ECALLE Jean - Analyse Harmonique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Nous passons en revue une série de progrès --- en apparence disjoints, en réalité étroitement liés --- réalisés au cours des dix dernières années en théorie de la resommation, de la résurgence, des transséries, etc, et de leurs applications à l'analyse. Nous présentons ainsi : 1-- une simplification de la preuve "constructive" du théorème de finitude pour les cycles-limites des champs de vecteurs plans 2-- un nouveau type de formes normales pour "objets analytiques locaux" (eg germes de champs de vecteurs ou de difféomorphismes analytiques) 3-- une méthode universelle pour la ``synthèse canonique d'objets analytiques locaux" ( ie pour construire des objets d'invariants analytiques prescrits) 4-- une simplification conceptuelle tout à fait inattendue en théorie KAM, liée à l'inexistence des "petits diviseurs surmultiples" 5-- un rapprochement très fécond entre la théorie des perturbations singulières et de l'arithmétique des multizêtas. |
Abstract :
| We survey a number of related advances that have taken place over the last decade in the field of singularities, normal forms, ODEs, etc, as well as the analytic tools for tackling these problems, namely : resummation, resurgence, transseries, analysable functions. One such advance --- the notion of well-behaved convolution average --- has led to a simplification of the celebrated finiteness theorem for limit-cycles. Another one has clarified the (continuous) prenormalisation and (discontinuous) normalisation of local objects. Yet another --- the notion of twisted resurgence monomials --- has yielded a truly general method for canonical-explicit object synthesis (ie constructing local objects with prescribed analytic invariants). A fourth advance has shed new light on the classical KAM theorem about the survival of invariant tori. Lastly, a fifth development, which is arguably the most promising of all --- the introduction of the new Lie algebra ARI --- has led to a far-going elucidation of the arithmetics of MZV or ``multiple zeta values". --- Part of the results surveyed in this paper are joint work with F. Menous or B. Vallet, and mention is made of independent contributions by J. van der Hoeven. |
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