Lieu :  Salle Jean-Louis Verdier (passage vert, au rez-de-chaussée),

Ecole Normale Supérieure,45 rue d'Ulm, 75005 Paris

Séminaires et Groupes de travail au DMA
 

17h-18h20

Alexei SKOROBOGATOV (Londres)

Une combinaison de la descente avec la m\'ethode du cercle
dans l'étude des points rationnels

La méthode du cercle de Hardy-Littlewood et la méthode de la descente sont deux techniques classiques dans l'étude des points rationnels des variétés algébriques. Chacune a ses limites. Dans l'exposé, portant sur un travail commun avec R. Heath-Brown, on montre comment la méthode du cercle s'applique aux torseurs universels attachés aux varétés d'équation tⁿ.(1-t)^m=N(x₁,...,x_d), où N est la forme homogène de degré d d\'efinie par la norme d'une extension de degré d du corps des rationnels.

Vendredi 15 juin 2001

15h30-16h30

Bjorn POONEN (Berkeley)

Bertini theorems over finite fields

One form of Bertini's theorem states that if X is a smooth projective  variety of dimension m in projective space Pⁿ over an infinite field k, then there exists a hyperplane H defined over k such that the intersection of X and H is smooth of dimension m-1.  This can fail if k is finite.  Katz asked whether the statement would remain true if "hyperplane" were changed to "hypersurface".  We give an affirmative answer.  In fact, as d tends to infinity, the fraction of hypersurfaces of degree d that are good tends to a positive number related to a special value of the  zeta function of X.
    A generalization of our result answers another question of Katz, about "space filling curves" :  if X is a smooth projective variety of dimension m>1 over a finite field k, does there exist a smooth
projective curve Y over k in X with Y(k)=X(k) ?

Samedi 19 mai 2001

11h-12h

R. PARIMALA (TIFR, Mumbai)

Torsors under linear algebraic groups over two dimensional henselian fields

Let A be an integral, henselian local ring, with algebraically closed residue field. Let
K be the field of fractions of A. An example is the field K=C((x,y)). In joint work with Colliot-Thélène and Ojanguren,  we have studied central simple algebras and quadratic forms over such a field K. That work will be reviewed. Natural extensions of the results to homogeneous spaces under arbitrary linear algebraic groups will be discussed.

Samedi 19 mai 2001

9h30-10h30

Joost van HAMEL (Sydney)

Théorèmes de dualité pour les tores sur les courbes p-adiques

Un résultat bien connu de Lichtenbaum dit que le groupe de Picard d'une courbe projective lisse sur une extension finie du corps des nombres p-adiques est dual du groupe de Brauer de la courbe. J'exposerai une généralisation de cette dualité à la cohomologie d'une courbe non nécessairement projective, à coefficients dans un tore arbitraire. (Travail commun avec C. Scheiderer)

Vendredi 18 mai 2001

17h-18h

Joost van HAMEL (Sydney)

Homologie pseudo-motivique, dualité de Tate-Lichtenbaum et zéro-cycles sur les corps locaux

L'homologie pseudo-motivique est une théorie d'homologie pour les variétés algébriques que j'ai construite pour donner un bon cadre à l'accouplement entre les zéro-cycles et le groupe
de Brauer sur un  corps local. Je donnerai sa d\'efinition et ses principales propriétés, et je discuterai comment l'obstruction de Brauer-Manin au principe local-global pour les classes de zéro-cycles
s'interprète de ce point de vue.

Vendredi 18 mai 2001

15h30-16h30

Louis MAHÉ (Rennes)
 

Variations sur le théorème de Cassels, Ellison et Pfister (sommes de carrés et courbes elliptiques)

Cassels, Ellison et Pfister ont démontré que le polynôme de Motzkin, qui par ailleurs n'est pas somme de carrés de polynômes, n'est pas une somme de 3 carrés dans R(X,Y) (bien que
somme de 4 carrés de fractions rationnelles). La méthode consiste à montrer qu'une certaine R(X)-courbe elliptique n'a pas de R(X)-point rationnel d'un certain type. Utilisant des variantes de leurs techniques, nous produisons des familles de polynômes du type (Y²+a(X))(Y²+b(X)) qui sont sommes de 4 carrés de polynômes, mais pas sommes de 3 carrés de fractions rationnelles. (Collaboration avec O. Macé)

Samedi 28 avril 2001 : Trois exposés, HORAIRE INHABITUEL

9h15-10h15

Philippe GILLE (CNRS, Orsay)

L'invariant de Rost

Nous définissons l'invariant de Rost H¹(k,G) -> H³(k,Q/Z(2)) selon Kahn-Esnault-Levine-Viehweg en utilisant la cohomologie étale de poids 2 de Lichtenbaum. On décrira la fonctorialité par changement de groupe, ainsi qu'une simplification d'un théorème de Tits disant que les seuls sous-groupes connexes d'un groupe "générique" de type E₈ sont les tores maximaux.

10h30-11h30

Emmanuel PEYRE (Université de Grenoble 1)

Troisième groupe de cohomologie non ramifiée des espaces classifiants des groupes simplement connexes (d'après Merkur'ev), I

11h45-12h45

Antoine DUCROS (Université de Rennes 1)

Troisième groupe de cohomologie non ramifiée des espaces classifiants des groupes simplement connexes (d'après Merkur'ev), II

Résumé des deux exposés : Si G est un groupe algébrique sur un corps F et \rho un plongement de G dans SL_n,F, on peut considérer le quotient X_\rho de SL_n,F par l'image de \rho. A isomorphisme stable près, le corps de fonctions de X_\rho ne dépend que de G et les groupes de cohomologie non ramifiée de F(X_\rho) sont donc indépendants du choix de \rho. Merkur'ev a récemment donné une description explicite de ces groupes de cohomologie en degré trois pour les groupes simples simplement connexes de type classique.

L'objectif de ces deux exposés est de présenter la méthode de Merkur'ev en l'illustrant par le cas des groupes de type A_n.

Vendredi 27 avril 2001 à 15h30-16h30

Boas EREZ (Université de Bordeaux 1)

Invariants de formes bilinéaires symétriques sur les schémas, I

à 17h-18h

Philippe CASSOU-NOGUÈS (Université de Bordeaux 1)

Invariants de formes bilinéaires symétriques sur les schémas, II

Résumé des deux exposés : Nous passons en revue les éléments de la théorie des formes bilinéaires symétriques sur les schémas (sur lesquels 2 est inversible) et nous rappelons comment définir des invariants pour de telles formes, suivant Jardine. Puis nous indiquons comment étendre les définitions au cadre des complexes bornés de faisceaux localement libres symétriques en utilisant les récents travaux de Balmer et Walter. Pour terminer nous montrons comment obtenir à l'aide des notions introduites une généralisation de formules dues à Serre et Esnault-Kahn-Viehweg calculant les invariants de la forme trace attachée à un revêtement de schémas modérément ramifié et à ramification impaire.

Samedi 24 février 2001 à 9h30-10h30

Philippe GILLE (CNRS, Orsay)

Courbes elliptiques de rang arbitrairement grand sur les corps de fonctions

Nous exposons les exemples classiques (1967) de Tate et Shafarevich de courbes elliptiques sur F_p(t) de rang arbitrairement grand.

à 11h-12H

Philippe SATGÉ (Univ. de Caen)

Groupes de Tate-Shafarevich : exemples sur les courbes elliptiques

On fera le point sur les méthodes permettant de construire des éléments de torsion 2-primaire ou 3-primaire dans le groupe de Tate-Shafarevich d'une courbe elliptique. Que ce groupe puisse être arbitrairement grand (sur Q) a été prouvé par Cassels en 1964. C'est une conséquence relativement facile des propriétés de l'accouplement de Cassels-Tate. On peut facilement imaginer une autre approche pour prouver que ce groupe est arbitrairement grand : il suffit de calculer les groupes de Selmer associés à deux isogénies distinctes telles que l'une donne un petit groupe de Selmer, et l'autre un grand. Curieusement, cette méthode, beaucoup plus élémentaire, n'a été utilisée qu'assez récemment, avec des isogénies de degré 2 et 4 (Cassels et Lemmermeyer), alors qu'il est facile de la faire fonctionner avec des isogénies classiques pour lesquelles le calcul du groupe de Selmer est facile (c'est le cas des isogénies de degré 2 et 4 utilisées par Cassels et Lemmermeyer, mais aussi de très classiques isogénies de degré 3).

Vendredi 23 février 2001 à 15h30-16h30

David HARARI (CNRS, École Normale Supérieure)

Exemples de calculs de groupes de Tate-Shafarevitch (d'après Poonen et Stoll)

Soit A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k. En utilisant plusieurs définitions de l'accouplement de Cassels-Tate sur A, Poonen et Stoll ont construit des exemples où cet accouplement n'est pas alterné. Ils ont en particulier exhibé explicitement une jacobienne dont le cardinal du groupe de Tate-Shafarevich n'est pas un carré. On exposera ici quelques-uns de leurs résultats.

à 17h-18h15

Tom FISHER (Univ. de Cambridge, G.-B.)

On 5 and 7 descents for elliptic curves

We consider descent calculations for the families of elliptic curves over Q with a rational point of order 5 or 7. We exhibit explicit elements of the Tate-Shafarevich group, and discuss how the Cassels-Tate pairing may be used to improve our estimates for the Mordell-Weil rank.

Samedi 13 Janvier 2001 à 11h-12h

Philippe Gille (Orsay)

R-équivalence pour les G-torseurs sur les corps locaux non archimédiens

Soient G un groupe fini et k un corps p-adique avec p ne divisant pas l'ordre de G. Si G\subset GL_n est une représentation fidèle, la variété U=GL_n/G est verselle pour les G-torseurs sur Spec(k). Nous démontrons que U(k) est trivial pour la R-équivalence.

13 Janvier 2001 à 9h30-10h30

David Madore (Orsay)

Groupes fondamentaux des variétés rationnellement connexes (d'après Kollar)

Kollar a montré que si U est un ouvert d'une variété projective lisse rationnellement connexe sur un corps algébriquement clos (ou même simplement "large") de caractéristique 0, il existe une courbe rationnelle tracée sur U qui induise une surjection, sur le groupe fondamental de U, du groupe fondamental d'un ouvert de la droite. Ce résultat est notamment utile pour construire des revêtements dont on cherche à prescrire une fibre (comme un torseur particulier). Nous en exposons les principes de la démonstration.

12 Janvier 2001 à 15h30-16h30 et 17h-18h

Emmanuel Peyre (Grenoble)

Cohomologie non ramifiée et groupes de Chow équivariants

Si G est un groupe fini et W une représentation fidèle de G sur C, on note C(W)^G le corps des fractions rationnelles invariantes sous l'action de G. L'objet de cet exposé est le calcul du groupe de cohomologie non ramifiée de degré trois de C(W)^G  à coefficients dans Q/Z. Le point-clef de ce calcul est la détermination du noyau de l'application

qui est isomorphe au groupe de Chow équivariant du point CH²_G(C).

Vendredi 8 décembre 2000 à 17h-18h

W. McCallum (Univ. Arizona et IHES)

L'accouplement de Cassels pour les courbes de Fermat

Soit p un nombre premier impair, soit F la courbe x^p + y^p = 1 et soit F_s  la courbe y^p = x^s(1-x), 1 <s<p-2. La courbe F_s est le quotient de F par un groupe cyclique d'automorphismes. Soit \zeta_p une racine primitive p-ième de l'unité. La jacobienne J de F_s a multiplication complexe par Z[\zeta_p]. Je calcule l'accouplement de Cassels sur la (1-\zeta_p)-torsion du groupe de Shafarevich-Tate de J, et montre qu'il est nontrivial dans certains cas.

Vendredi 8 décembre 2000 à 15h30-16h30

David Harari (ENS)

L'accouplement de Cassels-Tate, méthodes de calculs, d'après Poonen et Stoll

Samedi 2 décembre 2000 à 11h15-12h15

Emmanuelle Frossard (Caen)

Obstruction de Brauer-Manin pour les fibrations en variétés de Severi-Brauer

Soient k un corps de nombres, C/k une courbe lisse de genre quelconque, telle que le groupe de Tate-Shafarevitch de la jacobienne de C est fini, et soit \pi:X -> C une fibration en variétés de Severi-Brauer d'indice n sans facteur carré. Nous montrons que l'obstruction de Brauer-Manin à l'existence d'un zéro-cycle de degré 1 sur X est la seule sous l'hypothèse que  k est totalement imaginaire ou que l'indice n est impair. Sous les mêmes hypothèses, nous montrons que si un élément du produit des groupes A₀(X_v) (sur toutes les places v de k) est dans le noyau de l'accouplement naturel avec le groupe de Brauer Br X, il provient, modulo n'importe quel entier, de l'image diagonale du groupe A₀(X).

Samedi 2 décembre 2000 à 9h30-10h45

Jean Louis Colliot-Thélène (Orsay)

Points rationnels des surfaces cubiques diagonales (d'après Swin-nerton-Dyer)

Ces dernières années, Swinnerton-Dyer a développé, en partie en collaboration avec d'autres auteurs, une méthode pour établir l'existence de (beaucoup de) points rationnels sur certaines variétés fibrées en courbes de genre un. Jusqu'à présent, on n'obtenait de résultats qu'en acceptant deux difficiles conjectures : la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des courbes elliptiques et l'hypothèse dite de Schinzel (généralisation des nombres premiers jumeaux). Pour les surfaces cubiques diagonales ax³+by³+cz³+dt³=0 sur le corps Q des rationnels, Swinnerton-Dyer obtient maintenant un résultat très satisfaisant sous la seule hypothèse de finitude des groupes de Tate-Shafarevich. Par exemple, sous cette hypothèse, son résultat implique le principe de Hasse pour les hypersurfaces cubiques diagonales ax³+by³+cz³+dt³+ew³=0 sur Q. Je décrirai les principales étapes de la démonstration.

Vendredi 1er décembre 2000 à 17h-18h20

Roger Heath-Brown (Oxford)

The density of rational points on curves and surfaces

Let F(x₁,...,x_n) be an irreducible, with rational coefficients. We wish to estimate, from above, the number of integer solutions of F=0, in the cube max |x_i| <B; or equivalently to estimate the number of rational points of height at most B on the corresponding hypersurface. The talk will describe a new approach which improves on most previous results for curves and surfaces. The majority of the talk will describe the results, but the key estimate for curves is sufficiently easy that the proof will be included.

Vendredi 1er décembre 2000 à 15h30-16h30

Régis de la Bretèche (Orsay-E.N.S.)

Nombre de points de hauteur bornée sur les surfaces de Del Pezzo de degré 5

Nous établissons la conjecture de Manin dans le cas particulier des surfaces de Del Pezzo déployées de degré 5. Autrement dit, nous montrons que, pour un ouvert U d'une telle surface V,  on a

La constante C est conforme à l'expression conjecturée par Peyre.

samedi 21 octobre à 9h30-10h30 et 11h-12h

Antoine Ducros

Cohomologie non ramifiée sur une courbe p-adique lisse

vendredi  20 octobre 2000 à 17h00-18h

Philippe Gille

R-équivalence des groupes spinoriels (d'après Chernousov et Merkurjev)

vendredi  20 octobre 2000 à 15h30-16h30

David Harari

Torseurs sous un groupe linéaire connexe et points rationnels des variétés algébriques