FROMONT, Magalie - Modélisation Stochastique et Statistique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
LEVY-LEDUC, Céline - Modélisation Stochastique et Statistique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Initialement motivées par une question pratique en vibrométrie laser, nous nous intéressons au problème de la détection d'un signal périodique dans un cadre de régression gausssienne de design régulier. Supposant que le signal appartient à une boule de l'espace de Sobolev périodique et que la variance du bruit est connue, nous considérons tout d'abord le problème d'un point de vue minimax : nous évaluons la vitesse de séparation minimax définie comme une distance minimale entre le signal et la fonction nulle pour laquelle la détection est possible avec des erreurs prescrites. Ensuite, nous proposons une procédure de test qui est valable lorsque la variance du bruit est inconnue et qui n'utilise aucune information a priori sur la régularité ou la période du signal. Nous prouvons que ce test est adaptatif dans le sens où il atteint, à un éventuel facteur logarithmique près, la vitesse de séparation minimax sur plusieurs boules de l'espace de Sobolev périodique simultanément. L'originalité de notre approche par rapport aux travaux déjà existants dans le domaine de la détection de signal est que notre procédure de test est sensible à l'hypothèse de périodicité du signal. Une étude de simulations est menée afin de mesurer en pratique l'effet de cette hypothèse sur la puissance du test. Enfin, nous nous penchons sur l'application à la détection de cibles par vibrométrie laser qui est à l'origine de ce travail. |
Abstract :
| Initially motivated by a practical issue in target detection via laser vibrometry, we are interested in the problem of periodic signal detection in a Gaussian fixed design regression framework. Assuming that the signal belongs to some periodic Sobolev ball and that the variance of the noise is known, we first consider the problem from a minimax point of view: we evaluate the so-called minimax separation rate which corresponds to some minimal distance between the signal and zero so that the detection is possible with prescribed probabilities of error. Then, we propose a testing procedure which is available when the variance of the noise is unknown and which does not use any prior information about the smoothness degree or the period of the signal. We prove that it is adaptive in the sense that it achieves, up to a possible logarithmic factor, the minimax separation rate over various periodic Sobolev balls simultaneously. The originality of our approach as compared to related works on the topic of signal detection is that our testing procedure is sensitive to the periodicity assumption on the signal. A simulation study is performed in order to evaluate the effect of this prior assumption on the power of the test. We do observe the gains that we could expect from the theory. At last, we turn to the application to target detection by laser vibrometry that we had in view. |
Article :
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