le corps des
fonctions d'une courbe sur un corps algébriquement clos de
caractéristique 0, et X une surface cubique projective lisse sur
K. Nous prouvons un résultat d'approximation faible des points de
X(K) aux places de K où X a bonne réduction.
9h30-10h30
David HARARI (C.N.R.S., Ecole Normale Supérieure)
Descente non-abélienne et points rationnels
sur les surfaces d'Enriques
On présente ici un travail commun avec A. Skorobogatov. Dans une
première partie, on expliquera comment on peut dans certains cas
composer deux torseurs Z -> Y et Y -> X pour en obtenir un troisième
Z -> X. Dans une deuxième partie, on appliquera cette construction quand
X est une surface d'Enriques pour obtenir des exemples ou le groupe
structural du torseur Z -> X est non-abélien. Cela permet d'obtenir
des surfaces d'Enriques pour lesquelles l'obstruction de Brauer-Manin
à l'approximation faible n'est pas la seule.
vendredi 21 novembre 2003
17h30-18h30
Olivier WITTENBERG (Université Paris-Sud)
Le problème du support pour les variétés abéliennes (d'après Larsen)
On exposera la démonstration du théorème suivant, dû à Larsen.
Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres. Si P et
Q sont deux points rationnels de A tels que l'ordre de la
réduction de Q modulo p divise celui de la réduction
de P modulo p pour presque tout premier p,
il existe un endomorphisme de A envoyant P sur un multiple non nul
de Q. Ceci répond à une question de Corrales et Schoof.
15h30-17h (horaire spécial)
Sir Peter SWINNERTON-DYER (Cambridge)
2-descents on elliptic curves
The classical theory of 2-descent on elliptic curves of the
form Y2=(X-c1)(X-c2)(X-c3)
was considerably enhanced by Colliot-Thélène, Skorobogatov and me; in particular we proved a
hitherto unsuspected symmetry property. In this seminar I shall report
on joint work with Skorobogatov, in which we further improve these methods
and extend them to arbitrary elliptic curves. Applications include
results on the effect of twisting on the 2-Selmer group.
Samedi 18 octobre 2003
A 9h30 et 11h :
Philippe GILLE (CNRS, Orsay)
Conjecture de Bloch-Kato et cohomologie l-adique
Nous proposons une démonstration l-adique du théorème suivant de Suslin-Voevodsky.
Soient k un corps, l un premier inversible dans k et q un entier positif. Alors les
assertions suivantes sont équivalentes :
a) Le groupe Hq(F,Ql/Zl(q)) est divisible
pour tout corps F/k.
b) Pour toute extension de corps F/k, le symbole galoisien h: KMq(F)/l
-> Hq(F,\mul\otimes q) est bijectif.
c) Pour toute extension de corps F/k, le symbole galoisien h:
KMq(F)/l -> Hq(F,\mul\otimes q}) est
surjectif.
Vendredi 17 octobre 2003
16h-17h
Umberto ZANNIER (Venise)
Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups
Let A be a commutative algebraic group defined over a number field k. We consider the following question:
Let r be a positive integer and let P \in A(k). Suppose that for all
but finitely many v \in M_k we have P=rD_v for some D_v \in A(k_v).
Can we conclude that P=rD for some D \in A(k)?
The case A=G_m is classical; we study other instances and in particular we obtain an affirmative answer when
r is a prime and A is either an elliptic curve or a torus of "small" dimension (with respect to r)
or when r is a power of a prime >163 and A is an elliptic curve over Q. We also construct
counterexamples for primes r and tori of large dimension and for elliptic curves over Q and
r=4. All of this is joint work with R. Dvornicich.
17h30-18h30
J.-L. COLLIOT-THELENE (CNRS, Orsay)
Approximation faible pour les intersections de
quadriques en beaucoup de variables (d'après IM et LARSEN)
Soit X \subset Pnk une intersection
complète de quadriques sur le corps de nombres k. Dans un article récent, B-H. Im et M. Larsen
donnent des conditions suffisantes sur les quadriques de Pnk contenant X, vues sur
les divers complétés de k aux places archimédiennes, qui permettent d'établir
l'existence de points rationnels sur X, et mêle;me mieux : l'approximation faible (par rapport à
tout ensemble fini de places de k) vaut alors pour les points rationnels de X.