Lieu :  E.N.S., D.M.A.,  45 rue d'Ulm, 75005 Paris

Séminaires et Groupes de travail au DMA

Vendredi 7 juin 2002

à 17h30-18h30

J.-L. Colliot-Thélène (CNRS, Université de Paris-Sud)

Exposant et indice des algèbres simples centrales sur un corps de fonctions de deux variables, d'après J. A. de Jong

Soit K le corps des fonctions d'une surface définie sur un corps algébriquement clos. De Jong vient de montrer que pour toute algèbre simple centrale A sur K, d'exposant premier à la caractéristique, l'indice de A coïncide avec l'exposant de la classe de A dans le groupe de Brauer de K. On exposera les grandes lignes de sa démonstration.

Vendredi 7 juin 2002

à 16h-17h

David Harari (CNRS, Ecole Normale Supérieure)

Compactification équivariante d'un tore

Soient k un corps et T un k-tore algébrique. Dans un travail en collaboration avec J.-L. Colliot-Thélène et A. N. Skorobogatov, nous reprenons des idées de Brylinski et Künnemann pour établir l'existence d'une compactification équivariante lisse de T.

Vendredi 7 juin 2002

à 14h30-15h30

Timothy Browning (Réseau AAG, Université de Paris-Sud)

Counting rational points on blow-ups of P² along four points

Among some of the more recent verifications of Manin's conjecture for the asymptotic distribution of rational points on open subsets of Fano varieties, is the treatment of split del Pezzo surfaces V of degree 5, by de la Bretèche. The technique of passing to the universal torsor above V - as initiated by Salberger and Peyre in this context - is a fundamental step in the proof. We discuss limitations of the method for blow-ups of the plane P² along points defined over more general number fields, although we show that it can still be used to give reasonable evidence for the above conjecture in an array of cases.

Vendredi 26 avril 2002

à 17h30

Antoine CHAMBERT-LOIR (Ecole polytechnique)

Points rationnels des variétés de Fano sur les corps finis [d'après M. Kim]

J'exposerai la démonstration d'un théorème réecent de M. Kim selon lequel une variété de Fano (i.e. projective lisse, de fibré
anticanonique ample) sur un corps fini possède un point rationnel. Cela généralise le théorème classique de Chevalley-Warning
qui concerne le cas d'une hypersurface. La démonstration repose sur l'étude des pentes de l'action de Frobenius sur la cohomologie cristalline de la variété considérée, et sur un théorème d'annulation en cohomologie de de Rham-Witt.

Vendredi 26 avril 2002

à 16 h

Janos KOLLAR (Institut Rényi Budapest, et Université de Princeton)

Rationally connected varieties over finite fields (joint work with Endre Szabo)

We prove that if X is a separably rationally connected variety over a finite field F of cardinal q and q is big enough (depending only on the dimension of X and the degree of X under some embedding) then through any two F-points of X there is a rational curve defined over F. As a consequence we get that R-equivalence is trivial for big enough q and the Chow group of zero cycles is trivial for any q (Kato-Saito). Both results can be lifted to separably rationally connected varieties over local fields with good reduction.

Samedi 9 mars 2002

à 11h

Jean-Pierre TIGNOL (Université de Louvain la Neuve)

Invariant de Rost sur les torseurs définis par un cocycle central (travail en commun avec A. Merkurjev et R. Parimala)

Pour tout groupe algébrique absolument simple, simplement connexe G sur un corps F, Rost a défini un invariant des torseurs sous G à valeurs dans le groupe de cohomologie H³(F,Q/Z(2)). Le but de cet exposé est de donner une description explicite de cet invariant pour les torseurs induits du centre de G, lorsque G est de type A_n ou D_n. Comme application, on montre que les multiplicateurs des similitudes unitaires satisfont une relation qui fait intervenir l'algèbre discriminante.

Samedi 9 mars  2002

à 9h30

Claus SCHEIDERER (Université de Duisbourg)

Tori over function fields of p-adic curves

Let C be a connected, smooth,  projective curve over a p-adic field, and let K be its function field. Let T be a torus over K. Applying duality results for the cohomology of tori over open subcurves of C (obtained in joint work with van Hamel), we relate the Galois cohomology of T over K to the Galois cohomology of T over the completions of K in the closed points of C. In the second part we sketch how the reciprocity law for H³(K,Q/Z(2)) can be used to define an obstruction to the existence of rational points, or to weak approximation, for smooth rational K-varieties X (which have points locally). This obstruction is the only one when X is a K-torus, respectively a principal homogeneous space under a K--torus.

Vendredi  8 mars 2002

à 17h30

Laurent MORET-BAILLY (Université de Rennes)

R-équivalence de torseurs: retour sur un théorème de Gille

Soient G un groupe fini  et K un corps local non archimédien dont la caractéristique résiduelle ne divise pas l'ordre de G. Selon un théorème récent de Philippe Gille (J. Number Theory 91, 284-292(2001)), tout G-torseur sur K est R-équivalent au torseur trivial. La preuve utilise un dévissage galoisien et un calcul de cocycles.  L'objet de l'exposé est, en exprimant l'argument en termes géométriques (en gros, les bitorseurs remplacent les cocycles), d'en préciser le domaine de validité et les généralisations possibles. Référence: prépublication IRMAR n° 02-05, disponible sur http://www.maths.univ-rennes1.fr/~moret

Vendredi  8 mars  2002

à 16h

Frédéric CAMPANA (Université de Nancy)

Théorème de Tsen et fibrations en variétés de Fano sur une courbe (en collaboration avec T. Peternell et A. Pukhlikov)

On montre qu'une fibration projective complexe sur une courbe a une section si la fibre générique est une variété de Fano de dimension 3. La démonstration repose sur la classification des variétés de Fano de dimension 3 et des variantes du théorème de Tsen.

Samedi 16 février  2002, Salle W

à 11h

David HARARI (C.N.R.S.-E.N.S.)

Principe de Hasse pour certaines équations normiques  (travail commun avec J.-L. Colliot-Thélène et A.N. Skorobogatov)

Soient k un corps de nombres et K/k une extension finie de corps.  On considère l'équation P(t)=N_K/k(z), où P  est un polynôme, z est une K-variable, et
N_K/k désigne la norme de K à k. Dans cet exposé, on  étudie le groupe de Brauer d'un modèle projectif et lisse de cette  équation, et on en déduit des applications arithmétiques  qui généralisent des résultats de Heath-Brown et Skorobogatov.
 

Samedi 16 février  2002, Salle W

à 9h30

Olivier DEBARRE (Université de Strasbourg)
 

Familles de variétés rationnellement connexes en toute  caractéristique (d'après de Jong et Starr)

En caractéristique positive, ce n'est pas la connexité rationnelle telle qu'elle est définie ci-dessus qui est la "bonne" notion, mais plutôt
l'existence d'une courbe rationnelle très libre. On dit alors que la variété est séparablement rationnellement connexe. On expliquera la
démonstration du résultat suivant de de Jong-Starr (valable sur tout corps algébriquement clos) : un morphisme propre d'une variété normale sur une
courbe lisse dont les fibres générales sont séparablement rationnellement connexes a une section. En d'autres termes, toute variété définie sur un corps de fonctions, propre, normale et séparablement rationnellement connexe, a un point rationnel sur ce corps}. On en déduit par exemple qu'une variété séparablement rationnellement connexe est algébriquement simplement connexe.

Vendredi  15 février  2002, Salle W

à 17h30

David MADORE (Université d'Orsay)
 

R-équivalence sur les surfaces cubiques
 

Pour une variété X projective, lisse, géométriquement rationnellement connexe, ayant bonne réduction, sur un corps
p-adique k, on s'intéresse notamment à la question de savoir si le quotient X(k)/R des points rationnels par la R-équivalence, est trivial.  Le cas d'étude le plus simple semble être celui des hypersurfaces cubiques, pour lesquelles l'existence de nombreux automorphismes birationnels permet de construire des familles de courbes rationnelles.  Grâce aux résultats de Swinnerton-Dyer qui traitent le cas des corps finis, on est ramené à des arguments de déformation de la R-équivalence.  Malheureusement, la nécessité de travailler avec des corps résiduels infinis ne permet in fine que d'obtenir une réponse complète pour les groupes de Chow, c'est-à-dire de l'équivalence rationnelle et non de la R-équivalence.

Vendredi  15 février 2002, Salle W

à 16h :

Olivier DEBARRE (Université de Strasbourg)
 

Familles de variétés rationnellement connexes  complexes  (d'après Graber et al.)

Une variété définie sur un corps algébriquement clos non dénombrable est rationnellement connexe si deux points généraux peuvent être reliés par
une courbe rationnelle. Si la variété est lisse, c'est équivalent à l'existence d'une courbe rationnelle "très libre", c'est-à-dire dont le fibré normal est ample. On expliquera la démonstration du résultat suivant de Graber-Harris-Starr : un morphisme propre d'une variété complexe sur une courbe lisse dont les fibres générales sont rationnellement connexes a une section. En d'autres termes, toute  variété définie sur un corps de fonctions complexe, propre et rationnellement connexe, a un point rationnel sur ce corps.
 

9h30

Anne QUÉGUINER-MATHIEU (Université Paris 13)

Algèbres de Clifford et algèbre discriminante

Soit (A,\sigma) une algèbre centrale simple munie d'une involution de type orthogonal. Si A contient un élément anti-symétrique de carré central, son centralisateur est muni d'une involution de type unitaire. Dans un travail commun avec Jean-Pierre Tignol, on montre que l'algèbre discriminante de l'involution unitaire est alors un "facteur direct" de l'algèbre de Clifford de l'involution orthogonale. Au cours de cet exposé, je présenterai une nouvelle preuve de ces résultats, due à un travail commun avec Skip Garibaldi, qui utilise les représentations des groupes algébriques.

11h

Thomas UNGER (Université de Dublin)

Hasse principles for algebras with involution: a survey

The connection between orthogonal involutions and quadratic forms has lately been a motivation for extending results from the algebraic theory of quadratic forms to the realm of central simple algebras with involution. For example, the classical invariants of quadratic forms have been defined for algebras with involution and classification theorems à la Elman and Lam have been obtained by Lewis and Tignol. In this talk I will discuss the extension of some well-known quadratic form theoretic Hasse principles to the setting of algebras with involution.

Vendredi  11 janvier 2002, salle W

16h

Nikita KARPENKO (Université d'Artois)

Critères d'Izhboldin d'équivalence birationnelle stable des quadriques projectives de dimension 7

On démontrera les résultats annoncés dans le § 4 de  http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~oleg/iso789.dvi. Les dimensions <6 seront aussi discutées ainsi que le reste de l'annonce citée.  L'ingrédient principal des démonstrations est le calcul de certaines correspondances de Chow sur les quadriques.

17h30

Ahmed LAGHRIBI (Université de Louvains la Neuve)

Le déploiement des formes quadratiques en caractéristique 2

Cet exposé concerne la théorie générique des formes quadratiques en caractéristique 2. En parallèle à la caractéristique différente de 2, on commence par établir certaines généralisations (le théorème de la sous-forme, simplification de Witt, etc). Après cela, on applique nos résultats pour étudier la tour de déploiement générique d'une forme quadratique. D'autres résultats et questions seront discutés.
 

Samedi 24  novembre, salle Henri Cartan (niveau -2, même batiment que la bibliothèque de mathématiques)

9h30-10h30

Kirill ZAINOULLINE  (Saint-Pétersbourg et I.H.E.S.)

The Purity problem for functors with transfers

The talk is devoted to the purity problem for functors endowed with a structure of transfer map. Namely, let R be a local regular ring of geometric type and let F be a covariant functor from the category of R-algebras to abelian groups that has a structure of transfer map.
We prove that purity holds for the functor F. Applying this general result to different examples of functors, we obtain new uniform proofs of known results, as well as new versions of purity.

11h-12h

Grégory BERHUY et Marina MONSURRO (E.P.F. L., Lausanne)
 

Le discriminant d'une involution symplectique

Le but de cet exposé est d'étudier l'invariant de Rost associé aux groupes symplectiques, que nous appelons discriminant. Nous montrons comment  écrire cet invariant en termes de formes trace restreintes, et comment sa trivialité nous donne un critère de décomposabilité pour une algèbre à involution symplectique. Finalement, en utilisant le discriminant, nous construisons un exemple d'un groupe symplectique d'indice pair qui n'est pas R-trivial.

Vendredi 23 novembre, salle Samuel Beckett (rez-de-chaussée, à droite en partant du hall)
 

16h-17h

Jean-Pierre SERRE (Collège de France)

Torsion homologique et sections rationnelles, d'après A. Grothendieck

Référence : A. Grothendieck, Séminaire Chevalley, ENS 1958, exposé 5
 

17h30-18h30

Philippe GILLE (C.N.R.S., Orsay)

Torsion de E₈, d'après B. Totaro

On montre que tout groupe de type E₈ défini sur un corps k se déploie sur une extension séparable finie de degré divisant 2⁶.3².5. Ceci améliore la borne 2⁹.3³.5 de Tits et on s'attend à ce que le degré 2⁶.3².5 soit optimal.

Samedi 13 octobre 2001, salle Henri Cartan (niveau -2, même bâtiment que la bibliothèque de mathématiques)
 

9h30-10h30

Sir Peter SWINNERTON-DYER (Cambridge)

Rational points on certain Kummer surfaces

Most of this seminar represents joint work with Alexei Skorobogatov. Let E₁,E₂ be elliptic curves defined over an algebraic number field k, and let F_i:y_i²=f_i(x_i) with f_i quartic be a 2-covering of E_i. Then V:y²=f₁(x₁)f₂(x₂) is a Kummer surface associated with the Abelian surface E₁ x E₂. In the special case when E₁ and E₂ have all their 2-division points defined over k, I shall show that the Hasse Principle holds for V provided that

(i) the Tate-Safarevi\v{c} groups of all the twists of E₁ and  E₂ are finite,

(ii) a certain rather weak technical condition holds.

Here (i) is necessitated by the method of proof, but it is generally believed to be true; (ii) can be shown to be strictly stronger than the true necessary and sufficient condition, which is conjectured to be the absence of a Brauer-Manin obstruction. Note that Schinzel's Hypothesis does not appear. The methods used have much in common with those used for diagonal cubic surfaces a₀X₀³+a₁X₁³+a₂X₂³+a₃X₃³=0 but some stages of the argument for the latter are much more complicated. Comparisons will be made between the two.
 

11h-12H

David HARARI (CNRS, École Normale Supérieure)

Torseurs sur une variété ouverte
 

Soient X une variété projective et lisse sur un corps de nombres k et U un ouvert de Zariski de X. Soit Y un U-torseur sous un k-groupe fini commutatif S. Pour les complétés k_v de k, on étudie l'image de l'application d'évaluation U(k_v) -> H¹(k_v,S) associée à Y. On en déduit dans certains cas la densité de l'ensemble de Brauer-Manin de U dans celui de X.

Vendredi 12 octobre 2001, Salle W (3ème étage, toits du DMA ; pour ceux qui le souhaitent, guide disponible à 15h45 dans le hall de l'E.N.S.)

16h-17h

Ofer GABBER (CNRS, IHES)

A presentation lemma and rationally trivial torsors on varieties over finite fields

We discuss how to prove, over finite fields, the following statement : If X is  a smooth affine variety over k, G a reductive  k-group scheme and P a  rationally trivial G-torsor on X, then P is trivial over  every semi-local ring of X.
 

17h30-18h30

Bruno KAHN  (CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu)

Cohomologie étale de variétés sur F_p et Q_p

On montre la finitude de Hⁱ_et(X,(Q/Z)'(n)) pour X schéma de type fini sur F_p  ou Q_p, où (Q/Z)'(n) est la somme, pour l différent de p, des Q_l/Z_l(n), pour certaines valeurs du couple (i,n).  Dans le cas où X est projective lisse sur un corps p-adique K, on en déduit l'annulation de H⁰(K,Hⁱ(\bar X,Q_l(n))) pour certaines valeurs de (i,n) (l différent de p). Cela démontre une partie d'une conjecture de Jannsen, mais le domaine d'annulation obtenu n'est pas inclus dans celui conjecturé par Jannsen. Par ailleurs, la conjecture de Jannsen ne prédit aucune autre annulation des groupes Hⁱ(X,Q_l(n)) que celles que nous obtenons.