Séminaire "Variétés rationnelles"
Responsables : J.-L. Colliot-Thélène, P. Gille, D. Harari
2002 - 2003
Lieu : E.N.S., D.M.A., 45 rue d'Ulm, 75005
Paris
Salle W, sous les toits
Séminaires et Groupes de travail au DMA
Vendredi 25 avril 2003
17h30-18h30
C. WALTER (Univ. Nice)
Groupes de Witt de quadriques
On utilise des hélices et des équivalences de catégories
dérivées pour calculer les groupes de Witt d'une quadrique projective
lisse Q sur un corps de base k. Le morphisme naturel W(k)
-> W(Q) est surjectif si dim(Q) n'est pas un multiple de
4, et son noyau est l'image du morphisme d'oubli W(C0(Q))
-> W(k) des modules hermitiens sur l'algèbre de Clifford
paire. Ce noyau diffère souvent du noyau du morphisme composé
W(k) -> W(Q)-> Wnr(Q) vers
le groupe de Witt non ramifié.
16h-17h
B. TOTARO (Univ. Cambridge)
The Witt group of quadratic forms on a variety, and its relation to Chow
groups mod 2}
We exhibit a smooth complex affine 5-fold whose Witt group of quadratic forms
does not inject into the Witt group of the quotient
field. The dimension 5 is the smallest possible. The example depends on relating
Witt groups, mod 2 Chow groups, and Steenrod operations, based on the work of
Balmer, Walter, and Pardon.
14h30-15h30
D. SALTMAN (Univ. of Texas at Austin et Univ. cath. de Louvain-la-Neuve)
Field Invariants of the Trialitarian group
The connected component of the projective orthogonal group PO8+ has the unusual automorphism group S3 and so one can form the trialitarian group T = PO8+ \rtimes S 3. Associated to this group are so called trialitarian algebras, whose basic properties are a bit mysterious. Knus and Parimala began the study of the birational invariants F(V)T of this group, showing they form the base field of a so called generic trialitarian algebra. We begin by writing F(V)T as the multiplicative invariants of the Weyl group G = ((Z/2Z)4 \rtimes S4) \rtimes S3 with respect to a certain lattice YT, and show how this lattice codifies properties of trialitarian algebras. Along the way we show how lattices codify properties of components of trialitarian algebras, including central simple algebras and involutions.
Vendredi 14 mars 2003
17h30-18h30
W. RASKIND (University of Southern California et CNRS, Université Paris-Sud)
Gerbes et descente sur les surfaces simplement connexes (travail en commun avec
V. Scharaschkin)
Soit X une surface projective, lisse, géométriquement
simplement connexe sur un corps de nombres k. Nous proposons une
généralisation de la théorie de la descente de Colliot-Thélène
et Sansuc au cas où X est à genre géométrique
non nul. Nous en déduisons une partition, conjecturalement finie, de
l'ensemble des points rationnels de X, chaque ensemble de la partition
étant "couvert" par les points rationnels d'une gerbe. La théorie
de la descente essaie de décrire la géométrie et l'arithmétique
de ces gerbes et de les relier avec l'obstruction de Manin au principe de Hasse
et à l'approximation faible.
16h-17h
P. GILLE (CNRS, Université Paris-Sud)
Spécialisation de la R-équivalence pour les groupes algébriques
linéaires
Soit G/k un groupe algébrique linéaire connexe défini sur un corps k de carac\-téristique nulle. Alors la flèche naturelle G(k)/R -> G(k((t)))/R est un isomorphisme, c'est-à-dire que les groupes de R-équivalence sont les mêmes pour k et k((t)).
14h30-15h30
J.-L. COLLIOT-THÉLÈNE (CNRS, Université Paris-Sud)
Spécialisation des zéro-cycles (d'après J. Koll'ar)
Soit S le spectre d'un anneau de valuation discrète hensélien et X un S-schéma propre et lisse à fibre spéciale séparablement rationnellement connexe. La spécialisation de la fibre générique à la fibre spéciale induit un isomorphisme sur les classes de points rationnels modulo la R-équivalence, et elle induit un isomorphisme sur les groupes de Chow de zéro-cycles.
vendredi 7 février 2003
17h30-18h30
David HARARI (C.N.R.S. et E.N.S. Paris)
Compte-rendu de la conférence "Rational Points on Higher Dimensional
Varieties"
On fera le bilan des nouveaux résultats et problèmes ouverts abordés lors de la conférence de Palo Alto, en particulier autour des sujets suivants : points de hauteur bornée, méthode du cercle, obstruction de Brauer-Manin, arithmétique des variétés rationnellement connexes sur un corps de nombres ou de fonctions.
16h-17h
David MADORE (Université Paris-Sud)
Surfaces cubiques et corps de dimension cohomologique un
On donne un exemple de surface cubique sans point rationnel sur un corps de dimension cohomologique un (travail en commun avec J.-L. Colliot-Thélène).
14h30-15h30
Tamas SZAMUELY (Institut Rényi, Budapest, et Univ. Paris-Sud)
Théorème de dualité globale pour les 1-motifs
Cet exposé fait suite à celui de David Harari en décembre,
qui traitait le cas local. On présente un résultat qui généralise
la dualité de Tate globale pour les variétés abéliennes
et des résultats de Kottwitz sur les tores.
Vendredi 24 janvier 2002
17h30-18h30
Wayne Raskind (University of South California et Université de Paris-Sud)
Cycles sur les variétés définies sur un corps de degré de transcendance un (d'après Green, Griffiths, Paranjape)
Soit X une surface algébrique, projective et lisse sur un corps
algébriquement clos k de caractéristique nulle. Soit A0(X)
le groupe des 0-cycles de degré 0 modulo l'équivalence rationnelle.
Supposons que le degré de transcendance de k sur Q est
au moins 2. On sait (Mumford, Roitman, Bloch) que si X possède
une 2-forme
holomorphe non-nulle, alors l'application d'Albanese A0(X)->
Alb(X) n'est pas injective. Si le degré de transcendance de k
sur Q est 1, Schoen en 1985 a donné des exemples où l'application
d'Albanese n'est pas injective. Après avoir résumé le travail
de Schoen, on expliquera le résultat général qui vient
d'être obtenu par Green, Griffiths et Paranjape.
16h-17h
Yves André (C.N.R.S.- E.N.S.)
Cycles de Tate sur les variétés abéliennes sur les corps finis
La conjecture de Tate pour les variétés abéliennes sur les corps finis a été prouvée par Tate dès 1966 dans le cas de H2, mais reste ouverte en degré supérieur. Nous expliquerons l'énoncé et la preuve d'une variante affaiblie de cette conjecture, qui décrit néanmoins tout cycle de Tate "en termes de" cycles algébriques. Cette variante s'applique aussi bien aux produits de surfaces K3, de cubiques dans P5, etc... sur les corps finis.
14h30-15h30
Philippe Gille (C.N.R.S.- Université de Paris-Sud)
Torseurs sur la droite projective (d'après Mehta-Subramanian)
Nous présentons une preuve synthétique de la classification des
torseurs sur la droite projective sous un groupe réductif G défini
sur un corps quelconque, qui est fondée sur la filtration d'Harder-Narasimhan.
vendredi 6 décembre 2002
à 17h40
David Harari (C.N.R.S.-E.N.S.)
Dualité locale pour les 1-motifs
Soit K un corps p-adique. Dans un travail commun avec T. Szamuely, nous établissons un théorème de dualité pour la cohomologie galoisienne des 1-motifs sur K. Ce résultat englobe en particulier la dualité locale de Tate pour les variétés abéliennes, et de Tate-Nakayama pour les tores.
à 16h10
Alexander Schmidt (Université de Heidelberg)
Tame class field theory of arithmetic schemes
The talk explains recent progress in generalizing the unramified class field theory for arithmetic schemes of K. Kato and S. Saito to the relative case. We describe the abelianized tame (w.r.t. a divisor) fundamental group using the relative Chow group of zero-cycles.
à 14h40
Baptiste Calmès (Université de Paris 7)
SK2 d'une algèbre de biquaternions et cohomologie
galoisienne
vendredi 22 novembre 2002
à 17 h 30
E. Peyre
Cohomologie non ramifiée et problème de Noether
Si G est un groupe et W une représentation fidèle de G sur C, le groupe G agit sur le corps C(W) et on s'intéresse à la rationalité du corps des fonctions invariantes C(W)G. Saltman et Bogomolov ont obtenu des exemples où ce corps n'est pas rationnel en utilisant comme invariant le groupe de Brauer non ramifié. Le but de cet exposé est de décrire une méthode pour construire des exemples de groupes G pour lesquels ce groupe de Brauer non ramifié est nul, mais le groupe de cohomologie non ramifiée de degré trois est non nul. En particulier, un tel corps n'est pas stablement rationnel sur C.
à 16 h
N. Karpenko
Dimension essentielle des quadriques
Soit X/F une quadrique projective anisotrope. La dimension essentielle
de X, définie par Oleg Izhboldin, est esdim(X) = dim(X)
- i(X)+1, où i(X) est le premier indice de Witt
de X. Soit Y/F une variété complète (éventuellement
singulière) dont tous les points fermés sont de degrés
pairs et telle que Y a un
k(X)-point de degré impair. Le résultat principal
est que esdim(X)< dim(Y); de plus, si esdim(X)=
dim(Y), alors la quadrique X devient isotrope sur k(Y)
(travail en commun avec A. Merkurjev).
Samedi 26 octobre 2002
à 9h30-10h30
Olivier Wittenberg (ENS Ulm)
La conjecture de Tate pour certaines surfaces K3 sur un corps fini, d'après Artin et Swinnerton-Dyer
On exposera les grandes lignes de la démonstration d'Artin et Swinnerton-Dyer (1973) de la conjecture de Tate pour les surfaces K3 admettant un pinceau de courbes elliptiques.
Samedi 26 octobre 2002
à 11h-12h
Hélène Esnault (Université d'Essen)
Groupes de Chow et points rationnels de variétées projectives déefinies sur un corps fini
Nous montrerons comment le théorème géométrique de Campana et Kollar-Miyaoka-Mori sur la connectivité rationnelle par chaînes en car. p et la décomposition de la diagonale introduite par S. Bloch impliquent l'existence de points rationnels.
Vendredi 25 octobre 2002
Bruno Kahn (CNRS, Université Paris 7)
à 16h-16h50
Equivalences rationnelle et numérique sur certaines variétés
abéliennes sur un corps fini, I
à 17h10-18h
Equivalences rationnelle et numérique sur certaines variétés abéliennes sur un corps fini, II
Nous démontrons que l'équivalence rationnelle et l'équivalence numérique coïncident sur certaines variétés abéliennes (ou plus généralement sur certaines variétés projectives lisses "de type abélien") sur un corps fini, par exemple sur un produit de courbes elliptiques. Ceci est la première confirmation d'une conjecture générale de Beilinson au-delà de la codimension 1. Nous en tirons quelques conséquences : conjectures de Lichtenbaum sur les valeurs spéciales de la fonction zêta d'une telle variété aux entiers positifs, génération finie du deuxième groupe de Chow, conjecture de Beilinson-Soulé pour certains corps de fonctions...