DAVID, Guy - Analyse Harmonique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Soient d un entier et E un ensemble fermé non vide dans $\Bbb R^n$. On suppose que E est localement uniformément non plat, au sens o\`{u} pour $x\in E$ et $r>0$ assez petit, $E\cap B(x,r)$ ne reste jamais $\varepsilon_0 r$-proche d'un $d$-plan affine. Si de plus E vérifie localement uniformément certaines propriétés de non-dégénérescence topologique de dimension d, comme la condition B de Semmes, alors sa dimension de Hausdorff est strictement plus grande que d. Notre démonstration est basée sur les propriétés de rectifiabilité uniforme des ensembles quasiminimaux ("restricted sets") d'Almgren. |
Abstract :
| Let d be an integer, and let E be a nonempty closed subset of $\Bbb R^n$. Assume that E is locally uniformly non flat, in the sense that for $x\in E$ and $r>0$ small, $E\cap B(x,r)$ never stays $\varepsilon_0 r$-close to an affine $d$-plane. Also suppose that E satisfies locally uniformly some appropriate d-dimensional topological nondegeneracy condition, like Semmes' Condition B. Then the Hausdorff dimension of E is strictly larger than d. We see this as an application of uniform rectifiability results on Almgren quasiminimal (restricted) sets. |
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