COMTE, Fabienne - MAP5 (Statistique) Université René Descartes-Paris5, 45 Rue des Saints-Pères 75270 Paris Cedex 06
TAUPIN, Marie-Luce - Modélisation Stochastique et Statistique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Considérons le problème de déconvolution c'est-à-dire de l'estimation de la densité de variables aléatoires identiquement distribuées Xi , i = 1,...,n à partir de l'observation de Z1,...,Zn où Zi = Xi + \varepsilon_i, pour i = 1,..., n et où les erreurs $\varepsilon_i$ sont des variables aléatoires indépendantes des Xi, de densité connue. Par une procédure de sélection de modèles qui permet d'obtenir des bornes de risque non asymptotiques, nous construisons un estimateur adaptatif de la densité des Xi . Ces bornes de risque fournissent un compromis automatique entre un terme de biais et un terme de pénalité qui a pour ordre de grandeur l'ordre de grandeur de la variance, éventuellement à un facteur logarithmique négligeable près. Par conséquent notre estimateur atteint de façon automatique la vitesse minimax, ou presque dans certains cas, que les erreurs ou la densité à estimer soient peu ou très régulières. Ces résultats sont valables aussi bien dans le cas où les variables Xi,\varepsilon_i sont indépendantes que dans le cas où elles sont $\beta$-mélangeantes. |
Abstract :
| We consider the problem of estimating the density g of identically distributed variables Xi, from a sample Z1,..., Zn where Zi = Xi + \varepsilon_i, i = 1, ..., n and $\varepsilon$ is a noise independent of X. We present a model selection procedure allowing to find non-asymptotic risk bounds for the adaptive estimators. These bounds perform an automatic trade-off between the squared bias term and a penalty term which has the same order as the variance, up to possibly some (negligible) logarithmic factors. Consequently, in all cases (ordinary or super smooth errors, ordinary or super smooth densities, independent or absolutely regular random variables), our estimator is proved to reach automatically the optimal rates, up to negligible logarithmic terms in some case. |
Article :
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Contact : Marie-Luce.Taupin@math.u-psud.fr