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Conférences et séminaires
Groups definable in fields with operators
Groupes définissables dans les corps avec opérateurs.
Finitely axiomatisable theories, old and new questions
University of Illinois at Chicago, Model Theory Seminar,
28.03.2006
Finitely axiomatisable strongly minimal groups
Joint work with T. Blossier (Lyon): We show that the existence of a finitely
axiomatizable strongly minimal group is equivalent to the existence of
an infinite division ring which is finitely presented as a ring.
Colloquium, IRMA, Strasbourg, 09.12.2005
" La théorie des modèles des corps et quelques unes
de ses applications. "
Informations complémentaires : La Théorie des modèles est une branche de la Logique mathématique relativement récente
et encore assez mal connue, malgré ses liens étroits avec l'algèbre et
la géométrie. Nous essayerons de présenter
les notions de base et quelques résultats fondamentaux de la théorie
des modèles (ensembles définissables,
théorème de compacité, théorèmes de transferts) en évitant le
formalisme général. Pour cela nous nous placerons tout de suite
dans le cadre spécifique de la "théorie des modèles des corps" en
regardant quelques exemples : corps algébriquement clos,
corps réels clos, corps différentiels, corps valués... Nous essayerons
d'expliquer, à partir de ces exemples,
comment les outils de théorie des modèles permettent d'obtenir de
nouveaux résultats algébriques ou géométriques,
ou de nouvelles démonstrations de résultats existants : des plus
classiques (version asymptotique d'une conjecture d'Artin,
obtenue par théorèmes de transferts, Ax et Kochen, 1965-66), aux plus
récents (résultats de Hrushovski, puis de Scanlon,
Pillay et d'autres en géométrie diophantienne, obtenus par l'analyse des ensembles définissables de dimension finie, depuis 1994).
Groupe de travail "Géométrie algébrique", IRMA, Strasbourg,
08.12.2005
" Variétés Abéliennes
et théorie des modèles des corps séparablement
clos "
Informations complémentaires : l'étude, du point de vue de la théorie des modèles, d'un corps séparablement clos L de caractéristique p>0 non parfait, amène naturellement à regarder les groupes de la forme G(L), le groupe des points L-rationnels de G, pour G un groupe algébrique défini sur L. C'est en particulier l'étude, dans le cas où G est une variété semi-abélienne, du sous-groupe des points infiniment p-divisibles de G(L) qui est au coeur de la démonstration modèle-théorique de la conjecture de Mordell-Lang en caractéristique p (Hrushovski, 94). Nous présenterons quelques résultats et questions encore ouvertes sur le sujet.
Pure
Model Theory, Norwich (Grande Bretagne), 4 - 8 juillet 2005.
"Finitely axiomatizable strongly minimal groups" (joint work with
T. Blossier)
"Groupes pseudo-simples sur un corps séparablement clos."
L'étude d'un corps séparablement clos L, du point de vue de la
théorie des modèles, amène naturellement à regarder les groupes de la
forme G(L), le groupe des points L-rationels de G, pour G un groupe
algébrique défini sur L. On s'intéressera à la question de la
caractérisation des groupes algébriques G tels que G(L) est
"définissablement simple", c'est-à-dire n'a aucun sous-groupe
normal définissable propre non trivial. On montrera comment exprimer
cette condition de manière purement algébrique,
et on expliquera comment on rejoint ainsi la question, abordée par Tits
dans ses cours du Collège de France (91-92 et 92-93), de la
"classification" des groupes pseudo-réductifs (ou L-réductifs).
"Les groupes vus par la Théorie des modèles. L'exemple des groupes algébriques."
Tutorial (with A.Pillay) "Stability, differential fields, and related structures"
University of Birmingham, UK, Colloquium, 9 Feb. 2005
"Reductive groups over separably closed fields"
Looking at a separably closed field L from the model theoretic point
of view leads naturally to the study of groups of the form G(L),
the group of L-rational points of G, for G an algebraic group defined
over L. We will present some results and open questions that arise in
this way. In particular we will focus on two extreme cases: semi-abelian
varieties and groups G such that G(L) is simple non abelian.
Newton Institute, Cambridge, UK, Seminar, 25 Jan. 2005
"Groups definable in separably closed fields and algebraic groups:
definable simplicity and "pseudo-simple" groups."
Many questions which we can answer in the case of superstable groups
remain open for stable not superstable groups: existence of an infinite
definable abelian subgorup, link between definable simplicity and
simplicity for example. Separably closed fields are a good place to
test all these questions. In the case of definably simple groups, one
is led rapidly to interesting questions about the classification of
pseudo-reductive algebraic groups over separably closed fields
(in the terminology of Tits).